Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Biimplikasi
Logika Matematika
Pengertian Biimplikasi
Biimplikasi (juga disebut dwi kondisional atau bi-conditional) adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan p dan q menggunakan kata hubung “jika dan hanya jika” (disingkat “jhj”).
Notasi:
p ⇔ q
dibaca: “p jika dan hanya jika q”
Biimplikasi p ⇔ q bernilai BENAR jika kedua pernyataan p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama (keduanya benar atau keduanya salah). Biimplikasi bernilai SALAH jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang berbeda.
Tabel Kebenaran Biimplikasi
| p | q | p ⇔ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | B |
Keterangan: B = Benar, S = Salah
💡 Cara Mudah Mengingat:
Biimplikasi bernilai BENAR ketika kedua komponen senilai (sama-sama benar atau sama-sama salah).
Hubungan Biimplikasi dengan Implikasi
Biimplikasi p ⇔ q sebenarnya merupakan konjungsi dari dua implikasi, yaitu:
p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
Artinya, p ⇔ q ekuivalen dengan “p ⇒ q dan q ⇒ p“.
Pembuktian dengan Tabel Kebenaran
| p | q | p ⇒ q | q ⇒ p | (p⇒q) ∧ (q⇒p) | p ⇔ q |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B | B |
| B | S | S | B | S | S |
| S | B | B | S | S | S |
| S | S | B | B | B | B |
Kolom ke-5 dan ke-6 identik, sehingga terbukti ekuivalen.
Sifat-Sifat Biimplikasi
- Komutatif: p ⇔ q ≡ q ⇔ p
- Refleksif: p ⇔ p selalu bernilai benar (tautologi)
- Transitif: Jika p ⇔ q dan q ⇔ r, maka p ⇔ r
- Ekuivalensi dengan implikasi: p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
- Negasi biimplikasi: ~(p ⇔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q)
Menerjemahkan Kalimat ke Biimplikasi
Kata-kata yang menunjukkan biimplikasi dalam kalimat sehari-hari:
- “… jika dan hanya jika …”
- “… syarat perlu dan cukup …”
- “… ekuivalen dengan …”
- “… bila dan hanya bila …”
Contoh dalam kalimat:
p: Suatu bilangan habis dibagi 2
q: Bilangan tersebut adalah bilangan genap
p ⇔ q: “Suatu bilangan habis dibagi 2 jika dan hanya jika bilangan tersebut adalah bilangan genap.” → BENAR
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Soal 1
Diketahui p bernilai Benar dan q bernilai Benar. Tentukan nilai kebenaran p ⇔ q.
Pembahasan:
p = B, q = B. Berdasarkan tabel kebenaran, jika p dan q sama-sama benar, maka p ⇔ q bernilai Benar.
Soal 2
Diketahui p bernilai Benar dan q bernilai Salah. Tentukan nilai kebenaran p ⇔ q.
Pembahasan:
p = B, q = S. Karena p dan q berbeda nilai kebenarannya, maka p ⇔ q bernilai Salah.
Soal 3
Diketahui p bernilai Salah dan q bernilai Salah. Tentukan nilai kebenaran p ⇔ q.
Pembahasan:
p = S, q = S. Karena p dan q sama-sama salah (senilai), maka p ⇔ q bernilai Benar.
Soal 4
Tuliskan biimplikasi dari pernyataan berikut dalam bentuk simbol:
p: Hari ini hujan
q: Jalan basah
“Hari ini hujan jika dan hanya jika jalan basah.”
Pembahasan:
Kalimat “… jika dan hanya jika …” merupakan penghubung biimplikasi. Maka bentuk simbolnya: p ⇔ q
Soal 5
Tentukan nilai kebenaran biimplikasi berikut:
“2 + 3 = 5 jika dan hanya jika 4 adalah bilangan genap.”
Pembahasan:
p: “2 + 3 = 5” → Benar
q: “4 adalah bilangan genap” → Benar
Karena p = B dan q = B (senilai), maka p ⇔ q bernilai Benar.
Tingkat Sedang
Soal 1
Tentukan nilai kebenaran:
“3 > 5 jika dan hanya jika 7 < 2.”
Pembahasan:
p: “3 > 5” → Salah
q: “7 < 2” → Salah
p = S, q = S. Karena senilai (sama-sama salah), maka p ⇔ q bernilai Benar.
Soal 2
Diketahui p ⇔ q bernilai Salah dan p bernilai Benar. Tentukan nilai kebenaran q.
Pembahasan:
Biimplikasi bernilai Salah hanya jika p dan q berbeda nilai kebenaran.
Karena p = B dan p ⇔ q = S, maka q harus bernilai Salah.
Soal 3
Buktikan bahwa p ⇔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q) menggunakan tabel kebenaran.
Pembahasan:
| p | q | ~p | ~q | p∧q | ~p∧~q | (p∧q)∨(~p∧~q) | p⇔q |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B | B | S | S | B | S | B | B |
| B | S | S | B | S | S | S | S |
| S | B | B | S | S | S | S | S |
| S | S | B | B | S | B | B | B |
Kolom ke-7 dan ke-8 identik. Terbukti ekuivalen. ✓
Soal 4
Diketahui ~p ⇔ q bernilai Benar dan q bernilai Salah. Tentukan nilai kebenaran p.
Pembahasan:
Biimplikasi bernilai Benar jika kedua komponen senilai.
~p ⇔ q = B, dan q = S, maka ~p harus bernilai S.
Jika ~p = S, maka p = Benar.
Soal 5
Tentukan nilai kebenaran: “x² = 9 jika dan hanya jika x = 3”, untuk x bilangan real.
Pembahasan:
p: “x² = 9” → x bisa 3 atau −3
q: “x = 3”
Jika x = −3, maka p benar tetapi q salah. Karena ada kasus p dan q berbeda, biimplikasi ini bernilai Salah (bukan pernyataan yang selalu benar).
Tingkat Sulit
Soal 1
Tentukan nilai kebenaran: (p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) jika p = B dan q = S.
Pembahasan:
Langkah 1: p ⇔ q = B ⇔ S = S
Langkah 2: p ⇒ q = B ⇒ S = S
Langkah 3: S ⇔ S = Benar (senilai)
Soal 2
Buktikan bahwa ~(p ⇔ q) ≡ (p ⊕ q) (XOR) menggunakan tabel kebenaran.
Pembahasan:
| p | q | p⇔q | ~(p⇔q) | p⊕q |
|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S |
| B | S | S | B | B |
| S | B | S | B | B |
| S | S | B | S | S |
Kolom ke-4 dan ke-5 identik. Negasi biimplikasi ekuivalen dengan XOR. ✓
Soal 3
Tentukan apakah (p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r) ⇒ (p ⇔ r) merupakan tautologi.
Pembahasan:
Kita periksa: adakah kasus di mana premis benar tetapi konklusi salah?
Premis benar berarti p⇔q = B dan q⇔r = B, artinya p senilai q dan q senilai r, sehingga p senilai r, maka p⇔r = B.
Tidak ada kasus premis B dan konklusi S. Maka pernyataan ini merupakan tautologi. ✓
Soal 4
Sederhanakan: (p ⇔ q) ∨ (p ⊕ q)
Pembahasan:
Perhatikan bahwa p ⊕ q ≡ ~(p ⇔ q)
Maka: (p ⇔ q) ∨ ~(p ⇔ q)
Misalkan A = (p ⇔ q), maka bentuknya menjadi A ∨ ~A, yang selalu bernilai Benar (tautologi). ✓
Soal 5
Diketahui (p ⇔ q) ∧ (r ⇒ ~q) bernilai Benar, dan p bernilai Benar. Tentukan nilai r.
Pembahasan:
Konjungsi bernilai B berarti kedua komponen bernilai B.
• p ⇔ q = B, dan p = B, maka q = B
• r ⇒ ~q = B. Karena q = B, maka ~q = S.
• r ⇒ S = B hanya jika r = Salah.
Jadi r bernilai Salah.
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri untuk mengasah pemahamanmu!
Tingkat Mudah
1. Tentukan nilai kebenaran p ⇔ q jika p = Salah dan q = Benar.
2. Tentukan nilai kebenaran: “5 adalah bilangan prima jika dan hanya jika 5 adalah bilangan ganjil.”
3. Jika p ⇔ q bernilai Benar dan p bernilai Benar, berapakah nilai q?
4. Nyatakan dalam simbol logika: “Segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang.”
5. Tentukan nilai kebenaran: “1 + 1 = 3 jika dan hanya jika 2 + 2 = 5.”
Tingkat Sedang
1. Diketahui p ⇔ ~q bernilai Benar dan p bernilai Salah. Tentukan nilai q.
2. Tentukan nilai kebenaran ~(p ⇔ q) jika p = B dan q = B.
3. Buatlah tabel kebenaran untuk ~p ⇔ ~q dan bandingkan dengan p ⇔ q. Apakah keduanya ekuivalen?
4. Tentukan semua nilai kebenaran p dan q sehingga (p ⇒ q) ∧ (p ⇔ q) bernilai Benar.
5. Tentukan nilai kebenaran: “|−4| = 4 jika dan hanya jika (−2)² = −4.”
Tingkat Sulit
1. Buktikan apakah (p ⇔ q) ⇔ [(p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)] merupakan tautologi.
2. Diketahui (p ⇔ q) ∧ (q ⇔ r) bernilai Benar dan p bernilai Salah. Tentukan nilai r.
3. Sederhanakan (p ⇔ q) ∧ (p ⊕ q) dan tentukan jenis pernyataan hasilnya.
4. Tentukan apakah [(p ⇔ q) ∧ p] ⇒ q merupakan tautologi, kontradiksi, atau kontingensi.
5. Diketahui (p ⇔ q) ⇒ (r ∨ s) bernilai Salah. Tentukan nilai kebenaran p, q, r, dan s.