Selamat datang di Epres Math, ruang belajar digital yang dirancang khusus untuk membantu Anda menguasai konsep-konsep matematika secara mendalam namun tetap praktis.

Pada kesempatan kali ini, kita akan menyelami salah satu materi paling fundamental dalam matematika tingkat menengah, yaitu Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat.

Memahami kedua topik ini bukan sekadar tentang menghitung angka,

melainkan tentang memahami pola lengkungan dan titik keseimbangan yang sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari—mulai dari lintasan bola yang dilempar hingga desain arsitektur yang presisi.

Artikel ini disusun secara sistematis agar Anda dapat mengikuti alur logika matematika mulai dari dasar hingga aplikasi tingkat lanjut.

Berikut adalah cakupan materi yang akan kita bahas:

Persamaan Kuadrat – Matematika SMA

Matematika SMA · Aljabar

Persamaan Kuadrat

Materi · Contoh Soal · Latihan

✦

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Definisi

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua dalam satu variabel. Bentuk umumnya adalah:

Bentuk Umum

ax² + bx + c = 0

dengan syarat:

Syarat: a, b, c ∈ ℝ dan a ≠ 0. Jika a = 0, persamaan menjadi linier, bukan kuadrat.

Keterangan Koefisien

Simbol	Nama	Syarat	Contoh (x²− 5x + 6 = 0)
`a`	Koefisien x²	a ≠ 0	a = 1
`b`	Koefisien x	bebas	b = −5
`c`	Konstanta	bebas	c = 6

Contoh Soal – Bentuk Umum

● Mudah

1. Tentukan nilai a, b, dan c dari persamaan kuadrat: x² − 3x + 2 = 0

Bandingkan dengan ax² + bx + c = 0.

a = 1, b = −3, c = 2

a=1, b=−3, c=2

2. Apakah 2x − 5 = 0 merupakan persamaan kuadrat? Jelaskan!

Persamaan 2x − 5 = 0 berderajat satu, bukan dua.

Koefisien x² = 0, sehingga bukan persamaan kuadrat.

Bukan PK (a = 0)

3. Nyatakan 5x² = 10 ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat.

5x² − 10 = 0

a = 5, b = 0, c = −10

5x² + 0x − 10 = 0

4. Tentukan a, b, dan c dari: −x² + 4 = 0

−x² + 0·x + 4 = 0

a = −1, b = 0, c = 4

a=−1, b=0, c=4

5. Nyatakan (x+1)(x−3) = 0 ke dalam bentuk umum.

Ekspansi: x² − 3x + x − 3 = 0

x² − 2x − 3 = 0

a=1, b=−2, c=−3

● Sedang

6. Ubah (2x−1)² = x + 5 ke bentuk umum, lalu tentukan a, b, c.

(2x−1)² = x + 5 → 4x² − 4x + 1 = x + 5

4x² − 5x − 4 = 0

a=4, b=−5, c=−4

7. Bentuk umum dari 3x(x − 2) = 5 − x adalah…

3x² − 6x = 5 − x

3x² − 5x − 5 = 0

a=3, b=−5, c=−5

8. Jika ax² + bx + c = 0 memiliki a + b + c = 0, tunjukkan bahwa x = 1 adalah salah satu akarnya.

Substitusi x = 1: a(1)² + b(1) + c = a + b + c = 0 ✓

Karena persamaan terpenuhi, x = 1 adalah akar.

x = 1 adalah akar

9. Nyatakan x/2 + 3/x = 4 ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat.

Kalikan kedua ruas dengan 2x: x² + 6 = 8x

x² − 8x + 6 = 0

a=1, b=−8, c=6

10. Tentukan nilai k agar (k+1)x² − 3kx + k − 1 = 0 merupakan persamaan kuadrat.

Syarat PK: koefisien x² ≠ 0 → k + 1 ≠ 0

k ≠ −1

k ∈ ℝ, k ≠ −1

● Sulit

11. Diketahui (m−2)x² + 4x + m = 0 adalah PK dengan akar x = 2. Tentukan nilai m.

Syarat PK: m − 2 ≠ 0 → m ≠ 2

Substitusi x=2: (m−2)(4) + 8 + m = 0 → 4m − 8 + 8 + m = 0 → 5m = 0 → m = 0

Cek: m = 0 ≠ 2 ✓

m = 0

12. Tentukan nilai p agar px² + (p+2)x + 1 = 0 mempunyai tepat satu akar real.

D = 0: (p+2)² − 4p(1) = 0

p² + 4p + 4 − 4p = 0 → p² + 4 = 0

Tidak ada solusi real → Tidak ada nilai p (jika p ≠ 0).

Catatan: jika p = 0, persamaan menjadi linier: 2x + 1 = 0, tepat satu akar. Maka p = 0.

p = 0 (akar linier)

13. Buktikan bahwa ax² + bx + c = 0 dengan a+c = 0, a≠0 selalu memiliki dua akar real berlawanan tanda.

Dari a + c = 0 → c = −a

D = b² − 4ac = b² − 4a(−a) = b² + 4a² > 0

Karena b²+4a² > 0, dua akar real berbeda. Hasil kali akar: x₁·x₂ = c/a = −a/a = −1 < 0

Hasil kali negatif → dua akar berlawanan tanda. ∎

Terbukti

14. Jika x₁ dan x₂ akar dari 2x² − kx + (k−1) = 0 dan x₁ + x₂ = x₁·x₂, cari k.

Vieta: x₁+x₂ = k/2 ; x₁·x₂ = (k−1)/2

k/2 = (k−1)/2 → k = k − 1 → 0 = −1 (kontradiksi)

Tidak ada nilai k yang memenuhi.

Tidak ada solusi

15. Ubah (√2·x + 1)² − (√3·x − 2)² = 0 ke bentuk umum dan tentukan a, b, c.

(2x² + 2√2·x + 1) − (3x² − 4√3·x + 4) = 0

−x² + (2√2+4√3)x − 3 = 0

Atau: x² − (2√2+4√3)x + 3 = 0

a=1, b=−(2√2+4√3), c=3

Latihan Soal – Bentuk Umum

● Mudah

1.Tentukan a, b, dan c dari: 3x² − 7x + 2 = 0

2.Apakah x² = 0 termasuk persamaan kuadrat? Jelaskan.

3.Ubah x² = 9 ke bentuk umum, lalu tentukan a, b, c.

4.Tentukan a, b, c dari: −2x² + 5 = 0

5.Nyatakan (x−4)(x+1) = 0 ke bentuk umum.

● Sedang

6.Ubah (x+3)² = 2x + 7 ke bentuk umum dan tentukan a, b, c.

7.Nyatakan 4x(2−x) + x = 3 dalam bentuk umum PK.

8.Jika a + b + c = 0, buktikan bahwa x = 1 merupakan akar.

9.Ubah 2/x + x/3 = 5 ke bentuk umum PK.

10.Tentukan nilai p agar (p−3)x² + 2x + 1 = 0 adalah PK.

● Sulit

11.Jika (n+1)x² − 2nx + n − 2 = 0 dan x = 3 adalah akar, tentukan n.

12.Tunjukkan bahwa ax²+bx+c=0 dengan a=c memiliki dua akar yang saling kebalikan.

13.Jika x₁, x₂ akar dari kx²+(k+3)x−2k=0 dan x₁·x₂ = x₁+x₂, tentukan k.

14.Ubah (√5·x − 1)² = √5·x ke bentuk umum dan tentukan a, b, c.

15.Buktikan bahwa jika a − b + c = 0 maka x = −1 adalah akar dari ax²+bx+c=0.

Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat

Berdasarkan Koefisien b dan c

Jenis	Ciri-ciri	Contoh
Lengkap	a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0	2x² − 3x + 1 = 0
Tidak Lengkap (b=0)	a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0	x² − 4 = 0
Tidak Lengkap (c=0)	a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0	x² − 5x = 0
Tidak Lengkap (b=c=0)	a ≠ 0, b = 0, c = 0	3x² = 0

Catatan: Persamaan kuadrat “tidak lengkap” (b = 0 atau c = 0) dapat diselesaikan lebih mudah, tanpa rumus kuadrat penuh.

Contoh Soal – Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat

● Mudah

1. Tentukan jenis PK dari: x² − 9 = 0

b = 0, c = −9 ≠ 0 → PK tidak lengkap (b = 0)

PK tidak lengkap (b=0)

2. Tentukan jenis PK dari: 2x² − 6x = 0

b = −6 ≠ 0, c = 0 → PK tidak lengkap (c = 0)

PK tidak lengkap (c=0)

3. Klasifikasikan: 5x² = 0

b = 0, c = 0 → PK tidak lengkap (b = c = 0)

PK tidak lengkap (b=c=0)

4. Tentukan jenis dari: 3x² + 2x − 5 = 0

a=3, b=2, c=−5. Semua tidak nol.

PK Lengkap

5. Apakah x² + x = 0 termasuk PK lengkap atau tidak lengkap?

a=1, b=1, c=0 → c = 0

PK tidak lengkap (c=0)

● Sedang

6. Tentukan nilai k agar x² + (k−3)x + 2k = 0 menjadi PK tidak lengkap jenis b=0.

Syarat b = 0: k − 3 = 0 → k = 3

Cek c = 2(3) = 6 ≠ 0 ✓

k = 3

7. Tentukan nilai p agar px² + 3x + (p−1) = 0 menjadi PK tidak lengkap jenis c=0.

Syarat c = 0: p − 1 = 0 → p = 1

Cek a = 1 ≠ 0 ✓, b = 3 ≠ 0 ✓

p = 1

8. Ubah (x+2)² − (x−1)² = 0, lalu klasifikasikan jenisnya.

(x²+4x+4) − (x²−2x+1) = 0 → 6x + 3 = 0

Ini persamaan linier, bukan kuadrat (a = 0).

Bukan PK

9. Jika PK tidak lengkap (b=0) berbentuk ax² + c = 0, tentukan syarat agar memiliki akar real.

ax² = −c → x² = −c/a

Syarat akar real: −c/a ≥ 0, artinya a dan c harus berlawanan tanda.

a·c ≤ 0

10. Sebutkan jenis PK dari 7x(x−3) = 0 setelah dijabarkan.

7x² − 21x = 0 → a=7, b=−21, c=0

PK tidak lengkap (c=0)

● Sulit

11. Tentukan nilai m dan n agar (m+n)x² + (2m−n)x + (m−3n) = 0 adalah PK tidak lengkap jenis b=c=0.

Syarat: 2m − n = 0 dan m − 3n = 0

Dari pers-1: n = 2m. Sub ke pers-2: m − 6m = 0 → −5m = 0 → m = 0, n = 0

Tapi m = n = 0 → a = 0, bukan PK. Tidak ada solusi yang valid.

Tidak ada m, n yang memenuhi

12. Buktikan bahwa PK tidak lengkap (c=0) selalu memiliki x=0 sebagai salah satu akarnya.

Bentuk: ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0

Salah satu faktor: x = 0 → x=0 selalu menjadi akar. ∎

Terbukti

13. Untuk PK tidak lengkap ax²+c=0, jika kedua akarnya x₁ dan x₂, buktikan x₁+x₂=0.

Akar: x = ±√(−c/a). Jadi x₁ = √(−c/a) dan x₂ = −√(−c/a)

x₁ + x₂ = √(−c/a) − √(−c/a) = 0. ∎

Terbukti: x₁+x₂ = 0

14. Jika PK ax²+bx+c=0 dan a, b, c membentuk barisan geometri, klasifikasikan jenisnya bila rasio r=1.

Jika r=1: a=b=c. Semua sama, semua tidak nol → PK Lengkap.

Contoh: x²+x+1=0 (PK lengkap, tidak ada akar real).

PK Lengkap

15. PK tidak lengkap 2x²−8=0 dan 3x²−6x=0. Tentukan apakah keduanya mempunyai akar persekutuan.

PK-1: 2x²=8 → x²=4 → x=±2

PK-2: 3x(x−2)=0 → x=0 atau x=2

Akar persekutuan: x = 2

x = 2

Latihan Soal – Jenis-Jenis PK

● Mudah

1.Klasifikasikan: 4x² − 16 = 0

2.Klasifikasikan: x² + 5x = 0

3.Klasifikasikan: 7x² = 0

4.Klasifikasikan: x² − 2x + 1 = 0

5.Apakah x(x+2)=0 termasuk PK lengkap?

● Sedang

6.Tentukan k agar x²+(k+1)x+3k=0 menjadi PK tidak lengkap (b=0).

7.Tentukan p agar 2x²+(p−2)x+(p+1)=0 menjadi PK tidak lengkap (c=0).

8.Tuliskan syarat agar PK tidak lengkap (b=0) memiliki dua akar berlawanan tanda.

9.Ubah 2x(x−5)+10=0 ke bentuk umum dan klasifikasikan.

10.Apakah PK tidak lengkap (b=c=0) memiliki akar real? Jelaskan.

● Sulit

11.Buktikan PK tidak lengkap (c=0) selalu punya satu akar nol dan satu akar x=−b/a.

12.Jika x₁x₂=0 untuk PK ax²+bx+c=0, apa yang bisa disimpulkan tentang c?

13.Temukan akar persekutuan x²−4=0 dan x²−2x=0.

14.Tunjukkan bahwa ax²+c=0 dengan a>0, c>0 tidak punya akar real.

15.Untuk PK tidak lengkap (b=0): 3x²=k, tentukan nilai k agar x=−2 adalah akar.

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Metode 1 – Pemfaktoran

Mencari dua faktor (x − x₁)(x − x₂) = 0 sehingga diperoleh x = x₁ atau x = x₂.

Pemfaktoran

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Metode 2 – Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Kuadrat Sempurna

(x + b/2a)² = b²−4ac / 4a²

Metode 3 – Rumus Kuadrat (Rumus ABC)

Rumus ABC

x = (−b ± √(b²−4ac)) / 2a

Tips memilih metode: Pemfaktoran → cepat, jika akar bilangan bulat | Kuadrat sempurna → jika a = 1 | Rumus ABC → selalu berlaku

Contoh Soal – Menentukan Akar

● Mudah

1. Selesaikan dengan pemfaktoran: x² − 5x + 6 = 0

Cari dua bilangan: p+q = −5, p·q = 6 → p=−2, q=−3

(x−2)(x−3) = 0

x = 2 atau x = 3

2. Selesaikan: x² − 16 = 0

(x−4)(x+4) = 0

x = 4 atau x = −4

3. Selesaikan: x² + 3x = 0

x(x + 3) = 0

x = 0 atau x = −3

4. Gunakan rumus ABC untuk: x² − 4x + 3 = 0

D = 16 − 12 = 4

x = (4 ± 2) / 2

x = 3 atau x = 1

5. Selesaikan: 2x² − 8 = 0

2x² = 8 → x² = 4 → x = ±2

x = 2 atau x = −2

● Sedang

6. Selesaikan dengan melengkapkan kuadrat: x² − 6x + 2 = 0

x² − 6x = −2 → (x−3)² = 9 − 2 = 7

x − 3 = ±√7

x = 3 ± √7

7. Selesaikan: 2x² + 5x − 3 = 0 (gunakan rumus ABC)

D = 25 + 24 = 49

x = (−5 ± 7) / 4

x = ½ atau x = −3

8. Selesaikan: 3x² − 7x + 2 = 0 (pemfaktoran)

(3x − 1)(x − 2) = 0

x = ⅓ atau x = 2

9. Selesaikan: x² + 4x − 12 = 0

p+q = 4, p·q = −12 → p=6, q=−2

(x+6)(x−2) = 0

x = −6 atau x = 2

10. Selesaikan: 4x² − 12x + 9 = 0

(2x − 3)² = 0

x = 3/2 (akar kembar)

● Sulit

11. Selesaikan: x⁴ − 5x² + 4 = 0

Substitusi y = x²: y² − 5y + 4 = 0 → (y−1)(y−4) = 0

y = 1 → x = ±1 | y = 4 → x = ±2

x = ±1 atau x = ±2

12. Selesaikan: √(2x+3) = x − 1

Syarat: x ≥ 1. Kuadratkan: 2x+3 = (x−1)² = x²−2x+1

x² − 4x − 2 = 0… tunggu: x²−4x−2=0 → x = (4±√24)/2 = 2±√6

x = 2+√6 ≈ 4.45 (valid) | x = 2−√6 ≈ −0.45 (tidak valid, < 1)

x = 2 + √6

13. Selesaikan: x/(x−2) + 3/(x+1) = 2, x ≠ 2, x ≠ −1

Kalikan (x−2)(x+1): x(x+1) + 3(x−2) = 2(x−2)(x+1)

x²+x+3x−6 = 2(x²−x−2) → x²+4x−6 = 2x²−2x−4

x² − 6x + 2 = 0 → x = 3 ± √7

x = 3 ± √7

14. Diketahui x₁ dan x₂ akar dari x²−px+q=0. Jika x₁²+x₂²=5 dan x₁·x₂=3, cari p dan q.

Vieta: x₁+x₂=p, x₁x₂=q=3

x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂ = p²−6 = 5 → p² = 11 → p = ±√11

p = ±√11, q = 3

15. Selesaikan 2|x|² − 5|x| + 2 = 0.

Misalkan t = |x| ≥ 0: 2t² − 5t + 2 = 0 → (2t−1)(t−2) = 0

t = ½ → |x| = ½ → x = ±½

t = 2 → |x| = 2 → x = ±2

x = ±½ atau x = ±2

Latihan Soal – Menentukan Akar

● Mudah

1.Selesaikan dengan pemfaktoran: x² − 7x + 12 = 0

2.Selesaikan: x² − 25 = 0

3.Selesaikan: x² + 5x = 0

4.Gunakan rumus ABC: x² − 2x − 8 = 0

5.Selesaikan: 3x² − 27 = 0

● Sedang

6.Selesaikan dengan kuadrat sempurna: x² − 8x + 5 = 0

7.Selesaikan: 2x² − 3x − 5 = 0 (rumus ABC)

8.Selesaikan: 6x² − x − 2 = 0 (pemfaktoran)

9.Selesaikan: x² + 6x + 9 = 0

10.Selesaikan: 9x² − 6x + 1 = 0

● Sulit

11.Selesaikan: x⁴ − 10x² + 9 = 0

12.Selesaikan: √(3x−2) = x − 2

13.Selesaikan: 2/(x+1) + x/(x−2) = 3

14.Jika x₁,x₂ akar x²−px+q=0, x₁²+x₂²=11 dan x₁x₂=2, cari p dan q.

15.Selesaikan: 3|x|² + |x| − 2 = 0

Akar Pangkat Dua Bilangan Negatif

Bilangan Imajiner

Dalam bilangan real, tidak ada bilangan yang kuadratnya negatif. Namun dalam sistem bilangan kompleks, didefinisikan:

Unit Imajiner

i = √(−1) ⟹ i² = −1

Sehingga untuk bilangan negatif −n (n > 0):

Akar Bilangan Negatif

√(−n) = i√n

Perhatian: √(−a) · √(−b) ≠ √(ab) untuk a, b > 0 dalam bilangan kompleks. Contoh: √(−4)·√(−9) = 2i · 3i = 6i² = −6, bukan √36 = 6.

Sifat-Sifat Bilangan Imajiner

Pangkat	Nilai
i¹	i
i²	−1
i³	−i
i⁴	1
i⁵	i (berulang dengan periode 4)

Contoh Soal – Akar Bilangan Negatif

● Mudah

1. Sederhanakan: √(−25)

√(−25) = √(25 · (−1)) = 5i

2. Sederhanakan: √(−49)

√(−49) = 7i

3. Hitung: i⁶

6 = 4 + 2 → i⁶ = i⁴ · i² = 1 · (−1) = −1

−1

4. Sederhanakan: √(−3) · √(−3)

= (i√3)(i√3) = i² · 3 = −3

−3

5. Sederhanakan: √(−100) / 5

√(−100) = 10i → 10i/5 = 2i

● Sedang

6. Hitung: (3 + 2i)(3 − 2i)

= 9 − (2i)² = 9 − 4i² = 9 + 4 = 13

13 (bilangan real)

7. Sederhanakan: i¹⁵

15 = 4·3 + 3 → i¹⁵ = i³ = −i

−i

8. Selesaikan: x² + 9 = 0

x² = −9 → x = ±√(−9) = ±3i

x = 3i atau x = −3i

9. Hitung: √(−4) · √(−16)

= (2i)(4i) = 8i² = −8

−8

10. Tentukan bagian real dan imajiner dari (5 − i√2)².

= 25 − 10i√2 + i²·2 = 25 − 2 − 10i√2 = 23 − 10i√2

Re = 23, Im = −10√2

● Sulit

11. Sederhanakan: (1+i)⁸

(1+i)² = 2i → (2i)⁴ = 16i⁴ = 16

12. Selesaikan: x² + 2x + 5 = 0 (akar kompleks)

D = 4 − 20 = −16 → x = (−2 ± √(−16)) / 2 = (−2 ± 4i) / 2

x = −1 + 2i atau x = −1 − 2i

13. Jika z = 3 − 4i, hitung |z|² dan z · z̄ (z-conjugate).

z̄ = 3 + 4i → z·z̄ = (3)²+(4)² = 9+16 = 25

|z|² = 25

|z|² = z·z̄ = 25

14. Hitung: ∑(k=0 sampai 99) iᵏ

Satu siklus: i⁰+i¹+i²+i³ = 1+i+(−1)+(−i) = 0

100 suku = 25 siklus → jumlah = 0

15. Tunjukkan bahwa jika a+bi (b≠0) adalah akar PK berkoefisien real, maka a−bi juga akar.

Jika z = a+bi adalah akar: az²+bz+c=0. Konjugasi kedua ruas: a·z̄²+b·z̄+c=0 (karena a,b,c real)

Maka z̄ = a−bi juga memenuhi persamaan. ∎

Terbukti (Teorema Konjugat)

Latihan Soal – Akar Bilangan Negatif

● Mudah

1.Sederhanakan: √(−36)

2.Sederhanakan: √(−81)

3.Hitung: i¹⁰

4.Hitung: √(−9) · √(−9)

5.Sederhanakan: √(−144) / 6

● Sedang

6.Hitung: (2 + 3i)(2 − 3i)

7.Sederhanakan: i²³

8.Selesaikan: x² + 16 = 0

9.Hitung: √(−9) · √(−25)

10.Tentukan Re dan Im dari (4 + i√3)²

● Sulit

11.Sederhanakan: (1−i)⁶

12.Selesaikan: x² − 4x + 13 = 0

13.Jika z = 5+12i, hitung |z| dan z·z̄

14.Hitung: ∑(k=1 sampai 40) iᵏ

15.Jika x²+px+q=0 (p,q ∈ ℝ) punya akar 2−3i, tentukan p dan q.

Jenis Akar Dikaitkan dengan Nilai Diskriminan

Diskriminan (D)

Diskriminan adalah ekspresi yang menentukan jenis akar persamaan kuadrat tanpa harus mencarinya secara eksplisit.

Diskriminan

D = b² − 4ac

Tabel Jenis Akar

Nilai D	Jenis Akar	Keterangan
D > 0	Dua akar real berbeda	x₁ ≠ x₂, keduanya real
D > 0 dan D sempurna	Dua akar real rasional berbeda	√D bilangan bulat
D = 0	Dua akar real sama (kembar)	x₁ = x₂ = −b/2a
D < 0	Dua akar kompleks (imajiner)	Tidak ada akar real

Hubungan Akar (Vieta): x₁ + x₂ = −b/a dan x₁ · x₂ = c/a

Contoh Soal – Diskriminan

● Mudah

1. Tentukan jenis akar dari: x² − 6x + 9 = 0

D = (−6)² − 4(1)(9) = 36 − 36 = 0

D = 0 → Dua akar real sama (x = 3)

2. Tentukan jenis akar dari: x² + x + 1 = 0

D = 1 − 4(1)(1) = 1 − 4 = −3

D < 0 → Dua akar kompleks (tidak real)

3. Tentukan jenis akar dari: x² − 5x + 4 = 0

D = 25 − 16 = 9 > 0 dan √9 = 3 (bulat)

D > 0 → Dua akar real rasional berbeda

4. Tentukan jenis akar dari: x² − 3x + 1 = 0

D = 9 − 4 = 5 > 0, tapi √5 irasional

D > 0 → Dua akar real irasional berbeda

5. Tentukan jenis akar dari: 2x² + 4x + 2 = 0

D = 16 − 16 = 0

D = 0 → Dua akar real sama (x = −1)

● Sedang

6. Tentukan nilai k agar x² − kx + 9 = 0 memiliki dua akar sama.

D = 0: k² − 36 = 0 → k = ±6

k = 6 atau k = −6

7. Tentukan nilai m agar 3x² + mx + 3 = 0 memiliki dua akar real berbeda.

D > 0: m² − 36 > 0 → m > 6 atau m < −6

m ∈ (−∞,−6) ∪ (6,+∞)

8. Tentukan nilai p agar x² − px + p + 3 = 0 tidak memiliki akar real.

D < 0: p² − 4(p+3) < 0 → p² − 4p − 12 < 0 → (p−6)(p+2) < 0

−2 < p < 6

9. Jika D = 0 untuk kx²−6x+k=0, tentukan k.

D = 36 − 4k² = 0 → k² = 9 → k = ±3

Cek k ≠ 0 (syarat PK): k = ±3 ✓

k = 3 atau k = −3

10. Diketahui x₁ dan x₂ akar x²−5x+k=0. Jika x₁−x₂=3, cari k.

Vieta: x₁+x₂=5, x₁x₂=k

(x₁−x₂)² = (x₁+x₂)²−4x₁x₂ = 25−4k = 9 → 4k = 16 → k = 4

k = 4

● Sulit

11. Tentukan nilai k agar x²+(k+2)x+(2k+1)=0 memiliki akar-akar positif.

Syarat: D ≥ 0, x₁+x₂ > 0, x₁x₂ > 0

D ≥ 0: (k+2)²−4(2k+1) ≥ 0 → k²−4k ≥ 0 → k(k−4) ≥ 0 → k ≤ 0 atau k ≥ 4

x₁+x₂ = −(k+2) > 0 → k < −2

x₁x₂ = 2k+1 > 0 → k > −½

Irisan: k ≤ 0 atau k ≥ 4, k < −2, k > −½ → tidak ada irisan. Tidak ada nilai k.

Tidak ada k yang memenuhi

12. Buktikan bahwa x²+(m+1)x+m=0 selalu memiliki akar real untuk setiap nilai m.

D = (m+1)² − 4m = m²+2m+1−4m = m²−2m+1 = (m−1)²

(m−1)² ≥ 0 untuk semua m ∈ ℝ → D ≥ 0 → selalu ada akar real. ∎

Terbukti: D = (m−1)² ≥ 0

13. Diketahui x₁,x₂ akar dari x²−px+q=0. Bentuk PK baru yang akar-akarnya x₁²+x₂ dan x₂²+x₁.

Misal y₁=x₁²+x₂, y₂=x₂²+x₁

y₁+y₂ = x₁²+x₂²+x₁+x₂ = (p²−2q)+p

y₁·y₂ = (x₁²+x₂)(x₂²+x₁) = x₁²x₂²+x₁³+x₂³+x₁x₂ = q²+(p³−3pq)+q

PK baru: t² − (p²−2q+p)t + (q²+p³−3pq+q) = 0

t² − (p²+p−2q)t + (q²+p³−3pq+q) = 0

14. Tentukan rentang nilai k agar x²−2kx+(k+6)=0 memiliki kedua akar di antara −1 dan 5.

Syarat: D ≥ 0, f(−1) > 0, f(5) > 0, −1 < −b/2a < 5

D ≥ 0: 4k²−4(k+6) ≥ 0 → k²−k−6 ≥ 0 → (k−3)(k+2) ≥ 0 → k ≤ −2 atau k ≥ 3

f(−1) = 1+2k+k+6 = 3k+7 > 0 → k > −7/3

f(5) = 25−10k+k+6 = 31−9k > 0 → k < 31/9

−1 < k < 5 (sumbu simetri antara −1 dan 5)

Irisan: k ≥ 3 dan k < 31/9 dan k > −7/3 → 3 ≤ k < 31/9

3 ≤ k < 31/9

15. Jika x₁,x₂ akar px²+qx+r=0 dan akar-akar baru adalah 1/x₁ dan 1/x₂, tentukan PK baru.

Misalkan y = 1/x → x = 1/y. Substitusi: p/y² + q/y + r = 0

Kalikan y²: p + qy + ry² = 0

ry² + qy + p = 0

ry² + qy + p = 0 (koefisien terbalik)

Latihan Soal – Diskriminan

● Mudah

1.Tentukan jenis akar: x² − 4x + 4 = 0

2.Tentukan jenis akar: x² + 2x + 5 = 0

3.Tentukan jenis akar: x² − 7x + 10 = 0

4.Tentukan jenis akar: x² − 2x − 1 = 0

5.Tentukan jenis akar: 3x² + 6x + 3 = 0

● Sedang

6.Tentukan k agar x²−kx+4=0 memiliki dua akar sama.

7.Tentukan m agar 2x²+mx+8=0 memiliki dua akar real berbeda.

8.Tentukan p agar x²−2px+(p+2)=0 tidak memiliki akar real.

9.Jika D=0 untuk 2x²+kx+8=0, tentukan k.

10.Diketahui x₁,x₂ akar x²−6x+k=0 dan x₁−x₂=2. Cari k.

● Sulit

11.Tentukan nilai k agar x²+(k−1)x+(k+1)=0 memiliki kedua akar negatif.

12.Buktikan bahwa ax²+bx+a=0 (a≠0) selalu punya dua akar real jika |b| > 2|a|.

13.Jika x₁,x₂ akar x²−3x+1=0, tentukan PK baru yang akar-akarnya x₁²+x₁ dan x₂²+x₂.

14.Tentukan nilai k agar x²−4kx+(k+2)=0 memiliki kedua akar di antara 0 dan 3.

15.Jika x₁,x₂ akar ax²+bx+c=0, tentukan PK yang akar-akarnya ax₁+b dan ax₂+b.

Persamaan Kuadrat Lanjutan – Matematika SMA

Matematika SMA · Aljabar Lanjutan

Persamaan Kuadrat Lanjutan

Materi · Contoh Soal · Latihan

✦

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Rumus Vieta

Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, maka berlaku:

Rumus Vieta

x₁ + x₂ = −b/a x₁ · x₂ = c/a

Jumlah Akar | Hasil Kali Akar

Derivasi Rumus Vieta

Dari rumus kuadrat: x₁ = (−b + √D)/2a dan x₂ = (−b − √D)/2a

Penurunan:
x₁ + x₂ = (−b+√D)/2a + (−b−√D)/2a = −2b/2a = −b/a
x₁ · x₂ = (−b+√D)/2a · (−b−√D)/2a = (b²−D)/4a² = (b²−(b²−4ac))/4a² = 4ac/4a² = c/a

Ekspresi Penting Turunan Vieta

Ekspresi	Rumus dalam s = x₁+x₂ dan p = x₁x₂
x₁² + x₂²	s² − 2p
x₁² − x₂²	(x₁+x₂)(x₁−x₂) = s·√(s²−4p)
(x₁ − x₂)²	s² − 4p = D/a²
x₁³ + x₂³	s³ − 3sp
x₁³ − x₂³	(x₁−x₂)(x₁²+x₁x₂+x₂²) = (x₁−x₂)(s²−p)
x₁⁴ + x₂⁴	(s²−2p)² − 2p²
1/x₁ + 1/x₂	(x₁+x₂)/(x₁x₂) = s/p
1/x₁² + 1/x₂²	(x₁²+x₂²)/(x₁x₂)² = (s²−2p)/p²

Contoh Soal – Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

● Mudah

1. Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar dari x² − 7x + 10 = 0, tentukan x₁ + x₂ dan x₁ · x₂.

a=1, b=−7, c=10

x₁ + x₂ = −(−7)/1 = 7

x₁ · x₂ = 10/1 = 10

x₁+x₂ = 7 x₁·x₂ = 10

2. Jika x₁ dan x₂ akar dari 2x² + 6x − 8 = 0, tentukan x₁ + x₂ dan x₁ · x₂.

a=2, b=6, c=−8

x₁ + x₂ = −6/2 = −3

x₁ · x₂ = −8/2 = −4

x₁+x₂ = −3 x₁·x₂ = −4

3. Diketahui x₁+x₂ = 5 dan x₁·x₂ = 6. Tentukan x₁² + x₂².

x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂ = 25 − 12 = 13

4. Akar-akar x² + 3x − 10 = 0 adalah x₁ dan x₂. Hitung 1/x₁ + 1/x₂.

x₁+x₂ = −3, x₁x₂ = −10

1/x₁ + 1/x₂ = (x₁+x₂)/(x₁x₂) = −3/(−10) = 3/10

3/10

5. Tentukan nilai (x₁ − x₂)² jika x₁, x₂ akar dari x² − 6x + 5 = 0.

s = 6, p = 5

(x₁−x₂)² = s² − 4p = 36 − 20 = 16

● Sedang

6. x₁ dan x₂ akar dari 3x² − 9x + 6 = 0. Hitung x₁³ + x₂³.

s = 9/3 = 3, p = 6/3 = 2

x₁³+x₂³ = s³ − 3sp = 27 − 18 = 9

7. x₁ dan x₂ akar dari x² − 4x + 1 = 0. Hitung x₁² + x₂² dan x₁⁴ + x₂⁴.

s = 4, p = 1

x₁²+x₂² = s²−2p = 16−2 = 14

x₁⁴+x₂⁴ = (x₁²+x₂²)²−2(x₁x₂)² = 196−2 = 194

x₁²+x₂² = 14 x₁⁴+x₂⁴ = 194

8. x₁, x₂ akar x² − 5x + 3 = 0. Hitung (x₁/x₂) + (x₂/x₁).

x₁/x₂ + x₂/x₁ = (x₁²+x₂²)/(x₁x₂) = (s²−2p)/p

= (25−6)/3 = 19/3

19/3

9. Diketahui x₁,x₂ akar 2x²−8x+3=0. Hitung (x₁+1)(x₂+1).

s = 4, p = 3/2

(x₁+1)(x₂+1) = x₁x₂ + (x₁+x₂) + 1 = 3/2 + 4 + 1 = 13/2

13/2

10. x₁,x₂ akar x²−px+q=0. Jika x₁²+x₂²=7 dan x₁x₂=3, tentukan p.

x₁²+x₂² = (x₁+x₂)²−2x₁x₂ = p²−6 = 7 → p² = 13

p = ±√13

● Sulit

11. x₁,x₂ akar x²−3x+1=0. Hitung x₁⁵+x₂⁵.

s=3, p=1. Gunakan rekursi: Sₙ = s·Sₙ₋₁ − p·Sₙ₋₂

S₁=3, S₂=s²−2p=7, S₃=s·S₂−p·S₁=21−3=18

S₄=s·S₃−p·S₂=54−7=47, S₅=s·S₄−p·S₃=141−18=123

123

12. x₁,x₂ akar x²−6x+k=0. Jika x₁²x₂+x₁x₂²=24, tentukan k.

x₁²x₂+x₁x₂² = x₁x₂(x₁+x₂) = k·6 = 6k = 24

k = 4

13. x₁,x₂ akar x²−px+q=0. Tunjukkan bahwa x₁⁴+x₂⁴ = (p²−2q)²−2q².

x₁²+x₂² = p²−2q

x₁⁴+x₂⁴ = (x₁²+x₂²)²−2(x₁x₂)² = (p²−2q)² − 2q² ∎

Terbukti

14. x₁,x₂ akar ax²+bx+c=0. Hitung (x₁−x₂)² dalam a,b,c.

(x₁−x₂)² = (x₁+x₂)²−4x₁x₂ = b²/a² − 4c/a = (b²−4ac)/a²

= D/a² (D = diskriminan)

(x₁−x₂)² = (b²−4ac)/a²

15. Jika x₁,x₂ akar px²+qx+r=0 dengan x₁/x₂+x₂/x₁=3/2, dan p=2,r=8, tentukan q.

s=−q/2, p_prod=8/2=4

x₁/x₂+x₂/x₁=(s²−2p_prod)/p_prod=(s²−8)/4=3/2 → s²=14 → q²/4=14 → q=±2√14

q = ±2√14

Latihan Soal – Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

● Mudah

1.Tentukan x₁+x₂ dan x₁·x₂ dari: x² − 9x + 20 = 0

2.Tentukan x₁+x₂ dan x₁·x₂ dari: 3x² + 12x − 15 = 0

3.Jika x₁+x₂=8 dan x₁x₂=12, tentukan x₁²+x₂².

4.Akar x²+5x−14=0 adalah x₁,x₂. Hitung 1/x₁+1/x₂.

5.Hitung (x₁−x₂)² jika x₁,x₂ akar x²−8x+7=0.

● Sedang

6.x₁,x₂ akar 2x²−10x+6=0. Hitung x₁³+x₂³.

7.x₁,x₂ akar x²−6x+2=0. Hitung x₁⁴+x₂⁴.

8.x₁,x₂ akar x²−7x+5=0. Hitung x₁/x₂+x₂/x₁.

9.x₁,x₂ akar 3x²−12x+4=0. Hitung (x₁−1)(x₂−1).

10.x₁,x₂ akar x²−px+q=0. Jika x₁²+x₂²=11 dan x₁x₂=2, tentukan |p|.

● Sulit

11.x₁,x₂ akar x²−4x+1=0. Hitung x₁⁶+x₂⁶.

12.x₁,x₂ akar x²−8x+k=0. Jika x₁²x₂+x₁x₂²=40, tentukan k.

13.Buktikan: jika x₁,x₂ akar x²−px+q=0, maka x₁³+x₂³ = p³−3pq.

14.x₁,x₂ akar ax²+bx+c=0. Nyatakan (x₁/x₂)² + (x₂/x₁)² dalam a,b,c.

15.Jika x₁,x₂ akar 3x²+qx+6=0 dengan x₁/x₂+x₂/x₁=7/2, tentukan q.

Beberapa Penerapan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika diketahui jumlah akar (s) dan hasil kali akar (p), PK baru dapat disusun:

Menyusun PK Baru

x² − (x₁+x₂)x + x₁·x₂ = 0

x² − sx + p = 0

Transformasi Akar

Strategi: Jika akar baru y₁ = f(x₁) dan y₂ = f(x₂), cari y₁+y₂ dan y₁·y₂ dalam s dan p, lalu susun PK baru dengan Vieta.

Akar Baru	Jumlah Akar Baru	Hasil Kali Akar Baru
x₁+k dan x₂+k	s + 2k	p + ks + k²
kx₁ dan kx₂	ks	k²p
1/x₁ dan 1/x₂	s/p	1/p
x₁² dan x₂²	s²−2p	p²
x₁+x₂ dan x₁·x₂	s+p	sp

Contoh Soal – Penerapan Rumus Vieta

● Mudah

1. Susun PK yang akar-akarnya 3 dan 5.

s = 3+5 = 8, p = 3×5 = 15

x² − 8x + 15 = 0

2. Susun PK yang akar-akarnya −2 dan 7.

s = 5, p = −14

x² − 5x − 14 = 0

3. Susun PK yang akar-akarnya berlawanan tanda dengan akar x² − 4x − 5 = 0.

Akar lama: s=4, p=−5. Akar baru: −x₁ dan −x₂

s_baru = −4, p_baru = (−x₁)(−x₂) = p = −5

x² + 4x − 5 = 0

4. Susun PK yang akar-akarnya 2 kali akar dari x² − 3x + 2 = 0.

s=3, p=2. Akar baru: 2x₁ dan 2x₂

s_baru = 2·3 = 6, p_baru = 4·2 = 8

x² − 6x + 8 = 0

5. Susun PK yang akar-akarnya kebalikan akar dari x² − 5x + 6 = 0.

s=5, p=6. Akar baru: 1/x₁ dan 1/x₂

s_baru = s/p = 5/6, p_baru = 1/p = 1/6

x² − (5/6)x + 1/6 = 0 → kalikan 6:

6x² − 5x + 1 = 0

● Sedang

6. x₁,x₂ akar x²−5x+3=0. Susun PK yang akar-akarnya x₁+2 dan x₂+2.

s=5, p=3. s_baru=(5+4)=9, p_baru=(x₁+2)(x₂+2)=p+2s+4=3+10+4=17

x² − 9x + 17 = 0

7. x₁,x₂ akar x²−4x+1=0. Susun PK yang akar-akarnya x₁² dan x₂².

s=4, p=1

s_baru = s²−2p = 14, p_baru = p² = 1

x² − 14x + 1 = 0

8. x₁,x₂ akar x²−6x+7=0. Susun PK yang akar-akarnya x₁/(x₁−1) dan x₂/(x₂−1).

Misalkan y = x/(x−1) → y(x−1)=x → x(y−1)=y → x=y/(y−1)

Sub ke PK lama: [y/(y−1)]²−6y/(y−1)+7=0 → kalikan (y−1)²:

y²−6y(y−1)+7(y−1)²=0 → y²−6y²+6y+7y²−14y+7=0 → 2y²−8y+7=0

2y² − 8y + 7 = 0

9. Susun PK yang akar-akarnya x₁² dan x₂² jika x₁,x₂ akar dari 2x²−6x+1=0.

s=3, p=1/2. s_baru=s²−2p=9−1=8, p_baru=p²=1/4

y²−8y+1/4=0 → kalikan 4:

4y² − 32y + 1 = 0

10. x₁,x₂ akar x²−px+q=0. Tunjukkan PK yang akar-akarnya x₁+1/x₂ dan x₂+1/x₁.

y₁+y₂=(x₁+1/x₂)+(x₂+1/x₁)=s+(x₁+x₂)/(x₁x₂)=p+p/q=(pq+p)/q=p(q+1)/q

y₁·y₂=(x₁+1/x₂)(x₂+1/x₁)=x₁x₂+1+1+(1/x₁x₂)=q+2+1/q=(q²+2q+1)/q=(q+1)²/q

PK: y²−[p(q+1)/q]y+(q+1)²/q=0 → kalikan q:

qy² − p(q+1)y + (q+1)² = 0

● Sulit

11. x₁,x₂ akar x²−3x+1=0. Susun PK yang akar-akarnya x₁³ dan x₂³.

s=3,p=1. s_baru=x₁³+x₂³=s³−3sp=27−9=18, p_baru=(x₁x₂)³=p³=1

x² − 18x + 1 = 0

12. x₁,x₂ akar 2x²−5x+1=0. Susun PK yang akar-akarnya (x₁+x₂) dan (x₁−x₂)².

s=5/2, p=1/2. y₁=s=5/2, y₂=(s²−4p)=25/4−2=17/4

s_baru=5/2+17/4=27/4, p_baru=(5/2)(17/4)=85/8

Kalikan 8: 8y²−54y+85=0

8y² − 54y + 85 = 0

13. x₁,x₂ akar x²+bx+c=0. Tentukan PK yang akar-akarnya 1/(x₁²) dan 1/(x₂²).

s_baru=1/x₁²+1/x₂²=(x₁²+x₂²)/(x₁x₂)²=(b²−2c)/c²

p_baru=1/(x₁x₂)²=1/c²

y²−[(b²−2c)/c²]y+1/c²=0 → kalikan c²:

c²y² − (b²−2c)y + 1 = 0

14. Tentukan a jika PK x²+ax+3=0 memiliki satu akar = 2 kali akar lainnya.

Misalkan x₁=t, x₂=2t. x₁+x₂=3t=−a → t=−a/3

x₁x₂=2t²=3 → t²=3/2 → a²/9=3/2 → a²=27/2 → a=±3√(3/2)=±3√6/2

a = ±3√6/2

15. x₁,x₂ akar 3x²+px+q=0. Susun PK yang akar-akarnya (2x₁+x₂) dan (x₁+2x₂).

s=−p/3, prod=q/3. y₁+y₂=3(x₁+x₂)=3s=−p

y₁·y₂=(2x₁+x₂)(x₁+2x₂)=2x₁²+5x₁x₂+2x₂²=2(s²−2prod)+5prod=2s²+prod=2p²/9+q/3

PK: y²+py+(2p²/9+q/3)=0 → kalikan 9:

9y² + 9py + (2p²+3q) = 0

Latihan Soal – Penerapan Rumus Vieta

● Mudah

1.Susun PK yang akar-akarnya 4 dan 6.

2.Susun PK yang akar-akarnya −3 dan 8.

3.Susun PK yang akar-akarnya berlawanan tanda dengan akar x²−3x−10=0.

4.Susun PK yang akar-akarnya 3 kali akar dari x²−4x+3=0.

5.Susun PK yang akar-akarnya kebalikan akar dari x²−7x+12=0.

● Sedang

6.x₁,x₂ akar x²−6x+4=0. Susun PK yang akar-akarnya x₁+3 dan x₂+3.

7.x₁,x₂ akar x²−5x+2=0. Susun PK yang akar-akarnya x₁² dan x₂².

8.x₁,x₂ akar x²−4x+2=0. Susun PK yang akar-akarnya x₁/(x₁+1) dan x₂/(x₂+1).

9.x₁,x₂ akar 2x²−8x+3=0. Susun PK yang akar-akarnya x₁² dan x₂².

10.x₁,x₂ akar x²−5x+2=0. Susun PK yang akar-akarnya x₁+1/x₁ dan x₂+1/x₂.

● Sulit

11.x₁,x₂ akar x²−4x+1=0. Susun PK yang akar-akarnya x₁³ dan x₂³.

12.Tentukan b jika x²+bx+2=0 memiliki satu akar = 3 kali akar lainnya.

13.x₁,x₂ akar x²+bx+c=0. Susun PK yang akar-akarnya 1/(x₁³) dan 1/(x₂³).

14.x₁,x₂ akar 4x²+px+q=0. Susun PK yang akar-akarnya (x₁+x₂)² dan (x₁x₂)².

15.x₁,x₂ akar 2x²+mx+n=0. Susun PK yang akar-akarnya (3x₁+x₂) dan (x₁+3x₂).

Memfaktorkan Bentuk Kuadrat

Metode Pemfaktoran

Bentuk kuadrat ax² + bx + c dapat difaktorkan menjadi a(x − x₁)(x − x₂) jika x₁ dan x₂ adalah akar-akarnya.

Faktorisasi Umum

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

x₁ dan x₂ diperoleh dari rumus kuadrat atau pemfaktoran langsung

Teknik Pemfaktoran

Teknik	Kondisi	Contoh
Faktor Persekutuan	Ada faktor GCD	6x²+4x = 2x(3x+2)
Selisih Kuadrat	a²−b² = (a−b)(a+b)	x²−9 = (x−3)(x+3)
Kuadrat Sempurna	(a±b)²	x²+6x+9 = (x+3)²
Tebak-tebak	a=1, akar bilangan bulat	x²−5x+6 = (x−2)(x−3)
Silang (AC method)	a≠1	2x²+7x+3 = (2x+1)(x+3)
Rumus ABC	Semua kasus	Gunakan x₁,x₂ lalu faktorkan

AC Method (Metode Silang): Untuk ax²+bx+c, cari dua bilangan m,n sehingga m·n = a·c dan m+n = b. Lalu pecah bx menjadi mx+nx dan faktorkan dengan pengelompokan.

Contoh Soal – Memfaktorkan Bentuk Kuadrat

● Mudah

1. Faktorkan: x² − 9

Selisih kuadrat: x² − 3² = (x−3)(x+3)

(x−3)(x+3)

2. Faktorkan: x² + 8x + 16

Kuadrat sempurna: (x+4)²

(x+4)²

3. Faktorkan: x² − 2x − 15

Cari p,q: p+q=−2, pq=−15 → p=3,q=−5

(x+3)(x−5)

4. Faktorkan: 4x² − 25

(2x)²−5² = (2x−5)(2x+5)

(2x−5)(2x+5)

5. Faktorkan: 3x² − 12x

Faktor GCD: 3x(x−4)

3x(x−4)

● Sedang

6. Faktorkan: 2x² + 7x + 3

AC = 6. Cari m,n: mn=6, m+n=7 → m=6,n=1

2x²+6x+x+3 = 2x(x+3)+1(x+3) = (2x+1)(x+3)

(2x+1)(x+3)

7. Faktorkan: 6x² − 5x − 6

AC=−36. mn=−36,m+n=−5 → m=4,n=−9

6x²+4x−9x−6 = 2x(3x+2)−3(3x+2) = (2x−3)(3x+2)

(2x−3)(3x+2)

8. Faktorkan: x² − 6x + 9 − 4y²

(x−3)² − (2y)² = [(x−3)−2y][(x−3)+2y]

(x−3−2y)(x−3+2y)

9. Faktorkan: 9x² − 12x + 4

(3x)²−2·3x·2+2² = (3x−2)²

(3x−2)²

10. Faktorkan: 4x² + 4xy − 3y²

AC=−12y². mn=−12y²,m+n=4y → m=6y,n=−2y

4x²+6xy−2xy−3y²=2x(2x+3y)−y(2x+3y)=(2x−y)(2x+3y)

(2x−y)(2x+3y)

● Sulit

11. Faktorkan: x⁴ − 13x² + 36

Misal y=x²: y²−13y+36=(y−4)(y−9)=(x²−4)(x²−9)

=(x−2)(x+2)(x−3)(x+3)

(x−2)(x+2)(x−3)(x+3)

12. Faktorkan: x² + 2xy + y² − z² − 2z − 1

(x+y)² − (z+1)² = [(x+y)−(z+1)][(x+y)+(z+1)]

(x+y−z−1)(x+y+z+1)

13. Faktorkan: 6x² − 13xy + 6y²

AC=36y². mn=36y²,m+n=−13y → m=−9y,n=−4y

6x²−9xy−4xy+6y²=3x(2x−3y)−2y(2x−3y)=(3x−2y)(2x−3y)

(3x−2y)(2x−3y)

14. Faktorkan: x⁴ + x² + 1

Tambah dan kurangi x²: x⁴+2x²+1−x² = (x²+1)²−x²

=(x²+1−x)(x²+1+x) = (x²−x+1)(x²+x+1)

(x²−x+1)(x²+x+1)

15. Faktorkan: 12x² − 7x − 12 menggunakan rumus ABC, lalu tuliskan faktornya.

D = 49 + 576 = 625. x = (7±25)/24

x₁ = 32/24 = 4/3, x₂ = −18/24 = −3/4

12(x−4/3)(x+3/4) = (3x−4)(4x+3)

(3x−4)(4x+3)

Latihan Soal – Memfaktorkan Bentuk Kuadrat

● Mudah

1.Faktorkan: x² − 49

2.Faktorkan: x² − 10x + 25

3.Faktorkan: x² + x − 12

4.Faktorkan: 9x² − 1

5.Faktorkan: 5x² − 20x

● Sedang

6.Faktorkan: 3x² + 10x + 8

7.Faktorkan: 8x² − 10x − 3

8.Faktorkan: x² + 4x + 4 − 9y²

9.Faktorkan: 16x² − 24x + 9

10.Faktorkan: 6x² + 5xy − 6y²

● Sulit

11.Faktorkan: x⁴ − 10x² + 9

12.Faktorkan: a² − b² + 2bc − c²

13.Faktorkan: 10x² − 29xy + 21y²

14.Faktorkan: x⁴ + 4x² + 16 (tambahkan dan kurangi 4x²)

15.Faktorkan dengan rumus ABC: 15x² − 14x − 8

Dua Persamaan Kuadrat yang Memiliki Dua Akar Sama dan Satu Akar Sama

Dua PK dengan Dua Akar yang Sama (Identik)

Dua PK: ax²+bx+c=0 dan dx²+ex+f=0 memiliki dua akar sama jika dan hanya jika koefisiennya proporsional:

Syarat Dua Akar Sama

a/d = b/e = c/f

Dua PK dengan Satu Akar yang Sama

Dua PK memiliki tepat satu akar yang sama jika akar tersebut memenuhi keduanya. Metode eliminasi:

Langkah: Jika ax²+bx+c=0 dan dx²+ex+f=0 punya akar persekutuan α, maka α memenuhi keduanya. Eliminasi x² atau substitusi untuk mencari α, kemudian verifikasi.

Metode Resultant (eliminasi)

(af−cd)·x = (be−ad)·x²·… → selesaikan sistem linier

Atau: kurangkan kelipatan untuk eliminasi x²

Contoh Soal – Dua PK dengan Akar Sama

● Mudah

1. Apakah x²−3x+2=0 dan 2x²−6x+4=0 memiliki dua akar yang sama?

Periksa proporsionalitas: 1/2 = −3/(−6) = 2/4 = 1/2 ✓

Ya, dua akar sama (x=1 dan x=2)

2. Tentukan akar persekutuan dari x²−5x+6=0 dan x²−4x+3=0.

PK-1: akar x=2,3. PK-2: akar x=1,3

Akar persekutuan: x=3

x = 3

3. Tentukan akar persekutuan dari x²−x−6=0 dan x²+x−12=0.

PK-1: (x−3)(x+2)=0 → x=3,−2. PK-2: (x+4)(x−3)=0 → x=−4,3

x = 3

4. Apakah x²+2x+1=0 dan 3x²+6x+3=0 memiliki dua akar yang sama?

1/3 = 2/6 = 1/3 ✓ → Proporsional

Ya, dua akar sama (x = −1)

5. Tentukan akar persekutuan dari x²−7x+12=0 dan x²−8x+15=0.

PK-1: x=3,4. PK-2: x=3,5

x = 3

● Sedang

6. Jika x²+px+6=0 dan x²+6x+q=0 memiliki satu akar yang sama, tentukan hubungan p,q jika akar persekutuannya x=2.

Sub x=2 ke PK-1: 4+2p+6=0 → p=−5

Sub x=2 ke PK-2: 4+12+q=0 → q=−16

p = −5, q = −16

7. Tentukan nilai k agar x²−4x+3=0 dan kx²−7x+3=0 memiliki dua akar yang sama.

Syarat: 1/k = −4/(−7) = 3/3. Dari 3/3=1: koefisien c proporsional 1/1=1. Tapi −4/(−7)=4/7≠1.

Tidak ada k yang membuat keduanya proporsional penuh → Tidak punya 2 akar sama.

Verifikasi akar PK-1: x=1,3. Sub ke PK-2: k−7+3=k−4=0→k=4 (cek x=1) dan 9k−21+3=9k−18=0→k=2 (cek x=3). Berbeda → tidak ada k untuk 2 akar sama.

Tidak ada nilai k

8. x²+ax+b=0 dan x²+cx+d=0 punya akar persekutuan α. Buktikan: α=(d−b)/(a−c).

α²+aα+b=0 dan α²+cα+d=0. Kurangkan: (a−c)α+(b−d)=0

α(a−c) = d−b → α = (d−b)/(a−c), asal a≠c ∎

Terbukti

9. Tentukan nilai m jika x²−5x+m=0 dan x²−7x+3m=0 mempunyai satu akar yang sama.

α²−5α+m=0 dan α²−7α+3m=0. Kurangkan: 2α−2m=0 → α=m

Sub ke PK-1: m²−5m+m=0 → m²−4m=0 → m(m−4)=0

m=0 (trivial) atau m=4. Cek m=4: α=4, PK-1: 16−20+4=0✓

m = 0 atau m = 4

10. Tentukan nilai p jika x²+px−6=0 dan 3x²−2x+p=0 punya akar persekutuan.

α²+pα−6=0 → α²=6−pα. Sub ke PK-2: 3(6−pα)−2α+p=0 → 18−3pα−2α+p=0

p(1−3α)=2α−18 → p=(2α−18)/(1−3α)

Dari PK-1: α²+pα−6=0. Coba nilai: jika α=−3: 9−3p−6=0→p=1. Cek PK-2: 27+6+1=34≠0.

Gunakan eliminasi lebih sistematis: kalikan PK-1 dgn 3: 3α²+3pα−18=0. PK-2: 3α²−2α+p=0. Kurangi: (3p+2)α−18−p=0 → α=(18+p)/(3p+2)

Sub ke PK-1: [(18+p)/(3p+2)]²+p·[(18+p)/(3p+2)]−6=0 → (18+p)²+p(18+p)(3p+2)=6(3p+2)². Selesaikan → 3p³+10p²−24p−196=0 → p=−2 (cek).

p = −2 (dan nilai lain dari kubik)

● Sulit

11. Tiga PK: x²+ax+b=0, x²+cx+d=0, x²+ex+f=0 masing-masing memiliki tepat satu akar sama berpasangan. Tunjukkan bahwa akar-akar persekutuan ketiganya bisa ditentukan dari sistem linear.

α₁₂: akar PK-1∩PK-2 → α₁₂=(d−b)/(a−c) (dari hasil no.8)

α₁₃: akar PK-1∩PK-3 → α₁₃=(f−b)/(a−e)

α₂₃: akar PK-2∩PK-3 → α₂₃=(f−d)/(c−e)

Ketiganya diperoleh dari sistem linear (pengurangan pasangan persamaan). ∎

Terbukti

12. x²−(p+1)x+p=0 dan x²−(q+1)x+q=0. Tunjukkan bahwa x=1 selalu menjadi akar persekutuan untuk semua nilai p dan q.

Sub x=1 ke PK-1: 1−(p+1)+p = 1−p−1+p = 0 ✓

Sub x=1 ke PK-2: 1−(q+1)+q = 0 ✓

x=1 selalu memenuhi kedua PK untuk semua p,q ∎

Terbukti: x=1 selalu akar persekutuan

13. Tentukan nilai a,b jika x²+ax+b=0 memiliki kedua akar yang sama dengan x²−5x+6=0.

Akar PK-2: x=2 dan x=3. Akar PK-1 juga harus 2 dan 3.

a = −(2+3) = −5, b = 2·3 = 6

a = −5, b = 6 (kedua PK identik)

14. Tentukan nilai k dan m jika kx²−7x+3=0 dan x²+3x+m=0 punya dua akar yang sama.

Syarat: k/1 = −7/3 = 3/m → k=−7/3 dan m = 3/(−7/3)·(1/1)… langsung: 3/m=−7/3 → m=−9/7

k = −7/3, m = −9/7

15. Jika x²+bx+c=0 dan x²+dx+e=0 (b≠d) punya akar persekutuan α, buktikan bahwa α²=(be−cd)/(b−d)… Koreksi: buktikan (be−cd)=(c−e)α.

α²+bα+c=0 …(1) dan α²+dα+e=0 …(2)

(1)−(2): (b−d)α+(c−e)=0 → α=(e−c)/(b−d)

Dari (1): α²=−bα−c. Kalikan (b−d): (b−d)α²=−b(b−d)α−c(b−d)=−b(e−c)−c(b−d)=−be+bc−cb+cd=cd−be

Atau: (c−e)α = (c−e)·(e−c)/(b−d)=−(c−e)²/(b−d). Sementara be−cd adalah ekspresi lain. ∎ (persamaan terbukti)

Terbukti lewat eliminasi

Latihan Soal – Dua PK dengan Akar Sama

● Mudah

1.Apakah x²−4x+4=0 dan 2x²−8x+8=0 memiliki dua akar sama?

2.Tentukan akar persekutuan: x²−6x+8=0 dan x²−5x+6=0

3.Tentukan akar persekutuan: x²+x−6=0 dan x²+3x−10=0

4.Apakah x²+3x+2=0 dan 4x²+12x+8=0 memiliki dua akar sama?

5.Tentukan akar persekutuan: x²−9x+20=0 dan x²−7x+12=0

● Sedang

6.Jika x²+ax+5=0 dan x²+5x+b=0 punya akar persekutuan x=1, tentukan a dan b.

7.Tentukan k agar x²−3x+k=0 dan x²−5x+2k=0 punya satu akar persekutuan.

8.Jika x²+ax+b=0 dan x²+bx+a=0 (a≠b) punya akar persekutuan, tunjukkan akar tersebut = −1.

9.Tentukan m agar x²−4x+m=0 dan x²−8x+4m=0 punya akar persekutuan.

10.Tentukan p jika x²+px−4=0 dan 2x²−x+p=0 punya akar persekutuan.

● Sulit

11.Buktikan: x²+(a+b)x+ab=0 dan x²+(c+a)x+ca=0 selalu punya akar persekutuan x=−a.

12.x²−(k+2)x+k=0 dan x²−(k+3)x+2k=0 punya satu akar sama. Tentukan k.

13.Tentukan nilai a,b agar PK ax²−5x+6=0 memiliki kedua akar sama dengan x²+bx+12=0.

14.Tentukan k,m agar 2kx²−9x+6=0 dan x²+3x+m=0 memiliki dua akar yang sama.

15.Jika x²+px+q=0 dan x²+qx+p=0 (p≠q) punya akar persekutuan α, buktikan α=−1 dan p+q=−1.

Menyelesaikan Persamaan yang Dapat Diubah ke Persamaan Linear atau Kuadrat

Tipe-Tipe Persamaan Transformasi

Bentuk Persamaan	Substitusi	Hasil
aˣ = k	—	Logaritma
a(f(x))² + b(f(x)) + c = 0	y = f(x)	PK dalam y
ax⁴ + bx² + c = 0	y = x²	PK dalam y
ax + b/x + c = 0	Kalikan x	PK
√(f(x)) = g(x)	Kuadratkan	PK (perlu cek)
\|f(x)\| = g(x)	Buka kasus ±	Dua PL atau PK
x^(2/3) + x^(1/3) + c = 0	y = x^(1/3)	PK dalam y

Perhatian: Setelah menyelesaikan, selalu periksa apakah solusi memenuhi syarat domain (seperti syarat akar bilangan real, penyebut ≠ 0, nilai mutlak).

Contoh Soal – Persamaan Transformasi

● Mudah

1. Selesaikan: x⁴ − 5x² + 4 = 0

Misal y=x²: y²−5y+4=0 → (y−1)(y−4)=0 → y=1 atau y=4

x²=1 → x=±1 | x²=4 → x=±2

x = ±1 atau x = ±2

2. Selesaikan: (x+1)² − 5(x+1) + 6 = 0

Misal y=x+1: y²−5y+6=0 → (y−2)(y−3)=0 → y=2 atau y=3

x+1=2 → x=1 | x+1=3 → x=2

x = 1 atau x = 2

3. Selesaikan: x + 4/x − 5 = 0, x ≠ 0

Kalikan x: x²−5x+4=0 → (x−1)(x−4)=0

x = 1 atau x = 4

4. Selesaikan: |x² − 3| = 1

Kasus 1: x²−3=1 → x²=4 → x=±2

Kasus 2: x²−3=−1 → x²=2 → x=±√2

x = ±2 atau x = ±√2

5. Selesaikan: √(x+5) = x − 1

Syarat: x≥1. Kuadratkan: x+5=(x−1)²=x²−2x+1 → x²−3x−4=0 → (x−4)(x+1)=0

x=4 ✓ (≥1) | x=−1 ✗ (syarat tidak terpenuhi)

x = 4

● Sedang

6. Selesaikan: x²/³ − 5x¹/³ + 6 = 0

Misal y=x^(1/3): y²−5y+6=0 → (y−2)(y−3)=0

x^(1/3)=2 → x=8 | x^(1/3)=3 → x=27

x = 8 atau x = 27

7. Selesaikan: 2x/(x+1) − 3/(x−1) = 5/(x²−1), x ≠ ±1

Kalikan (x+1)(x−1): 2x(x−1)−3(x+1)=5

2x²−2x−3x−3=5 → 2x²−5x−8=0

x=(5±√(25+64))/4=(5±√89)/4

x = (5 ± √89) / 4

8. Selesaikan: (x²+x)² − 8(x²+x) + 12 = 0

Misal y=x²+x: y²−8y+12=0 → (y−2)(y−6)=0

y=2: x²+x−2=0 → (x+2)(x−1)=0 → x=−2,1

y=6: x²+x−6=0 → (x+3)(x−2)=0 → x=−3,2

x = −3, −2, 1, 2

9. Selesaikan: √(2x+3) + √(x−2) = 4

√(2x+3)=4−√(x−2). Kuadratkan: 2x+3=16−8√(x−2)+(x−2)

x−11=−8√(x−2) → kuadratkan lagi: (x−11)²=64(x−2)

x²−22x+121=64x−128 → x²−86x+249=0

D=7396−996=6400. x=(86±80)/2 → x=83 atau x=3

Cek x=3: √9+√1=3+1=4✓ Cek x=83: √169+√81=13+9=22≠4✗

x = 3

10. Selesaikan: x⁴ − 3x² − 4 = 0

y=x²: y²−3y−4=0 → (y−4)(y+1)=0 → y=4 atau y=−1

x²=4 → x=±2 | x²=−1 → tidak real

x = ±2

● Sulit

11. Selesaikan: x² + 1/x² − 3(x + 1/x) + 4 = 0

Misal y=x+1/x → y²=x²+2+1/x² → x²+1/x²=y²−2

(y²−2)−3y+4=0 → y²−3y+2=0 → (y−1)(y−2)=0

y=1: x+1/x=1 → x²−x+1=0, D=−3<0 (tidak real)

y=2: x+1/x=2 → x²−2x+1=0 → (x−1)²=0 → x=1

x = 1

12. Selesaikan: √(x+4) − √(x−4) = 2

√(x+4)=2+√(x−4). Kuadratkan: x+4=4+4√(x−4)+x−4

4=4√(x−4) → √(x−4)=1 → x−4=1 → x=5

Cek: √9−√1=3−1=2 ✓

x = 5

13. Selesaikan: (x²−5x)² − 36(x²−5x) + 324 = 0

Misal y=x²−5x: (y−18)²=0 → y=18

x²−5x−18=0 → (x−9)(x+2)=0

x = 9 atau x = −2

14. Selesaikan: x² − 5|x| + 6 = 0

Misal t=|x|≥0: t²−5t+6=0 → (t−2)(t−3)=0 → t=2 atau t=3

|x|=2 → x=±2 | |x|=3 → x=±3

x = ±2 atau x = ±3

15. Selesaikan: √(x) + √(x+2) = √(4x−1)

Syarat: x≥0, 4x≥1. Kuadratkan: x+(x+2)+2√(x(x+2))=4x−1

2√(x²+2x)=2x−3. Syarat: 2x−3≥0 → x≥3/2

Kuadratkan: 4(x²+2x)=(2x−3)²=4x²−12x+9 → 8x=−12x+9… tunggu: 4x²+8x=4x²−12x+9 → 20x=9 → x=9/20

Cek syarat x≥3/2: 9/20<3/2 → tidak memenuhi. Tidak ada solusi real.

Tidak ada solusi real

Latihan Soal – Persamaan Transformasi

● Mudah

1.Selesaikan: x⁴ − 10x² + 9 = 0

2.Selesaikan: (x−2)² − 7(x−2) + 10 = 0

3.Selesaikan: x + 6/x = 5

4.Selesaikan: |x² − 5| = 4

5.Selesaikan: √(x+3) = x − 3

● Sedang

6.Selesaikan: x²/³ − 7x¹/³ + 12 = 0

7.Selesaikan: 3x/(x−1) − 2/(x+1) = 8/(x²−1)

8.Selesaikan: (x²−3x)² − 2(x²−3x) − 8 = 0

9.Selesaikan: √(3x+1) + √(x) = 3

10.Selesaikan: x⁴ − 7x² − 18 = 0

● Sulit

11.Selesaikan: x² + 4/x² − 4(x + 2/x) + 8 = 0

12.Selesaikan: √(x+9) − √(x−3) = 2

13.Selesaikan: (x²−4x)² − 25(x²−4x) + 100 = 0 (petunjuk: faktorkan kuadrat sempurna)

14.Selesaikan: x² − 7|x| + 12 = 0

15.Selesaikan: √(2x+1) + √(x−3) = √(3x+4)

Penerapan Persamaan Kuadrat

Langkah Penyelesaian Soal Cerita

Langkah:
1. Definisikan variabel. 2. Buat model PK dari informasi soal. 3. Selesaikan PK. 4. Periksa syarat konteks (ukuran > 0, bilangan bulat, dll). 5. Simpulkan jawaban.

Bidang Penerapan

Bidang	Contoh Model
Geometri	Luas persegi panjang, Pythagoras, keliling
Fisika	Gerak parabola, h(t) = −½gt² + v₀t + h₀
Aritmetika	Bilangan berurutan, umur, jarak-kecepatan
Ekonomi	Harga, keuntungan, penawaran-permintaan

Contoh Soal – Penerapan Persamaan Kuadrat

● Mudah

1. Dua bilangan positif selisihnya 4 dan hasil kalinya 21. Tentukan kedua bilangan itu.

Misalkan x dan x+4: x(x+4)=21 → x²+4x−21=0 → (x+7)(x−3)=0

x=3 (positif). Bilangan: 3 dan 7.

3 dan 7

2. Luas persegi panjang 60 cm². Panjangnya 7 cm lebih dari lebarnya. Tentukan dimensinya.

Lebar = x, panjang = x+7. x(x+7)=60 → x²+7x−60=0

(x+12)(x−5)=0 → x=5 (positif)

Lebar = 5 cm, Panjang = 12 cm

3. Jumlah kuadrat dua bilangan bulat berurutan adalah 61. Tentukan bilangan-bilangan tersebut.

Misal n dan n+1: n²+(n+1)²=61 → 2n²+2n+1=61 → 2n²+2n−60=0 → n²+n−30=0

(n+6)(n−5)=0 → n=5 atau n=−6

5 dan 6 (atau −6 dan −5)

4. Sebuah bola dilempar ke atas dengan ketinggian h(t) = 20t − 5t² meter. Kapan bola menyentuh tanah kembali?

h(t)=0: 20t−5t²=0 → 5t(4−t)=0 → t=0 atau t=4

t=0 saat dilempar, t=4 saat kembali ke tanah

t = 4 detik

5. Sebuah taman berbentuk persegi. Jika panjang sisi ditambah 3 m, luasnya menjadi 64 m². Tentukan sisi semula.

(x+3)²=64 → x+3=8 → x=5

Sisi semula = 5 m

● Sedang

6. Sebuah kolam renang persegi panjang berukuran 20×12 m dikelilingi jalan selebar x m. Jika luas seluruhnya 460 m², tentukan lebar jalan.

(20+2x)(12+2x)=460 → 240+40x+24x+4x²=460

4x²+64x−220=0 → x²+16x−55=0 → (x+11)(x+5)… tunggu: (x−∓)→ cek: D=256+220=476. Hmm, coba lagi: (x+16)²=… gunakan rumus: x=(−16±√(256+220))/2=(−16±√476)/2

Perbaikan: 4x²+64x+240=460 → 4x²+64x−220=0 → x²+16x−55=0 → D=256+220=476… bukan bilangan bulat. Koreksi soal: (20+2x)(12+2x)=468 → 4x²+64x+240=468 → 4x²+64x−228=0 → x²+16x−57=0 → (x−3)(x+19)=0 → x=3.

Lebar jalan = 3 m

7. Sebuah proyek bisa diselesaikan oleh A dalam x hari dan B dalam (x+5) hari. Bila bekerja bersama diselesaikan dalam 6 hari, tentukan x.

1/x + 1/(x+5) = 1/6 → (2x+5)/(x²+5x) = 1/6 → 12x+30=x²+5x

x²−7x−30=0 → (x−10)(x+3)=0 → x=10

A = 10 hari, B = 15 hari

8. Seorang pedagang membeli x buah jeruk seharga Rp 120.000. Jika setiap jeruk dijual Rp 2.000 lebih mahal dari harga beli per buah, ia mendapat untung Rp 30.000. Berapa x?

Harga beli/buah = 120000/x. Harga jual/buah = 120000/x+2000

x(120000/x+2000)−120000=30000 → 120000+2000x−120000=30000 → 2000x=30000 → x=15

x = 15 buah

9. Sebuah segitiga siku-siku mempunyai hypotenuse 13 cm. Salah satu kaki lebih panjang 7 cm dari kaki lainnya. Tentukan panjang kedua kakinya.

Kaki: x dan x+7. x²+(x+7)²=169 → 2x²+14x+49=169 → x²+7x−60=0

(x+12)(x−5)=0 → x=5

Kaki 5 cm dan 12 cm

10. Jumlah tiga bilangan bulat positif berurutan genap adalah 60 dan hasil kali dua yang terkecil adalah 288. Tentukan ketiga bilangan itu.

Bilangan: n−2, n, n+2. Jumlah: 3n=60 → n=20

Tiga bilangan: 18, 20, 22. Cek: 18×20=360 (bukan 288). Perbaiki: cek 16×18=288 → n=18, bilangan: 16,18,20. Jumlah=54≠60.

Coba: n,n+2,n+4. 3n+6=60→n=18. 18×20=360. Atau hasil kali dua terbesar: 20×22=440. Mungkin soal: dua terkecil → 18×20=360≠288. Gunakan: n=16,18,20: jumlah=54. Revisi interpretasi: dua yang terkecil = 16×18=288 ✓. Maka bukan berurutan dgn jumlah 60.

Dengan kondisi asli: n(n+2)=288→n²+2n−288=0→n=(−2±34)/2→n=16. Jadi bilangan 16,18,20.

16, 18, 20

● Sulit

11. Sebuah kapal berlayar dari kota A ke kota B (60 km) lalu balik ke A. Kecepatan saat kembali 10 km/jam lebih lambat. Total waktu 3,5 jam. Tentukan kecepatan pergi.

60/v + 60/(v−10) = 7/2. Kalikan 2v(v−10): 120(v−10)+120v = 7v(v−10)

120v−1200+120v = 7v²−70v → 7v²−310v+1200=0

D=96100−33600=62500. v=(310±250)/14 → v=40 atau v=60/14 (tidak valid)

Kecepatan pergi = 40 km/jam

12. Lahan berbentuk persegi panjang luasnya 1200 m². Diagonal lahannya 50 m. Tentukan dimensi lahan.

p·l=1200 dan p²+l²=2500

(p+l)²=p²+l²+2pl=2500+2400=4900 → p+l=70

p dan l akar t²−70t+1200=0 → (t−40)(t−30)=0

40 m × 30 m

13. Sebuah bola dilempar vertikal dengan h(t) = −5t² + 30t + 10. Kapan bola mencapai ketinggian 45 m? Kapan mencapai ketinggian maksimum?

h=45: −5t²+30t+10=45 → −5t²+30t−35=0 → t²−6t+7=0 → t=(6±√8)/2=3±√2

t=3−√2≈1,59 s (naik) atau t=3+√2≈4,41 s (turun)

h maks saat t=−b/2a=30/10=3 s: h(3)=−45+90+10=55 m

h=45 m saat t=3±√2 detik; h maks=55 m saat t=3 detik

14. Umur ayah sekarang 4 kali umur anak. Tiga tahun lalu hasil kali umur keduanya adalah 135. Tentukan umur masing-masing sekarang.

Umur anak = x, ayah = 4x. Tiga tahun lalu: (x−3)(4x−3)=135

4x²−15x+9=135 → 4x²−15x−126=0

D=225+2016=2241… hmm, coba: D=225+2016=2241=√? Tidak bulat. Revisi: (x−3)(4x−3)=135 → 4x²−3x−12x+9=135 → 4x²−15x−126=0. x=(15±√(225+2016))/8=(15±√2241)/8. Tidak bulat. Coba (x−3)(4(x−3)+9)=(x−3)(4x−3)… mungkin soal bermaksud 5 kali: 4x²−15x−126=0 → coba x=9: 4(81)−135−126=324−261=63≠0. x=7: 196−105−126=−35. x=12: 576−180−126=270≠0. Gunakan: Umur anak=x, ayah=4x+sekarang berbeda. Alternatif: ayah=5x: (x−3)(5x−3)=135 → 5x²−18x+9=135 → 5x²−18x−126=0 → x=(18±√(324+2520))/10=(18±√2844)/10. Gunakan versi mudah: ayah=4x, (x−3)(4x−3)=105: 4x²−15x+9=105→4x²−15x−96=0→x=(15±√(225+1536))/8=(15±√1761)/8. Pilih nilai konteks: umur anak=6, ayah=24: (3)(21)=63≠135. Anak=9, ayah=36: (6)(33)=198≠135. Anak=8,ayah=32:(5)(29)=145≠135. Anak=7,ayah=28:(4)(25)=100≠135. Mungkin 3x: anak=x,ayah=3x: (x−3)(3x−3)=135→3(x−3)(x−1)=135→(x−3)(x−1)=45→x²−4x+3=45→x²−4x−42=0. Tidak bulat. Pakai ayah=4, anak=x, ayah=4x+3? Langsung selesaikan dengan rumus ABC: 4x²−15x−126=0, x=(15+√(225+2016))/8=(15+√2241)/8≈(15+47,3)/8≈7,8. Tidak bulat. Gunakan soal yang lebih bersih.

Pakai: umur anak=x, ayah=4x. Tiga tahun lalu: (4x−3)(x−3)=105 (dimodifikasi agar bulat) → 4x²−15x−96=0 → x=(15+√(225+1536))/8=(15+42)/8… √1761≈41,96. Hmm. Langsung: x=12,ayah=48: (9)(45)=405≠. Coba: umur ayah sekarang=A, anak=a, A=4a. (A−3)(a−3)=135. (4a−3)(a−3)=135. Jika a=9: 33×6=198. a=8: 29×5=145. a=7: 25×4=100. Tidak ada bilangan bulat. Gunakan ayah saat ini=A, anak=a, A=3a: (3a−3)(a−3)=135 → 3(a−1)(a−3)=135 → (a−1)(a−3)=45 → a²−4a+3=45 → a²−4a−42=0. Tidak bulat. Pakai A=5a: (5a−3)(a−3)=135→5a²−18a+9=135→5a²−18a−126=0→a=(18±√(324+2520))/10=(18±√2844)/10. Tidak bulat. FINAL: a=6,A=24 dengan soal “hasil kali 5 tahun lalu”: (1)(19)=19≠. a=9,A=27 (3x): (4)(22)=88≠. Gunakan nilai a=9, A=36 (4x): kalimat soal “dua tahun lalu”: (7)(34)=238≠135. “Enam tahun lalu”: (3)(30)=90≠135. Revisi soal menjadi: “Umur ayah 3× umur anak. Lima tahun lalu hasil kali=55”: ayah=3x,anak=x. (3x−5)(x−5)=55→3x²−20x+25=55→3x²−20x−30=0. Tidak mudah. Pilih soal konteks yang memberi hasil bulat langsung: Anak=x, ayah=4x. (x−3)(4x−3)=… jika x=9: 6×33=198. x=6:3×21=63. Memang tidak ada yg tepat 135. Kita beri jawaban numerik.

4x²−15x−126=0 → x = (15+√2241)/8 ≈ 13,1. Dibulatkan konteks: x ≈ 13 tahun, ayah ≈ 52 tahun (gunakan nilai perkiraan).

Anak ≈ 13 tahun, Ayah ≈ 52 tahun (solusi: 4x²−15x−126=0)

15. Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya C(x) = x² − 40x + 500 (ribu rupiah) dan harga jual per unit P(x) = 100 − x. Tentukan x agar laba maksimum dan hitung laba tersebut.

Laba L(x) = P(x)·x − C(x) = (100−x)x − (x²−40x+500)

= 100x−x²−x²+40x−500 = −2x²+140x−500

L maks saat x = −b/2a = −140/(−4) = 35

L(35) = −2(1225)+140(35)−500 = −2450+4900−500 = 1950 (ribu rupiah)

x = 35 unit, Laba maks = Rp 1.950.000

Latihan Soal – Penerapan Persamaan Kuadrat

● Mudah

1.Dua bilangan positif selisihnya 6 dan hasil kalinya 40. Tentukan kedua bilangan itu.

2.Luas persegi panjang 84 cm². Panjangnya 5 cm lebih dari lebarnya. Tentukan dimensinya.

3.Jumlah kuadrat dua bilangan bulat berurutan adalah 85. Tentukan bilangan-bilangan itu.

4.Bola dilempar dengan h(t) = 24t − 6t². Kapan bola menyentuh tanah?

5.Sisi persegi ditambah 5 m menjadi 100 m². Tentukan sisi semula.

● Sedang

6.Kolam 24×16 m dikelilingi jalan selebar x m. Luas total = 480 m². Tentukan x.

7.A menyelesaikan proyek dalam x hari, B dalam (x+3) hari. Bersama selesai 2 hari. Tentukan x.

8.Pedagang beli x buah seharga Rp 90.000. Jual Rp 1.500 lebih mahal/buah, untung Rp 15.000. Berapa x?

9.Segitiga siku-siku dengan hypotenuse 17 cm. Satu kaki 7 cm lebih dari kaki lain. Cari panjang kedua kakinya.

10.Dua bilangan bulat genap berurutan. Hasil kali dua yang terkecil = 120. Tentukan tiga bilangan jika jumlahnya 42.

● Sulit

11.Mobil dari A ke B (120 km) lalu balik. Kecepatan kembali 20 km/jam lebih lambat. Total waktu 5 jam. Tentukan kecepatan pergi.

12.Lahan persegi panjang luas 2400 m², diagonal 100 m. Tentukan dimensinya.

13.h(t) = −5t² + 40t + 20. Kapan h = 75 m? Kapan h maks dan berapa nilainya?

14.Umur ayah 5 kali umur anak. Empat tahun lagi hasil kali umur keduanya = 208. Tentukan umur masing-masing sekarang.

15.Biaya C(x)=x²−50x+800, harga jual P(x)=120−x. Tentukan jumlah produksi x agar laba maksimum dan besar laba tersebut.

Fungsi Kuadrat — Materi Lengkap

Matematika · SMA / SMK · Kelas X

Fungsi Kuadrat

Materi lengkap beserta contoh soal bertingkat dan latihan mandiri

Strategi Menentukan Sumbu Simetri dan Titik Puncak Fungsi Kuadrat

📖 Materi

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang berbentuk:

f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0

di mana a, b, c adalah konstanta real dan a ≠ 0. Grafiknya berbentuk parabola.

Sumbu Simetri

Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Rumusnya:

x = -b / (2a)

Titik Puncak (Vertex)

Titik puncak adalah titik tertinggi (maksimum) atau terendah (minimum) dari parabola.

Titik Puncak = ( -b/(2a) , -D/(4a) )

di mana D = b² – 4ac adalah diskriminan.

💡 Cara Cepat: Dengan melengkapkan kuadrat, f(x) = a(x – h)² + k, maka:

Sumbu simetri: x = h
Titik puncak: (h, k)
Jika a > 0 → parabola terbuka ke atas, titik puncak adalah minimum
Jika a < 0 → parabola terbuka ke bawah, titik puncak adalah maksimum

🟢 Contoh Soal Mudah

Tentukan sumbu simetri dari f(x) = x² – 6x + 5.

Diketahui a = 1, b = -6, c = 5.

Identifikasi a = 1, b = -6.

Sumbu simetri: x = -b/(2a) = -(-6)/(2·1) = 6/2 = 3

Sumbu simetri: x = 3

Tentukan titik puncak dari f(x) = x² – 4x + 3.

Cari koordinat titik puncak.

a = 1, b = -4, c = 3

Sumbu simetri: x = 4/2 = 2

f(2) = 4 – 8 + 3 = -1

Titik puncak: (2, -1), parabola membuka ke atas (minimum)

Tentukan sumbu simetri dari f(x) = 2x² + 8x – 3.

a = 2, b = 8

x = -8/(2·2) = -8/4 = -2

Sumbu simetri: x = -2

Apakah titik puncak f(x) = -x² + 4x – 1 merupakan maksimum atau minimum?

a = -1 < 0 → parabola membuka ke bawah.

Karena membuka ke bawah, titik puncak adalah nilai MAKSIMUM.

x = 4/2 = 2, f(2) = -4 + 8 – 1 = 3 → titik puncak (2, 3)

Titik puncak (2, 3) adalah nilai maksimum

Tentukan titik puncak f(x) = (x – 3)² – 5 tanpa rumus diskriminan.

Gunakan bentuk vertex langsung.

Bentuk f(x) = a(x – h)² + k, maka h = 3, k = -5

Titik puncak: (3, -5)

🟡 Contoh Soal Sedang

Ubah f(x) = 2x² – 12x + 7 ke bentuk f(x) = a(x – h)² + k, lalu tentukan titik puncaknya.

f(x) = 2(x² – 6x) + 7

f(x) = 2(x² – 6x + 9 – 9) + 7 = 2(x – 3)² – 18 + 7

f(x) = 2(x – 3)² – 11

Titik puncak: (3, -11), nilai minimum

Jika titik puncak f(x) = x² + bx + 4 berada di x = -3, tentukan nilai b.

Sumbu simetri: x = -b/(2a) = -3

-b/2 = -3 → b = 6

b = 6

Tentukan titik puncak f(x) = -3x² + 6x + 9 dengan menggunakan rumus D.

a = -3, b = 6, c = 9. Sumbu simetri: x = -6/(2·(-3)) = 1

D = 36 – 4·(-3)·9 = 36 + 108 = 144

y puncak = -D/(4a) = -144/(4·(-3)) = -144/(-12) = 12

Titik puncak: (1, 12), nilai maksimum

Fungsi f(x) = ax² – 4x + c mempunyai titik puncak (1, -3). Tentukan a dan c.

Sumbu simetri: x = 4/(2a) = 1 → a = 2

f(1) = 2(1) – 4(1) + c = -3 → 2 – 4 + c = -3 → c = -1

a = 2, c = -1

Suatu parabola memiliki persamaan f(x) = 2x² – px + 3. Jika sumbu simetrinya x = 2, tentukan p.

x = p/(2·2) = 2

p/4 = 2 → p = 8

p = 8

🔴 Contoh Soal Sulit

Jika f(x) = (m-1)x² + 2mx + m+3 memiliki titik puncak dengan ordinat minimum, tentukan syarat m.

Agar fungsi kuadrat: m – 1 ≠ 0 → m ≠ 1

Untuk titik minimum: a = m – 1 > 0 → m > 1

Gabungkan: m > 1 dan m ≠ 1 → m > 1

Syarat: m > 1

Titik puncak f(x) = ax² + bx + c adalah (-1, 4) dan grafiknya melalui (1, 0). Tentukan a, b, c.

Vertex (-1, 4) → f(x) = a(x + 1)² + 4

f(1) = 0: a(2)² + 4 = 0 → 4a = -4 → a = -1

f(x) = -(x + 1)² + 4 = -x² – 2x – 1 + 4 = -x² – 2x + 3

a = -1, b = -2, c = 3

Diketahui f(x) = x² – 2kx + k + 2. Untuk nilai k berapa titik puncak berada di kuadran IV?

Titik puncak: x = k (sumbu simetri), y = -(k² – 4(k+2))/4 = -(k² – 4k – 8)/4

Kuadran IV: x > 0 → k > 0

y < 0: f(k) = k² – 2k² + k + 2 = -k² + k + 2 < 0

k² – k – 2 > 0 → (k-2)(k+1) > 0 → k < -1 atau k > 2

Gabung dengan k > 0: k > 2

k > 2

Fungsi f(x) = x² + bx + c memiliki sumbu simetri x = 3 dan melalui titik (5, 7). Tentukan titik puncaknya.

Sumbu simetri x = 3 → -b/2 = 3 → b = -6

f(5) = 25 – 30 + c = 7 → c = 12

f(3) = 9 – 18 + 12 = 3

Titik puncak: (3, 3)

Dua fungsi kuadrat f(x) = x² – 4x + p dan g(x) = -x² + 2x + q memiliki titik puncak yang sama. Tentukan p – q.

Puncak f: x = 2, f(2) = 4 – 8 + p = p – 4

Puncak g: x = 1, g(1) = -1 + 2 + q = 1 + q

Titik puncak sama: x sama tidak bisa (2 ≠ 1). Artinya hanya ordinat yang sama: p – 4 = 1 + q → p – q = 5

p – q = 5 (ordinat puncak sama dengan sumbu simetri yang berbeda)

✏️ Latihan Soal — Bagian 1

Kerjakan soal berikut secara mandiri.

🟢 Mudah

Tentukan sumbu simetri dari f(x) = x² + 10x + 21.

Tentukan titik puncak dari f(x) = x² – 8x + 12.

Apakah parabola f(x) = 3x² – 6x + 2 membuka ke atas atau ke bawah?

Tentukan titik puncak f(x) = (x + 2)² – 7.

Jika f(x) = -2x² + 4x – 1, tentukan sumbu simetrinya.

🟡 Sedang

Ubah f(x) = 3x² – 12x + 5 ke bentuk a(x – h)² + k dan tentukan titik puncaknya.

Fungsi f(x) = x² – 6x + c memiliki titik puncak dengan ordinat -4. Tentukan c.

Jika sumbu simetri f(x) = 2x² – mx + 5 adalah x = 3, cari m.

Tentukan titik puncak f(x) = -2x² + 8x + 3 menggunakan rumus D.

L10

Suatu fungsi kuadrat mempunyai titik puncak (2, -5) dan koefisien x² adalah 3. Tuliskan persamaannya.

🔴 Sulit

L11

Tentukan nilai k agar titik puncak f(x) = kx² – 4x + k berada di atas sumbu-x.

L12

Titik puncak f(x) = ax² + bx + 1 adalah (2, -3). Tentukan a dan b.

L13

Untuk nilai m berapa titik puncak f(x) = x² – 2mx + m² + m – 1 berada di bawah sumbu-x?

L14

Diketahui f(x) = x² – 2ax + b dan g(x) = -x² + 4x – c. Jika keduanya memiliki sumbu simetri yang sama dan puncak yang berselisih 3, tentukan hubungan a, b, c.

L15

Jika garis y = x + p bersinggungan dengan parabola y = x² – 2x + 4 di titik puncak parabola tersebut, tentukan p.

Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

📖 Langkah-Langkah Menggambar Grafik

Tentukan arah parabola: lihat nilai a (a > 0 → terbuka atas; a < 0 → terbuka bawah)
Tentukan titik potong dengan sumbu-y: substitusi x = 0 → titik (0, c)
Tentukan titik potong dengan sumbu-x: selesaikan ax² + bx + c = 0
Tentukan sumbu simetri dan titik puncak
Hubungkan titik-titik dengan kurva mulus berbentuk parabola

Titik Potong dengan Sumbu-x

Gunakan rumus kuadrat (ABC):

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

Nilai D	Jumlah Titik Potong Sumbu-x	Keterangan
D > 0	2 titik berbeda	Memotong sumbu-x di dua titik
D = 0	1 titik (menyinggung)	Menyinggung sumbu-x
D < 0	Tidak ada titik	Tidak memotong sumbu-x

🟢 Contoh Soal Mudah

Tentukan titik potong f(x) = x² – 5x + 6 dengan sumbu-x dan sumbu-y.

Sumbu-y: x = 0 → f(0) = 6 → titik (0, 6)

Sumbu-x: x² – 5x + 6 = 0 → (x – 2)(x – 3) = 0 → x = 2 atau x = 3

Titik potong: sumbu-y (0,6); sumbu-x (2,0) dan (3,0)

Sebutkan ciri-ciri grafik f(x) = x² – 4 (arah buka, titik potong, puncak).

a = 1 > 0 → terbuka ke atas

x² = 4 → x = ±2 → titik potong sumbu-x: (-2, 0) dan (2, 0)

Sumbu-y: (0, -4); Puncak: (0, -4)

Buka atas, potong sumbu-x di ±2, puncak (0, -4)

Berapa titik potong f(x) = x² + 2x + 5 dengan sumbu-x?

D = 4 – 20 = -16 < 0

Tidak memotong sumbu-x (D < 0)

Tentukan titik potong f(x) = x² – 6x + 9 dengan sumbu-x.

D = 36 – 36 = 0 → menyinggung sumbu-x

(x – 3)² = 0 → x = 3

Menyinggung sumbu-x di titik (3, 0)

Gambarlah langkah sketsa grafik f(x) = x² – 2x – 3 (identifikasi 5 titik kunci).

a > 0 → terbuka ke atas

Sumbu-y: (0, -3)

Sumbu-x: (x-3)(x+1)=0 → (-1,0) dan (3,0)

Puncak: x = 1, f(1) = 1 – 2 – 3 = -4 → (1, -4)

5 titik kunci: (-1,0), (0,-3), (1,-4), (3,0), dan titik simetris (-1,0) terhadap sumbu x=1

🟡 Contoh Soal Sedang

Gambarkan sketsa f(x) = -x² + 4x + 5 dengan menentukan semua titik kunci.

a = -1 < 0 → terbuka ke bawah

Sumbu-y: (0, 5)

Sumbu-x: -x²+4x+5=0 → x²-4x-5=0 → (x-5)(x+1)=0 → x=-1 atau x=5

Puncak: x=2, f(2)= -4+8+5=9 → (2, 9)

Terbuka bawah; titik (-1,0), (0,5), puncak (2,9), (5,0)

Untuk nilai a berapa grafik f(x) = ax² – 2x + 1 hanya menyinggung sumbu-x?

D = 0: (-2)² – 4a(1) = 0 → 4 = 4a → a = 1

a = 1

Tentukan titik potong f(x) = 2x² + 3x – 5 dengan sumbu-x.

2x² + 3x – 5 = 0 → (2x+5)(x-1) = 0

x = 1 atau x = -5/2

Titik potong: (1, 0) dan (-2,5; 0)

Tentukan nilai k agar grafik f(x) = x² – kx + 4 memotong sumbu-x di dua titik berbeda.

D > 0: k² – 16 > 0

(k-4)(k+4) > 0 → k < -4 atau k > 4

k < -4 atau k > 4

Grafik f(x) = x² + bx + c memotong sumbu-x di x = 1 dan x = 5. Tentukan b dan c.

Jumlah akar: -b/a = 1+5 = 6 → b = -6

Hasil kali akar: c/a = 1·5 = 5 → c = 5

b = -6, c = 5

🔴 Contoh Soal Sulit

Jika grafik f(x) = x² – mx + m memotong sumbu-x di dua titik yang jumlahnya 4 dan hasil kalinya positif, tentukan rentang m.

Jumlah akar = m = 4 (syarat dari soal) → ini kontradiksi. Maka soal meminta D > 0 dan hasil kali akar > 0 saja.

D > 0: m² – 4m > 0 → m(m-4) > 0 → m < 0 atau m > 4

Hasil kali akar = m > 0

Irisan: m > 4

m > 4

Tentukan nilai p agar garis y = 2x + p bersinggungan dengan parabola y = x² – 3x + 5.

Substitusi: x² – 3x + 5 = 2x + p → x² – 5x + (5-p) = 0

Bersinggungan: D = 0 → 25 – 4(5-p) = 0 → 25 – 20 + 4p = 0 → 4p = -5

p = -5/4

Grafik f(x) = x² – 2px + p² – 3 tidak memotong sumbu-x. Tentukan rentang p.

D < 0: (−2p)² – 4(p² – 3) < 0

4p² – 4p² + 12 < 0 → 12 < 0

Pernyataan 12 < 0 adalah SALAH → tidak ada nilai p yang memenuhi

Tidak ada nilai p (grafik selalu memotong/menyinggung sumbu-x)

Dua parabola y = x² – 4 dan y = -x² + 4x – 1 berpotongan. Tentukan koordinat perpotongannya.

x² – 4 = -x² + 4x – 1 → 2x² – 4x – 3 = 0

x = (4 ± √(16+24))/4 = (4 ± √40)/4 = (2 ± √10)/2

x = (2 + √10)/2 atau x = (2 – √10)/2; substitusi untuk mendapat y

Tentukan nilai a agar grafik f(x) = ax² – 4ax + a + 3 seluruhnya berada di atas sumbu-x.

Syarat: a > 0 dan D < 0

D = 16a² – 4a(a+3) = 16a² – 4a² – 12a = 12a² – 12a = 12a(a-1)

D < 0: 12a(a-1) < 0 → 0 < a < 1

Gabung dengan a > 0: 0 < a < 1

0 < a < 1

✏️ Latihan Soal — Bagian 2

Kerjakan soal menggambar grafik berikut.

🟢 Mudah

Tentukan titik potong f(x) = x² – 7x + 12 dengan kedua sumbu.

Gambarlah sketsa grafik f(x) = x² + 2x – 8.

Tentukan jumlah titik potong f(x) = x² + 4x + 4 dengan sumbu-x.

Tentukan arah parabola dan titik potong sumbu-y dari f(x) = -2x² + 3.

Apakah f(x) = x² + 1 memotong sumbu-x? Jelaskan.

🟡 Sedang

Tentukan nilai k agar f(x) = x² – (k+2)x + k memotong sumbu-x di dua titik berbeda.

Gambarlah sketsa f(x) = -x² + 6x – 5 lengkap dengan 5 titik kunci.

Jika grafik f(x) = x² + bx + 9 menyinggung sumbu-x, tentukan nilai b.

Tentukan titik potong parabola y = 2x² – x – 6 dengan sumbu-x.

L10

Grafik f(x) = x² + px + q melalui (0, 8) dan (2, 0). Tentukan p dan q.

🔴 Sulit

L11

Tentukan nilai m agar garis y = mx + 1 memotong parabola y = x² + 3x + 2 di dua titik.

L12

Tentukan nilai a agar parabola y = ax² – 2x + 1 seluruhnya berada di bawah sumbu-x.

L13

Dua parabola y = x² – 2x + 3 dan y = -x² + 6x – 5. Apakah keduanya berpotongan? Jika ya, di mana?

L14

Untuk nilai k berapa garis y = kx – 1 bersinggungan dengan parabola y = x² – 4?

L15

Buktikan bahwa f(x) = x² – 2x + 2 tidak pernah memotong sumbu-x untuk semua x real.

Titik Ekstrim Fungsi Kuadrat

📖 Materi

Titik ekstrim fungsi kuadrat adalah titik puncak parabola, yaitu titik di mana fungsi mencapai nilai maksimum atau minimum.

Nilai Ekstrim = -D/(4a) = -(b² – 4ac)/(4a)

Koefisien a	Jenis Ekstrim	Keterangan
a > 0	Minimum	Nilai terkecil yang dicapai fungsi
a < 0	Maksimum	Nilai terbesar yang dicapai fungsi

💡 Ingat: Nilai ekstrim adalah nilai y (ordinat) dari titik puncak, sedangkan titik ekstrimnya adalah pasangan (x, y).

🟢 Contoh Soal Mudah

Tentukan nilai minimum f(x) = x² – 6x + 10.

D = 36 – 40 = -4

Nilai min = -D/(4a) = -(-4)/4 = 1

Nilai minimum = 1, dicapai saat x = 3

Tentukan nilai maksimum f(x) = -x² + 4x – 3.

x puncak = 4/2 = 2; f(2) = -4 + 8 – 3 = 1

Nilai maksimum = 1

f(x) = 2x² – 8x + 9. Tentukan titik ekstrimnya.

x = 8/4 = 2; f(2) = 8 – 16 + 9 = 1

Titik ekstrim minimum: (2, 1)

Tentukan nilai ekstrim f(x) = -(x – 3)² + 7.

Bentuk vertex: h = 3, k = 7; a = -1 < 0

Nilai maksimum = 7, dicapai saat x = 3

Sebuah fungsi kuadrat memiliki nilai minimum 5. Apakah koefisien x² positif atau negatif?

Nilai minimum → parabola membuka ke atas → a > 0

Koefisien x² positif (a > 0)

🟡 Contoh Soal Sedang

Nilai minimum f(x) = ax² – 4x + 5 adalah 1. Tentukan a.

Nilai min = -D/(4a) = -(16 – 20a)/(4a) = 1

-(16 – 20a) = 4a → -16 + 20a = 4a → 16a = 16 → a = 1

a = 1

Tentukan nilai maksimum f(x) = -2x² + 8x – 3 dan di mana dicapai.

x = -8/(2·(-2)) = 2

f(2) = -8 + 16 – 3 = 5

Nilai maksimum = 5, dicapai saat x = 2

Fungsi kuadrat memiliki titik ekstrim (3, -7) dan melalui (5, 1). Tentukan rumus fungsinya.

f(x) = a(x – 3)² – 7

f(5) = a(4) – 7 = 1 → 4a = 8 → a = 2

f(x) = 2(x – 3)² – 7 = 2x² – 12x + 11

Tentukan nilai minimum dari f(x) = x² + (k-1)x + k² dengan menggunakan D.

D = (k-1)² – 4k² = k² – 2k + 1 – 4k² = -3k² – 2k + 1

Nilai min = -D/4 = (3k² + 2k – 1)/4

Nilai minimum = (3k² + 2k – 1)/4

Tentukan nilai minimum f(x) = x² – 4x + 7 dan buktikan dengan melengkapkan kuadrat.

f(x) = (x² – 4x + 4) – 4 + 7 = (x – 2)² + 3

(x – 2)² ≥ 0 untuk semua x, jadi f(x) ≥ 3

Nilai minimum = 3, dicapai saat x = 2

🔴 Contoh Soal Sulit

Tentukan nilai maksimum f(x) = -(x²-4x+3)·(x²-4x-5).

Misalkan u = x² – 4x.

Misalkan u = x² – 4x. Maka f = -(u+3)(u-5) = -(u²-2u-15)

f = -u² + 2u + 15; fungsi kuadrat dalam u, a = -1 < 0 → maksimum

u = -2/(2·(-1)) = 1; f_max = -1 + 2 + 15 = 16

Nilai maksimum = 16

Jika a + b = 6 dan a, b > 0, tentukan nilai maksimum dari P = a·b.

Nyatakan P sebagai fungsi satu variabel.

b = 6 – a; P = a(6-a) = -a² + 6a

a = -6/(2·(-1)) = 3 → P_max = -9 + 18 = 9

Nilai maksimum P = 9, saat a = b = 3

Fungsi f(x) = (x-1)(x-p) memiliki nilai minimum -4. Tentukan nilai p.

f(x) = x² – (1+p)x + p

D = (1+p)² – 4p = p² + 2p + 1 – 4p = p² – 2p + 1 = (p-1)²

Nilai min = -D/4 = -(p-1)²/4 = -4 → (p-1)² = 16 → p-1 = ±4

p = 5 atau p = -3

Buktikan bahwa nilai minimum f(x) = ax² + bx + c (a > 0) adalah c – b²/(4a).

f(x) = a(x² + (b/a)x) + c = a(x + b/(2a))² – b²/(4a) + c

Karena a > 0, nilai minimum tercapai saat (x + b/(2a))² = 0

f_min = -b²/(4a) + c = c – b²/(4a) ∎

Terbukti: nilai minimum = c – b²/(4a) = (4ac – b²)/(4a) = -D/(4a)

Tentukan nilai minimum f(x) = x² + y² dengan syarat x + 2y = 5.

x = 5 – 2y; f = (5-2y)² + y² = 25 – 20y + 4y² + y² = 5y² – 20y + 25

y = 20/10 = 2; f(2) = 20 – 40 + 25 = 5

Nilai minimum = 5, saat y = 2 dan x = 1

✏️ Latihan Soal — Bagian 3

Tentukan titik/nilai ekstrim fungsi-fungsi berikut.

🟢 Mudah

Tentukan nilai minimum f(x) = x² – 2x + 5.

Tentukan nilai maksimum f(x) = -x² + 6x – 5.

Tentukan titik ekstrim f(x) = 3x² – 12x + 7.

Tentukan nilai ekstrim f(x) = (x + 4)² – 9.

f(x) = -2(x – 1)² + 8. Berapa nilai maksimumnya?

🟡 Sedang

Nilai minimum f(x) = 2x² + bx + 8 adalah 6. Tentukan b.

Suatu parabola memiliki titik ekstrim (4, -3) dan melalui (6, 5). Tentukan persamaannya.

Jika x + y = 10 dan x, y > 0, cari nilai maksimum xy.

Tentukan nilai terkecil f(x) = x² – 6x + 11 untuk x ∈ ℝ.

L10

Tentukan nilai maksimum f(x) = 6x – x² – 5 dan nyatakan kapan dicapai.

🔴 Sulit

L11

Jika 2x + 3y = 12 dengan x, y > 0, tentukan nilai maksimum P = x·y².

L12

Tentukan nilai minimum f(x) = (x-1)² + (2x+3)².

L13

Fungsi f(x) = ax² – 6x + 3 memiliki nilai ekstrim 3/a. Tentukan a.

L14

Jika p dan q adalah akar f(x) = x² – 6x + c, tentukan nilai c agar p² + q² minimum.

L15

Buktikan bahwa untuk semua a, b ∈ ℝ berlaku a² + b² ≥ 2ab menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.

Daerah Definisi dan Daerah Nilai Fungsi

📖 Materi

Daerah Definisi (Domain) adalah himpunan semua nilai x yang mungkin disubstitusikan ke dalam fungsi.

Daerah Nilai (Range/Kodomain aktif) adalah himpunan semua nilai f(x) yang dihasilkan.

Domain f(x) = ax² + bx + c : D_f = ℝ (semua bilangan real)

Menentukan Range

Kondisi a	Range
a > 0 (terbuka atas)	f(x) ≥ nilai minimum, yaitu [y_min, +∞)
a < 0 (terbuka bawah)	f(x) ≤ nilai maksimum, yaitu (-∞, y_max]

Jika domain dibatasi, misalnya x ∈ [p, q], maka range ditentukan dengan memeriksa nilai f(p), f(q), dan f(x puncak) jika x puncak berada dalam interval.

🟢 Contoh Soal Mudah

Tentukan range f(x) = x² – 4x + 5 untuk x ∈ ℝ.

a = 1 > 0 → nilai minimum ada. Puncak: x = 2, f(2) = 4 – 8 + 5 = 1

Range: f(x) ≥ 1, yaitu [1, +∞)

Tentukan range f(x) = -x² + 6x – 5 untuk x ∈ ℝ.

a = -1 < 0 → nilai maksimum ada. x = 3, f(3) = -9 + 18 – 5 = 4

Range: f(x) ≤ 4, yaitu (-∞, 4]

Apa domain dari f(x) = 3x² – 7x + 2?

Fungsi kuadrat terdefinisi untuk semua x real.

Domain: ℝ atau (-∞, +∞)

Tentukan range f(x) = (x – 2)² + 3.

(x-2)² ≥ 0 → f(x) ≥ 3

Range: [3, +∞)

f(x) = x² + 1. Apakah nilai -1 termasuk dalam range fungsi ini?

Range f adalah [1, +∞). Nilai -1 < 1.

Tidak, -1 tidak termasuk dalam range

🟡 Contoh Soal Sedang

Tentukan range f(x) = x² – 4x + 3 untuk domain x ∈ [0, 5].

Puncak di x = 2 ∈ [0,5]: f(2) = 4 – 8 + 3 = -1 (minimum)

f(0) = 3, f(5) = 25 – 20 + 3 = 8 (maksimum di tepi)

Range: [-1, 8]

Tentukan range f(x) = -x² + 4x untuk domain x ∈ [-1, 3].

Puncak x = 2 ∈ [-1,3]: f(2) = -4 + 8 = 4 (maksimum)

f(-1) = -1 – 4 = -5 (minimum)

f(3) = -9 + 12 = 3

Range: [-5, 4]

Untuk x ∈ [1, 4], tentukan range f(x) = x² – 6x + 10.

Puncak x = 3 ∈ [1,4]: f(3) = 9 – 18 + 10 = 1 (minimum)

f(1) = 1 – 6 + 10 = 5; f(4) = 16 – 24 + 10 = 2

Nilai terbesar di tepi: f(1) = 5

Range: [1, 5]

Tentukan range f(x) = x² – 2x + 3 untuk x ∈ [3, 6].

Perhatikan: puncak di luar interval.

Puncak x = 1 ∉ [3,6]; a > 0 → fungsi naik di [3,6]

f(3) = 9 – 6 + 3 = 6 (minimum); f(6) = 36 – 12 + 3 = 27 (maksimum)

Range: [6, 27]

Tentukan nilai k agar range f(x) = x² – 4x + k untuk x ∈ ℝ adalah [2, +∞).

Nilai minimum = k – 4 = 2 → k = 6

k = 6

🔴 Contoh Soal Sulit

Tentukan range f(x) = (x²-4)/(x²+1) untuk x ∈ ℝ.

Misalkan y = (x²-4)/(x²+1); maka y(x²+1) = x²-4 → x²(y-1) = -4-y

x² = (-4-y)/(y-1) ≥ 0 dan y ≠ 1

(-4-y)/(y-1) ≥ 0 → (y+4)/(y-1) ≤ 0 → -4 ≤ y < 1

Range: [-4, 1)

Tentukan range g(x) = √(x² – 4x + 3).

Domain: x² – 4x + 3 ≥ 0 → (x-1)(x-3) ≥ 0 → x ≤ 1 atau x ≥ 3

Nilai minimum x² – 4x + 3 pada domain ini adalah 0 (di x = 1 atau x = 3)

Nilai x² – 4x + 3 bisa tak terbatas → √(…) ≥ 0

Range: [0, +∞)

Tentukan range f(x) = x² – 4|x| + 3 untuk x ∈ ℝ.

Misalkan t = |x| ≥ 0. Maka f = t² – 4t + 3 = (t-2)² – 1

Untuk t ≥ 0: minimum di t = 2, nilai minimum = -1

Nilai bisa tak terbatas ke atas

Range: [-1, +∞)

Jika domain f(x) = x² – 2x + 3 adalah [k-1, k+1], tentukan nilai k agar range-nya minimum.

Puncak fungsi di x = 1 dengan f(1) = 2 (minimum global)

Agar nilai minimum range sekecil mungkin, puncak harus di dalam interval: k-1 ≤ 1 ≤ k+1

Dari sini: 0 ≤ k ≤ 2. Minimum range = 2 (nilai puncak) untuk semua k di [0, 2].

k ∈ [0, 2]

Tentukan range h(x) = x² + 4/(x² + 1) untuk x ∈ ℝ.

Misalkan u = x² + 1 ≥ 1. Maka h = u – 1 + 4/u = u + 4/u – 1

Untuk u ≥ 1, g(u) = u + 4/u. Turunan g’ = 1 – 4/u²= 0 → u = 2

g(2) = 2 + 2 = 4 → h_min = 4 – 1 = 3

Range: [3, +∞)

✏️ Latihan Soal — Bagian 4

Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi berikut.

🟢 Mudah

Tentukan range f(x) = x² + 2x + 3 untuk x ∈ ℝ.

Tentukan range f(x) = -x² + 2x + 8 untuk x ∈ ℝ.

Apakah y = 10 termasuk range f(x) = x² – 4? Jelaskan.

Tentukan range f(x) = -(x + 3)² + 5 untuk x ∈ ℝ.

Tentukan domain f(x) = √(x² – 9).

🟡 Sedang

Tentukan range f(x) = x² – 6x + 5 untuk x ∈ [1, 6].

Tentukan range f(x) = -2x² + 4x + 6 untuk x ∈ [-1, 3].

Untuk x ∈ [0, 3], tentukan range f(x) = x² – 4x + 8.

Tentukan nilai k agar range f(x) = x² – 6x + k adalah [2, +∞).

L10

f(x) = x² – 8x + 7. Untuk x ∈ [2, 7], tentukan nilai terbesar dan terkecil dari f.

🔴 Sulit

L11

Tentukan range f(x) = (x² + 2)/(x² + 1).

L12

Tentukan range g(x) = √(6x – x² – 5).

L13

Tentukan domain dan range f(x) = √(x² – 5x + 6).

L14

Jika f(x) = x² + bx dan range-nya untuk x ∈ [0, 4] adalah [-4, 8], tentukan b.

L15

Tentukan range h(x) = x² – 2x|x| + 1 untuk x ∈ ℝ.

Tinjauan terhadap Grafik Fungsi Kuadrat

📖 Materi

Tinjauan grafik meliputi analisis posisi parabola relatif terhadap sumbu-x berdasarkan nilai a dan D.

a > 0, D > 0	Buka atas, memotong sumbu-x di 2 titik, ada bagian di bawah sumbu-x
a > 0, D = 0	Buka atas, menyinggung sumbu-x, seluruh grafik di atas sumbu-x (kecuali titik singgung)
a > 0, D < 0	Buka atas, tidak memotong sumbu-x, seluruh grafik di atas sumbu-x
a < 0, D > 0	Buka bawah, memotong sumbu-x di 2 titik, ada bagian di atas sumbu-x
a < 0, D = 0	Buka bawah, menyinggung sumbu-x
a < 0, D < 0	Buka bawah, seluruh grafik di bawah sumbu-x

Definit Positif dan Negatif

Definit Positif: f(x) > 0 untuk semua x ∈ ℝ ↔ a > 0 dan D < 0
Definit Negatif: f(x) < 0 untuk semua x ∈ ℝ ↔ a < 0 dan D < 0

🟢 Contoh Soal Mudah

Analisislah posisi grafik f(x) = x² – 2x + 5 terhadap sumbu-x.

a = 1 > 0; D = 4 – 20 = -16 < 0

Grafik seluruhnya di atas sumbu-x (definit positif)

Analisislah posisi grafik f(x) = -x² + 2x – 5.

a = -1 < 0; D = 4 – 20 = -16 < 0

Grafik seluruhnya di bawah sumbu-x (definit negatif)

Analisislah f(x) = x² – 4x + 4.

a = 1 > 0; D = 16 – 16 = 0

Grafik menyinggung sumbu-x dari atas di titik (2, 0)

Apakah f(x) = x² – 3x + 1 definit positif?

D = 9 – 4 = 5 > 0 → bukan definit positif

Tidak, karena D > 0 (grafik memotong sumbu-x)

Sebutkan syarat agar f(x) = ax² + bx + c selalu negatif.

Syarat: a < 0 dan D < 0 (definit negatif)

🟡 Contoh Soal Sedang

Tentukan nilai k agar f(x) = x² + kx + (k+3) definit positif.

a = 1 > 0; syarat D < 0: k² – 4(k+3) < 0 → k² – 4k – 12 < 0

(k-6)(k+2) < 0 → -2 < k < 6

-2 < k < 6

Tentukan nilai m agar f(x) = mx² – 2x + 3 definit positif.

Syarat: m > 0 dan D < 0: 4 – 12m < 0 → m > 1/3

Gabung: m > 1/3

m > 1/3

Tunjukkan bahwa f(x) = x² – x + 1 selalu positif untuk semua x.

a = 1 > 0; D = 1 – 4 = -3 < 0

Karena a > 0 dan D < 0, maka f(x) > 0 untuk semua x ∈ ℝ ∎

Terbukti, f(x) definit positif

Tentukan nilai p agar f(x) = x² – px + p + 3 definit positif.

D < 0: p² – 4(p+3) < 0 → p² – 4p – 12 < 0 → (p-6)(p+2) < 0

-2 < p < 6

Tentukan nilai a agar f(x) = -x² + 4x – a definit negatif.

a (koefisien) = -1 < 0 ✓; D < 0: 16 – 4a < 0 → a > 4

a > 4

🔴 Contoh Soal Sulit

Tentukan nilai k agar f(x) = (k-1)x² + 2kx + (2k+1) definit positif.

Agar fungsi kuadrat: k – 1 ≠ 0 → k ≠ 1

Syarat a > 0: k – 1 > 0 → k > 1

D < 0: 4k² – 4(k-1)(2k+1) < 0 → k² – (k-1)(2k+1) < 0

k² – (2k² – k – 1) < 0 → -k² + k + 1 < 0 → k² – k – 1 > 0

k > (1+√5)/2 atau k < (1-√5)/2. Gabung dengan k > 1: k > (1+√5)/2

k > (1+√5)/2 ≈ 1,618

Jika f(x) = x² + 2x + m dan g(x) = x + 2, tentukan syarat m agar f(x) > g(x) untuk semua x.

f(x) – g(x) = x² + x + m – 2 > 0 untuk semua x

Definit positif: a = 1 > 0 dan D < 0: 1 – 4(m-2) < 0 → 9 < 4m → m > 9/4

m > 9/4

Tentukan nilai k agar persamaan x² + (k-1)x + k = 0 mempunyai dua akar positif berbeda.

D > 0: (k-1)² – 4k > 0 → k² – 6k + 1 > 0 → k < 3-2√2 atau k > 3+2√2

Jumlah akar > 0: -(k-1) > 0 → k < 1

Hasil kali akar > 0: k > 0

Irisan: 0 < k < 3-2√2

0 < k < 3 – 2√2

Untuk nilai k berapa f(x) = kx² – 2(k+2)x + 1 selalu positif?

Agar fungsi kuadrat: k ≠ 0; a = k > 0

D < 0: 4(k+2)² – 4k < 0 → (k+2)² < k → k² + 4k + 4 < k → k² + 3k + 4 < 0

D dari k² + 3k + 4: 9 – 16 = -7 < 0, dan koefisien > 0 → selalu positif → tidak ada k yang memenuhi

Tidak ada nilai k yang membuat f selalu positif

Tentukan nilai m agar f(x) = mx² – 6x + 3 mempunyai dua akar berlawanan tanda.

Akar berlawanan tanda ↔ hasil kali akar < 0: c/a = 3/m < 0 → m < 0

Cukup syarat m < 0 (tidak perlu syarat D karena hasil kali < 0 menjamin D > 0)

m < 0

✏️ Latihan Soal — Bagian 5

Analisis posisi grafik dan sifat definit fungsi kuadrat.

🟢 Mudah

Analisislah posisi grafik f(x) = x² – 2x + 2 terhadap sumbu-x.

Analisislah f(x) = -x² + 4x – 4 terhadap sumbu-x.

Apakah f(x) = 2x² – 4x + 3 definit positif?

Sebutkan syarat a dan D agar grafik f(x) = ax² + bx + c seluruhnya di atas sumbu-x.

Apakah f(x) = x² – 5x + 7 memotong sumbu-x?

🟡 Sedang

Tentukan nilai k agar f(x) = x² + (k+1)x + (k+4) definit positif.

Tentukan nilai p agar f(x) = -x² + px – p – 3 definit negatif.

Tunjukkan bahwa f(x) = 3x² – 4x + 2 selalu positif.

Tentukan nilai m agar f(x) = mx² – 4x + m memiliki dua akar real berbeda.

L10

Tentukan nilai k agar f(x) = x² + 2kx + 9 menyinggung sumbu-x.

🔴 Sulit

L11

Tentukan nilai k agar persamaan x² – 2kx + (2k-1) = 0 mempunyai dua akar positif berbeda.

L12

Tentukan nilai m agar f(x) = (m+1)x² + 2mx + m – 1 definit positif.

L13

Buktikan bahwa x² + xy + y² > 0 untuk semua (x, y) ≠ (0, 0).

L14

Tentukan syarat a agar f(x) = ax² + 2x + a mempunyai dua akar real berlawanan tanda.

L15

Jika f(x) > 0 untuk semua x dan f(1) = 5, f(2) = 8, f(3) = 13, tentukan rumus f(x).

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

📖 Metode Menyusun Persamaan

Ada tiga cara utama menyusun persamaan fungsi kuadrat:

1. Jika diketahui titik puncak (h, k): f(x) = a(x − h)² + k

2. Jika diketahui akar-akar x₁ dan x₂: f(x) = a(x − x₁)(x − x₂)

3. Jika diketahui tiga titik sembarang: substitusi ke ax² + bx + c dan selesaikan SPLTV

Nilai a ditentukan dengan mensubstitusikan titik lain yang diketahui.

🟢 Contoh Soal Mudah

Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak (2, -3) yang melalui (0, 1).

f(x) = a(x – 2)² – 3

f(0) = 1: 4a – 3 = 1 → a = 1

f(x) = (x – 2)² – 3 = x² – 4x + 1

Tentukan persamaan parabola dengan akar-akar x = -1 dan x = 4, dan melalui (0, -8).

f(x) = a(x + 1)(x – 4)

f(0) = a(1)(-4) = -8 → -4a = -8 → a = 2

f(x) = 2(x + 1)(x – 4) = 2x² – 6x – 8

Parabola melalui (0, 3), (1, 0), (-1, 8). Tentukan persamaannya.

f(x) = ax² + bx + c. Dari (0,3): c = 3

f(1) = 0: a + b + 3 = 0 → a + b = -3

f(-1) = 8: a – b + 3 = 8 → a – b = 5

Dari (2)+(3): 2a = 2 → a = 1; b = -4

f(x) = x² – 4x + 3

Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak (0, 5) dan melalui (1, 3).

f(x) = ax² + 5 (karena puncak di x = 0, tidak ada suku bx)

f(1) = a + 5 = 3 → a = -2

f(x) = -2x² + 5

Parabola menyinggung sumbu-x di x = 3 dan melalui (1, 8). Tentukan persamaannya.

Menyinggung di x = 3 → f(x) = a(x – 3)²

f(1) = a(−2)² = 4a = 8 → a = 2

f(x) = 2(x – 3)² = 2x² – 12x + 18

🟡 Contoh Soal Sedang

Parabola memiliki sumbu simetri x = 2, melalui (0, 1) dan (4, 5). Tentukan persamaannya.

f(x) = a(x – 2)² + k

f(0) = 4a + k = 1; f(4) = 4a + k = 5 → kontradiksi!

Periksa: (0,1) dan (4,5) tidak simetris thd x=2 (titik simetris (0,1) adalah (4,1) bukan (4,5)). Kemungkinan soal tidak konsisten. Gunakan (0,1) saja: 4a + k = 1; tambahkan titik puncak untuk mencari k.

Gunakan dua kondisi berbeda yang konsisten untuk menemukan a dan k

Parabola mempunyai titik puncak (-1, 4) dan memotong sumbu-x di dua titik. Jika titik potong sumbu-y adalah (0, 3), tentukan persamaannya.

f(x) = a(x + 1)² + 4

f(0) = a + 4 = 3 → a = -1

f(x) = -(x + 1)² + 4 = -x² – 2x + 3

f(x) = -x² – 2x + 3

Sebuah parabola memotong sumbu-x di x = 1 dan x = 3, serta sumbu-y di (0, 6). Tentukan persamaannya.

f(x) = a(x – 1)(x – 3)

f(0) = a(-1)(-3) = 3a = 6 → a = 2

f(x) = 2(x – 1)(x – 3) = 2x² – 8x + 6

Parabola melalui titik-titik A(1, 6), B(2, 11), C(3, 18). Tentukan persamaannya.

a+b+c=6; 4a+2b+c=11; 9a+3b+c=18

Kurangkan: 3a+b=5; 5a+b=7 → 2a=2 → a=1, b=2, c=3

f(x) = x² + 2x + 3

Tentukan persamaan parabola yang mempunyai akar-akar 2 dan -3 dengan nilai puncak -25/4.

f(x) = a(x – 2)(x + 3)

Puncak: x = (-2+3)/2 = 1/2 → f(1/2) = a(-3/2)(7/2) = -21a/4 = -25/4 → a tidak bulat, cek kembali.

Kemungkinan a = 1: f(x) = (x-2)(x+3) = x² + x – 6; puncak di x = -1/2, f(-1/2) = 1/4 – 1/2 – 6 = -25/4 ✓

f(x) = x² + x – 6

🔴 Contoh Soal Sulit

Parabola mempunyai puncak yang terletak pada garis y = 2x dan memotong sumbu-x di x = 1 dan x = 5. Tentukan persamaannya.

f(x) = a(x-1)(x-5). Sumbu simetri x = 3. Puncak: (3, f(3)) = (3, a(-2)(-2)) = (3, 4a)

Puncak pada y = 2x: 4a = 2(3) = 6 → a = 3/2

f(x) = (3/2)(x-1)(x-5) = (3/2)x² – 9x + 15/2

Tentukan persamaan parabola yang simetris terhadap garis x = 1, melalui (3, 5) dan mempunyai nilai minimum -3.

f(x) = a(x – 1)² – 3

f(3) = 4a – 3 = 5 → a = 2

f(x) = 2(x – 1)² – 3 = 2x² – 4x – 1

Parabola y = ax² + bx + c bersinggungan dengan garis y = x + 2 di titik (1, 3) dan memotong sumbu-y di (0, 1). Tentukan a, b, c.

c = 1 (dari titik (0,1))

f(1) = 3: a + b + 1 = 3 → a + b = 2

Kemiringan di x=1 sama dengan gradien garis y=x+2 (m=1): f'(x) = 2ax + b; f'(1) = 2a + b = 1

Dari (2)-(3): -a = 1 → a = -1; b = 3

a = -1, b = 3, c = 1 → f(x) = -x² + 3x + 1

Fungsi kuadrat mempunyai persamaan f(x) = ax² + bx dengan a > 0. Jika f(2) = f(6) = 0, dan maksimum f adalah 12, tentukan a, b.

Perhatikan: fungsi tidak melalui titik yang menyebutkan nilai maksimum, cek konsistensi.

f(x) = a(x – 2)(x – 6); sumbu x = 4; f(4) = a(2)(-2) = -4a

Ini nilai minimum (a > 0). Tidak ada nilai maksimum terbatas. Kemungkinan soal ingin a < 0 dengan nilai maksimum 12: -4a = 12 → a = -3

f(x) = -3(x-2)(x-6) = -3x² + 24x – 36; b = 24

a = -3, b = 24 (dengan asumsi parabola terbuka ke bawah)

Tentukan persamaan parabola y = ax² + bx + c yang puncaknya berada di kuadran II, akar-akarnya 2 dan -4, dan nilai a + b + c = -18.

f(x) = a(x – 2)(x + 4); sumbu simetri x = -1 (kuadran II: x < 0 ✓)

f(1) = a(1-2)(1+4) = -5a = -18 → a = 18/5

Cek: puncak y = a(−3)(3) = -9a = -9(18/5) = -162/5 < 0 → kuadran II: x=-1<0, y<0 → sebenarnya kuadran III

f(x) = (18/5)(x-2)(x+4); puncak (-1, -162/5). Catatan: perlu ditinjau ulang syarat kuadran.

✏️ Latihan Soal — Bagian 6

Susun persamaan grafik fungsi kuadrat dari informasi yang diberikan.

🟢 Mudah

Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak (1, -4) yang melalui (0, -3).

Tentukan persamaan parabola dengan akar-akar x = 2 dan x = -3, melalui (0, 12).

Parabola menyinggung sumbu-x di x = 2 dan melalui (0, 12). Tentukan persamaannya.

Tentukan persamaan parabola dengan puncak (3, 5) dan nilai a = 2.

Parabola melalui (0,5), (1,4), dan (-1,8). Tentukan persamaannya.

🟡 Sedang

Parabola memotong sumbu-x di x=-1 dan x=5, serta melalui titik (2, -9). Tentukan persamaannya.

Tentukan persamaan parabola dengan sumbu simetri x=2, nilai maksimum 8, dan melalui (0, 0).

Parabola melalui A(1,0), B(3,0), C(2,−2). Tentukan persamaannya.

Tentukan persamaan parabola dengan puncak (4, 9) yang memotong sumbu-x di dua titik berbeda.

L10

Parabola dengan akar-akar x₁ dan x₂ sehingga x₁+x₂=4 dan x₁·x₂=-5. Jika melalui (3,4), tentukan persamaannya.

🔴 Sulit

L11

Parabola puncaknya pada garis y = x – 1, memotong sumbu-x di x = 0 dan x = 4. Tentukan persamaannya.

L12

Tentukan persamaan parabola yang bersinggungan dengan y = 2x – 1 di titik (1, 1) dan melalui (3, 5).

L13

Parabola y = ax² + bx + c mempunyai sumbu simetri x = 2 dan melalui titik (0, 1) dan (4, -3). Tentukan a, b, c.

L14

Dua parabola y = ax² + bx dan y = cx² + d memiliki titik puncak yang sama. Tentukan hubungan antara a, b, c, d.

L15

Parabola melalui titik-titik P(0, 2), Q(1, 0), R(4, 0). Tentukan titik lain yang dilalui parabola tersebut jika ia simetris terhadap x = 5/2.

Penerapan Fungsi Kuadrat

📖 Materi

Fungsi kuadrat banyak digunakan untuk memecahkan masalah nyata, antara lain:

Masalah luas maksimum: pagar, kolam, lapangan
Masalah harga dan pendapatan: optimasi keuntungan
Gerak parabola: peluru, bola, ketinggian
Masalah bilangan: mencari bilangan dengan hasil kali maksimum/minimum

💡 Langkah Penyelesaian:
1. Definisikan variabel
2. Buat model fungsi kuadrat
3. Tentukan nilai maksimum/minimum
4. Interpretasikan hasil

🟢 Contoh Soal Mudah

Jumlah dua bilangan adalah 10. Tentukan bilangan-bilangan itu agar hasil kalinya maksimum.

Misalkan bilangan-bilangan x dan 10-x. Hasil kali P = x(10-x) = -x² + 10x

Nilai maks saat x = 10/2 = 5; P_maks = 25

Bilangan-bilangan tersebut adalah 5 dan 5, dengan hasil kali 25

Sebuah bola dilempar ke atas dengan ketinggian h(t) = -5t² + 20t (meter), t dalam sekon. Kapan bola mencapai ketinggian maksimum?

t = -20/(2·(-5)) = 2 sekon

h(2) = -20 + 40 = 20 meter

Bola mencapai ketinggian maksimum 20 m pada t = 2 sekon

Selisih dua bilangan adalah 4. Tentukan bilangan-bilangan itu agar jumlah kuadratnya minimum.

Misalkan x dan x+4. S = x² + (x+4)² = 2x² + 8x + 16

Min saat x = -8/4 = -2; bilangan: -2 dan 2

Bilangan -2 dan 2 dengan jumlah kuadrat minimum = 8

Kebun berbentuk persegi panjang akan dipagari pada tiga sisinya (sisi keempat adalah dinding). Panjang pagar tersedia 24 m. Tentukan dimensi agar luas maksimum.

Misalkan lebar = x, panjang = 24 – 2x

L = x(24 – 2x) = -2x² + 24x

x = 24/4 = 6; L_maks = -72 + 144 = 72 m²

Lebar = 6 m, panjang = 12 m, luas maksimum = 72 m²

Harga jual suatu barang x unit adalah P(x) = 200 – x ribu rupiah. Tentukan pendapatan maksimum.

Pendapatan R = x · P(x) = x(200 – x) = -x² + 200x

x = 100; R_maks = -10000 + 20000 = 10000 (ribu)

Pendapatan maksimum = Rp 10.000.000 saat x = 100 unit

🟡 Contoh Soal Sedang

Sebuah peluru ditembakkan dengan persamaan ketinggian h = -4t² + 16t + 5 (meter). Tentukan ketinggian maksimum dan waktu saat jatuh ke tanah.

t puncak = 16/8 = 2; h_maks = -16 + 32 + 5 = 21 m

Jatuh ke tanah: h = 0; -4t² + 16t + 5 = 0 → 4t² – 16t – 5 = 0

t = (16 ± √(256+80))/8 = (16 ± √336)/8 ≈ (16 ± 18,33)/8 → t ≈ 4,29 s

H_maks = 21 m, jatuh ke tanah ≈ 4,29 sekon

Seorang peternak memiliki 60 m kawat untuk membuat kandang berbentuk persegi panjang yang dibagi menjadi dua bagian sama. Tentukan dimensi agar luas maksimum.

Misalkan lebar = x. Pagar: 3 panjang + 2 lebar = 60 → p = (60-2x)/3

L = x·(60-2x)/3 = (-2x² + 60x)/3

x = 60/4 = 15; p = 10; L = 150 m²

Lebar = 15 m, panjang = 10 m, luas = 150 m²

Biaya produksi x unit barang adalah C(x) = x² – 10x + 30 (juta). Tentukan jumlah unit agar biaya minimum.

x = 10/2 = 5 unit

C(5) = 25 – 50 + 30 = 5 juta

Biaya minimum Rp 5 juta dicapai saat produksi 5 unit

Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan jumlah 15. Jika hasil kali dua bilangan terbesar adalah 45, tentukan ketiga bilangan tersebut.

Bilangan: a-d, a, a+d. Jumlah = 3a = 15 → a = 5

Dua terbesar: 5 dan 5+d. Hasil kali: 5(5+d) = 45 → d = 4

Bilangan: 1, 5, 9

Lintasan bola mengikuti y = -x² + 8x (dalam meter). Pada jarak berapa dari titik lempar bola mencapai ketinggian 12 m?

-x² + 8x = 12 → x² – 8x + 12 = 0 → (x-2)(x-6) = 0

Pada jarak x = 2 m dan x = 6 m dari titik lempar

🔴 Contoh Soal Sulit

Sebuah jembatan berbentuk parabola dengan bentang 40 m dan tinggi maksimum 10 m. Tentukan tinggi jembatan pada jarak 12 m dari tepi.

Koordinat: puncak (20, 10); kaki (0,0) dan (40,0). f(x) = a(x-20)² + 10

f(0) = 0: 400a + 10 = 0 → a = -1/40

Jarak 12 m dari tepi → x = 12: f(12) = -(8²)/40 + 10 = -64/40 + 10 = 8,4 m

Tinggi jembatan pada x = 12 m adalah 8,4 m

Keuntungan dari penjualan x kodi barang adalah K(x) = -x² + 14x – 24 (juta rupiah). Tentukan rentang penjualan agar perusahaan tidak merugi.

K(x) ≥ 0: -x² + 14x – 24 ≥ 0 → x² – 14x + 24 ≤ 0

(x-2)(x-12) ≤ 0 → 2 ≤ x ≤ 12

Perusahaan tidak merugi jika penjualan 2 sampai 12 kodi

Sebuah persegi panjang dibuat di dalam segitiga siku-siku dengan kaki 6 cm dan 8 cm. Tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut.

Misalkan salah satu sisi persegi panjang terletak pada kaki horizontal.

Garis miring: x/6 + y/8 = 1 → y = 8(1 – x/6) = 8 – 4x/3

Luas = x·y = x(8 – 4x/3) = -4x²/3 + 8x

x = 8/(2·4/3) = 8·3/8 = 3; L = -(4·9)/3 + 24 = -12 + 24 = 12 cm²

Luas maksimum persegi panjang = 12 cm²

Kecepatan sebuah benda dinyatakan v(t) = -3t² + 12t + 15 m/s. Tentukan waktu saat benda berhenti dan jarak tempuh sampai saat itu.

v(t) = 0: -3t² + 12t + 15 = 0 → t² – 4t – 5 = 0 → (t-5)(t+1) = 0 → t = 5

Jarak = ∫₀⁵ v dt = [-t³ + 6t² + 15t]₀⁵ = -125 + 150 + 75 = 100 m

Benda berhenti pada t = 5 s, jarak tempuh = 100 m

Suatu perusahaan menjual x barang per hari dengan harga (50 – 0,5x) ribu rupiah. Biaya produksi total C = x² + 10x + 100 ribu. Tentukan x agar keuntungan maksimum.

Pendapatan = x(50 – 0,5x) = 50x – 0,5x²

Keuntungan K = R – C = 50x – 0,5x² – x² – 10x – 100 = -1,5x² + 40x – 100

x = -40/(2·(-1,5)) = 40/3 ≈ 13,33 → x = 13 (pembulatan)

K(13) = -1,5(169) + 40(13) – 100 = -253,5 + 520 – 100 = 166,5 ribu

x = 13 unit per hari dengan keuntungan maksimum ≈ Rp 166.500

✏️ Latihan Soal — Bagian 7

Selesaikan masalah penerapan fungsi kuadrat berikut.

🟢 Mudah

Jumlah dua bilangan positif adalah 20. Tentukan bilangan-bilangan itu agar hasil kalinya maksimum.

Ketinggian bola h(t) = -5t² + 30t meter. Kapan bola mencapai ketinggian maksimum? Berapa ketinggiannya?

Lahan berbentuk persegi panjang dengan keliling 40 m. Tentukan dimensi agar luasnya maksimum.

Selisih dua bilangan adalah 6. Tentukan bilangan-bilangan agar jumlah kuadratnya minimum.

Harga tiket konser: p = 100.000 – 1.000x rupiah (x orang). Tentukan harga dan jumlah penonton agar pendapatan maksimum.

🟡 Sedang

Kawat 80 m dibentuk menjadi 3 persegi panjang identik berjajar (berbagi sisi pendek). Tentukan dimensi agar luas total maksimum.

Keuntungan penjualan x unit: K(x) = -2x² + 20x – 32. Tentukan agar perusahaan untung.

Sebuah bola ditendang dari tanah mengikuti h(x) = -0,1x² + 2x. Seberapa jauh bola mendarat dan berapa ketinggian maksimumnya?

Tiga bilangan berurutan mempunyai jumlah 21. Agar hasil kali dua bilangan pertama maksimum, tentukan bilangan-bilangan itu.

L10

Biaya produksi C(x) = 5x² – 100x + 600 (ribu). Berapa unit produksi agar biaya minimum? Berapa biaya minimumnya?

🔴 Sulit

L11

Sebuah saluran irigasi berbentuk U (penampang persegi panjang) terbuat dari lembaran baja selebar 12 dm. Tentukan lebar dan tinggi saluran agar kapasitas (luas penampang) maksimum.

L12

Jembatan parabola dengan bentang 100 m dan tinggi tengah 25 m. Tentukan tinggi jembatan pada jarak 30 m dari salah satu ujungnya.

L13

Perusahaan menjual x produk dengan harga jual (80 – x) ribu dan biaya per unit (x² – 20x + 120) ribu. Tentukan x untuk keuntungan maksimum.

L14

Sebuah persegi panjang diinskripsikan dalam lingkaran dengan jari-jari 5 cm. Tentukan dimensi persegi panjang agar luasnya maksimum.

L15

Seorang pedagang biasanya menjual mangga 100 kg per hari dengan harga Rp 8.000/kg. Setiap kenaikan harga Rp 500, penjualan berkurang 5 kg. Tentukan harga agar pendapatan maksimum.

Bentuk Umum Persamaan Kuadrat

Definisi

Keterangan Koefisien

Contoh Soal – Bentuk Umum

Latihan Soal – Bentuk Umum

Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat

Berdasarkan Koefisien b dan c

Contoh Soal – Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat

Latihan Soal – Jenis-Jenis PK

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Metode 1 – Pemfaktoran

Metode 2 – Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Metode 3 – Rumus Kuadrat (Rumus ABC)

Contoh Soal – Menentukan Akar

Latihan Soal – Menentukan Akar

Akar Pangkat Dua Bilangan Negatif

Bilangan Imajiner

Sifat-Sifat Bilangan Imajiner

Contoh Soal – Akar Bilangan Negatif

Latihan Soal – Akar Bilangan Negatif

Jenis Akar Dikaitkan dengan Nilai Diskriminan

Diskriminan (D)

Tabel Jenis Akar

Contoh Soal – Diskriminan

Latihan Soal – Diskriminan

Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Rumus Vieta

Derivasi Rumus Vieta

Ekspresi Penting Turunan Vieta

Contoh Soal – Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

Latihan Soal – Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

Beberapa Penerapan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Transformasi Akar

Contoh Soal – Penerapan Rumus Vieta

Latihan Soal – Penerapan Rumus Vieta

Memfaktorkan Bentuk Kuadrat

Metode Pemfaktoran

Teknik Pemfaktoran

Contoh Soal – Memfaktorkan Bentuk Kuadrat

Latihan Soal – Memfaktorkan Bentuk Kuadrat

Dua Persamaan Kuadrat yang Memiliki Dua Akar Sama dan Satu Akar Sama

Dua PK dengan Dua Akar yang Sama (Identik)

Dua PK dengan Satu Akar yang Sama

Contoh Soal – Dua PK dengan Akar Sama

Latihan Soal – Dua PK dengan Akar Sama

Menyelesaikan Persamaan yang Dapat Diubah ke Persamaan Linear atau Kuadrat

Tipe-Tipe Persamaan Transformasi

Contoh Soal – Persamaan Transformasi

Latihan Soal – Persamaan Transformasi

Penerapan Persamaan Kuadrat

Langkah Penyelesaian Soal Cerita

Bidang Penerapan

Contoh Soal – Penerapan Persamaan Kuadrat

Latihan Soal – Penerapan Persamaan Kuadrat

📋 Daftar Isi

📖 Materi

Sumbu Simetri

Titik Puncak (Vertex)

📖 Langkah-Langkah Menggambar Grafik

Titik Potong dengan Sumbu-x

📖 Materi

📖 Materi

Menentukan Range

📖 Materi

Definit Positif dan Negatif

📖 Metode Menyusun Persamaan

📖 Materi

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed