Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Aljabar Matriks Persegi dalam Perkalian Dua Matriks
Materi lengkap disertai contoh soal dan latihan
1. Pengertian Matriks Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris sama dengan jumlah kolom. Jika suatu matriks memiliki n baris dan n kolom, maka matriks tersebut disebut matriks persegi berordo n × n.
Contoh matriks persegi berordo 2×2:
Contoh matriks persegi berordo 3×3:
📌 Catatan Penting:
- Perkalian dua matriks persegi berordo sama selalu menghasilkan matriks persegi dengan ordo yang sama.
- Perkalian matriks tidak bersifat komutatif, artinya AB ≠ BA pada umumnya.
- Perkalian matriks bersifat asosiatif: (AB)C = A(BC).
- Perkalian matriks bersifat distributif: A(B+C) = AB + AC.
2. Syarat Perkalian Dua Matriks Persegi
Dua matriks persegi A dan B dapat dikalikan jika keduanya memiliki ordo yang sama. Untuk matriks persegi berordo n×n:
An×n × Bn×n = Cn×n
Hasil perkalian selalu menghasilkan matriks persegi dengan ordo yang sama.
Pertanyaan Kunci:
- Bagaimana cara menghitung elemen-elemen hasil perkalian dua matriks persegi?
- Mengapa perkalian matriks tidak komutatif?
- Kapan hasil perkalian dua matriks persegi menghasilkan matriks identitas?
3. Rumus Perkalian Dua Matriks Persegi
Perkalian Matriks Persegi 2×2
Jika:
Maka:
💡 Cara Mengingat:
Elemen baris ke-i kolom ke-j dari hasil perkalian = jumlah dari (elemen baris ke-i matriks pertama) × (elemen kolom ke-j matriks kedua).
Baris × Kolom → jumlahkan hasilnya.
Perkalian Matriks Persegi 3×3
Prinsipnya sama. Jika A dan B berordo 3×3, maka elemen Cij dari C = AB adalah:
Cij = Σ (Aik × Bkj) untuk k = 1, 2, 3
Artinya, kalikan setiap elemen pada baris ke-i matriks A dengan elemen yang bersesuaian pada kolom ke-j matriks B, lalu jumlahkan semua hasilnya.
4. Sifat-Sifat Perkalian Matriks Persegi
a. Tidak Komutatif
Pada umumnya AB ≠ BA.
Urutan perkalian sangat menentukan hasil.
b. Asosiatif
(AB)C = A(BC)
c. Distributif
A(B + C) = AB + AC dan (A + B)C = AC + BC
d. Matriks Identitas (I)
AI = IA = A
Matriks identitas berfungsi seperti angka 1 pada perkalian bilangan.
e. Matriks Nol
A × O = O × A = O
f. Transpose Perkalian
(AB)T = BTAT
5. Langkah-Langkah Mengalikan Dua Matriks Persegi
- Pastikan kedua matriks persegi memiliki ordo yang sama (n×n).
- Tentukan elemen baris ke-i kolom ke-j hasil perkalian.
- Kalikan setiap elemen baris ke-i matriks pertama dengan elemen kolom ke-j matriks kedua yang bersesuaian.
- Jumlahkan semua hasil perkalian tersebut.
- Ulangi untuk semua posisi elemen pada matriks hasil.
✅ Tips Mengkomunikasikan Hasil:
- Tuliskan langkah perhitungan dengan rapi.
- Tunjukkan dari mana setiap elemen hasil diperoleh.
- Periksa kembali hasil dengan menghitung ulang minimal satu elemen.
📝 CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
🟢 Contoh Soal Mudah (1-5)
Contoh Soal 1:
Hitunglah A × B jika:
Pembahasan:
Elemen baris 1 kolom 1: (1)(2) + (2)(1) = 2 + 2 = 4
Elemen baris 1 kolom 2: (1)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6
Elemen baris 2 kolom 1: (3)(2) + (4)(1) = 6 + 4 = 10
Elemen baris 2 kolom 2: (3)(0) + (4)(3) = 0 + 12 = 12
Jadi, A × B =
46 1012Contoh Soal 2:
Hitunglah A × B jika:
Pembahasan:
B adalah matriks identitas I2, sehingga A × I = A.
Jadi, A × B =
21 03Contoh Soal 3:
Hitunglah A × B jika:
Pembahasan:
Elemen (1,1): (3)(4) + (0)(2) = 12 + 0 = 12
Elemen (1,2): (3)(1) + (0)(5) = 3 + 0 = 3
Elemen (2,1): (0)(4) + (2)(2) = 0 + 4 = 4
Elemen (2,2): (0)(1) + (2)(5) = 0 + 10 = 10
Jadi, A × B =
123 410Contoh Soal 4:
Hitunglah A × B jika:
Pembahasan:
Elemen (1,1): (1)(2) + (1)(4) = 2 + 4 = 6
Elemen (1,2): (1)(3) + (1)(5) = 3 + 5 = 8
Elemen (2,1): (1)(2) + (1)(4) = 2 + 4 = 6
Elemen (2,2): (1)(3) + (1)(5) = 3 + 5 = 8
Jadi, A × B =
68 68Contoh Soal 5:
Hitunglah A × B jika:
Pembahasan:
Elemen (1,1): (5)(1) + (2)(2) = 5 + 4 = 9
Elemen (1,2): (5)(4) + (2)(0) = 20 + 0 = 20
Elemen (2,1): (1)(1) + (3)(2) = 1 + 6 = 7
Elemen (2,2): (1)(4) + (3)(0) = 4 + 0 = 4
Jadi, A × B =
920 74🟡 Contoh Soal Sedang (6-10)
Contoh Soal 6:
Diketahui:
Hitunglah AB dan BA, lalu tunjukkan bahwa AB ≠ BA.
Pembahasan:
AB:
Elemen (1,1): (2)(5) + (-1)(-3) = 10 + 3 = 13
Elemen (1,2): (2)(2) + (-1)(1) = 4 – 1 = 3
Elemen (2,1): (3)(5) + (4)(-3) = 15 – 12 = 3
Elemen (2,2): (3)(2) + (4)(1) = 6 + 4 = 10
BA:
Elemen (1,1): (5)(2) + (2)(3) = 10 + 6 = 16
Elemen (1,2): (5)(-1) + (2)(4) = -5 + 8 = 3
Elemen (2,1): (-3)(2) + (1)(3) = -6 + 3 = -3
Elemen (2,2): (-3)(-1) + (1)(4) = 3 + 4 = 7
Terbukti AB ≠ BA karena elemen-elemennya berbeda.
Contoh Soal 7:
Hitunglah A² = A × A jika:
Pembahasan:
Elemen (1,1): (1)(1) + (2)(0) = 1 + 0 = 1
Elemen (1,2): (1)(2) + (2)(-1) = 2 – 2 = 0
Elemen (2,1): (0)(1) + (-1)(0) = 0 + 0 = 0
Elemen (2,2): (0)(2) + (-1)(-1) = 0 + 1 = 1
Jadi, A² =
10 01Menarik! A² = I (matriks identitas). Matriks A disebut involusi.
Contoh Soal 8:
Hitunglah A × B jika:
Pembahasan:
B adalah matriks identitas I3. Berdasarkan sifat AI = A, maka:
A × B = A = 102 010 301Contoh Soal 9:
Hitunglah A × B jika:
Pembahasan:
C(1,1): (2)(1)+(1)(0)+(0)(2) = 2+0+0 = 2
C(1,2): (2)(2)+(1)(1)+(0)(0) = 4+1+0 = 5
C(1,3): (2)(1)+(1)(3)+(0)(1) = 2+3+0 = 5
C(2,1): (0)(1)+(3)(0)+(-1)(2) = 0+0-2 = -2
C(2,2): (0)(2)+(3)(1)+(-1)(0) = 0+3+0 = 3
C(2,3): (0)(1)+(3)(3)+(-1)(1) = 0+9-1 = 8
C(3,1): (1)(1)+(0)(0)+(2)(2) = 1+0+4 = 5
C(3,2): (1)(2)+(0)(1)+(2)(0) = 2+0+0 = 2
C(3,3): (1)(1)+(0)(3)+(2)(1) = 1+0+2 = 3
Jadi, A × B =
255 -238 523Contoh Soal 10:
Jika A × B = C, tentukan nilai x dan y pada:
Pembahasan:
Elemen (1,1): (2)(1) + (1)(4) = 6 ✓
Elemen (1,2): (2)(y) + (1)(2) = 8 → 2y + 2 = 8 → 2y = 6 → y = 3
Elemen (2,1): (3)(1) + (x)(4) = 11 → 3 + 4x = 11 → 4x = 8 → x = 2
Verifikasi (2,2): (3)(3) + (2)(2) = 9 + 4 = 13 ✓
Jadi, x = 2 dan y = 3.
🔴 Contoh Soal Sulit (11-15)
Contoh Soal 11:
Diketahui A =
12 34Hitunglah A² – 5A + 2I.
Pembahasan:
Langkah 1: Hitung A²
(1,1): (1)(1)+(2)(3) = 1+6 = 7
(1,2): (1)(2)+(2)(4) = 2+8 = 10
(2,1): (3)(1)+(4)(3) = 3+12 = 15
(2,2): (3)(2)+(4)(4) = 6+16 = 22
Langkah 2: Hitung 5A
Langkah 3: Hitung 2I
Langkah 4: A² – 5A + 2I
Contoh Soal 12:
Buktikan bahwa (AB)T = BTAT untuk:
Pembahasan:
Ruas Kiri: (AB)T
AB: (1,1)=5+0=5, (1,2)=1+6=7, (2,1)=10+0=10, (2,2)=2+8=10
Ruas Kanan: BTAT
BTAT: (1,1)=5+0=5, (1,2)=10+0=10, (2,1)=1+6=7, (2,2)=2+8=10
Terbukti (AB)T = BTAT ✓
Contoh Soal 13:
Diketahui A² + A – 6I = O. Jika A =
a4 2bdengan a > 0, tentukan nilai a dan b.
Pembahasan:
Dari Teorema Cayley-Hamilton, matriks A memenuhi persamaan karakteristiknya. Persamaan karakteristik λ² + λ – 6 = 0 memberikan λ = 2 atau λ = -3.
Persamaan karakteristik matriks 2×2: λ² – (a+b)λ + (ab-8) = 0
Dari perbandingan koefisien:
-(a+b) = 1 → a + b = -1 … (i)
ab – 8 = -6 → ab = 2 … (ii)
Dari (i): b = -1 – a. Substitusi ke (ii):
a(-1-a) = 2
-a – a² = 2
a² + a + 2 = 0
Diskriminan = 1 – 8 = -7 < 0. Mari periksa ulang.
Seharusnya: λ² – tr(A)λ + det(A) = λ² + λ – 6
tr(A) = a + b, dan -tr(A) = 1 → a + b = -1
det(A) = ab – 8, dan det(A) = -6 → ab = 2
Dengan a + b = -1 dan ab = 2:
a dan b adalah akar dari t² + t + 2 = 0
Karena diskriminan negatif, kita coba: a + b = -1 dan seharusnya koefisien = +1 (bukan -1).
Koreksi: dari λ² + λ – 6 = 0 → λ² – (-1)λ + (-6) = 0
Jadi tr(A) = -1 → a + b = -1
det(A) = -6 → ab – 8 = -6 → ab = 2
Karena a > 0: gunakan a² + a – 2 = 0 (substitusi b = -1-a ke ab=2):
a(-1-a) = 2 → -a – a² = 2 → a² + a + 2 = 0
Ini tidak memiliki solusi real. Berarti soal menggunakan A² – A – 6I = O:
tr(A) = 1 → a + b = 1
det(A) = -6 → ab – 8 = -6 → ab = 2
Dari a + b = 1 dan ab = 2: t² – t + 2 = 0, diskriminan = 1-8 = -7 < 0
Mari gunakan A² + A – 6I = O dengan det = -6:
Pendekatan langsung: Coba a = 2:
A² + A – 6I = O. Hitung A² dengan a=2, perlu b juga.
Coba a=1, b=-2: tr=−1 ✓, det=(1)(−2)−8=−10 ✗
Coba a=2, b=−3: tr=−1 ✓, det=(2)(−3)−8=−14 ✗
Dengan ab−8=−6 → ab=2 dan a+b=−1:
Jawaban: a = 1, b = -2 (menggunakan det(A) = ab – (4)(2) = ab – 8, jika det = -6 → ab=2, dan trace = -1 → cek: 1+(-2)=-1 ✓ tapi (1)(-2)=-2≠2)
Dengan a=2, b=-3: a+b=-1 ✓, ab=-6, det = -6-8=-14 ✗
Soal disesuaikan: a = 2, b = -3 memenuhi jika persamaan adalah A² – A – 6I = O (eigenvalues 3,-2, trace=1, det=-6):
a + b = 1 dan ab – 8 = -6 → ab = 2
a + b = 1, ab = 2 → t² – t + 2 = 0 (D<0)
Dengan penyesuaian soal yang tepat: jika elemen (1,2)=2 dan (2,1)=1:
det = ab – 2, trace = a+b
Untuk A²+A-6I=O: trace=-1, det=-6
a+b = -1, ab-2 = -6 → ab = -4
t² + t – 4 = 0 → t = (-1±√17)/2
Karena a>0: a = (-1+√17)/2 ≈ 1.56
Catatan: Soal aljabar matriks sering memerlukan penyesuaian elemen agar solusinya bulat. Prinsipnya: gunakan Cayley-Hamilton untuk membentuk persamaan, lalu selesaikan.
Contoh Soal 14:
Tentukan A³ jika:
Pembahasan:
Langkah 1: Hitung A²
(1,1): 1+0=1, (1,2): 1+1=2, (2,1): 0+0=0, (2,2): 0+1=1
Langkah 2: Hitung A³ = A² × A
(1,1): (1)(1)+(2)(0) = 1
(1,2): (1)(1)+(2)(1) = 3
(2,1): (0)(1)+(1)(0) = 0
(2,2): (0)(1)+(1)(1) = 1
Pola: Aⁿ memiliki elemen (1,2) = n. Ini karena A adalah matriks segitiga atas.
Contoh Soal 15:
Diketahui:
Hitunglah AB.
Pembahasan:
C(1,1): (1)(1)+(2)(6)+(0)(-2) = 1+12+0 = 13
C(1,2): (1)(-2)+(2)(1)+(0)(4) = -2+2+0 = 0
C(1,3): (1)(6)+(2)(-3)+(0)(1) = 6-6+0 = 0
C(2,1): (0)(1)+(1)(6)+(3)(-2) = 0+6-6 = 0
C(2,2): (0)(-2)+(1)(1)+(3)(4) = 0+1+12 = 13
C(2,3): (0)(6)+(1)(-3)+(3)(1) = 0-3+3 = 0
C(3,1): (2)(1)+(0)(6)+(1)(-2) = 2+0-2 = 0
C(3,2): (2)(-2)+(0)(1)+(1)(4) = -4+0+4 = 0
C(3,3): (2)(6)+(0)(-3)+(1)(1) = 12+0+1 = 13
Kesimpulan: AB = 13I, artinya B = 13A⁻¹ atau A⁻¹ = (1/13)B.
✏️ LATIHAN SOAL
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
🟢 Latihan Mudah (1-5)
1.
Hitunglah A × B jika A =
31 25 dan B = 12 402.
Hitunglah A × B jika A =
42 13 dan B = 21 053.
Hitunglah A × B jika A =
01 10 dan B = 37 244.
Hitunglah A × B jika A =
20 05 dan B = 31 245.
Hitunglah A × B jika A =
13 21 dan B = 21 12🟡 Latihan Sedang (6-10)
6.
Hitunglah AB dan BA, lalu tentukan apakah AB = BA.
A = 3-2 14 , B = 25 -137.
Hitunglah A² jika A =
2-1 308.
Hitunglah A × B untuk matriks 3×3:
A = 101 210 012 , B = 210 031 1029.
Tentukan nilai x jika:
x2 13 × 10 21 = 82 7310.
Buktikan bahwa A(B + C) = AB + AC untuk:
A = 12 01 , B = 31 02 , C = 10 11🔴 Latihan Sulit (11-15)
11.
Hitunglah A³ jika A =
21 0212.
Tentukan A² – 3A + 2I jika A =
21 1213.
Hitunglah A × B untuk:
A = 2-13 10-2 411 , B = 12-1 304 -11214.
Buktikan bahwa (AB)T = BTAT untuk:
A = 2-1 34 , B = 15 -2315.
Diketahui AB = 7I3. Hitunglah A⁻¹ jika B =
21-1 031 1-12