Ukuran Pemusatan Data Tunggal
1. Rataan (Mean)
Materi
Rataan hitung (Mean) adalah nilai rata-rata dari sekumpulan data. Mean diperoleh dengan cara menjumlahkan seluruh nilai data, kemudian membaginya dengan banyaknya data tersebut.
Rumus:
Mean = (Jumlah seluruh data) / (Banyak data)
Contoh Soal & Pembahasan
Tingkat Mudah
- Tentukan mean dari data: 2, 4, 6, 8!
Pembahasan:
Mean = (2 + 4 + 6 + 8) / 4 = 20 / 4 = 5. - Berapa rata-rata dari 5, 5, 5, 5, 5?
Pembahasan:
Karena semua data bernilai sama, rata-ratanya adalah nilai itu sendiri, yaitu 5. (Bukti: 25 / 5 = 5). - Tentukan mean dari 10, 20, 30!
Pembahasan:
Mean = (10 + 20 + 30) / 3 = 60 / 3 = 20. - Hitunglah rata-rata dari 1, 2, 3, 4, 5!
Pembahasan:
Mean = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 15 / 5 = 3. - Tentukan mean dari data tunggal: 7, 8, 9, 10!
Pembahasan:
Mean = (7 + 8 + 9 + 10) / 4 = 34 / 4 = 8,5.
Tingkat Sedang
- Data ulangan Budi: 75, 80, 85, 90, 70, 80. Berapa nilai rata-ratanya?
Pembahasan:
Jumlah = 75+80+85+90+70+80 = 480. Banyak data = 6. Mean = 480 / 6 = 80. - Tentukan rata-rata dari bilangan desimal: 2.5, 3.5, 4.0, 5.0, 5.0!
Pembahasan:
Jumlah = 2.5 + 3.5 + 4.0 + 5.0 + 5.0 = 20.0. Banyak data = 5. Mean = 20 / 5 = 4.0. - Nilai ulangan matematika dari 8 siswa: 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 7. Tentukan mean-nya!
Pembahasan:
Jumlah = 6+7+8+8+9+9+10+7 = 64. Banyak data = 8. Mean = 64 / 8 = 8. - Hitung rata-rata dari: 11, 14, 16, 19, 21, 23, 25!
Pembahasan:
Jumlah = 11+14+16+19+21+23+25 = 129. Banyak data = 7. Mean = 129 / 7 = 18,42. - Rata-rata berat badan 5 orang adalah 45 kg. Berapa total berat badan kelima orang tersebut?
Pembahasan:
Mean = Total / Banyak orang → 45 = Total / 5 → Total = 45 x 5 = 225 kg.
Tingkat Sulit
- Rata-rata 4 buah bilangan adalah 15. Jika ditambahkan satu bilangan lagi, rata-ratanya menjadi 16. Berapakah nilai bilangan yang ditambahkan tersebut?
Pembahasan:
Total awal = 4 x 15 = 60.
Total baru = 5 x 16 = 80.
Bilangan yang ditambahkan = Total baru – Total awal = 80 – 60 = 20. - Rata-rata nilai 10 siswa adalah 7,5. Dua orang siswa dengan nilai 6 dan 8 pindah sekolah. Berapa rata-rata nilai siswa yang tersisa?
Pembahasan:
Total nilai awal (10 siswa) = 10 x 7,5 = 75.
Nilai yang keluar = 6 + 8 = 14.
Total nilai sisa (8 siswa) = 75 – 14 = 61.
Rata-rata baru = 61 / 8 = 7,625. - Rata-rata nilai kelas A (20 siswa) adalah 80, sedangkan kelas B (30 siswa) adalah 75. Berapa rata-rata gabungan kedua kelas tersebut?
Pembahasan:
Total nilai Kelas A = 20 x 80 = 1600.
Total nilai Kelas B = 30 x 75 = 2250.
Total nilai gabungan = 1600 + 2250 = 3850.
Jumlah siswa gabungan = 20 + 30 = 50.
Mean gabungan = 3850 / 50 = 77. - Diketahui sebuah data: x, x+2, x+4, x+6. Jika rata-ratanya adalah 10, tentukan nilai x!
Pembahasan:
Mean = (x + x+2 + x+4 + x+6) / 4
10 = (4x + 12) / 4
40 = 4x + 12
28 = 4x → x = 7. - Rata-rata gaji 5 karyawan adalah Rp 4.000.000. Jika gaji seorang manajer digabungkan, rata-ratanya naik menjadi Rp 4.500.000. Berapa gaji manajer tersebut?
Pembahasan:
Total gaji awal = 5 x 4.000.000 = 20.000.000.
Total gaji baru (6 orang) = 6 x 4.500.000 = 27.000.000.
Gaji manajer = 27.000.000 – 20.000.000 = Rp 7.000.000.
Latihan Soal
Mudah
- Tentukan rata-rata dari data: 3, 5, 7, 9!
- Berapa rata-rata dari 2, 2, 2, 2?
- Tentukan mean dari 100, 200, 300, 400!
- Hitunglah rata-rata dari 6, 4, 8, 2, 10!
- Tentukan mean dari data: 15, 20, 25!
Sedang
- Data ulangan Budi: 65, 75, 80, 85, 70, 75. Berapa nilai rata-ratanya?
- Tentukan rata-rata dari: 1.2, 2.3, 3.4, 4.5, 5.6!
- Nilai dari 7 siswa: 5, 6, 7, 8, 9, 8, 6. Tentukan mean-nya!
- Hitung rata-rata dari: 21, 24, 26, 29, 31, 33, 35, 41!
- Rata-rata tinggi 6 orang adalah 160 cm. Berapa total tinggi mereka?
Sulit
- Rata-rata 5 bilangan adalah 12. Jika ditambah satu bilangan x, rata-rata menjadi 13. Berapa x?
- Rata-rata 12 siswa adalah 7. Tiga siswa dengan rata-rata 6 keluar. Berapa rata-rata siswa sisa?
- Rata-rata kelas X (25 siswa) adalah 78, kelas Y (25 siswa) adalah 82. Berapa rata-rata gabungannya?
- Diketahui data: 2x, 2x+2, 2x+4. Jika rata-ratanya 12, tentukan nilai x!
- Rata-rata sumbangan 10 orang adalah Rp 50.000. Jika ditambah sumbangan 2 donatur, rata-rata menjadi Rp 75.000. Berapa rata-rata sumbangan kedua donatur tersebut?
2. Median (Nilai Tengah)
Materi
Median adalah nilai tengah dari sekumpulan data setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar.
- Jika jumlah data ganjil: Median adalah data yang berada tepat di tengah.
- Jika jumlah data genap: Median adalah rata-rata dari dua data yang berada di tengah.
Contoh Soal & Pembahasan
Tingkat Mudah
- Tentukan median dari: 3, 5, 7, 9, 11.
Pembahasan:
Data sudah terurut. Banyak data = 5 (ganjil). Nilai tengahnya adalah data ke-3. Median = 7. - Tentukan median dari: 8, 2, 6, 4, 10.
Pembahasan:
Urutkan data: 2, 4, 6, 8, 10. Nilai tengah adalah 6. Median = 6. - Tentukan median dari data: 1, 2, 3, 4.
Pembahasan:
Data genap (4). Dua nilai di tengah adalah 2 dan 3. Median = (2 + 3) / 2 = 2,5. - Tentukan median dari: 9, 5, 7, 3, 1, 6.
Pembahasan:
Urutkan: 1, 3, 5, 6, 7, 9. Dua nilai tengah: 5 dan 6. Median = (5 + 6) / 2 = 5,5. - Median dari data tunggal: 10, 10, 10.
Pembahasan:
Sudah terurut. Median = 10.
Tingkat Sedang
- Tentukan median dari data: 12, 15, 11, 14, 18, 16, 13.
Pembahasan:
Urutkan: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18. (n=7). Data ke-4 adalah 14. Median = 14. - Berapa median dari data usia: 22, 25, 21, 24, 23, 26, 27, 28?
Pembahasan:
Urutkan: 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28. (n=8). Data tengah ke-4 dan ke-5 (24 dan 25). Median = (24 + 25) / 2 = 24,5. - Data: 5.5, 6.0, 7.5, 6.5, 8.0, 7.0. Tentukan mediannya!
Pembahasan:
Urutkan: 5.5, 6.0, 6.5, 7.0, 7.5, 8.0. Tengah: 6.5 dan 7.0. Median = (6.5 + 7.0) / 2 = 6.75. - Diberikan data nilai: 60, 70, 75, 80, 80, 90, 95, 100. Tentukan median!
Pembahasan:
Sudah terurut. n=8. Tengah: 80 dan 80. Median = (80 + 80) / 2 = 80. - Nilai ulangan: 8, 7, 6, 9, 8, 7, 8, 6, 9. Cari mediannya!
Pembahasan:
Urutkan: 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9. (n=9). Data ke-5 adalah 8. Median = 8.
Tingkat Sulit
- Diketahui data terurut: 2, 4, 6, x, 10, 12. Jika median data tersebut adalah 7, berapakah nilai x?
Pembahasan:
n=6 (genap). Nilai tengah adalah data ke-3 (6) dan ke-4 (x). Median = (6 + x) / 2.
7 = (6 + x) / 2 → 14 = 6 + x → x = 8. - Data A: 3, 5, 7. Data B: 2, 6, 8, 9. Jika kedua data digabungkan, berapakah mediannya?
Pembahasan:
Gabungkan dan urutkan: 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9. (n=7). Nilai tengah adalah data ke-4, yaitu 6. Median = 6. - Data berat badan: x, 40, 45, 50, 55. Jika x adalah data terkecil dan mediannya 45, apakah 45 akan berubah jika x diubah menjadi 30?
Pembahasan:
Data terurut: x, 40, 45, 50, 55. Median (data ke-3) = 45. Jika x diubah menjadi 30, urutannya menjadi 30, 40, 45, 50, 55. Data ke-3 tetap 45. Maka median tidak berubah. - Lima buah bilangan bulat memiliki rata-rata 10 dan median 12. Jika bilangan terbesar adalah 15 dan semua bilangan berbeda, berapakah bilangan terkecil yang mungkin? (Semua bilangan positif)
Pembahasan:
Misal data terurut: a, b, 12, c, 15.
Rata-rata 10 → Jumlah = 50 → a + b + 12 + c + 15 = 50 → a + b + c = 23.
Karena c > 12 dan c < 15, c bisa 13 atau 14.
Agar a (terkecil) sekecil mungkin, b dan c harus sebesar mungkin. Pilih c = 14.
a + b + 14 = 23 → a + b = 9.
b harus kurang dari 12 (misal maksimum 11, tapi kalau b=11 maka a=-2, padahal positif). Jika b=8, a=1. Maka bilangan terkecil yang mungkin adalah 1. - Diberikan data terurut: a, b, c, d, e. Jika rata-ratanya 6 dan d = 8, e = 10, serta a,b,c membentuk barisan aritmetika dengan beda 2. Tentukan mediannya!
Pembahasan:
a, b, c barisan beda 2 → a=x, b=x+2, c=x+4.
Rata-rata 6 → Jumlah 5 data = 30.
x + (x+2) + (x+4) + 8 + 10 = 30 → 3x + 24 = 30 → 3x = 6 → x = 2.
Data menjadi: 2, 4, 6, 8, 10. Median (nilai tengah) = c = 6.
Latihan Soal
Mudah
- Tentukan median dari: 2, 4, 6, 8, 10!
- Berapa median dari data: 7, 3, 5, 9, 1?
- Tentukan median dari: 10, 20, 30, 40!
- Tentukan median dari: 15, 5, 10, 20!
- Berapa nilai tengah dari 8, 8, 8, 8, 8?
Sedang
- Tentukan median dari data: 21, 25, 23, 22, 28, 24, 27!
- Berapa median dari: 3.1, 4.2, 5.3, 2.0, 1.5, 6.4?
- Nilai ulangan: 70, 75, 65, 80, 85, 90, 75. Tentukan mediannya!
- Diberikan data: 100, 150, 120, 130, 140, 110. Cari mediannya!
- Tentukan median data ganjil: 5, 6, 4, 7, 8, 5, 9, 7, 6!
Sulit
- Diketahui data terurut: 5, 7, 9, x, 15, 17. Jika mediannya adalah 11, berapakah nilai x?
- Gabungkan data 10, 12, 14 dengan data 9, 11, 13, 15. Tentukan median data gabungan tersebut!
- Rata-rata 4 bilangan terurut a, b, c, 20 adalah 12. Jika mediannya adalah 10, tentukan selisih a dan b!
- Jika setiap nilai dalam data 2, 4, 6, 8, 10 dikalikan 3, berapakah median data yang baru?
- Sebuah kumpulan data terdiri dari 9 bilangan positif berurutan. Jika mediannya adalah 15, berapakah rata-ratanya?
3. Modus
Materi
Modus adalah nilai atau data yang paling sering muncul dalam suatu kumpulan data (memiliki frekuensi tertinggi).
- Sebuah data bisa memiliki satu modus (unimodal), dua modus (bimodal), lebih dari dua modus (multimodal), atau tidak memiliki modus sama sekali jika semua data memiliki frekuensi yang sama.
Contoh Soal & Pembahasan
Tingkat Mudah
- Tentukan modus dari data: 2, 3, 4, 4, 5.
Pembahasan:
Angka 4 muncul paling banyak (2 kali). Modus = 4. - Berapa modus dari: 7, 8, 9, 7, 6?
Pembahasan:
Angka 7 muncul 2 kali, lainnya 1 kali. Modus = 7. - Cari modus dari data warna baju: Merah, Biru, Merah, Kuning, Hijau.
Pembahasan:
Warna Merah muncul 2 kali. Modus = Merah. - Tentukan modus dari: 1, 2, 3, 4, 5.
Pembahasan:
Semua angka muncul 1 kali. Data ini tidak memiliki modus. - Tentukan modus dari: 10, 10, 20, 20, 30.
Pembahasan:
Angka 10 dan 20 sama-sama muncul 2 kali. Data ini bimodal. Modus = 10 dan 20.
Tingkat Sedang
- Nilai ulangan 10 siswa: 7, 6, 8, 7, 9, 8, 7, 6, 10, 7. Tentukan modusnya!
Pembahasan:
Frekuensi: 6 (2 kali), 7 (4 kali), 8 (2 kali), 9 (1), 10 (1). Modus = 7. - Data ukuran sepatu: 38, 39, 40, 39, 41, 40, 42, 39, 40. Berapa modusnya?
Pembahasan:
Ukuran 39 muncul 3 kali, ukuran 40 muncul 3 kali. Modus = 39 dan 40. - Tentukan modus dari: 5.5, 6.0, 6.5, 5.5, 7.0, 6.0, 5.5.
Pembahasan:
Nilai 5.5 muncul 3 kali (terbanyak). Modus = 5.5. - Data: A, B, A, C, B, D, A, E, B. Tentukan modus huruf tersebut!
Pembahasan:
Huruf A muncul 3 kali, B muncul 3 kali. Modus = A dan B. - Diberikan tabel frekuensi sederhana. Nilai 5 ada 3, Nilai 6 ada 5, Nilai 7 ada 2. Modusnya?
Pembahasan:
Frekuensi tertinggi adalah 5 (dimiliki oleh nilai 6). Modus = 6.
Tingkat Sulit
- Diketahui data: 3, 4, 4, 5, 5, 6, x. Jika modus data tersebut adalah 5, berapakah nilai x?
Pembahasan:
Saat ini 4 muncul 2x, 5 muncul 2x. Agar modus menjadi 5 (hanya 5 yang tertinggi), maka x harus bernilai 5, sehingga 5 muncul 3 kali. Jadi, x = 5. - Data: 2, 2, 3, 3, 4, 4, x, y. Jika data tersebut tidak memiliki modus, tentukan nilai yang mungkin untuk x dan y (jika x ≠ y)!
Pembahasan:
Agar tidak ada modus, frekuensi semua angka harus sama. Saat ini 2, 3, 4 masing-masing muncul 2 kali. Agar seimbang tanpa merusak keseimbangan frekuensi 2, maka x dan y tidak boleh berupa angka 2, 3, atau 4. Syarat lainnya, agar tidak ada modus, x dan y harus angka yang sama-sama muncul 2 kali, ATAU x dan y membentuk angka baru yang jika ditambahkan elemen lain membuat seluruh frekuensi sama, tapi karena hanya ada x dan y, tidak mungkin membuat frekuensi semua jadi 2 jika x ≠ y kecuali data dianggap tak bermodus karena semua 2,3,4 memiliki frekuensi maksimal (multimodal penuh). Namun secara definisi umum “tidak ada modus” berarti semua frekuensi 1 atau rata. Jika ditanya x ≠ y, tidak ada solusi yang membuat semua frekuensi mutlak sama. Catatan: Solusi lazim adalah x dan y mengisi nilai baru secara bebas sehingga himpunannya multimodal.- Modus dari himpunan A={1,2,3,3,4} adalah 3. Jika setiap data dikalikan 2 lalu ditambah 1, berapakah modus yang baru?
Pembahasan:
Transformasi linear pada data berlaku juga pada modus. Modus baru = (Modus lama x 2) + 1 = (3 x 2) + 1 = 7.- Dalam sebuah kelas, modus tinggi badan siswa laki-laki adalah 160 cm, dan modus perempuan adalah 155 cm. Bisakah kita menentukan modus tinggi badan seluruh kelas hanya dari informasi ini?
Pembahasan:
Tidak bisa. Kita perlu mengetahui frekuensi pasti (berapa jumlah siswa) yang memiliki tinggi 160 cm dan 155 cm untuk membandingkannya.- Diberikan data: 10, 12, 12, 14, 15, x. Jika mean dan modus data tersebut sama, tentukan nilai x!
Pembahasan:
Karena 12 muncul 2 kali, besar kemungkinan modus = 12. Asumsikan modus = 12.
Maka Mean = 12.
Total 6 data = 6 x 12 = 72.
10 + 12 + 12 + 14 + 15 + x = 72 → 63 + x = 72 → x = 9.
Jika x = 9, frekuensi 12 tetap tertinggi. Asumsi benar. Nilai x = 9.Latihan Soal
Mudah
- Tentukan modus dari: 5, 6, 7, 7, 8!
- Berapa modus dari data: 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4?
- Cari modus dari: Apel, Jeruk, Mangga, Apel, Apel!
- Tentukan modus dari: 10, 20, 30, 40!
- Berapa modus dari: 9, 9, 8, 8, 7, 7?
Sedang
- Nilai ulangan: 65, 70, 75, 75, 80, 85, 75, 70, 90. Tentukan modusnya!
- Data berat: 45, 46, 45, 47, 48, 46, 49, 45, 46. Berapa modusnya?
- Tentukan modus dari: 2.1, 3.2, 2.1, 4.5, 3.2, 5.0, 2.1!
- Diberikan frekuensi: Nilai 60(4), 70(6), 80(6), 90(2). Tentukan modusnya!
- Modus dari huruf pembentuk kata “STATISTIKA” adalah?
Sulit
- Diketahui data: 7, 8, 8, 9, 9, 10, p. Jika modusnya adalah 8, berapakah nilai p?
- Data: 15, 16, 16, 17, 18, 18, y, z. Tentukan nilai y dan z agar data tersebut hanya memiliki satu modus yaitu 18!
- Jika data 4, 5, 5, 6 memiliki modus 5, berapakah modus data jika masing-masing nilai dikuadratkan?
- Diketahui 5 data bilangan bulat positif memiliki mean 6, median 6, dan modus 7. Tentukan kelima data tersebut!
- Data: 5, 7, 7, 8, 9, x. Jika rata-ratanya sama dengan modusnya, tentukan nilai x!
Ukuran Pemusatan Data Tunggal Berbobot Ukuran Pemusatan Data Tunggal Berbobot
Modul ini membahas tentang Rataan (Mean), Median, dan Modus untuk data tunggal berbobot (data yang disajikan beserta frekuensinya dalam bentuk tabel). Modul ini disusun dengan format menurun yang terdiri dari materi, contoh soal berserta pembahasan, dan latihan soal mandiri.
1. Rataan (Mean)
Pengertian: Rataan atau Mean adalah jumlah hasil kali antara setiap nilai data dengan frekuensinya, dibagi dengan total frekuensi.
Rumus:
x̄ = Σ(fi × xi) / Σfi
Keterangan:
x̄ = Rata-rata (mean)
fi = Frekuensi data ke-i
xi = Nilai data ke-iA. Contoh Soal Rataan (Mean)
Level: Mudah
1. Tentukan mean dari data pada tabel berikut:Nilai (xi) 4 5 Frekuensi (fi) 2 3 Pembahasan:
x̄ = [(4 × 2) + (5 × 3)] / (2 + 3) = (8 + 15) / 5 = 23 / 5 = 4,62. Tentukan rata-rata dari data berikut:Nilai (xi) 6 8 Frekuensi (fi) 4 1 Pembahasan:
x̄ = [(6 × 4) + (8 × 1)] / (4 + 1) = (24 + 8) / 5 = 32 / 5 = 6,43. Berapakah nilai mean dari data di bawah ini?Nilai (xi) 5 6 7 Frekuensi (fi) 1 2 1 Pembahasan:
x̄ = [(5 × 1) + (6 × 2) + (7 × 1)] / (1 + 2 + 1) = (5 + 12 + 7) / 4 = 24 / 4 = 64. Tentukan rata-rata data berikut:Nilai (xi) 10 20 Frekuensi (fi) 2 2 Pembahasan:
x̄ = [(10 × 2) + (20 × 2)] / (2 + 2) = (20 + 40) / 4 = 60 / 4 = 155. Hitung mean dari tabel data berikut:Nilai (xi) 2 3 4 Frekuensi (fi) 3 4 3 Pembahasan:
x̄ = [(2 × 3) + (3 × 4) + (4 × 3)] / 10 = (6 + 12 + 12) / 10 = 30 / 10 = 3Level: Sedang
1. Jika mean data pada tabel di bawah ini adalah 6,9, tentukan nilai p!Nilai (xi) 6 7 8 Frekuensi (fi) 3 p 2 Pembahasan:
x̄ = [(6 × 3) + (7 × p) + (8 × 2)] / (3 + p + 2) = 6,9
[18 + 7p + 16] / (5 + p) = 6,9
34 + 7p = 6,9(5 + p)
34 + 7p = 34,5 + 6,9p
0,1p = 0,5 → p = 52. Rata-rata nilai ulangan 10 siswa kelas A adalah 6. Rata-rata 15 siswa kelas B adalah 8. Tentukan rata-rata gabungan kedua kelas!Pembahasan:
x̄_gab = (n1.x̄1 + n2.x̄2) / (n1 + n2)
x̄_gab = [(10 × 6) + (15 × 8)] / 25 = (60 + 120) / 25 = 180 / 25 = 7,23. Tentukan mean dari data berikut:Nilai (xi) 5 6 7 8 Frekuensi (fi) 2 4 3 1 Pembahasan:
Total f = 10.
Jumlah = (10) + (24) + (21) + (8) = 63.
x̄ = 63 / 10 = 6,34. Data nilai mempunyai frekuensi yang memuat variabel ‘a’. Tentukan mean dari data tersebut!Nilai (xi) 4 5 6 Frekuensi (fi) a 2a a Pembahasan:
Total f = a + 2a + a = 4a.
Jumlah = (4a) + (10a) + (6a) = 20a.
x̄ = 20a / 4a = 55. Rata-rata nilai 5 siswa adalah 70. Jika masuk 1 siswa baru, rata-ratanya menjadi 72. Berapa nilai siswa baru tersebut?Pembahasan:
Total nilai awal = 5 × 70 = 350.
Total nilai baru = 6 × 72 = 432.
Nilai siswa baru = 432 – 350 = 82Level: Sulit
1. Jika rata-rata data di bawah ini adalah 10, tentukan nilai a!Nilai (xi) a a+2 a+4 Frekuensi (fi) 2 3 5 Pembahasan:
Total f = 10.
Jumlah = 2a + 3(a+2) + 5(a+4) = 2a + 3a + 6 + 5a + 20 = 10a + 26.
x̄ = (10a + 26) / 10 = 10 → 10a + 26 = 100 → 10a = 74 → a = 7,42. Rata-rata dari sekelompok data adalah 6. Jika setiap nilai data dikalikan 2 kemudian dikurangi 1, berapakah rata-rata data yang baru?Pembahasan:
Sifat transformasi mean: Jika data diubah dengan operasi linear, mean mengikuti operasi tersebut.
x̄_baru = 2(x̄_lama) – 1 = 2(6) – 1 = 12 – 1 = 113. Diketahui p + q = 7. Jika mean data di bawah ini adalah 6,5, tentukan nilai p dan q!Nilai (xi) 5 6 7 8 Frekuensi (fi) 2 p q 1 Pembahasan:
Total f = 3 + p + q = 3 + 7 = 10.
Jumlah = 10 + 6p + 7q + 8 = 18 + 6p + 7q.
(18 + 6p + 7q) / 10 = 6,5 → 18 + 6p + 7q = 65 → 6p + 7q = 47.
Karena p + q = 7 (dikali 6 → 6p + 6q = 42).
Eliminasi: (6p+7q) – (6p+6q) = 47 – 42 → q = 5. Maka p = 2.4. Rata-rata 10 bilangan adalah 15. Jika bilangan terbesar dan terkecil dihilangkan, rata-rata 8 bilangan yang tersisa adalah 14. Tentukan jumlah bilangan terbesar dan terkecil tersebut!Pembahasan:
Total awal 10 bilangan = 10 × 15 = 150.
Total 8 bilangan sisa = 8 × 14 = 112.
Jumlah bilangan terbesar dan terkecil = 150 – 112 = 38.5. Jika rata-rata data berikut adalah 72, tentukan nilai p!Nilai (xi) 60 70 80 Frekuensi (fi) p 4 p+2 Pembahasan:
Total f = p + 4 + p + 2 = 2p + 6.
Jumlah = 60p + 280 + 80(p+2) = 60p + 280 + 80p + 160 = 140p + 440.
(140p + 440) / (2p + 6) = 72 → 140p + 440 = 144p + 432
440 – 432 = 144p – 140p → 8 = 4p → p = 2.B. Latihan Soal Rataan (Mean)
Level: Mudah
- Tentukan mean dari data berikut:
xi 3 4 fi 2 3 - Tentukan mean dari data berikut:
xi 7 8 fi 5 5 - Hitung rata-rata data di bawah ini:
xi 5 10 fi 4 1 - Tentukan rata-rata dari tabel berikut:
xi 2 4 6 fi 1 2 1 - Hitung mean dari data berikut:
xi 1 3 5 fi 2 2 1
Level: Sedang
- Jika rata-rata data berikut adalah 5,9, tentukan p.
xi 5 6 7 fi 3 p 2 - Rata-rata nilai 10 siswa adalah 7, dan rata-rata 20 siswa lainnya adalah 8. Tentukan rata-rata gabungannya.
- Tentukan mean dari data berikut:
xi 1 2 3 fi a 2a a - Rata-rata 4 anak adalah 80. Setelah masuk 1 anak, rata-ratanya menjadi 82. Berapa nilai anak yang baru masuk?
- Tentukan mean dari data berikut:
xi 10 20 30 fi 2 3 5
Level: Sulit
- Jika mean data berikut = 5, tentukan nilai a.
xi a a+1 a+2 fi 1 2 2 - Suatu data memiliki rata-rata 5. Jika setiap data dikalikan 3 lalu ditambah 1, berapa rata-rata yang baru?
- Diketahui total frekuensi 10 dan p+q = 8. Jika mean = 6,3, tentukan nilai p dan q!
xi 5 6 7 fi 2 p q - Rata-rata 5 bilangan adalah 20. Jika 2 bilangan terkecil dan terbesar dihilangkan, rata-rata 3 bilangan tersisa menjadi 22. Jumlah dua bilangan yang dihilangkan adalah?
- Tunjukkan bahwa berapapun nilai p yang positif pada data di bawah, rata-ratanya selalu 50.
xi 40 50 60 fi p 5 p
2. Median (Nilai Tengah)
Pengertian: Median adalah nilai tengah dari suatu kumpulan data setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar.
Letak Median:
Letak Median = Data ke – (N + 1) / 2
dimana N = Σf (Total Frekuensi)
Catatan: Untuk mencarinya pada tabel distribusi frekuensi, kita gunakan bantuan Frekuensi Kumulatif (Fk).A. Contoh Soal Median
Level: Mudah (Total Data Ganjil)
1. Tentukan median dari data tabel berikut:Nilai (xi) 5 6 7 Frekuensi (fi) 2 3 2 Pembahasan:
N = 2+3+2 = 7 (ganjil).
Letak median = data ke-(7+1)/2 = data ke-4.
Fk: Nilai 5 (data 1-2), Nilai 6 (data 3-5). Maka data ke-4 adalah 6. Median = 6.2. Tentukan median dari data:Nilai (xi) 2 4 6 Frekuensi (fi) 1 5 1 Pembahasan:
N = 1+5+1 = 7.
Letak median = data ke-4. Fk nilai 2 ada 1, nilai 4 dari data ke-2 s.d 6. Jadi data ke-4 adalah 4. Median = 4.3. Tentukan mediannya:Nilai (xi) 10 20 Frekuensi (fi) 1 4 Pembahasan:
N = 1+4 = 5. Letak median = data ke-3.
Karena nilai 10 hanya ada 1, data ke-2 sampai 5 bernilai 20. Median = 20.4. Tentukan median dari data:Nilai (xi) 1 2 3 Frekuensi (fi) 4 4 1 Pembahasan:
N = 4+4+1 = 9. Letak median = data ke-(9+1)/2 = 5.
Fk nilai 1 adalah 4 (data 1-4). Data ke-5 bernilai 2. Median = 2.5. Tentukan median dari data:Nilai (xi) 7 8 9 Frekuensi (fi) 2 1 2 Pembahasan:
N = 2+1+2 = 5. Letak median = data ke-3.
Data ke-1 & 2 bernilai 7. Data ke-3 bernilai 8. Median = 8.Level: Sedang (Total Data Genap)
1. Tentukan median dari data berikut:Nilai (xi) 5 6 7 Frekuensi (fi) 2 4 2 Pembahasan:
N = 8 (genap).
Median terletak antara data ke-4 dan ke-5.
Fk: nilai 5 (data 1-2), nilai 6 (data 3-6). Data ke-4 dan ke-5 sama-sama bernilai 6. Median = (6+6)/2 = 6.2. Tentukan median dari data:Nilai (xi) 4 5 6 Frekuensi (fi) 3 2 3 Pembahasan:
N = 8. Median = rata-rata data ke-4 dan ke-5.
Fk nilai 4 adalah 3. Data ke-4 dan ke-5 berada di nilai 5. Median = 5.3. Tentukan median dari data:Nilai (xi) 1 2 3 4 Frekuensi (fi) 1 4 4 1 Pembahasan:
N = 10. Median = rata-rata data ke-5 dan ke-6.
Fk: nilai 1 (1), nilai 2 (data 2-5). Data ke-5 adalah 2. Data ke-6 adalah 3. Median = (2+3)/2 = 2,5.4. Tentukan median dari data:Nilai (xi) 10 20 30 Frekuensi (fi) 2 2 2 Pembahasan:
N = 6. Median = rata-rata data ke-3 dan ke-4.
Keduanya terletak pada nilai 20. Median = 20.5. Tentukan median dari tabel berikut:Nilai (xi) 6 7 8 9 Frekuensi (fi) 2 3 3 2 Pembahasan:
N = 10. Median = rata-rata data ke-5 dan ke-6.
Fk: x=6 (f=2), x=7 (f=3, kum=5). Data ke-5 bernilai 7. Data ke-6 bernilai 8. Median = (7+8)/2 = 7,5.Level: Sulit
1. Jika diketahui N adalah ganjil dan median adalah 6, tentukan nilai p terkecil yang memenuhi!Nilai (xi) 5 6 7 Frekuensi (fi) 3 p 2 Pembahasan:
N = 5 + p. Letak median = (6+p)/2.
Agar median bernilai 6, letak median harus lebih besar dari 3 (karena frekuensi x=5 adalah 3).
(6+p)/2 > 3 → 6+p > 6 → p > 0.
Karena N ganjil, p harus genap positif. Nilai p terkecil = 2 (N=7, median di data ke-4 bernilai 6).2. Data terurut: a, 4, b, 8, c. Diketahui N=5. Jika Median = 6 dan Mean = 6, tentukan nilai a + c!Pembahasan:
Karena N=5, median adalah data ke-3. Jadi b = 6.
Mean = (a + 4 + 6 + 8 + c) / 5 = 6 → a + c + 18 = 30 → a + c = 12.3. Jika N = 26, tentukan median dari data tersebut!Nilai (xi) 10 20 30 Frekuensi (fi) p p+2 p Pembahasan:
N = 3p + 2 = 26 → 3p = 24 → p = 8.
Fk = (8, 10, 8).
N=26, median rata-rata data ke-13 dan ke-14. Keduanya berada di kelompok frekuensi 10 (nilai 20). Median = 20.4. Jika Median = 5, berapakah nilai maksimum untuk p?Nilai (xi) 4 5 6 7 Frekuensi (fi) 2 3 p 1 Pembahasan:
N = 6 + p. Agar median tepat di 5, data tengah tidak boleh masuk ke wilayah 6. Fk nilai 5 adalah 5.
(6+p+1)/2 ≤ 5 → 7+p ≤ 10 → p ≤ 3. Nilai maksimum p adalah 3.5. Suatu data simetris disajikan pada tabel di bawah. Buktikan bahwa berapapun nilai x asli, letak mediannya selalu berada di antara dua nilai tengah (bukan bilangan bulat tunggal)!Nilai (xi) 1 2 3 4 Frekuensi (fi) 2 x x 2 Pembahasan:
N = 4 + 2x (selalu genap). Median berada di antara data ke-(2+x) dan ke-(3+x).
Frekuensi kumulatif kelompok 1 dan 2 adalah 2+x. Artinya data ke-(2+x) adalah elemen terakhir di kelompok 2. Data ke-(3+x) adalah elemen pertama di kelompok 3. Pasti jatuh di tengah-tengah kelompok 2 dan 3. Terbukti.B. Latihan Soal Median
Level: Mudah
- Tentukan mediannya!
xi 1 2 3 fi 2 1 2 - Tentukan mediannya!
xi 4 5 6 fi 3 1 1 - Tentukan mediannya!
xi 10 20 fi 1 2 - Tentukan mediannya!
xi 7 8 9 fi 1 5 1 - Tentukan mediannya!
xi 2 3 4 fi 4 4 1
Level: Sedang
- Tentukan mediannya!
xi 5 6 7 fi 2 2 2 - Tentukan mediannya!
xi 4 5 6 7 fi 1 3 3 1 - Tentukan mediannya!
xi 1 2 3 fi 3 4 3 - Tentukan mediannya!
xi 10 20 30 fi 1 2 1 - Tentukan mediannya!
xi 8 9 10 11 fi 2 4 4 2
Level: Sulit
- Jika N genap dan median 5, berapa nilai minimum p?
xi 5 6 7 fi 4 p 2 - Data a, 5, b, 9, c terurut. Median=7, Mean=7. Berapa nilai a+c?
- Jika N=15, tentukan median.
xi 1 2 3 fi p p p - Jika median=6, berapa nilai maksimum p?
xi 5 6 7 8 fi 2 3 p 2 - Data nilai ujian terdiri dari 4 nilai berurutan dengan frekuensi simetris. Mengapa median selalu menjadi rata-rata 2 nilai di tengah?
3. Modus
Pengertian: Modus adalah nilai datum (x) yang memiliki frekuensi (f) kemunculan tertinggi / paling banyak dalam suatu kumpulan data.
Data bisa memiliki satu modus (unimodal), dua modus (bimodal), atau tidak memiliki modus jika frekuensinya rata semua.A. Contoh Soal Modus
Level: Mudah
1. Tentukan modusnya dari tabel berikut:Nilai (xi) 5 6 7 Frekuensi (fi) 2 5 1 Pembahasan:
Frekuensi tertinggi adalah 5 (terdapat pada x = 6). Jadi Modus = 6.2. Tentukan modus data berikut:Nilai (xi) 2 4 6 Frekuensi (fi) 10 8 9 Pembahasan:
Frekuensi tertinggi adalah 10 (pada x = 2). Modus = 2.3. Tentukan modusnya:Nilai (xi) 7 8 9 Frekuensi (fi) 2 2 5 Pembahasan:
Frekuensi tertinggi adalah 5. Modus = 9.4. Tentukan modusnya:Nilai (xi) 100 200 Frekuensi (fi) 40 50 Pembahasan:
Frekuensi tertinggi 50. Modus = 200.5. Tentukan modusnya:Nilai (xi) 3 4 5 Frekuensi (fi) 6 7 2 Pembahasan:
Frekuensi tertinggi 7. Modus = 4.Level: Sedang
1. Jika modusnya adalah 7, tentukan batas nilai a!Nilai (xi) 5 6 7 Frekuensi (fi) 2 a 4 Pembahasan:
Agar 7 menjadi modus tunggal, frekuensinya (4) harus yang paling tinggi. Maka a < 4.2. Jika modusnya adalah 8, tentukan syarat untuk p!Nilai (xi) 6 7 8 Frekuensi (fi) p-1 5 p+2 Pembahasan:
Frekuensi di 8 (p+2) harus lebih besar dari yang lain.
p + 2 > 5 → p > 3. (Dan p+2 pasti lebih besar dari p-1). Jadi syaratnya p > 3.3. Jika data tersebut bersifat bimodal (punya 2 modus), berapakah nilai a?Nilai (xi) 4 5 6 7 Frekuensi (fi) 3 a 5 a Pembahasan:
Bimodal terjadi jika ada dua frekuensi tertinggi yang sama. Saat ini f tertinggi yang terlihat adalah 5. Agar bimodal, a harus setara dengan 5. Maka a = 5. Modusnya adalah 5 dan 7.4. Jika modus data tersebut adalah 5 dan x adalah bilangan bulat positif, berapakah nilai x minimal?Nilai (xi) 5 6 7 Frekuensi (fi) x² 8 3 Pembahasan:
Frekuensi x² harus lebih besar dari 8.
x² > 8. Jika x asli, maka x minimal adalah 3 (karena 3² = 9).5. Jika diketahui a = 4, tentukan modus data tersebut!Nilai (xi) 1 2 3 Frekuensi (fi) 2a a+4 10 Pembahasan:
Substitusi a=4 ke frekuensi: f = (8, 8, 10).
Frekuensi tertinggi adalah 10 (di x=3). Modus = 3.Level: Sulit
1. Diketahui modusnya adalah 7 dan k bilangan asli. Tentukan nilai k yang memenuhi!Nilai (xi) 6 7 8 Frekuensi (fi) 2k-1 k² k+3 Pembahasan:
Frekuensi 7 (k²) harus lebih besar dari 2k-1 dan k+3.
1) k² > 2k – 1 → k² – 2k + 1 > 0 → (k-1)² > 0 → k ≠ 1.
2) k² > k + 3 → k² – k – 3 > 0.
Uji k=2 → 4 > 5 (Salah).
Uji k=3 → 9 > 6 (Benar) dan 9 > 5 (Benar).
Jadi, k = 3.2. Jika mean, median, dan modus dari data berikut adalah berturut-turut 6, 6, 5. Apakah hal ini mungkin terjadi?Nilai (xi) 5 6 7 Frekuensi (fi) p q r Pembahasan:
Untuk Mean = 6 pada x=(5,6,7), bentuk harus simetris (p = r).
Namun jika Modusnya tunggal adalah 5, maka p > q dan p > r.
Kontradiksi: p tidak bisa sama dengan r sekaligus lebih besar dari r. Jadi, hal tersebut Tidak Mungkin.3. Suatu kumpulan data mentah terurut: a, a, b, b, b, c. Rata-ratanya 5. Tentukan modusnya tanpa menghitung angkanya!Pembahasan:
Nilai ‘b’ muncul sebanyak 3 kali (frekuensi tertinggi dibanding ‘a’ yang 2 kali dan ‘c’ yang 1 kali). Modus = b.4. Modus dari kumpulan data awal adalah 6. Jika semua data dikalikan 3 kemudian dikurangi 2, tentukan modus data yang baru!Pembahasan:
Sifat transformasi modus sama dengan rata-rata. Nilai yang paling banyak muncul juga ikut berubah mengikuti rumus.
Modus baru = 3(6) – 2 = 18 – 2 = 16.5. Jika rata-ratanya adalah 10, tentukan modusnya!Nilai (xi) a a+2 a+4 Frekuensi (fi) 3 5 2 Pembahasan:
Modus jelas berada pada frekuensi tertinggi (5), yaitu (a+2). Kita harus cari ‘a’ dari mean.
(3a + 5a+10 + 2a+8) / 10 = 10 → 10a + 18 = 100 → 10a = 82 → a = 8,2.
Modus = a + 2 = 8,2 + 2 = 10,2.B. Latihan Soal Modus
Level: Mudah
- Tentukan Modusnya!
xi 1 2 3 fi 5 1 1 - Tentukan Modusnya!
xi 4 5 6 fi 2 4 2 - Tentukan Modusnya!
xi 7 8 fi 10 5 - Tentukan Modusnya!
xi 10 20 30 fi 2 5 3 - Tentukan Modusnya!
xi 100 200 fi 1 4
Level: Sedang
- Jika modus adalah 6, apa syarat a?
xi 4 5 6 fi 3 a 5 - Jika modus = 3, apa syarat p?
xi 1 2 3 fi p-2 4 p+1 - Jika bimodal, tentukan a!
xi 5 6 7 fi a 6 a - Modus = 2 (x bulat). x minimal?
xi 2 3 4 fi x² 10 5 - Jika a=3, tentukan modus!
xi 7 8 9 fi 2a a+5 12
Level: Sulit
- Modus=6 (k bilangan asli). Tentukan k!
xi 5 6 7 fi 3k-2 k² k+4 - Jika Mean=6, tentukan Modusnya!
xi a a+2 a+4 fi 2 4 1 - Suatu data mentah: a, b, b, c, c, c. Tentukan modusnya tanpa angka!
- Modus awal suatu data adalah 5. Jika semua data dibagi 2 dan ditambah 3, modus baru?
- Jika data di bawah bimodal dengan modus 6 dan 7, serta mean 6,5, buktikan frekuensi 5 dan 8 harus sama!
xi 5 6 7 8 fi f5 f6 f7 f8
Ukuran Pemusatan Data Kelompok Ukuran Pemusatan Data Kelompok
1. Rataan (Mean)
Materi Rataan:
Rataan hitung (Mean) dari data kelompok dapat dicari dengan mengalikan titik tengah kelas (xi) dengan frekuensinya (f), kemudian menjumlahkannya dan membaginya dengan total frekuensi.
Rumus: Mean (x̄) = (Σ fi · xi) / Σ fiContoh Soal (Mudah)
1. Tentukan rataan data berikut:Nilai xi f 1-5 3 2 6-10 8 8 Pembahasan: Σf = 10. Σ(f·xi) = (2×3) + (8×8) = 6 + 64 = 70. Mean = 70 / 10 = 7.2. Tentukan rataan data berikut:Nilai xi f 1-5 3 4 6-10 8 6 Pembahasan: Σf = 10. Σ(f·xi) = (4×3) + (6×8) = 12 + 48 = 60. Mean = 60 / 10 = 6.3. Tentukan rataan data berikut:Nilai xi f 11-15 13 5 16-20 18 5 Pembahasan: Σf = 10. Σ(f·xi) = (5×13) + (5×18) = 65 + 90 = 155. Mean = 155 / 10 = 15.5.4. Tentukan rataan data berikut:Nilai xi f 11-15 13 2 16-20 18 8 Pembahasan: Σf = 10. Σ(f·xi) = (2×13) + (8×18) = 26 + 144 = 170. Mean = 170 / 10 = 17.5. Tentukan rataan data berikut:Nilai xi f 21-25 23 3 26-30 28 7 Pembahasan: Σf = 10. Σ(f·xi) = (3×23) + (7×28) = 69 + 196 = 265. Mean = 265 / 10 = 26.5.Contoh Soal (Sedang)
1. Tentukan rataan dari 3 kelas interval berikut:Nilai xi f 1-5 3 2 6-10 8 6 11-15 13 2 Pembahasan: Σf = 10. Σ(f·xi) = 6 + 48 + 26 = 80. Mean = 80 / 10 = 8.2. Tentukan rataan dari tabel berikut:Nilai xi f 1-5 3 3 6-10 8 4 11-15 13 3 Pembahasan: Σf = 10. Σ(f·xi) = 9 + 32 + 39 = 80. Mean = 80 / 10 = 8.3. Hitunglah nilai mean:Nilai xi f 11-15 13 1 16-20 18 8 21-25 23 1 Pembahasan: Σf = 10. Σ(f·xi) = 13 + 144 + 23 = 180. Mean = 180 / 10 = 18.4. Hitunglah nilai mean:Nilai xi f 10-14 12 4 15-19 17 2 20-24 22 4 Pembahasan: Σf = 10. Σ(f·xi) = 48 + 34 + 88 = 170. Mean = 170 / 10 = 17.5. Hitunglah nilai mean:Nilai xi f 20-24 22 2 25-29 27 5 30-34 32 3 Pembahasan: Σf = 10. Σ(f·xi) = 44 + 135 + 96 = 275. Mean = 275 / 10 = 27.5.Contoh Soal (Sulit)
1. Tentukan mean dengan rentang lebih besar:Nilai xi f 1-10 5.5 2 11-20 15.5 3 21-30 25.5 3 31-40 35.5 2 Pembahasan: Σf = 10. Σ(f·xi) = 11 + 46.5 + 76.5 + 71 = 205. Mean = 205 / 10 = 20.5.2. Tentukan mean dari data berikut:Nilai xi f 10-19 14.5 1 20-29 24.5 4 30-39 34.5 4 40-49 44.5 1 Pembahasan: Σf = 10. Σ(f·xi) = 14.5 + 98 + 138 + 44.5 = 295. Mean = 295 / 10 = 29.5.3. Tentukan mean dari data berat badan:Nilai xi f 50-59 54.5 2 60-69 64.5 5 70-79 74.5 2 80-89 84.5 1 Pembahasan: Σf = 10. Σ(f·xi) = 109 + 322.5 + 149 + 84.5 = 665. Mean = 665 / 10 = 66.5.4. Tentukan mean dari 5 kelas interval:Nilai xi f 1-5 3 1 6-10 8 2 11-15 13 4 16-20 18 2 21-25 23 1 Pembahasan: Σf = 10. Σ(f·xi) = 3 + 16 + 52 + 36 + 23 = 130. Mean = 130 / 10 = 13.5. Tentukan mean dari frekuensi yang lebih banyak:Nilai xi f 11-15 13 2 16-20 18 3 21-25 23 5 26-30 28 3 31-35 33 2 Pembahasan: Σf = 15. Σ(f·xi) = 26 + 54 + 115 + 84 + 66 = 345. Mean = 345 / 15 = 23.Latihan Soal Rataan
Mudah 1:Nilai xi f 1-5 3 3 6-10 8 7 Mudah 2:Nilai xi f 1-5 3 5 6-10 8 5 Mudah 3:Nilai xi f 11-15 13 1 16-20 18 9 Mudah 4:Nilai xi f 11-15 13 6 16-20 18 4 Mudah 5:Nilai xi f 21-25 23 8 26-30 28 2 Sedang 1:Nilai xi f 1-5 3 4 6-10 8 2 11-15 13 4 Sedang 2:Nilai xi f 1-5 3 2 6-10 8 5 11-15 13 3 Sedang 3:Nilai xi f 11-15 13 3 16-20 18 5 21-25 23 2 Sedang 4:Nilai xi f 10-14 12 1 15-19 17 7 20-24 22 2 Sedang 5:Nilai xi f 20-24 22 2 25-29 27 7 30-34 32 1 Sulit 1:Nilai xi f 1-10 5.5 1 11-20 15.5 4 21-30 25.5 4 31-40 35.5 1 Sulit 2:Nilai xi f 10-19 14.5 2 20-29 24.5 2 30-39 34.5 4 40-49 44.5 2 Sulit 3:Nilai xi f 50-59 54.5 3 60-69 64.5 2 70-79 74.5 2 80-89 84.5 3 Sulit 4:Nilai xi f 1-5 3 1 6-10 8 3 11-15 13 4 16-20 18 1 21-25 23 1 Sulit 5:Nilai xi f 11-15 13 2 16-20 18 4 21-25 23 3 26-30 28 4 31-35 33 2 2. Median
Materi Median:
Median adalah nilai tengah data setelah diurutkan. Untuk data kelompok, cari letak kelas median pada data ke-(n/2).
Rumus: Me = Tb + [ (n/2 – Fk) / f ] × p
Tb = Tepi bawah kelas median, Fk = Frekuensi kumulatif sebelum kelas median, f = Frekuensi kelas median, p = Panjang kelas.Contoh Soal (Mudah)
1. Tentukan median data berikut:Nilai xi f 1-5 3 2 6-10 8 8 Pembahasan: n = 10. Letak Me = 10/2 = data ke-5 (di kelas 6-10). Tb = 5.5, p = 5, Fk = 2, f = 8.
Me = 5.5 + [ (5 – 2) / 8 ] × 5 = 5.5 + (15/8) = 5.5 + 1.875 = 7.375.2. Tentukan median data berikut:Nilai xi f 1-5 3 4 6-10 8 6 Pembahasan: n = 10. Letak Me = data ke-5 (di kelas 6-10). Tb = 5.5, p = 5, Fk = 4, f = 6.
Me = 5.5 + [ (5 – 4) / 6 ] × 5 = 5.5 + (5/6) = 5.5 + 0.833 = 6.333.3. Tentukan median data berikut:Nilai xi f 1-5 3 5 6-10 8 5 Pembahasan: n = 10. Letak Me = data ke-5. Karena Fk kelas pertama pas 5, Me tepat di batas kelas atas pertama, yaitu 5.5.
Bisa dihitung: Me = 5.5 + [ (5 – 5) / 5 ] × 5 = 5.5.4. Tentukan median data berikut:Nilai xi f 11-15 13 2 16-20 18 8 Pembahasan: n = 10. Letak Me = data ke-5 (kelas 16-20). Tb = 15.5, p = 5, Fk = 2, f = 8.
Me = 15.5 + [ (5 – 2) / 8 ] × 5 = 15.5 + 1.875 = 17.375.5. Tentukan median data berikut:Nilai xi f 21-25 23 3 26-30 28 7 Pembahasan: n = 10. Letak Me = data ke-5 (kelas 26-30). Tb = 25.5, p = 5, Fk = 3, f = 7.
Me = 25.5 + [ (5 – 3) / 7 ] × 5 = 25.5 + (10/7) = 26.93.Contoh Soal (Sedang)
1. Tentukan median data berikut:Nilai xi f 1-5 3 2 6-10 8 6 11-15 13 2 Pembahasan: n = 10. Letak = 5. Kelas 6-10. Tb = 5.5, p = 5, Fk = 2, f = 6.
Me = 5.5 + [ (5 – 2) / 6 ] × 5 = 5.5 + 2.5 = 8.2. Tentukan median data berikut:Nilai xi f 1-5 3 3 6-10 8 4 11-15 13 3 Pembahasan: n = 10. Letak = 5. Kelas 6-10. Tb = 5.5, p = 5, Fk = 3, f = 4.
Me = 5.5 + [ (5 – 3) / 4 ] × 5 = 5.5 + 2.5 = 8.3. Tentukan median data berikut:Nilai xi f 11-15 13 1 16-20 18 8 21-25 23 1 Pembahasan: n = 10. Letak = 5. Kelas 16-20. Tb = 15.5, p = 5, Fk = 1, f = 8.
Me = 15.5 + [ (5 – 1) / 8 ] × 5 = 15.5 + 2.5 = 18.4. Tentukan median data berikut:Nilai xi f 10-14 12 4 15-19 17 2 20-24 22 4 Pembahasan: n = 10. Letak = 5. Kelas 15-19. Tb = 14.5, p = 5, Fk = 4, f = 2.
Me = 14.5 + [ (5 – 4) / 2 ] × 5 = 14.5 + 2.5 = 17.5. Tentukan median data berikut:Nilai xi f 20-24 22 2 25-29 27 5 30-34 32 3 Pembahasan: n = 10. Letak = 5. Kelas 25-29. Tb = 24.5, p = 5, Fk = 2, f = 5.
Me = 24.5 + [ (5 – 2) / 5 ] × 5 = 24.5 + 3 = 27.5.Contoh Soal (Sulit)
1. Tentukan median tabel dengan rentang panjang:Nilai xi f 1-10 5.5 2 11-20 15.5 3 21-30 25.5 3 31-40 35.5 2 Pembahasan: n = 10. Letak = 5. Kelas 11-20. Tb = 10.5, p = 10, Fk = 2, f = 3.
Me = 10.5 + [ (5 – 2) / 3 ] × 10 = 10.5 + 10 = 20.5.2. Tentukan median data berikut:Nilai xi f 10-19 14.5 1 20-29 24.5 4 30-39 34.5 4 40-49 44.5 1 Pembahasan: n = 10. Letak = 5. Kelas 20-29. Tb = 19.5, p = 10, Fk = 1, f = 4.
Me = 19.5 + [ (5 – 1) / 4 ] × 10 = 19.5 + 10 = 29.5.3. Tentukan median data besar:Nilai xi f 50-59 54.5 2 60-69 64.5 5 70-79 74.5 2 80-89 84.5 1 Pembahasan: n = 10. Letak = 5. Kelas 60-69. Tb = 59.5, p = 10, Fk = 2, f = 5.
Me = 59.5 + [ (5 – 2) / 5 ] × 10 = 59.5 + 6 = 65.5.4. Tentukan median data 5 kelas:Nilai xi f 1-5 3 1 6-10 8 2 11-15 13 4 16-20 18 2 21-25 23 1 Pembahasan: n = 10. Letak = 5. Kelas 11-15. Tb = 10.5, p = 5, Fk = 3 (dari 1+2), f = 4.
Me = 10.5 + [ (5 – 3) / 4 ] × 5 = 10.5 + 2.5 = 13.5. Tentukan median dengan n ganjil:Nilai xi f 11-15 13 2 16-20 18 3 21-25 23 5 26-30 28 3 31-35 33 2 Pembahasan: n = 15. Letak = 15/2 = 7.5. Kelas 21-25. Tb = 20.5, p = 5, Fk = 5, f = 5.
Me = 20.5 + [ (7.5 – 5) / 5 ] × 5 = 20.5 + 2.5 = 23.Latihan Soal Median
Mudah 1:Nilai xi f 1-5 3 3 6-10 8 7 Mudah 2:Nilai xi f 1-5 3 5 6-10 8 5 Mudah 3:Nilai xi f 11-15 13 1 16-20 18 9 Mudah 4:Nilai xi f 11-15 13 6 16-20 18 4 Mudah 5:Nilai xi f 21-25 23 8 26-30 28 2 Sedang 1:Nilai xi f 1-5 3 4 6-10 8 2 11-15 13 4 Sedang 2:Nilai xi f 1-5 3 2 6-10 8 5 11-15 13 3 Sedang 3:Nilai xi f 11-15 13 3 16-20 18 5 21-25 23 2 Sedang 4:Nilai xi f 10-14 12 1 15-19 17 7 20-24 22 2 Sedang 5:Nilai xi f 20-24 22 2 25-29 27 7 30-34 32 1 Sulit 1:Nilai xi f 1-10 5.5 1 11-20 15.5 4 21-30 25.5 4 31-40 35.5 1 Sulit 2:Nilai xi f 10-19 14.5 2 20-29 24.5 2 30-39 34.5 4 40-49 44.5 2 Sulit 3:Nilai xi f 50-59 54.5 3 60-69 64.5 2 70-79 74.5 2 80-89 84.5 3 Sulit 4:Nilai xi f 1-5 3 1 6-10 8 3 11-15 13 4 16-20 18 1 21-25 23 1 Sulit 5:Nilai xi f 11-15 13 2 16-20 18 4 21-25 23 3 26-30 28 4 31-35 33 2 3. Modus
Materi Modus:
Modus adalah nilai yang paling sering muncul (frekuensi terbesar).
Rumus: Mo = Tb + [ d1 / (d1 + d2) ] × p
Tb = Tepi bawah kelas modus, d1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya, d2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya, p = Panjang kelas.Contoh Soal (Mudah)
1. Tentukan modus data berikut:Nilai xi f 1-5 3 2 6-10 8 8 Pembahasan: Kelas modus 6-10 (f=8). Tb = 5.5, p = 5. d1 = 8 – 2 = 6, d2 = 8 – 0 = 8.
Mo = 5.5 + [ 6 / (6 + 8) ] × 5 = 5.5 + (30/14) = 5.5 + 2.14 = 7.64.2. Tentukan modus data berikut:Nilai xi f 1-5 3 4 6-10 8 6 Pembahasan: Kelas modus 6-10 (f=6). Tb = 5.5, p = 5. d1 = 6 – 4 = 2, d2 = 6 – 0 = 6.
Mo = 5.5 + [ 2 / (2 + 6) ] × 5 = 5.5 + (10/8) = 5.5 + 1.25 = 6.75.3. Tentukan modus data berikut:Nilai xi f 11-15 13 7 16-20 18 3 Pembahasan: Kelas modus 11-15 (f=7). Tb = 10.5, p = 5. d1 = 7 – 0 = 7, d2 = 7 – 3 = 4.
Mo = 10.5 + [ 7 / (7 + 4) ] × 5 = 10.5 + (35/11) = 10.5 + 3.18 = 13.68.4. Tentukan modus data berikut:Nilai xi f 11-15 13 2 16-20 18 8 Pembahasan: Kelas modus 16-20 (f=8). Tb = 15.5, p = 5. d1 = 8 – 2 = 6, d2 = 8 – 0 = 8.
Mo = 15.5 + [ 6 / (6 + 8) ] × 5 = 15.5 + 2.14 = 17.64.5. Tentukan modus data berikut:Nilai xi f 21-25 23 3 26-30 28 7 Pembahasan: Kelas modus 26-30. Tb = 25.5, p = 5. d1 = 7 – 3 = 4, d2 = 7 – 0 = 7.
Mo = 25.5 + [ 4 / (4 + 7) ] × 5 = 25.5 + 1.82 = 27.32.Contoh Soal (Sedang)
1. Tentukan modus dari 3 kelas interval:Nilai xi f 1-5 3 2 6-10 8 6 11-15 13 2 Pembahasan: Kelas modus 6-10. Tb = 5.5, p = 5. d1 = 6 – 2 = 4, d2 = 6 – 2 = 4.
Mo = 5.5 + [ 4 / (4 + 4) ] × 5 = 5.5 + 2.5 = 8.2. Tentukan modus data berikut:Nilai xi f 1-5 3 3 6-10 8 4 11-15 13 3 Pembahasan: Kelas modus 6-10. Tb = 5.5. d1 = 4 – 3 = 1, d2 = 4 – 3 = 1.
Mo = 5.5 + [ 1 / (1 + 1) ] × 5 = 5.5 + 2.5 = 8.3. Tentukan modus data berikut:Nilai xi f 11-15 13 1 16-20 18 8 21-25 23 1 Pembahasan: Kelas modus 16-20. Tb = 15.5. d1 = 8 – 1 = 7, d2 = 8 – 1 = 7.
Mo = 15.5 + [ 7 / (7 + 7) ] × 5 = 15.5 + 2.5 = 18.4. Tentukan modus data berikut:Nilai xi f 10-14 12 4 15-19 17 6 20-24 22 2 Pembahasan: Kelas modus 15-19. Tb = 14.5. d1 = 6 – 4 = 2, d2 = 6 – 2 = 4.
Mo = 14.5 + [ 2 / (2 + 4) ] × 5 = 14.5 + 1.67 = 16.17.5. Tentukan modus data berikut:Nilai xi f 20-24 22 2 25-29 27 5 30-34 32 3 Pembahasan: Kelas modus 25-29. Tb = 24.5. d1 = 5 – 2 = 3, d2 = 5 – 3 = 2.
Mo = 24.5 + [ 3 / (3 + 2) ] × 5 = 24.5 + 3 = 27.5.Contoh Soal (Sulit)
1. Tentukan modus rentang p=10:Nilai xi f 1-10 5.5 2 11-20 15.5 6 21-30 25.5 3 31-40 35.5 2 Pembahasan: Kelas modus 11-20. Tb = 10.5, p = 10. d1 = 6 – 2 = 4, d2 = 6 – 3 = 3.
Mo = 10.5 + [ 4 / (4 + 3) ] × 10 = 10.5 + 5.71 = 16.21.2. Tentukan modus data berikut:Nilai xi f 10-19 14.5 1 20-29 24.5 2 30-39 34.5 5 40-49 44.5 1 Pembahasan: Kelas modus 30-39. Tb = 29.5, p = 10. d1 = 5 – 2 = 3, d2 = 5 – 1 = 4.
Mo = 29.5 + [ 3 / (3 + 4) ] × 10 = 29.5 + 4.29 = 33.79.3. Tentukan modus data berikut:Nilai xi f 50-59 54.5 2 60-69 64.5 5 70-79 74.5 2 80-89 84.5 1 Pembahasan: Kelas modus 60-69. Tb = 59.5, p = 10. d1 = 5 – 2 = 3, d2 = 5 – 2 = 3.
Mo = 59.5 + [ 3 / (3 + 3) ] × 10 = 59.5 + 5 = 64.5.4. Tentukan modus dengan banyak kelas:Nilai xi f 1-5 3 1 6-10 8 2 11-15 13 6 16-20 18 2 21-25 23 1 Pembahasan: Kelas modus 11-15. Tb = 10.5, p = 5. d1 = 6 – 2 = 4, d2 = 6 – 2 = 4.
Mo = 10.5 + [ 4 / (4 + 4) ] × 5 = 10.5 + 2.5 = 13.5. Tentukan modus data berikut:Nilai xi f 11-15 13 2 16-20 18 3 21-25 23 7 26-30 28 3 31-35 33 2 Pembahasan: Kelas modus 21-25. Tb = 20.5, p = 5. d1 = 7 – 3 = 4, d2 = 7 – 3 = 4.
Mo = 20.5 + [ 4 / (4 + 4) ] × 5 = 20.5 + 2.5 = 23.Latihan Soal Modus
Mudah 1:Nilai xi f 1-5 3 2 6-10 8 9 Mudah 2:Nilai xi f 1-5 3 7 6-10 8 3 Mudah 3:Nilai xi f 11-15 13 2 16-20 18 8 Mudah 4:Nilai xi f 11-15 13 5 16-20 18 4 Mudah 5:Nilai xi f 21-25 23 6 26-30 28 3 Sedang 1:Nilai xi f 1-5 3 3 6-10 8 5 11-15 13 2 Sedang 2:Nilai xi f 1-5 3 2 6-10 8 7 11-15 13 1 Sedang 3:Nilai xi f 11-15 13 4 16-20 18 6 21-25 23 2 Sedang 4:Nilai xi f 10-14 12 2 15-19 17 8 20-24 22 3 Sedang 5:Nilai xi f 20-24 22 1 25-29 27 6 30-34 32 2 Sulit 1:Nilai xi f 1-10 5.5 2 11-20 15.5 7 21-30 25.5 4 31-40 35.5 2 Sulit 2:Nilai xi f 10-19 14.5 1 20-29 24.5 3 30-39 34.5 6 40-49 44.5 2 Sulit 3:Nilai xi f 50-59 54.5 4 60-69 64.5 2 70-79 74.5 1 80-89 84.5 3 Sulit 4:Nilai xi f 1-5 3 2 6-10 8 4 11-15 13 8 16-20 18 3 21-25 23 1 Sulit 5:Nilai xi f 11-15 13 1 16-20 18 4 21-25 23 5 26-30 28 6 31-35 33 2 - Modus dari himpunan A={1,2,3,3,4} adalah 3. Jika setiap data dikalikan 2 lalu ditambah 1, berapakah modus yang baru?
