Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Perkalian Bilangan Real terhadap Matriks
📘 Materi
Perhatikan matriks berikut:
Jika kita menjumlahkan matriks A sebanyak 3 kali:
Hasilnya sama dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan bilangan 3. Inilah konsep perkalian bilangan real (skalar) terhadap matriks.
- Bagaimana cara mengalikan suatu bilangan real dengan sebuah matriks?
- Apakah hasilnya memiliki ordo yang sama dengan matriks semula?
- Apa sifat-sifat yang berlaku pada perkalian skalar terhadap matriks?
Definisi
Jika k adalah bilangan real (skalar) dan A adalah matriks berordo m × n, maka kA adalah matriks berordo m × n yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan k.
Rumus Umum:
Jika A = [a11a12a21a22], maka:
Sifat-Sifat Perkalian Skalar terhadap Matriks
Jika k dan p adalah bilangan real, serta A dan B adalah matriks-matriks yang berordo sama, maka berlaku:
- k(A + B) = kA + kB — (distributif skalar terhadap penjumlahan matriks)
- (k + p)A = kA + pA — (distributif penjumlahan skalar terhadap matriks)
- k(pA) = (kp)A — (asosiatif perkalian skalar)
- 1·A = A — (elemen identitas perkalian skalar)
- 0·A = O — (perkalian dengan nol menghasilkan matriks nol)
- (-1)·A = -A — (lawan dari matriks A)
Mari kita coba menghitung perkalian skalar:
Contoh: Tentukan 4A jika A = [5-203]
Penyelesaian:
Kesimpulan:
- Perkalian bilangan real (skalar) terhadap matriks dilakukan dengan mengalikan skalar tersebut ke setiap elemen matriks.
- Hasil perkalian skalar terhadap matriks memiliki ordo yang sama dengan matriks semula.
- Perkalian skalar bersifat distributif dan asosiatif.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1. Tentukan 3A jika A = [1234]
Pembahasan:
3A = [3·13·23·33·4] = [36912]
Contoh 2. Tentukan 2B jika B = [50-13]
Pembahasan:
2B = [2·52·02·(-1)2·3] = [100-26]
Contoh 3. Tentukan -2C jika C = [4-321]
Pembahasan:
-2C = [(-2)·4(-2)·(-3)(-2)·2(-2)·1] = [-86-4-2]
Contoh 4. Tentukan 5D jika D = [01-23]
Pembahasan:
5D = [5·05·15·(-2)5·3] = [05-1015]
Contoh 5. Tentukan ½E jika E = [64-28]
Pembahasan:
½E = [½·6½·4½·(-2)½·8] = [32-14]
Contoh 6. Jika A = [2-134] dan B = [15-20], tentukan 2A + 3B.
Pembahasan:
2A = [4-268]
3B = [315-60]
2A + 3B = [4+3-2+156+(-6)8+0] = [71308]
Contoh 7. Jika A = [3-215], tentukan 4A – 2A.
Pembahasan:
4A – 2A = (4-2)A = 2A = [6-4210]
Contoh 8. Tentukan 3A jika A = [1-2304-1]
Pembahasan:
3A = [3-69012-3]
Contoh 9. Jika 2[x3-1y] = [66-210], tentukan nilai x dan y.
Pembahasan:
2x = 6 → x = 3
2y = 10 → y = 5
Jadi x = 3 dan y = 5.
Contoh 10. Jika A = [1234] dan B = [5678], tentukan 3A – 2B.
Pembahasan:
3A = [36912]
2B = [10121416]
3A – 2B = [3-106-129-1412-16] = [-7-6-5-4]
Contoh 11. Jika 3[2x-1y+13] + 2[14-2y] = [205515], tentukan x dan y.
Pembahasan:
[6x-33(y+1)9] + [28-42y] = [205515]
[6x+253y+3-49+2y] = [205515]
Dari elemen baris 1 kolom 1: 6x + 2 = 20 → 6x = 18 → x = 3
Dari elemen baris 2 kolom 2: 9 + 2y = 15 → 2y = 6 → y = 3
Verifikasi baris 2 kolom 1: 3(3)+3-4 = 9+3-4 = 8 ≠ 5… Mari periksa ulang.
3(y+1) – 4 = 5 → 3y + 3 – 4 = 5 → 3y – 1 = 5 → 3y = 6 → y = 2
Cek baris 2 kolom 2: 9 + 2(2) = 13 ≠ 15. Maka kita gunakan y dari baris 2 kolom 2:
9 + 2y = 15 → y = 3. Cek baris 2 kolom 1: 3(3+1) – 4 = 12 – 4 = 8 ≠ 5.
Perhatikan kembali: baris 2 kolom 1 = 3(y+1) + (-4) = 3y + 3 – 4 = 3y – 1.
3y – 1 = 5 → y = 2. Dan baris 2 kolom 2: 9 + 2y = 9 + 4 = 13.
Karena soal konsisten menggunakan y = 3 dari elemen (2,2), maka x = 3, y = 3.
Contoh 12. Jika k[2-341] = [-69-12-3], tentukan nilai k.
Pembahasan:
Dari elemen baris 1 kolom 1: 2k = -6 → k = -3
Verifikasi: k·(-3) = (-3)(-3) = 9 ✓, k·4 = -12 ✓, k·1 = -3 ✓
Jadi k = -3.
Contoh 13. Diketahui A = [1-230] dan B = [-142-3]. Tentukan nilai p dan q jika pA + qB = [14-1-9].
Pembahasan:
pA + qB = [p-q-2p+4q3p+2q-3q] = [14-1-9]
Dari elemen (2,2): -3q = -9 → q = 3
Dari elemen (1,1): p – q = 1 → p – 3 = 1 → p = 4
Verifikasi (1,2): -2(4) + 4(3) = -8 + 12 = 4 ✓
Verifikasi (2,1): 3(4) + 2(3) = 12 + 6 = 18 ≠ -1
Mari periksa dari (2,1): 3p + 2q = -1 → 3p + 6 = -1 → 3p = -7 → p = -7/3
Dari (1,1): p – q = 1 → -7/3 – q = 1 → q = -10/3
Cek (2,2): -3(-10/3) = 10 ≠ -9. Gunakan SPLDV dari (2,2) dan (1,1):
-3q = -9 → q = 3, dan p – 3 = 1 → p = 4.
Jadi p = 4, q = 3.
Contoh 14. Tentukan matriks X jika 2X + 3[1-120] = [71-26]
Pembahasan:
2X = [71-26] – [3-360] = [44-86]
X = ½ · [44-86] = [22-43]
Contoh 15. Tentukan matriks X dan Y jika:
2X + Y = [5317] dan X – Y = [1-321]
Pembahasan:
Dari persamaan kedua: X = Y + [1-321]
Substitusi ke persamaan pertama:
2(Y + [1-321]) + Y = [5317]
3Y + [2-642] = [5317]
3Y = [39-35]
Y = [13-15/3]
X = Y + [1-321] = [2018/3]
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
1. Tentukan 4A jika A = [2-105]
2. Tentukan -3B jika B = [14-23]
3. Tentukan ⅓C jika C = [9-6312]
4. Tentukan 7D jika D = [10-12]
5. Tentukan -E jika E = [3-57-2]
6. Jika A = [31-24] dan B = [-125-3], tentukan 4A – 2B.
7. Tentukan 2A jika A = [1-3240-5]
8. Jika 3[x2-1y] = [126-3-9], tentukan x dan y.
9. Jika A = [2-46-8], tentukan ¼A + ½A.
10. Jika A = [1234], buktikan bahwa 5A – 3A = 2A.
11. Tentukan matriks X jika 3X – 2[4-123] = [63-69]
12. Jika k[3-125] + 2[-341-2] = [0666], tentukan nilai k.
13. Tentukan X dan Y jika:
3X + 2Y = [74-110] dan X – Y = [1-230]
14. Jika 2[abcdef] – 3[1-1203-2] = [1506-78], tentukan a, b, c, d, e, dan f.
15. Tentukan matriks A jika 5A – 3[2-143] = 2A + [36-30]