Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Dua Matriks Saling Invers
A. Pengertian Dua Matriks Saling Invers
Dua matriks dikatakan saling invers jika hasil perkalian kedua matriks tersebut menghasilkan matriks identitas (I).
Definisi:
Jika A dan B adalah matriks persegi berordo sama, maka B disebut invers dari A (ditulis B = A−1) jika dan hanya jika:
Sebaliknya, A juga merupakan invers dari B (A = B−1).
Matriks identitas I untuk ordo 2×2 adalah:
Syarat: Suatu matriks memiliki invers jika dan hanya jika determinannya tidak sama dengan nol (det(A) ≠ 0). Matriks yang memiliki invers disebut matriks nonsingular atau matriks invertibel.
B. Rumus Invers Matriks Ordo 2×2
Jika matriks A berordo 2×2:
Maka invers dari matriks A adalah:
dengan det(A) = ad − bc ≠ 0
Langkah-langkah menentukan invers matriks 2×2:
- Hitung determinan: det(A) = ad − bc
- Pastikan det(A) ≠ 0
- Tukar posisi elemen diagonal utama (a dan d)
- Ubah tanda elemen diagonal sekunder (b menjadi −b, c menjadi −c)
- Kalikan dengan 1/det(A)
C. Sifat-sifat Dua Matriks Saling Invers
1. A × A−1 = A−1 × A = I
2. (A−1)−1 = A
3. (A × B)−1 = B−1 × A−1
4. (AT)−1 = (A−1)T
5. det(A−1) = 1/det(A)
6. (kA)−1 = (1/k) × A−1, untuk k ≠ 0
D. Cara Membuktikan Dua Matriks Saling Invers
Untuk membuktikan bahwa dua matriks A dan B saling invers, kita perlu menunjukkan bahwa:
Jika salah satu syarat saja terpenuhi (misalnya hanya A × B = I), maka untuk matriks persegi, otomatis B × A = I juga terpenuhi. Namun, dalam pembuktian lengkap, sebaiknya kedua perkalian ditunjukkan.
Kegiatan: Mengamati
Amatilah dua matriks berikut:
Perhatikan hubungan antar elemen kedua matriks. Apa yang terjadi jika kita mengalikan A dengan B? Apakah hasilnya merupakan matriks identitas?
Hasil pengamatan:
A × B =
Karena A × B = I, maka A dan B saling invers.
Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati, timbul pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bagaimana cara menentukan invers dari suatu matriks?
- Apakah semua matriks memiliki invers? Jika tidak, apa syaratnya?
- Bagaimana hubungan antara determinan dan keberadaan invers?
- Apakah jika A × B = I, maka pasti B × A = I juga?
- Bagaimana cara membuktikan dua matriks saling invers tanpa menghitung invers secara langsung?
Kegiatan: Menalar
Mari kita nalar hubungan antara matriks dan inversnya:
Penalaran 1: Hubungan determinan dengan invers
Jika det(A) = 0, maka 1/det(A) tidak terdefinisi. Oleh karena itu, matriks dengan determinan nol (matriks singular) tidak memiliki invers.
Penalaran 2: Sifat simetri invers
Jika B adalah invers dari A, maka A juga invers dari B. Hubungan ini bersifat simetris (saling).
Penalaran 3: Keunikan invers
Setiap matriks nonsingular memiliki tepat satu invers. Tidak mungkin ada dua matriks berbeda yang keduanya merupakan invers dari matriks yang sama.
Kegiatan: Mencoba
Cobalah buktikan bahwa matriks A dan B berikut saling invers:
Langkah penyelesaian:
Langkah 1: Hitung A × B
Baris 1 × Kolom 1: (4)(4) + (3)(−5) = 16 − 15 = 1
Baris 1 × Kolom 2: (4)(−3) + (3)(4) = −12 + 12 = 0
Baris 2 × Kolom 1: (5)(4) + (4)(−5) = 20 − 20 = 0
Baris 2 × Kolom 2: (5)(−3) + (4)(4) = −15 + 16 = 1
Kesimpulan: Karena A × B = I, maka A dan B saling invers.
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Dari kegiatan di atas, kita dapat menyimpulkan:
1. Dua matriks A dan B dikatakan saling invers jika A × B = B × A = I.
2. Invers matriks hanya ada jika determinan matriks tidak nol.
3. Untuk matriks 2×2, invers diperoleh dengan menukar elemen diagonal utama, mengubah tanda diagonal sekunder, lalu membagi dengan determinan.
4. Untuk membuktikan dua matriks saling invers, cukup tunjukkan bahwa hasil kalinya adalah matriks identitas.
5. Hubungan invers bersifat simetris: jika B = A−1, maka A = B−1.
Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAHContoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan invers dari matriks A = [3152]
Pembahasan:
det(A) = (3)(2) − (1)(5) = 6 − 5 = 1
A−1 = (1/1) × [2−1−53] = [2−1−53]
Contoh 2
Buktikan bahwa A = [1237] dan B = [7−2−31] saling invers.
Pembahasan:
Hitung A × B:
Baris 1 × Kolom 1: (1)(7) + (2)(−3) = 7 − 6 = 1
Baris 1 × Kolom 2: (1)(−2) + (2)(1) = −2 + 2 = 0
Baris 2 × Kolom 1: (3)(7) + (7)(−3) = 21 − 21 = 0
Baris 2 × Kolom 2: (3)(−2) + (7)(1) = −6 + 7 = 1
A × B = [1001] = I
Terbukti A dan B saling invers.
Contoh 3
Tentukan invers dari matriks A = [2005]
Pembahasan:
det(A) = (2)(5) − (0)(0) = 10
A−1 = (1/10) × [5002] = [1/2001/5]
Contoh 4
Tentukan invers dari matriks A = [1327]
Pembahasan:
det(A) = (1)(7) − (3)(2) = 7 − 6 = 1
A−1 = (1/1) × [7−3−21] = [7−3−21]
Contoh 5
Apakah matriks A = [4623] memiliki invers? Jelaskan!
Pembahasan:
det(A) = (4)(3) − (6)(2) = 12 − 12 = 0
Karena det(A) = 0, maka matriks A tidak memiliki invers (matriks singular).
SEDANGContoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan invers dari matriks A = [3−24−3] kemudian buktikan bahwa A × A−1 = I.
Pembahasan:
det(A) = (3)(−3) − (−2)(4) = −9 + 8 = −1
A−1 = (1/(−1)) × [−32−43] = [3−24−3]
Pembuktian:
A × A−1:
Baris 1 × Kolom 1: (3)(3) + (−2)(4) = 9 − 8 = 1
Baris 1 × Kolom 2: (3)(−2) + (−2)(−3) = −6 + 6 = 0
Baris 2 × Kolom 1: (4)(3) + (−3)(4) = 12 − 12 = 0
Baris 2 × Kolom 2: (4)(−2) + (−3)(−3) = −8 + 9 = 1
A × A−1 = I ✓ (Terbukti)
Contoh 7
Jika A = [2513], tentukan matriks B sehingga A × B = I.
Pembahasan:
B = A−1
det(A) = (2)(3) − (5)(1) = 6 − 5 = 1
B = A−1 = (1/1) × [3−5−12] = [3−5−12]
Contoh 8
Jika A−1 = [4−3−75], tentukan matriks A.
Pembahasan:
Karena (A−1)−1 = A, kita cari invers dari A−1.
det(A−1) = (4)(5) − (−3)(−7) = 20 − 21 = −1
A = (1/(−1)) × [5374] = [−5−3−7−4]
Contoh 9
Tentukan nilai x agar matriks A = [x42x] memiliki invers.
Pembahasan:
Matriks A memiliki invers jika det(A) ≠ 0
det(A) = x² − (4)(2) = x² − 8
Syarat: x² − 8 ≠ 0
x² ≠ 8
x ≠ ±2√2
Jadi, matriks A memiliki invers untuk semua x ∈ ℝ, x ≠ 2√2 dan x ≠ −2√2.
Contoh 10
Jika A = [5273], tentukan (2A)−1.
Pembahasan:
Menggunakan sifat: (kA)−1 = (1/k) × A−1
Langkah 1: Tentukan A−1
det(A) = (5)(3) − (2)(7) = 15 − 14 = 1
A−1 = [3−2−75]
Langkah 2: (2A)−1 = (1/2) × A−1
(2A)−1 = (1/2) × [3−2−75] = [3/2−1−7/25/2]
SULITContoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11
Jika A = [2312] dan B = [1423], tentukan (AB)−1.
Pembahasan:
Menggunakan sifat: (AB)−1 = B−1 × A−1
Langkah 1: Tentukan A−1
det(A) = (2)(2) − (3)(1) = 4 − 3 = 1
A−1 = [2−3−12]
Langkah 2: Tentukan B−1
det(B) = (1)(3) − (4)(2) = 3 − 8 = −5
B−1 = (1/(−5)) × [3−4−21] = [−3/54/52/5−1/5]
Langkah 3: (AB)−1 = B−1 × A−1
Baris 1 × Kolom 1: (−3/5)(2) + (4/5)(−1) = −6/5 − 4/5 = −10/5 = −2
Baris 1 × Kolom 2: (−3/5)(−3) + (4/5)(2) = 9/5 + 8/5 = 17/5
Baris 2 × Kolom 1: (2/5)(2) + (−1/5)(−1) = 4/5 + 1/5 = 5/5 = 1
Baris 2 × Kolom 2: (2/5)(−3) + (−1/5)(2) = −6/5 − 2/5 = −8/5
(AB)−1 = [−217/51−8/5]
Contoh 12
Tentukan nilai a dan b jika matriks [a23b] adalah invers dari [−123−5].
Pembahasan:
Misalkan P = [a23b] dan Q = [−123−5]
Jika P = Q−1, maka P × Q = I
P × Q = [−a+62a−10−3+3b6−5b] = [1001]
Dari persamaan:
−a + 6 = 1 → a = 5
6 − 5b = 1 → 5b = 5 → b = 1
Verifikasi:
2a − 10 = 2(5) − 10 = 0 ✓
−3 + 3b = −3 + 3(1) = 0 ✓
Jadi, a = 5 dan b = 1.
Contoh 13
Jika A² = 3A − 2I, tentukan A−1 dalam bentuk A dan I.
Pembahasan:
Diberikan: A² = 3A − 2I
Kalikan kedua ruas dengan A−1:
A²·A−1 = (3A − 2I)·A−1
A = 3(A·A−1) − 2(I·A−1)
A = 3I − 2A−1
Selesaikan untuk A−1:
2A−1 = 3I − A
A−1 = (3I − A)/2 = (3/2)I − (1/2)A
Contoh 14
Diketahui A = [3243]. Jika A−1 × X = [1021], tentukan matriks X.
Pembahasan:
A−1 × X = [1021]
Kalikan kedua ruas di kiri dengan A:
A × A−1 × X = A × [1021]
I × X = A × [1021]
X = [3243] × [1021]
Baris 1 × Kolom 1: (3)(1) + (2)(2) = 7
Baris 1 × Kolom 2: (3)(0) + (2)(1) = 2
Baris 2 × Kolom 1: (4)(1) + (3)(2) = 10
Baris 2 × Kolom 2: (4)(0) + (3)(1) = 3
X = [72103]
Contoh 15
Tentukan semua nilai k sehingga matriks A = [k+1kk−1k+2] dan B = [k+2−k−(k−1)k+1] saling invers.
Pembahasan:
Jika A dan B saling invers, maka A × B = I
Juga, B harus sama dengan A−1.
Dari rumus invers, A−1 = (1/det(A)) × [k+2−k−(k−1)k+1]
Agar B = A−1, maka 1/det(A) = 1, sehingga det(A) = 1.
det(A) = (k+1)(k+2) − k(k−1)
= k² + 3k + 2 − k² + k
= 4k + 2
Syarat: 4k + 2 = 1
4k = −1
k = −1/4
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
MUDAHLatihan Tingkat Mudah
1. Tentukan invers dari matriks A = [4172]
2. Tentukan invers dari matriks B = [5321]
3. Buktikan bahwa [2132] dan [2−1−32] saling invers.
4. Apakah matriks [6342] memiliki invers? Jelaskan!
5. Tentukan invers dari matriks C = [1004]
SEDANGLatihan Tingkat Sedang
6. Jika A = [3423], tentukan (3A)−1.
7. Tentukan nilai p agar matriks [p3p+1p] memiliki invers.
8. Jika A−1 = [2−1−32], tentukan matriks A.
9. Jika A = [1235], tentukan A−1 dan buktikan A × A−1 = I.
10. Tentukan nilai a dan b jika [a12b] adalah invers dari [3−1−21].
SULITLatihan Tingkat Sulit
11. Jika A = [1234] dan B = [2111], tentukan (AB)−1.
12. Diketahui A² = 5A − 6I. Tentukan A−1 dalam bentuk A dan I.
13. Jika X × A = B dengan A = [2153] dan B = [4321], tentukan matriks X.
14. Tentukan semua nilai m sehingga matriks [m+2mm−1m+3] dan [m+3−m−(m−1)m+2] saling invers.
15. Jika A = [abcd] dan A−1 = AT (transpose dari A), tentukan hubungan yang harus dipenuhi oleh a, b, c, dan d.