Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Konvers, Invers, dan Kontrapositif
Pendahuluan
Dalam logika matematika, jika kita memiliki suatu implikasi (pernyataan bersyarat), maka dari implikasi tersebut dapat dibentuk tiga pernyataan baru, yaitu:
- Konvers (kebalikan)
- Invers (ingkaran/negasi)
- Kontrapositif (lawan kebalikan)
Ketiga bentuk ini sangat penting untuk memahami hubungan antar pernyataan dan pembuktian dalam matematika.
Pengingat: Implikasi
Implikasi adalah pernyataan majemuk berbentuk:
Dibaca: “Jika p maka q”
- p disebut anteseden (hipotesis/sebab)
- q disebut konsekuen (konklusi/akibat)
A. Konvers (Kebalikan)
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan pernyataan berikut:
“Jika hari hujan, maka jalanan basah.”
Sekarang balikkan urutan pernyataannya:
“Jika jalanan basah, maka hari hujan.”
Apakah kedua pernyataan tersebut selalu memiliki nilai kebenaran yang sama? Pikirkan: jalanan bisa basah karena disiram air, bukan hanya karena hujan.
Definisi
Konvers dari implikasi p → q adalah:
Artinya, konvers diperoleh dengan menukar posisi anteseden dan konsekuen.
❓ Kegiatan: Menanya
Pertanyaan untuk direnungkan:
- Apakah konvers dari suatu implikasi yang benar selalu bernilai benar juga?
- Kapan konvers bernilai benar dan kapan bernilai salah?
Tabel Kebenaran
Perhatikan perbandingan nilai kebenaran implikasi dan konversnya:
| p | q | p → q | q → p (Konvers) |
|---|---|---|---|
| B | B | B | B |
| B | S | S | B |
| S | B | B | S |
| S | S | B | B |
🧠 Kegiatan: Menalar
Dari tabel kebenaran di atas, kita dapat menyimpulkan:
- Implikasi dan konversnya TIDAK selalu memiliki nilai kebenaran yang sama.
- Pada baris ke-2 dan ke-3, nilai kebenaran keduanya berbeda.
- Oleh karena itu, implikasi dan konversnya bukan merupakan pernyataan yang ekuivalen.
Contoh Penerapan
Implikasi: Jika suatu bilangan habis dibagi 4, maka bilangan itu habis dibagi 2.
Konvers: Jika suatu bilangan habis dibagi 2, maka bilangan itu habis dibagi 4.
Analisis: Implikasi bernilai benar, tetapi konversnya bernilai salah (contoh: 6 habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 4).
✋ Kegiatan: Mencoba
Tentukan konvers dari pernyataan berikut, lalu tentukan nilai kebenarannya:
- “Jika x = 3, maka x² = 9.”
- “Jika segitiga sama sisi, maka ketiga sisinya sama panjang.”
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan dengan kata-kata sendiri mengapa konvers dari suatu implikasi yang benar tidak selalu bernilai benar. Berikan contoh dalam kehidupan sehari-hari.
B. Invers (Ingkaran)
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan pernyataan:
“Jika hari hujan, maka jalanan basah.”
Sekarang negasikan (ingkari) kedua bagiannya:
“Jika hari tidak hujan, maka jalanan tidak basah.”
Amati: apakah pernyataan kedua selalu benar? Jalanan bisa tidak basah meskipun tidak hujan, tetapi bisa juga basah karena alasan lain.
Definisi
Invers dari implikasi p → q adalah:
Artinya, invers diperoleh dengan menegasikan (mengingkari) anteseden dan konsekuen tanpa menukar posisinya.
Simbol ~ (tilde) atau ¬ dibaca “tidak” atau “bukan” atau “negasi dari”.
❓ Kegiatan: Menanya
Pertanyaan:
- Apa hubungan nilai kebenaran invers dengan implikasi aslinya?
- Apakah invers ekuivalen dengan konvers?
Tabel Kebenaran
| p | q | p → q | ~p → ~q (Invers) |
|---|---|---|---|
| B | B | B | B |
| B | S | S | B |
| S | B | B | S |
| S | S | B | B |
🧠 Kegiatan: Menalar
Kesimpulan penting:
- Invers dan implikasi asli TIDAK selalu bernilai sama (bukan ekuivalen).
- Namun, invers ekuivalen dengan konvers (bandingkan kolom terakhir tabel konvers dan invers — nilainya sama!).
Contoh Penerapan
Implikasi: Jika suatu bilangan genap, maka bilangan itu habis dibagi 2.
Invers: Jika suatu bilangan tidak genap (ganjil), maka bilangan itu tidak habis dibagi 2.
Analisis: Implikasi bernilai benar, dan inversnya juga bernilai benar (dalam kasus ini kebetulan benar, tetapi tidak selalu demikian).
✋ Kegiatan: Mencoba
Tentukan invers dari pernyataan berikut:
- “Jika x > 5, maka x > 3.”
- “Jika bangun datar memiliki 4 sisi sama panjang dan 4 sudut siku-siku, maka bangun itu persegi.”
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman: Mengapa invers ekuivalen dengan konvers? Gunakan tabel kebenaran untuk menjelaskan argumenmu.
C. Kontrapositif (Lawan Kebalikan)
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan pernyataan:
“Jika hari hujan, maka jalanan basah.”
Sekarang balik dan negasikan keduanya:
“Jika jalanan tidak basah, maka hari tidak hujan.”
Pikirkan: apakah pernyataan kedua ini selalu benar jika pernyataan pertama benar?
Definisi
Kontrapositif dari implikasi p → q adalah:
Artinya, kontrapositif diperoleh dengan menukar posisi anteseden dan konsekuen, kemudian menegasikan keduanya.
❓ Kegiatan: Menanya
Pertanyaan kunci:
- Apakah kontrapositif selalu memiliki nilai kebenaran yang sama dengan implikasi aslinya?
- Mengapa kontrapositif sering digunakan dalam pembuktian matematika?
Tabel Kebenaran
| p | q | p → q | ~q → ~p (Kontrapositif) |
|---|---|---|---|
| B | B | B | B |
| B | S | S | S |
| S | B | B | B |
| S | S | B | B |
🧠 Kegiatan: Menalar
Kesimpulan sangat penting:
- Kontrapositif SELALU ekuivalen dengan implikasi aslinya.
- Nilai kebenaran keduanya selalu sama di setiap baris tabel kebenaran.
- Ini berarti: untuk membuktikan p → q, kita bisa membuktikan ~q → ~p (sering lebih mudah!).
Contoh Penerapan
Implikasi: Jika n² genap, maka n genap.
Kontrapositif: Jika n tidak genap (ganjil), maka n² tidak genap (ganjil).
Analisis: Kedua pernyataan bernilai benar. Membuktikan kontrapositifnya lebih mudah: jika n ganjil maka n = 2k+1, sehingga n² = 4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1 yang juga ganjil. ✓
✋ Kegiatan: Mencoba
Tentukan kontrapositif dari pernyataan berikut:
- “Jika x² = 25, maka x = 5 atau x = -5.”
- “Jika segitiga siku-siku, maka berlaku teorema Pythagoras.”
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Presentasikan di depan kelas: Mengapa pembuktian dengan kontrapositif sah secara logika? Gunakan tabel kebenaran sebagai bukti.
Ringkasan
| Bentuk | Notasi | Cara Membentuk | Ekuivalen dengan |
|---|---|---|---|
| Implikasi | p → q | — | Kontrapositif |
| Konvers | q → p | Tukar posisi | Invers |
| Invers | ~p → ~q | Negasi keduanya | Konvers |
| Kontrapositif | ~q → ~p | Tukar + negasi | Implikasi |
⚠️ Hal Penting untuk Diingat:
- Implikasi ≡ Kontrapositif (selalu ekuivalen)
- Konvers ≡ Invers (selalu ekuivalen)
- Implikasi ≢ Konvers (tidak selalu ekuivalen)
- Implikasi ≢ Invers (tidak selalu ekuivalen)
Contoh Soal: Konvers
Mudah
1. Tentukan konvers dari: “Jika x = 2, maka x + 3 = 5.”
Pembahasan:
p: x = 2, q: x + 3 = 5
Konvers (q → p): “Jika x + 3 = 5, maka x = 2.”
Nilai kebenaran: Benar (karena x + 3 = 5 menghasilkan x = 2).
2. Tentukan konvers dari: “Jika suatu bilangan habis dibagi 6, maka bilangan itu habis dibagi 3.”
Pembahasan:
p: bilangan habis dibagi 6, q: bilangan habis dibagi 3
Konvers: “Jika suatu bilangan habis dibagi 3, maka bilangan itu habis dibagi 6.”
Nilai kebenaran: Salah (contoh penyangkal: 9 habis dibagi 3 tapi tidak habis dibagi 6).
3. Tentukan konvers dari: “Jika hewan itu kucing, maka hewan itu berkaki empat.”
Pembahasan:
Konvers: “Jika hewan itu berkaki empat, maka hewan itu kucing.”
Nilai kebenaran: Salah (anjing juga berkaki empat tapi bukan kucing).
4. Tentukan konvers dari: “Jika 2x = 10, maka x = 5.”
Pembahasan:
Konvers: “Jika x = 5, maka 2x = 10.”
Nilai kebenaran: Benar (2 × 5 = 10). ✓
5. Tentukan konvers dari: “Jika segitiga ABC sama sisi, maka semua sudutnya 60°.”
Pembahasan:
Konvers: “Jika semua sudut segitiga ABC 60°, maka segitiga ABC sama sisi.”
Nilai kebenaran: Benar (segitiga dengan semua sudut 60° pasti sama sisi).
Sedang
1. Diketahui implikasi: “Jika x² = 9, maka x = 3 atau x = -3.” Tentukan konvers dan nilai kebenarannya.
Pembahasan:
Konvers: “Jika x = 3 atau x = -3, maka x² = 9.”
Periksa: Jika x = 3, maka x² = 9. ✓. Jika x = -3, maka x² = 9. ✓.
Nilai kebenaran konvers: Benar.
2. Tentukan konvers dari: “Jika suatu bilangan habis dibagi 4, maka bilangan itu genap.” Tentukan nilai kebenarannya.
Pembahasan:
Konvers: “Jika suatu bilangan genap, maka bilangan itu habis dibagi 4.”
Periksa: 6 genap tapi 6 ÷ 4 = 1 sisa 2. Jadi konvers Salah.
3. Tentukan konvers dari: “Jika f(x) = x² dan x = -2, maka f(-2) = 4.”
Pembahasan:
p: f(x) = x² dan x = -2, q: f(-2) = 4
Konvers: “Jika f(-2) = 4, maka f(x) = x² dan x = -2.”
Nilai kebenaran: Salah (f(x) bisa = -x² + 8 yang juga menghasilkan f(-2) = 4).
4. Tentukan konvers dari: “Jika dua garis sejajar dipotong garis transversal, maka sudut-sudut sehadap sama besar.”
Pembahasan:
Konvers: “Jika sudut-sudut sehadap sama besar, maka dua garis tersebut sejajar.”
Nilai kebenaran: Benar (ini merupakan postulat/aksioma dalam geometri Euclid).
5. Tentukan konvers dari: “Jika |x| > 3, maka x > 3 atau x < -3.”
Pembahasan:
Konvers: “Jika x > 3 atau x < -3, maka |x| > 3.”
Periksa: Jika x > 3, maka |x| = x > 3. ✓. Jika x < -3, maka |x| = -x > 3. ✓.
Nilai kebenaran: Benar.
Sulit
1. Diketahui p: “n² – 1 habis dibagi 8” dan q: “n ganjil”. Jika implikasi q → p benar, tentukan konversnya dan selidiki nilai kebenarannya.
Pembahasan:
Implikasi: “Jika n ganjil, maka n² – 1 habis dibagi 8.” (Benar, karena n = 2k+1, n²-1 = 4k²+4k = 4k(k+1), salah satu dari k atau k+1 genap, sehingga hasilnya habis dibagi 8.)
Konvers: “Jika n² – 1 habis dibagi 8, maka n ganjil.”
Periksa: Jika n genap, misal n = 4, maka n² – 1 = 15, dan 15 ÷ 8 = 1 sisa 7. Tidak habis dibagi 8.
Jika n genap lain, n = 2, n²-1 = 3, tidak habis dibagi 8. Sehingga n²-1 habis dibagi 8 hanya jika n ganjil.
Nilai kebenaran konvers: Benar.
2. Tentukan konvers dari: “Jika f kontinu di [a,b], maka f terintegralkan di [a,b].” Selidiki nilai kebenarannya.
Pembahasan:
Konvers: “Jika f terintegralkan di [a,b], maka f kontinu di [a,b].”
Nilai kebenaran: Salah. Contoh penyangkal: fungsi tangga (step function) terintegralkan tetapi tidak kontinu di titik-titik lompatannya.
3. Tentukan konvers: “Jika barisan {aₙ} konvergen, maka lim(aₙ₊₁ – aₙ) = 0.”
Pembahasan:
Konvers: “Jika lim(aₙ₊₁ – aₙ) = 0, maka barisan {aₙ} konvergen.”
Nilai kebenaran: Salah. Contoh penyangkal: aₙ = ln(n). Maka aₙ₊₁ – aₙ = ln(n+1) – ln(n) = ln(1 + 1/n) → 0, tetapi ln(n) → ∞ (divergen).
4. Tentukan konvers: “Jika A ⊂ B dan B ⊂ C, maka A ⊂ C.”
Pembahasan:
Konvers: “Jika A ⊂ C, maka A ⊂ B dan B ⊂ C.”
Nilai kebenaran: Salah. Contoh: A = {1}, B = {2,3}, C = {1,2,3}. A ⊂ C benar, tapi A ⊄ B.
5. Tentukan konvers: “Jika p bilangan prima dan p > 2, maka p ganjil.”
Pembahasan:
Konvers: “Jika p ganjil, maka p bilangan prima dan p > 2.”
Nilai kebenaran: Salah. Contoh penyangkal: 9 ganjil tetapi 9 = 3 × 3 bukan prima.
Contoh Soal: Invers
Mudah
1. Tentukan invers dari: “Jika x = 4, maka x² = 16.”
Pembahasan:
Invers (~p → ~q): “Jika x ≠ 4, maka x² ≠ 16.”
Nilai kebenaran: Salah (x = -4, maka x² = 16).
2. Tentukan invers dari: “Jika hari Minggu, maka tidak sekolah.”
Pembahasan:
Invers: “Jika bukan hari Minggu, maka sekolah.”
Nilai kebenaran: Tidak selalu benar (hari libur nasional juga tidak sekolah).
3. Tentukan invers dari: “Jika 3x = 12, maka x = 4.”
Pembahasan:
Invers: “Jika 3x ≠ 12, maka x ≠ 4.”
Nilai kebenaran: Benar (jika 3x ≠ 12 artinya x ≠ 4).
4. Tentukan invers dari: “Jika suatu bangun persegi, maka keempat sisinya sama panjang.”
Pembahasan:
Invers: “Jika suatu bangun bukan persegi, maka tidak semua sisinya sama panjang.”
Nilai kebenaran: Salah (belah ketupat bukan persegi tapi keempat sisinya sama panjang).
5. Tentukan invers dari: “Jika lampu menyala, maka ada aliran listrik.”
Pembahasan:
Invers: “Jika lampu tidak menyala, maka tidak ada aliran listrik.”
Nilai kebenaran: Tidak selalu benar (lampu bisa rusak meskipun ada listrik).
Sedang
1. Tentukan invers dari: “Jika x² – 5x + 6 = 0, maka x = 2 atau x = 3.”
Pembahasan:
Invers: “Jika x² – 5x + 6 ≠ 0, maka x ≠ 2 dan x ≠ 3.”
Catatan: negasi dari “x = 2 atau x = 3” adalah “x ≠ 2 dan x ≠ 3” (hukum De Morgan).
Nilai kebenaran: Benar (jika x = 2 atau x = 3, maka x²-5x+6 = 0, sehingga kontrapositifnya benar, dan invers ekuivalen konvers).
2. Tentukan invers dari: “Jika sudut A dan sudut B saling berpelurus, maka A + B = 180°.”
Pembahasan:
Invers: “Jika sudut A dan sudut B tidak saling berpelurus, maka A + B ≠ 180°.”
Nilai kebenaran: Benar (definisi berpelurus adalah jumlahnya 180°, jadi keduanya saling terkait).
3. Tentukan invers: “Jika f(x) = x³, maka f(-x) = -f(x).”
Pembahasan:
Invers: “Jika f(x) ≠ x³, maka belum tentu f(-x) = -f(x).”
Lebih tepatnya: “Jika f(x) ≠ x³, maka f(-x) ≠ -f(x).”
Nilai kebenaran: Salah (f(x) = x juga memenuhi f(-x) = -f(x), tapi f(x) ≠ x³).
4. Tentukan invers: “Jika ABCD adalah persegi panjang, maka diagonal AC = diagonal BD.”
Pembahasan:
Invers: “Jika ABCD bukan persegi panjang, maka diagonal AC ≠ diagonal BD.”
Nilai kebenaran: Salah (persegi juga punya diagonal sama panjang, dan persegi bisa dianggap bukan “hanya” persegi panjang dalam konteks tertentu. Lebih jelas: trapesium sama kaki juga memiliki diagonal sama panjang).
5. Tentukan invers: “Jika n habis dibagi 2 dan n habis dibagi 3, maka n habis dibagi 6.”
Pembahasan:
Invers: “Jika n tidak habis dibagi 2 atau n tidak habis dibagi 3, maka n tidak habis dibagi 6.”
(Negasi konjungsi menggunakan hukum De Morgan: ~(A∧B) = ~A∨~B)
Nilai kebenaran: Benar (jika n habis dibagi 6, maka n pasti habis dibagi 2 DAN 3).
Sulit
1. Tentukan invers: “Jika fungsi f diferensiabel di titik a, maka f kontinu di titik a.”
Pembahasan:
Invers: “Jika f tidak diferensiabel di titik a, maka f tidak kontinu di titik a.”
Nilai kebenaran: Salah. Contoh: f(x) = |x| tidak diferensiabel di x = 0 tetapi kontinu di x = 0.
2. Tentukan invers: “Jika semua elemen himpunan A ada di B dan semua elemen B ada di A, maka A = B.”
Pembahasan:
Invers: “Jika ada elemen A yang tidak di B atau ada elemen B yang tidak di A, maka A ≠ B.”
Nilai kebenaran: Benar (jika terdapat perbedaan elemen, maka himpunannya tidak sama).
3. Tentukan invers: “Jika deret ∑aₙ konvergen, maka lim aₙ = 0.”
Pembahasan:
Invers: “Jika deret ∑aₙ tidak konvergen (divergen), maka lim aₙ ≠ 0.”
Nilai kebenaran: Salah. Contoh: deret harmonik ∑(1/n) divergen, tetapi lim(1/n) = 0.
4. Tentukan invers: “Jika matriks A invertible, maka det(A) ≠ 0.”
Pembahasan:
Invers: “Jika matriks A tidak invertible (singular), maka det(A) = 0.”
Nilai kebenaran: Benar (definisi matriks singular adalah determinannya nol).
5. Tentukan invers: “Jika G grup dan H subgrup G dengan |G:H| = 2, maka H normal di G.”
Pembahasan:
Invers: “Jika G grup dan H subgrup G dengan |G:H| ≠ 2, maka H tidak normal di G.”
Nilai kebenaran: Salah. Contoh: {e} adalah subgrup normal di setiap grup, meskipun indeksnya bisa ≠ 2.
Contoh Soal: Kontrapositif
Mudah
1. Tentukan kontrapositif dari: “Jika x = 3, maka x + 2 = 5.”
Pembahasan:
Kontrapositif (~q → ~p): “Jika x + 2 ≠ 5, maka x ≠ 3.”
Nilai kebenaran: Benar (ekuivalen dengan implikasi asli yang benar).
2. Tentukan kontrapositif dari: “Jika hari hujan, maka saya membawa payung.”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika saya tidak membawa payung, maka hari tidak hujan.”
3. Tentukan kontrapositif dari: “Jika n habis dibagi 10, maka n habis dibagi 5.”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika n tidak habis dibagi 5, maka n tidak habis dibagi 10.”
Nilai kebenaran: Benar (ekuivalen dengan implikasi asli).
4. Tentukan kontrapositif dari: “Jika bangun itu lingkaran, maka tidak memiliki sudut.”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika bangun itu memiliki sudut, maka bukan lingkaran.”
Nilai kebenaran: Benar.
5. Tentukan kontrapositif dari: “Jika air dipanaskan hingga 100°C, maka air mendidih.”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika air tidak mendidih, maka air tidak dipanaskan hingga 100°C.”
Nilai kebenaran: Benar (pada tekanan standar).
Sedang
1. Tentukan kontrapositif dari: “Jika x² – 4 = 0, maka x = 2 atau x = -2.”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika x ≠ 2 dan x ≠ -2, maka x² – 4 ≠ 0.”
(Negasi “x = 2 atau x = -2” adalah “x ≠ 2 dan x ≠ -2”)
Nilai kebenaran: Benar.
2. Tentukan kontrapositif dari: “Jika segitiga ABC siku-siku di C, maka AB² = AC² + BC².”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika AB² ≠ AC² + BC², maka segitiga ABC tidak siku-siku di C.”
Nilai kebenaran: Benar (ekuivalen Pythagoras).
3. Tentukan kontrapositif: “Jika f(x) = 0 dan g(x) = 0, maka f(x) + g(x) = 0.”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika f(x) + g(x) ≠ 0, maka f(x) ≠ 0 atau g(x) ≠ 0.”
Nilai kebenaran: Benar.
4. Tentukan kontrapositif: “Jika sin²θ + cos²θ = 1, maka θ bilangan real.”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika θ bukan bilangan real, maka sin²θ + cos²θ ≠ 1.”
Catatan: Implikasi asli sebenarnya bernilai benar untuk semua θ real, kontrapositifnya juga benar secara logis.
5. Tentukan kontrapositif: “Jika a × b = 0, maka a = 0 atau b = 0.”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika a ≠ 0 dan b ≠ 0, maka a × b ≠ 0.”
Nilai kebenaran: Benar (sifat bilangan real: hasil kali dua bilangan tak nol selalu tak nol).
Sulit
1. Buktikan dengan kontrapositif: “Jika n² genap, maka n genap.”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika n ganjil, maka n² ganjil.”
Bukti: Misalkan n ganjil, maka n = 2k + 1 untuk suatu k bilangan bulat.
n² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1
Karena 2k²+2k bilangan bulat, maka n² berbentuk 2m + 1 (ganjil). ✓
Karena kontrapositif terbukti benar, maka implikasi aslinya juga benar.
2. Buktikan dengan kontrapositif: “Jika a + b ≥ 2, maka a ≥ 1 atau b ≥ 1.”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika a < 1 dan b < 1, maka a + b < 2.”
Bukti: Jika a < 1 dan b < 1, maka a + b < 1 + 1 = 2. ✓
Kontrapositif terbukti, sehingga pernyataan asli benar.
3. Buktikan dengan kontrapositif: “Jika 3n + 2 genap, maka n genap.”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika n ganjil, maka 3n + 2 ganjil.”
Bukti: Misalkan n = 2k + 1.
3n + 2 = 3(2k+1) + 2 = 6k + 3 + 2 = 6k + 5 = 2(3k+2) + 1
Ini berbentuk 2m + 1, jadi ganjil. ✓
4. Buktikan dengan kontrapositif: “Jika n² + n habis dibagi 2, maka n bilangan bulat.”
Pembahasan:
Perhatikan: n² + n = n(n+1) adalah perkalian dua bilangan berurutan.
Kontrapositif: “Jika n bukan bilangan bulat, maka n² + n tidak habis dibagi 2.”
Bukti: Misalkan n = 1.5 (bukan bulat), maka n² + n = 2.25 + 1.5 = 3.75 yang bukan bilangan bulat, sehingga tidak dapat dikatakan habis dibagi 2 dalam pengertian bilangan bulat. ✓
5. Buktikan dengan kontrapositif: “Jika ab habis dibagi p (p prima), maka a habis dibagi p atau b habis dibagi p.”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika a tidak habis dibagi p dan b tidak habis dibagi p, maka ab tidak habis dibagi p.”
Bukti: Karena p prima dan p∤a, maka GCD(a,p) = 1. Menurut Lema Euclid, karena GCD(a,p) = 1, maka p | b diperlukan agar p | ab. Tapi kita asumsikan p∤b juga. Karena GCD(a,p) = 1 dan GCD(b,p) = 1, maka GCD(ab, p) = 1, sehingga p∤ab. ✓
Latihan Soal: Konvers
Tentukan konvers dari setiap pernyataan berikut dan selidiki nilai kebenarannya.
Mudah
- “Jika x = 7, maka 2x = 14.”
- “Jika suatu bilangan habis dibagi 10, maka bilangan itu habis dibagi 2.”
- “Jika hewan itu ikan, maka hewan itu hidup di air.”
- “Jika segitiga sama kaki, maka dua sudut alasnya sama besar.”
- “Jika a > 0 dan b > 0, maka a + b > 0.”
Sedang
- “Jika x² = 16, maka x = 4 atau x = -4.”
- “Jika ABCD persegi, maka ABCD persegi panjang.”
- “Jika f(x) = x² + 1, maka f(x) > 0 untuk semua x real.”
- “Jika dua vektor tegak lurus, maka hasil kali titiknya nol.”
- “Jika log x terdefinisi, maka x > 0.”
Sulit
- “Jika f kontinu di [a,b] dan f(a)·f(b) < 0, maka terdapat c ∈ (a,b) dengan f(c) = 0.”
- “Jika matriks A dan B invertible, maka AB invertible.”
- “Jika p prima dan p ≡ 1 (mod 4), maka p dapat ditulis sebagai jumlah dua kuadrat.”
- “Jika graf G terhubung dan memiliki n simpul serta n-1 sisi, maka G adalah pohon.”
- “Jika ∑|aₙ| konvergen, maka ∑aₙ konvergen.”
Latihan Soal: Invers
Tentukan invers dari setiap pernyataan berikut dan selidiki nilai kebenarannya.
Mudah
- “Jika x = 5, maka x² = 25.”
- “Jika hari panas, maka es krim mencair.”
- “Jika 4x = 20, maka x = 5.”
- “Jika suatu bangun segitiga, maka jumlah sudutnya 180°.”
- “Jika lampu hijau menyala, maka kendaraan boleh jalan.”
Sedang
- “Jika x² + x – 6 = 0, maka x = 2 atau x = -3.”
- “Jika ABCD belah ketupat, maka diagonalnya saling tegak lurus.”
- “Jika n genap dan n > 2, maka n bukan prima.”
- “Jika |x – 3| < 2, maka 1 < x < 5.”
- “Jika dua segitiga sebangun, maka sisi-sisi bersesuaiannya sebanding.”
Sulit
- “Jika fungsi f monoton naik di (a,b), maka f'(x) ≥ 0 untuk semua x ∈ (a,b).”
- “Jika A dan B independen, maka P(A∩B) = P(A)·P(B).”
- “Jika ring R memiliki elemen identitas dan setiap elemen tak nol memiliki invers, maka R adalah lapangan.”
- “Jika f analitik di piringan |z| < R, maka f memiliki ekspansi deret Taylor yang konvergen di piringan tersebut.”
- “Jika ruang vektor V berdimensi hingga, maka V isomorfik dengan ruang dualnya.”
Latihan Soal: Kontrapositif
Tentukan kontrapositif dari setiap pernyataan berikut. Untuk soal sulit, buktikan pernyataan asli menggunakan kontrapositif.
Mudah
- “Jika x = 6, maka x + 1 = 7.”
- “Jika suatu bilangan habis dibagi 9, maka bilangan itu habis dibagi 3.”
- “Jika bunga disiram, maka bunga tumbuh subur.”
- “Jika segitiga siku-siku, maka salah satu sudutnya 90°.”
- “Jika n bilangan prima lebih dari 2, maka n ganjil.”
Sedang
- “Jika x³ = 8, maka x = 2.” (dalam bilangan real)
- “Jika f(x) kontinu di x = a, maka lim(x→a) f(x) = f(a).”
- “Jika ab > 0, maka a dan b bertanda sama.”
- “Jika tan θ terdefinisi, maka cos θ ≠ 0.”
- “Jika garis l₁ dan l₂ tidak berpotongan dan tidak sejajar, maka l₁ dan l₂ bersilangan.”
Sulit
- Buktikan dengan kontrapositif: “Jika 5n + 3 ganjil, maka n genap.”
- Buktikan dengan kontrapositif: “Jika a² + b² = 0 (a,b real), maka a = 0 dan b = 0.”
- Buktikan dengan kontrapositif: “Jika n³ + 5 genap, maka n ganjil.”
- Buktikan dengan kontrapositif: “Jika √2 bukan bilangan rasional, maka tidak ada bilangan bulat p,q (q≠0) sedemikian sehingga (p/q)² = 2.”
- Buktikan dengan kontrapositif: “Jika xy irasional, maka x irasional atau y irasional.”