Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Implikasi
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
MATERI
A. Pengertian Implikasi
Perhatikan pernyataan-pernyataan berikut:
- “Jika hari hujan, maka jalanan basah.”
- “Jika 2 + 3 = 5, maka 5 adalah bilangan ganjil.”
- “Jika seseorang rajin belajar, maka ia akan lulus ujian.”
Pernyataan-pernyataan di atas memiliki pola yang sama, yaitu menghubungkan dua pernyataan dengan kata “jika … maka …”. Dalam logika matematika, pernyataan seperti ini disebut Implikasi.
📌 Definisi Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q yang dihubungkan dengan kata hubung “jika … maka …”.
Notasi: p → q
Dibaca: “Jika p maka q“
- p disebut anteseden (sebab/hipotesis)
- q disebut konsekuen (akibat/kesimpulan)
Simbol implikasi:
Simbol “→” dibaca “maka” atau “implikasi”
B. Kapan Implikasi Bernilai Benar atau Salah?
Pertanyaan penting: Kapan pernyataan “jika p maka q” bernilai benar dan kapan bernilai salah?
Aturannya sederhana:
⚠️ Aturan Utama:
Implikasi p → q bernilai SALAH hanya jika:
p bernilai BENAR dan q bernilai SALAH
Selain itu, implikasi selalu bernilai BENAR.
Analogi: Jika seseorang berjanji “Jika hujan, saya bawa payung”, maka janji itu hanya dilanggar (salah) ketika memang hujan tetapi dia tidak bawa payung.
C. Tabel Kebenaran Implikasi
Berdasarkan aturan di atas, kita dapat menyusun tabel kebenaran implikasi secara lengkap:
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| B (Benar) | B (Benar) | B (Benar) |
| B (Benar) | S (Salah) | S (Salah) |
| S (Salah) | B (Benar) | B (Benar) |
| S (Salah) | S (Salah) | B (Benar) |
🔑 Cara Mengingat:
- Implikasi hanya SALAH pada satu kondisi: p Benar, q Salah (baris ke-2).
- Jika p salah, maka apapun nilai q, implikasi selalu BENAR (baris 3 & 4).
- Ingat: “Dari yang salah, apapun bisa dibenarkan.”
D. Pernyataan yang Berkaitan dengan Implikasi
Dari implikasi p → q, kita dapat membentuk tiga pernyataan baru:
| Nama | Notasi | Keterangan |
|---|---|---|
| Implikasi | p → q | Jika p maka q |
| Konvers | q → p | Jika q maka p |
| Invers | ~p → ~q | Jika bukan p maka bukan q |
| Kontraposisi | ~q → ~p | Jika bukan q maka bukan p |
📌 Sifat Penting:
- Implikasi ekuivalen (setara nilainya) dengan kontraposisi.
- Konvers ekuivalen dengan invers.
- Implikasi TIDAK selalu ekuivalen dengan konvers-nya.
Contoh:
Implikasi: “Jika hujan, maka jalanan basah.” (p → q)
- Konvers: “Jika jalanan basah, maka hujan.” (q → p)
- Invers: “Jika tidak hujan, maka jalanan tidak basah.” (~p → ~q)
- Kontraposisi: “Jika jalanan tidak basah, maka tidak hujan.” (~q → ~p)
E. Negasi Implikasi
Negasi (ingkaran) dari implikasi memiliki rumus khusus:
~(p → q) ≡ p ∧ ~q
Negasi dari “jika p maka q” adalah “p dan bukan q”
Contoh:
Pernyataan: “Jika Ani rajin belajar, maka Ani lulus ujian.”
Negasi: “Ani rajin belajar dan Ani tidak lulus ujian.”
Pembuktian dengan tabel kebenaran:
| p | q | p → q | ~(p → q) | ~q | p ∧ ~q |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | S |
| B | S | S | B | B | B |
| S | B | B | S | S | S |
| S | S | B | S | B | S |
Kolom ~(p → q) dan p ∧ ~q nilainya sama → terbukti ekuivalen.
F. Ekuivalensi Implikasi dengan Disjungsi
Implikasi dapat dinyatakan dalam bentuk disjungsi:
p → q ≡ ~p ∨ q
“Jika p maka q” setara dengan “bukan p atau q”
Ini sangat berguna untuk menyederhanakan atau mengubah bentuk pernyataan logika.
| p | q | ~p | ~p ∨ q | p → q |
|---|---|---|---|---|
| B | B | S | B | B |
| B | S | S | S | S |
| S | B | B | B | B |
| S | S | B | B | B |
Kolom ~p ∨ q dan p → q nilainya sama di setiap baris → terbukti ekuivalen.
📋 Ringkasan Rumus Implikasi
| Keterangan | Rumus/Notasi |
|---|---|
| Implikasi | p → q |
| Konvers | q → p |
| Invers | ~p → ~q |
| Kontraposisi | ~q → ~p |
| Negasi Implikasi | ~(p → q) ≡ p ∧ ~q |
| Ekuivalensi dengan Disjungsi | p → q ≡ ~p ∨ q |
| Implikasi SALAH jika | p Benar dan q Salah |
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1:
Diketahui p: “2 + 3 = 5” (Benar) dan q: “5 adalah bilangan prima” (Benar). Tentukan nilai kebenaran p → q.
Pembahasan
p bernilai Benar, q bernilai Benar.
Berdasarkan tabel kebenaran: Jika p = B dan q = B, maka p → q = B (Benar).
Contoh 2:
Diketahui p: “4 > 2” (Benar) dan q: “3 + 1 = 6” (Salah). Tentukan nilai kebenaran p → q.
Pembahasan
p bernilai Benar, q bernilai Salah.
Berdasarkan tabel kebenaran: Jika p = B dan q = S, maka p → q = S (Salah).
Ingat: Ini satu-satunya kondisi yang membuat implikasi salah.
Contoh 3:
Diketahui p: “1 + 1 = 3” (Salah) dan q: “Bumi itu bulat” (Benar). Tentukan nilai kebenaran p → q.
Pembahasan
p bernilai Salah, q bernilai Benar.
Jika p = S, maka apapun nilai q, implikasi selalu B (Benar).
Contoh 4:
Tentukan konvers dari pernyataan: “Jika x bilangan genap, maka x habis dibagi 2.”
Pembahasan
Implikasi: p → q, yaitu “Jika x bilangan genap, maka x habis dibagi 2.”
Konvers: q → p, yaitu “Jika x habis dibagi 2, maka x bilangan genap.”
Contoh 5:
Tentukan negasi dari pernyataan: “Jika hari cerah, maka kami pergi piknik.”
Pembahasan
Rumus: ~(p → q) ≡ p ∧ ~q
p: “Hari cerah”, q: “Kami pergi piknik”
Negasi: “Hari cerah dan kami tidak pergi piknik.”
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 6:
Tentukan kontraposisi dari: “Jika suatu bilangan habis dibagi 6, maka bilangan itu habis dibagi 3.” Apakah kontraposisi tersebut bernilai benar?
Pembahasan
Implikasi: p → q
p: “bilangan habis dibagi 6”, q: “bilangan habis dibagi 3”
Kontraposisi (~q → ~p): “Jika suatu bilangan tidak habis dibagi 3, maka bilangan itu tidak habis dibagi 6.”
Karena implikasi asli bernilai benar (setiap kelipatan 6 pasti kelipatan 3), maka kontraposisinya juga Benar (keduanya ekuivalen).
Contoh 7:
Diketahui pernyataan: “Jika x² = 9, maka x = 3.” Tentukan nilai kebenaran pernyataan tersebut.
Pembahasan
p: “x² = 9” → Benar (ada nilai x yang memenuhi)
q: “x = 3” → Tidak selalu benar, karena x juga bisa = -3.
Karena terdapat kasus p Benar (x = -3 memenuhi x² = 9) tetapi q Salah (x ≠ 3), maka implikasi Salah.
Contoh 8:
Nyatakan implikasi berikut dalam bentuk disjungsi: “Jika n > 5, maka n > 3.”
Pembahasan
Rumus: p → q ≡ ~p ∨ q
p: “n > 5”, ~p: “n ≤ 5”, q: “n > 3”
Bentuk disjungsi: “n ≤ 5 atau n > 3”
Ini selalu benar (tautologi), karena setiap bilangan pasti memenuhi salah satu.
Contoh 9:
Tentukan invers dari: “Jika segitiga sama sisi, maka ketiga sisinya sama panjang.” Apakah invers tersebut bernilai benar?
Pembahasan
Implikasi: p → q
Invers (~p → ~q): “Jika segitiga bukan sama sisi, maka ketiga sisinya tidak sama panjang.”
Ini Benar, karena jika segitiga bukan sama sisi maka memang tidak semua sisinya sama panjang (definisi).
Catatan: Invers ekuivalen dengan konvers. Konversnya (“Jika ketiga sisi sama panjang, maka segitiga sama sisi”) juga Benar.
Contoh 10:
Buatlah tabel kebenaran untuk (p → q) ∧ (q → p) dan tunjukkan bahwa ini setara dengan biimplikasi.
Pembahasan
| p | q | p→q | q→p | (p→q)∧(q→p) | p↔q |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B | B |
| B | S | S | B | S | S |
| S | B | B | S | S | S |
| S | S | B | B | B | B |
Kolom (p→q)∧(q→p) dan p↔q nilainya sama → terbukti ekuivalen.
Jadi: (p → q) ∧ (q → p) ≡ p ↔ q
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 11:
Buktikan bahwa (p → q) ∧ (p → r) ≡ p → (q ∧ r) menggunakan tabel kebenaran.
Pembahasan
| p | q | r | p→q | p→r | (p→q)∧(p→r) | q∧r | p→(q∧r) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B | B | B | B |
| B | B | S | B | S | S | S | S |
| B | S | B | S | B | S | S | S |
| B | S | S | S | S | S | S | S |
| S | B | B | B | B | B | B | B |
| S | B | S | B | B | B | S | B |
| S | S | B | B | B | B | S | B |
| S | S | S | B | B | B | S | B |
Kolom ke-6 dan ke-8 nilainya sama di setiap baris → terbukti ekuivalen.
Contoh 12:
Diketahui pernyataan: “Jika x² − 5x + 6 = 0, maka x = 2.” Tentukan nilai kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisinya.
Pembahasan
Faktorisasi: x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3) = 0, sehingga x = 2 atau x = 3.
Implikasi (p → q): “Jika x²−5x+6=0, maka x=2.”
Ambil x=3: p Benar (3²−5(3)+6=0) tetapi q Salah (3≠2). Jadi implikasi Salah.
Konvers (q → p): “Jika x=2, maka x²−5x+6=0.”
Jika x=2: 4−10+6=0 ✓. Jadi konvers Benar.
Invers (~p → ~q): “Jika x²−5x+6≠0, maka x≠2.”
Invers ekuivalen dengan konvers → Benar.
Kontraposisi (~q → ~p): “Jika x≠2, maka x²−5x+6≠0.”
Ambil x=3: 3≠2 (benar) tetapi 9−15+6=0 (salah). Kontraposisi Salah.
(Perhatikan: Implikasi dan kontraposisi sama-sama Salah, konvers dan invers sama-sama Benar.)
Contoh 13:
Tentukan nilai kebenaran: [(p → q) ∧ p] → q. Apakah ini tautologi?
Pembahasan
Ini adalah hukum Modus Ponens. Kita buktikan dengan tabel:
| p | q | p→q | (p→q)∧p | [(p→q)∧p]→q |
|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B |
| B | S | S | S | B |
| S | B | B | S | B |
| S | S | B | S | B |
Kolom terakhir selalu Benar → Tautologi (terbukti).
Ini membuktikan bahwa Modus Ponens adalah penarikan kesimpulan yang sah.
Contoh 14:
Sederhanakan: ~(p → q) ∨ (p → q) dan tentukan apakah hasilnya tautologi, kontradiksi, atau kontingensi.
Pembahasan
Misalkan r = p → q
Maka ekspresi menjadi: ~r ∨ r
Berdasarkan hukum logika: ~r ∨ r selalu Benar (Hukum Tertium Non Datur / Excluded Middle)
Jadi: ~(p → q) ∨ (p → q) adalah Tautologi.
Verifikasi: Untuk sembarang proposisi A, berlaku ~A ∨ A ≡ T (benar).
Contoh 15:
Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1: p → q
Premis 2: q → r
Premis 3: ~r
Tentukan kesimpulan yang sah dan jelaskan aturan penarikan kesimpulan yang digunakan.
Pembahasan
Langkah 1: Dari Premis 2 (q → r) dan Premis 3 (~r), gunakan Modus Tollens:
q → r, ~r ∴ ~q
Langkah 2: Dari Premis 1 (p → q) dan hasil Langkah 1 (~q), gunakan Modus Tollens lagi:
p → q, ~q ∴ ~p
Kesimpulan: ~p (bukan p)
Alternatif: Dari Premis 1 dan 2, gunakan Silogisme Hipotetik: p → q, q → r ∴ p → r. Lalu dari p → r dan ~r, gunakan Modus Tollens → ~p.
LATIHAN SOAL
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan contoh soal di atas.
🟢 Tingkat Mudah
1.
Diketahui p: “6 adalah bilangan genap” (Benar) dan q: “6 > 4” (Benar). Tentukan nilai kebenaran p → q.
2.
Diketahui p: “5 > 10” (Salah) dan q: “2 + 2 = 5” (Salah). Tentukan nilai kebenaran p → q.
3.
Tentukan konvers dari: “Jika suatu bilangan habis dibagi 4, maka bilangan itu genap.”
4.
Tentukan negasi dari: “Jika Budi lulus ujian, maka Budi mendapat hadiah.”
5.
Nyatakan implikasi berikut dalam bentuk disjungsi: “Jika x = 3, maka x + 2 = 5.”
🟡 Tingkat Sedang
6.
Tentukan kontraposisi dari: “Jika suatu bilangan habis dibagi 10, maka bilangan itu habis dibagi 5.” Apakah kontraposisi tersebut benar?
7.
Diketahui: “Jika x² = 16, maka x = 4.” Tentukan nilai kebenaran implikasi dan konversnya.
8.
Tentukan invers dari: “Jika suatu segitiga siku-siku, maka berlaku teorema Pythagoras.” Tentukan pula nilai kebenarannya.
9.
Buktikan dengan tabel kebenaran bahwa p → q ≡ ~p ∨ q.
10.
Tentukan nilai kebenaran pernyataan: “Jika 7 bilangan prima, maka 7 bilangan ganjil.” Kemudian tentukan negasinya dan nilai kebenaran negasi tersebut.
🔴 Tingkat Sulit
11.
Buktikan bahwa [(p → q) ∧ ~q] → ~p adalah tautologi (Modus Tollens).
12.
Diketahui premis: (1) p → q, (2) q → r, (3) p. Tentukan kesimpulan yang sah dan sebutkan aturan yang digunakan pada setiap langkah.
13.
Tentukan apakah (p → q) → [(p ∧ r) → (q ∧ r)] merupakan tautologi, kontradiksi, atau kontingensi. Buktikan!
14.
Sederhanakan ~(~p → q) ∨ (p ∧ q) menggunakan hukum-hukum logika dan tentukan jenis pernyataan majemuknya.
15.
Diketahui:
Premis 1: ~p → q
Premis 2: q → (r ∧ s)
Premis 3: ~r
Tentukan kesimpulan yang sah. Tuliskan setiap langkah beserta aturan penarikan kesimpulan yang digunakan.