Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Determinan Matriks Persegi Berordo 2
Memahami konsep dan cara menghitung determinan matriks 2×2
Pengertian Determinan Matriks Berordo 2
Determinan adalah suatu nilai skalar (bilangan) yang dapat dihitung dari elemen-elemen suatu matriks persegi. Determinan hanya dapat dihitung untuk matriks persegi, yaitu matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama.
Untuk matriks persegi berordo 2 (matriks 2×2), determinan dinyatakan sebagai berikut:
Misalkan matriks A adalah:
Maka determinan matriks A ditulis sebagai det(A) atau |A|, dan dihitung dengan rumus:
det(A) = |A| = ad − bc
Hasil kali elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen diagonal samping
Keterangan:
- a dan d adalah elemen-elemen pada diagonal utama (dari kiri atas ke kanan bawah)
- b dan c adalah elemen-elemen pada diagonal samping (dari kanan atas ke kiri bawah)
- Determinan menghasilkan suatu bilangan (skalar), bukan matriks
Pertanyaan Kunci
- Bagaimana cara menentukan diagonal utama dan diagonal samping pada matriks 2×2?
- Apa arti dari nilai determinan yang dihasilkan?
- Apa yang terjadi jika determinan suatu matriks bernilai nol?
- Bagaimana langkah-langkah menghitung determinan matriks 2×2?
💡 Catatan Penting: Jika det(A) = 0, maka matriks A disebut matriks singular dan tidak memiliki invers. Jika det(A) ≠ 0, maka matriks A disebut matriks non-singular dan memiliki invers.
Langkah-langkah Menghitung Determinan
Untuk menghitung determinan matriks berordo 2, ikuti langkah berikut:
Tentukan nilai a, b, c, dan d dari matriks yang diberikan.
Kalikan elemen a dengan d (a × d).
Kalikan elemen b dengan c (b × c).
Kurangkan hasil kali diagonal samping dari hasil kali diagonal utama: det(A) = ad − bc.
Contoh Ilustrasi:
Diagonal utama: 3 × 4 = 12
Diagonal samping: 5 × 2 = 10
det(A) = 12 − 10 = 2
Sifat-sifat Determinan Matriks Ordo 2
- det(Aᵀ) = det(A) — Determinan matriks transpose sama dengan determinan matriks asal.
- det(AB) = det(A) × det(B) — Determinan hasil kali dua matriks sama dengan hasil kali determinan masing-masing.
- det(kA) = k² × det(A) — Jika semua elemen matriks dikalikan skalar k, maka determinannya dikalikan k².
- det(A⁻¹) = 1/det(A) — Determinan invers matriks adalah kebalikan dari determinan matriks asal (dengan syarat det(A) ≠ 0).
- Jika salah satu baris atau kolom seluruhnya nol, maka det(A) = 0.
- Jika dua baris (atau dua kolom) proporsional, maka det(A) = 0.
Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Soal 1. Tentukan determinan dari matriks A = 2314
Pembahasan:
det(A) = (2)(4) − (3)(1) = 8 − 3 = 5
Soal 2. Tentukan determinan dari matriks B = 5231
Pembahasan:
det(B) = (5)(1) − (2)(3) = 5 − 6 = −1
Soal 3. Tentukan determinan dari matriks C = 4072
Pembahasan:
det(C) = (4)(2) − (0)(7) = 8 − 0 = 8
Soal 4. Tentukan determinan dari matriks D = 1623
Pembahasan:
det(D) = (1)(3) − (6)(2) = 3 − 12 = −9
Soal 5. Tentukan determinan dari matriks E = 3315
Pembahasan:
det(E) = (3)(5) − (3)(1) = 15 − 3 = 12
🟡 Tingkat Sedang
Soal 6. Tentukan determinan dari matriks F = −253−4
Pembahasan:
det(F) = (−2)(−4) − (5)(3) = 8 − 15 = −7
Soal 7. Jika det x234 = 10, tentukan nilai x.
Pembahasan:
det = 4x − (2)(3) = 4x − 6
4x − 6 = 10
4x = 16
x = 4
Soal 8. Tentukan determinan dari matriks G = ½3−24
Pembahasan:
det(G) = (½)(4) − (3)(−2) = 2 − (−6) = 2 + 6 = 8
Soal 9. Jika A = 3−125 dan B = 14−23 , tentukan det(A) + det(B).
Pembahasan:
det(A) = (3)(5) − (−1)(2) = 15 − (−2) = 15 + 2 = 17
det(B) = (1)(3) − (4)(−2) = 3 − (−8) = 3 + 8 = 11
det(A) + det(B) = 17 + 11 = 28
Soal 10. Tentukan determinan dari matriks H = 2a34a jika a = −2.
Pembahasan:
Substitusi a = −2:
H = −434−2
det(H) = (−4)(−2) − (3)(4) = 8 − 12 = −4
🔴 Tingkat Sulit
Soal 11. Tentukan semua nilai x yang memenuhi det xx+1x−1x = 3.
Pembahasan:
det = x·x − (x+1)(x−1)
= x² − (x² − 1)
= x² − x² + 1
= 1
Karena determinan selalu bernilai 1, maka persamaan 1 = 3 tidak memiliki penyelesaian.
Tidak ada nilai x yang memenuhi.
Soal 12. Jika det x²23x = 0, tentukan semua nilai x.
Pembahasan:
det = x²·x − 2·3 = x³ − 6 = 0
x³ = 6
x = ³√6 = ∛6 ≈ 1,817
Soal 13. Diketahui A = 2−314 . Buktikan bahwa det(2A) = 4·det(A).
Pembahasan:
det(A) = (2)(4) − (−3)(1) = 8 + 3 = 11
2A = 4−628
det(2A) = (4)(8) − (−6)(2) = 32 + 12 = 44
4·det(A) = 4 × 11 = 44
Terbukti det(2A) = 4·det(A) = 44 ✓
(Sesuai sifat: det(kA) = k²·det(A), dengan k=2 maka k²=4)
Soal 14. Jika A = a+ba−ba−ba+b dan det(A) = 48, dengan a = 5, tentukan nilai b.
Pembahasan:
det(A) = (a+b)(a+b) − (a−b)(a−b)
= (a+b)² − (a−b)²
Menggunakan identitas: p² − q² = (p+q)(p−q)
= [(a+b)+(a−b)][(a+b)−(a−b)]
= [2a][2b]
= 4ab
Maka: 4ab = 48
4(5)(b) = 48
20b = 48
b = 48/20 = 12/5 = 2,4
Soal 15. Diketahui A = 3−251 dan B = 21−14 . Buktikan bahwa det(AB) = det(A)·det(B).
Pembahasan:
det(A) = (3)(1) − (−2)(5) = 3 + 10 = 13
det(B) = (2)(4) − (1)(−1) = 8 + 1 = 9
det(A)·det(B) = 13 × 9 = 117
Hitung AB:
AB = 3·2+(−2)(−1)3·1+(−2)·45·2+1·(−1)5·1+1·4
= 8−599
det(AB) = (8)(9) − (−5)(9) = 72 + 45 = 117
Terbukti det(AB) = det(A)·det(B) = 117 ✓
Rangkuman
Dari pembelajaran di atas, kita dapat menyimpulkan:
- Determinan matriks ordo 2×2 dihitung dengan rumus det(A) = ad − bc.
- Determinan menghasilkan suatu bilangan (skalar).
- Jika det(A) = 0, matriks bersifat singular (tidak memiliki invers).
- Jika det(A) ≠ 0, matriks bersifat non-singular (memiliki invers).
- Sifat penting: det(kA) = k²·det(A) dan det(AB) = det(A)·det(B).
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri tanpa melihat pembahasan!
🟢 Tingkat Mudah
1. Tentukan determinan dari 6213
2. Tentukan determinan dari 4523
3. Tentukan determinan dari 7032
4. Tentukan determinan dari 1825
5. Tentukan determinan dari 9142
🟡 Tingkat Sedang
6. Tentukan determinan dari −342−5
7. Jika det 2x34x = 0, tentukan nilai x.
8. Tentukan determinan dari ⅓6−19
9. Jika A = 4−231 , tentukan det(3A).
10. Tentukan nilai p jika det p+132p−1 = 5.
🔴 Tingkat Sulit
11. Jika A = 2−134 dan B = 15−23 , buktikan det(AB) = det(A)·det(B) dan tentukan nilainya.
12. Tentukan semua nilai x yang memenuhi det x²−1xx+12 = 0.
13. Diketahui det(A) = 7 dan det(B) = 3. Tentukan det(A²B).
14. Jika A = sin θ−cos θcos θsin θ , tentukan det(A) untuk semua nilai θ.
15. Diketahui A = a+2b2a−ba−ba+2b . Jika det(A) = 25 dan a = 3, tentukan semua nilai b yang memenuhi.