Matematika · Aljabar Linear
Determinan Matriks
Ordo 2×2 & 3×3
Materi · Contoh Soal Bertingkat · Latihan Lengkap
Materi
Pengertian Determinan
Determinan adalah suatu nilai skalar (bilangan tunggal) yang dihitung dari elemen-elemen suatu matriks persegi. Determinan matriks A dinotasikan dengan det(A) atau |A|.
Determinan hanya dapat dihitung pada matriks persegi (jumlah baris = jumlah kolom). Nilai determinan memiliki banyak kegunaan, antara lain untuk menentukan apakah matriks memiliki invers, menyelesaikan sistem persamaan linear, dan transformasi geometri.
Rumus Determinan Matriks 2×2
Untuk matriks A berukuran 2×2:
Bentuk Umum
A = [ [a, b], [c, d] ]
Rumus Determinan det(A) = |A| = a·d − b·c
Rumus Determinan det(A) = |A| = a·d − b·c
Cara baca: Kalikan diagonal utama (a×d) kemudian kurangi hasil kali diagonal kedua (b×c).
💡 Ingat: kiri-atas × kanan-bawah MINUS kanan-atas × kiri-bawah
Sifat-Sifat Determinan 2×2
(a) Jika det(A) = 0, matriks A disebut singular (tidak memiliki invers).
(b) Jika det(A) ≠ 0, matriks A disebut non-singular (memiliki invers).
(c) det(A·B) = det(A) × det(B)
(d) det(Aᵀ) = det(A) (determinan transpose sama dengan aslinya)
(e) det(k·A) = k² · det(A) (untuk matriks 2×2)
| Kondisi | Artinya |
|---|---|
| det(A) > 0 | Transformasi mempertahankan orientasi, skala diperbesar |
| det(A) = 0 | Matriks singular, tidak ada invers |
| det(A) < 0 | Transformasi membalik orientasi |
| det(A) = 1 | Transformasi mempertahankan luas |
Hubungan Determinan dengan Invers Matriks 2×2
Matriks A memiliki invers jika dan hanya jika det(A) ≠ 0. Rumus invers matriks 2×2:
Rumus Invers
Jika A = [ [a, b], [c, d] ] dan det(A) = ad − bc ≠ 0
A⁻¹ = (1/det(A)) × [ [d, −b], [−c, a] ]
A⁻¹ = (1/det(A)) × [ [d, −b], [−c, a] ]
Tukar posisi a↔d, ubah tanda b dan c, lalu bagi dengan det(A).
Contoh Soal – Determinan 2×2
Tingkat Mudah
M-1 Determinan bilangan positif
Hitung det(A) jika:
A =
3124
Pembahasan
det(A) = (3 × 4) − (1 × 2)
= 12 − 2
= 10
= 12 − 2
= 10
det(A) = 10 (non-singular, memiliki invers)
M-2 Hasil determinan = 0
Hitung det(B) dan tentukan apakah B singular:
B =
2412
Pembahasan
det(B) = (2 × 2) − (4 × 1)
= 4 − 4
= 0
= 4 − 4
= 0
det(B) = 0 → Matriks SINGULAR (tidak memiliki invers)
Perhatikan bahwa baris 2 adalah ½ dari baris 1 → baris-baris bergantung linear.
M-3 Determinan dengan nol
Hitung det(C):
C =
5003
Pembahasan
det(C) = (5 × 3) − (0 × 0)
= 15 − 0
= 15
= 15 − 0
= 15
det(C) = 15 (matriks diagonal: det = perkalian elemen diagonal)
M-4 Determinan matriks identitas
Hitung det(I) untuk matriks identitas 2×2.
I =
1001
Pembahasan
det(I) = (1 × 1) − (0 × 0) = 1 − 0 = 1
det(I) = 1 → Matriks identitas selalu memiliki det = 1
M-5 Determinan hasilnya negatif
Hitung det(D):
D =
1325
Pembahasan
det(D) = (1 × 5) − (3 × 2)
= 5 − 6
= −1
= 5 − 6
= −1
det(D) = −1 (non-singular, memiliki invers)
Tingkat Sedang
S-1 Elemen negatif
Hitung det(A):
A =
−342−5
Pembahasan
det(A) = (−3 × −5) − (4 × 2)
= 15 − 8
= 7
= 15 − 8
= 7
det(A) = 7
S-2 Tentukan nilai x
Diketahui det(A) = 6. Tentukan nilai x!
A =
x324
Pembahasan
det(A) = 4x − 6 = 6
4x = 12
x = 3
4x = 12
x = 3
x = 3
S-3 Sifat det(AB) = det(A)·det(B)
Verifikasi det(AB) = det(A)·det(B) untuk:
A =
2134
,
B =
1203
Pembahasan
det(A) = (2×4)−(1×3) = 8−3 = 5
det(B) = (1×3)−(2×0) = 3−0 = 3
det(A)·det(B) = 5 × 3 = 15
det(B) = (1×3)−(2×0) = 3−0 = 3
det(A)·det(B) = 5 × 3 = 15
AB: c₁₁=(2+0)=2, c₁₂=(4+3)=7, c₂₁=(3+0)=3, c₂₂=(6+12)=18
AB = [ [2,7], [3,18] ]
det(AB) = (2×18)−(7×3) = 36−21 = 15
AB = [ [2,7], [3,18] ]
det(AB) = (2×18)−(7×3) = 36−21 = 15
det(AB) = det(A)·det(B) = 15 ✓ Terbukti!
S-4 Tentukan x agar matriks singular
Tentukan nilai x agar matriks A singular!
A =
x+132x−1
Pembahasan
Agar singular: det(A) = 0
(x+1)(x−1) − (3)(2) = 0
x² − 1 − 6 = 0
x² = 7
x = ±√7
x² − 1 − 6 = 0
x² = 7
x = ±√7
x = √7 atau x = −√7
S-5 Hitung invers menggunakan determinan
Hitunglah invers matriks A menggunakan det(A):
A =
4332
Pembahasan
det(A) = (4×2)−(3×3) = 8−9 = −1
A⁻¹ = (1/−1) × [ [2,−3], [−3,4] ]
A⁻¹ = [ [−2, 3], [3, −4] ]
A⁻¹ = (1/−1) × [ [2,−3], [−3,4] ]
A⁻¹ = [ [−2, 3], [3, −4] ]
Verifikasi: A × A⁻¹ harus = I
c₁₁=(4×−2)+(3×3)=−8+9=1 ✓
c₁₂=(4×3)+(3×−4)=12−12=0 ✓
c₁₂=(4×3)+(3×−4)=12−12=0 ✓
A⁻¹ = [ [−2, 3], [3, −4] ]
Tingkat Sulit
H-1 Tentukan a dan b
Diketahui det(A) = 10 dan det(B) = −2. Jika:
A =
a32b
dan diketahui pula b = a + 1. Tentukan a dan b!
Pembahasan
det(A) = ab − 6 = 10
ab = 16
Substitusi b = a+1: a(a+1) = 16
a² + a − 16 = 0
Gunakan rumus kuadrat: a = (−1 ± √(1+64))/2 = (−1 ± √65)/2
Coba nilai bulat: a=4, b=5 → 4×5=20 ≠ 16
Coba a=3, b=4 → ab=12 ≠ 16… Atau dicek kembali:
a(a+1)=16 → tidak ada solusi bilangan bulat, namun jika b = a+1 diabaikan:
Dari ab=16 dan misalkan a=4, b=4 → ab=16 ✓ (b = a)
ab = 16
Substitusi b = a+1: a(a+1) = 16
a² + a − 16 = 0
Gunakan rumus kuadrat: a = (−1 ± √(1+64))/2 = (−1 ± √65)/2
Coba nilai bulat: a=4, b=5 → 4×5=20 ≠ 16
Coba a=3, b=4 → ab=12 ≠ 16… Atau dicek kembali:
a(a+1)=16 → tidak ada solusi bilangan bulat, namun jika b = a+1 diabaikan:
Dari ab=16 dan misalkan a=4, b=4 → ab=16 ✓ (b = a)
Pendekatan lain: ab = 16, b = a+1
a² + a − 16 = 0 → Δ = 1+64 = 65
a = (−1+√65)/2 ≈ 3,53 b ≈ 4,53
a² + a − 16 = 0 → Δ = 1+64 = 65
a = (−1+√65)/2 ≈ 3,53 b ≈ 4,53
a = (−1+√65)/2, b = (1+√65)/2 (tidak bulat, karena syarat b=a+1)
H-2 Sistem persamaan via determinan (Cramer)
Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan aturan Cramer:
2x + 3y = 7
x + 4y = 6
Pembahasan – Aturan Cramer
Matriks koefisien: A = [ [2,3], [1,4] ]
det(A) = (2×4)−(3×1) = 8−3 = 5
det(A) = (2×4)−(3×1) = 8−3 = 5
Untuk x: ganti kolom 1 dengan konstanta:
Aₓ = [ [7,3], [6,4] ] → det(Aₓ) = 28−18 = 10
x = det(Aₓ)/det(A) = 10/5 = 2
Aₓ = [ [7,3], [6,4] ] → det(Aₓ) = 28−18 = 10
x = det(Aₓ)/det(A) = 10/5 = 2
Untuk y: ganti kolom 2 dengan konstanta:
Aᵧ = [ [2,7], [1,6] ] → det(Aᵧ) = 12−7 = 5
y = det(Aᵧ)/det(A) = 5/5 = 1
Aᵧ = [ [2,7], [1,6] ] → det(Aᵧ) = 12−7 = 5
y = det(Aᵧ)/det(A) = 5/5 = 1
x = 2, y = 1
H-3 det(kA) = k² det(A)
Jika:
A =
31−24
Hitunglah det(3A) menggunakan sifat det(kA) = k² det(A), lalu verifikasi!
Pembahasan
det(A) = (3×4)−(1×−2) = 12+2 = 14
det(3A) = 3² × det(A) = 9 × 14 = 126
det(3A) = 3² × det(A) = 9 × 14 = 126
Verifikasi: 3A = [ [9,3], [−6,12] ]
det(3A) = (9×12)−(3×−6) = 108+18 = 126 ✓
det(3A) = (9×12)−(3×−6) = 108+18 = 126 ✓
det(3A) = 126 ✓ Sifat terbukti!
H-4 det(A²) dan det(A⁻¹)
Jika det(A) = 4, hitunglah det(A²) dan det(A⁻¹) tanpa menghitung matriks A²!
Pembahasan
Gunakan sifat det(AB) = det(A)·det(B):
det(A²) = det(A·A) = det(A)×det(A) = 4×4 = 16
det(A²) = det(A·A) = det(A)×det(A) = 4×4 = 16
Karena A·A⁻¹ = I dan det(I) = 1:
det(A)·det(A⁻¹) = 1
det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/4 = 0,25
det(A)·det(A⁻¹) = 1
det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/4 = 0,25
det(A²) = 16 | det(A⁻¹) = 1/4
H-5 Sistem dengan parameter k
Tentukan nilai k agar sistem persamaan berikut memiliki penyelesaian tak tunggal:
(k+2)x + 3y = 0
4x + ky = 0
Pembahasan
Sistem homogen memiliki penyelesaian tak tunggal ⟺ det(A) = 0
Matriks koefisien: A = [ [k+2, 3], [4, k] ]
det(A) = k(k+2) − 12 = 0
k² + 2k − 12 = 0
k = (−2 ± √(4+48))/2 = (−2 ± √52)/2
k = −1 ± √13
det(A) = k(k+2) − 12 = 0
k² + 2k − 12 = 0
k = (−2 ± √(4+48))/2 = (−2 ± √52)/2
k = −1 ± √13
k = −1 + √13 ≈ 2,606 atau k = −1 − √13 ≈ −4,606
Latihan Soal – Determinan 2×2
Latihan Mudah
L-M1 · Hitung det(A)
Hitung det(A) jika
A =6234
det(A) = (6×4)−(2×3) = 24−6 = 18
L-M2 · Matriks diagonal
Hitung det(B) jika
B =7005
det(B) = (7×5)−(0×0) = 35
L-M3 · Hasil negatif
Hitung det(C) jika
C =2513
det(C) = (2×3)−(5×1) = 6−5 = 1
L-M4 · Singular atau tidak?
Tentukan apakah D singular:
D =4623
det(D) = (4×3)−(6×2) = 12−12 = 0 → SINGULAR
L-M5 · det dengan elemen besar
Hitung det(E) jika
E =10348
det(E) = (10×8)−(3×4) = 80−12 = 68
Latihan Sedang
L-S1 · Elemen campuran negatif
Hitung det(A) jika
A =−435−2
det(A) = (−4×−2)−(3×5) = 8−15 = −7
L-S2 · Tentukan x, det = 0
Tentukan x agar A singular:
A =x52x
det=0: x²−10=0 → x = ±√10
L-S3 · Hitung invers via det
Hitunglah A⁻¹ jika
A =5231
det=5−6=−1 | A⁻¹=(1/−1)[[1,−2],[−3,5]] = [[−1,2],[3,−5]]
L-S4 · Tentukan nilai p dari det
Jika det(A) = 14, tentukan p:
A =p−23p+1
det=p(p+1)+6=p²+p+6=14 → p²+p−8=0 → p=(−1±√33)/2
L-S5 · Selesaikan SPL dengan Cramer
Selesaikan: 3x + y = 11, x + 2y = 7 menggunakan aturan Cramer.
det(A)=6−1=5 | det(Aₓ)=22−7=15 | det(Aᵧ)=21−11=10 | x=3, y=2
Latihan Sulit
L-H1 · det(A³)
Jika det(A) = −3, hitunglah det(A³) dan det(A⁻²).
det(A³)=(−3)³=−27 | det(A⁻²)=1/det(A²)=1/9
L-H2 · Sistem SPL tiga var (Cramer)
Selesaikan: 5x − 2y = 3 dan 3x + 4y = −1 dengan Cramer, kemudian hitung det(A⁻¹).
det(A)=20+6=26 | Aₓ=[[3,−2],[−1,4]]:det=12−2=10, x=10/26=5/13 | Aᵧ=[[5,3],[3,−1]]:det=−5−9=−14, y=−14/26=−7/13 | det(A⁻¹)=1/26
L-H3 · Tentukan m dan n
Diketahui det(A)=5 dan det(B)=−2. Hitunglah det(3A²B⁻¹).
det(3A²B⁻¹)=det(3)²·det(A²)·det(B⁻¹)=9·25·(−1/2)=−112,5
L-H4 · Agar sistem tak konsisten
Tentukan nilai k agar sistem kx + 2y = 4, 3x + ky = 6 tidak memiliki penyelesaian.
det(A)=k²−6=0 → k=±√6. Cek konsistensi: bila k=√6 → baris tidak proporsional → tak konsisten ✓
L-H5 · Fungsi determinan
Tentukan nilai x agar det(A) = det(B) jika:
A =x2x−13
,
B =41x2
det(A)=3x−2(x−1)=x+2 | det(B)=8−x | x+2=8−x → 2x=6 → x=3
Materi
Determinan Matriks 3×3
Untuk matriks persegi ordo 3×3 dengan bentuk:
Bentuk Umum
A = [ [a₁₁, a₁₂, a₁₃],
[a₂₁, a₂₂, a₂₃],
[a₃₁, a₃₂, a₃₃] ]
Terdapat dua metode utama untuk menghitung determinannya:
Metode 1: Aturan Sarrus (cara cepat, khusus 3×3)
Metode 2: Ekspansi Kofaktor / Laplace (berlaku umum)
Metode 2: Ekspansi Kofaktor / Laplace (berlaku umum)
Metode Sarrus
Salin dua kolom pertama di sebelah kanan matriks, kemudian jumlahkan hasil kali diagonal utama (→) dan kurangi hasil kali diagonal kedua (←).
Skema Sarrus
| a b c | a b ← tulis ulang kol 1 & 2
| d e f | d e
| g h i | g h
+aei +bfg +cdh ← diagonal kiri-kanan (POSITIF)
−ceg −afh −bdi ← diagonal kanan-kiri (NEGATIF)
det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
⚠️ Metode Sarrus HANYA berlaku untuk matriks 3×3, tidak bisa digunakan untuk ordo lain!
Metode Ekspansi Kofaktor (Laplace)
Ekspansi terhadap baris ke-1:
Rumus Ekspansi Baris 1
det(A) = a₁₁·C₁₁ + a₁₂·C₁₂ + a₁₃·C₁₃
dimana Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) · Mᵢⱼ
Mᵢⱼ = minor (det sub-matriks 2×2 setelah hapus baris i & kolom j)
Tanda kofaktor (pola papan catur):
+ − +
− + −
+ − +
+ − +
− + −
+ − +
Ekspansi Baris 1 Ditulis Lengkap
det(A) = +a₁₁·|e f; h i|
−a₁₂·|d f; g i|
+a₁₃·|d e; g h|
Sifat-Sifat Determinan 3×3
(a) det(Aᵀ) = det(A)
(b) Jika ada baris/kolom berisi nol semua → det = 0
(c) Jika dua baris/kolom identik → det = 0
(d) Menukar dua baris → det berubah tanda
(e) det(kA) = k³ · det(A) untuk matriks 3×3
(f) det(AB) = det(A) · det(B)
Contoh Soal – Determinan 3×3
Tingkat Mudah
M-1 Metode Sarrus – bilangan kecil
Hitung det(A) dengan metode Sarrus:
A =
123456789
Pembahasan – Metode Sarrus
Diagonal positif:
+1·5·9 = 45
+2·6·7 = 84
+3·4·8 = 96
Total positif = 225
+1·5·9 = 45
+2·6·7 = 84
+3·4·8 = 96
Total positif = 225
Diagonal negatif:
−3·5·7 = −105
−1·6·8 = −48
−2·4·9 = −72
Total negatif = −225
−3·5·7 = −105
−1·6·8 = −48
−2·4·9 = −72
Total negatif = −225
det(A) = 225 − 225 = 0 (matriks singular – baris saling bergantung linear)
M-2 Matriks identitas 3×3
Hitunglah det(I₃) matriks identitas 3×3!
I₃ =
100010001
Pembahasan
Diagonal positif: (1·1·1)+(0·0·0)+(0·0·0) = 1+0+0 = 1
Diagonal negatif: (0·1·0)+(1·0·0)+(0·0·1) = 0+0+0 = 0
det(I₃) = 1 − 0 = 1
Diagonal negatif: (0·1·0)+(1·0·0)+(0·0·1) = 0+0+0 = 0
det(I₃) = 1 − 0 = 1
det(I₃) = 1 ✓
M-3 Matriks diagonal 3×3
Hitung det(D):
D =
200030005
Pembahasan
Semua elemen off-diagonal = 0
det(D) = 2·3·5 = 30
(untuk matriks diagonal, det = perkalian semua elemen diagonal)
det(D) = 2·3·5 = 30
(untuk matriks diagonal, det = perkalian semua elemen diagonal)
det(D) = 30
M-4 Satu baris mengandung nol banyak
Hitung det(A) dengan ekspansi kofaktor baris 3:
A =
312456007
Pembahasan – Ekspansi Baris 3
Baris 3 = [0, 0, 7]
det(A) = 0·C₃₁ + 0·C₃₂ + 7·C₃₃
C₃₃ = (+1)·det[[3,1],[4,5]] = (15−4) = 11
det(A) = 7 × 11 = 77
det(A) = 0·C₃₁ + 0·C₃₂ + 7·C₃₃
C₃₃ = (+1)·det[[3,1],[4,5]] = (15−4) = 11
det(A) = 7 × 11 = 77
det(A) = 77
M-5 Sarrus – nilai positif
Hitung det(B) dengan Sarrus:
B =
201312103
Pembahasan – Sarrus
Positif: 2·1·3+0·2·1+1·3·0 = 6+0+0 = 6
Negatif: 1·1·1+2·2·0+0·3·3 = 1+0+0 = 1
det(B) = 6 − 1 = 5
Negatif: 1·1·1+2·2·0+0·3·3 = 1+0+0 = 1
det(B) = 6 − 1 = 5
det(B) = 5
Tingkat Sedang
S-1 Elemen negatif – Sarrus
Hitung det(A) dengan Sarrus:
A =
2−1304−21−35
Pembahasan – Sarrus
Positif:
+2·4·5 = 40
+(−1)·(−2)·1 = 2
+3·0·(−3) = 0
Total = 42
+2·4·5 = 40
+(−1)·(−2)·1 = 2
+3·0·(−3) = 0
Total = 42
Negatif:
−3·4·1 = −12
−2·(−2)·(−3) = −12
−(−1)·0·5 = 0
Total = −24
−3·4·1 = −12
−2·(−2)·(−3) = −12
−(−1)·0·5 = 0
Total = −24
det(A) = 42 − 24 = 18
S-2 Ekspansi kofaktor baris 1
Hitung det(A) dengan ekspansi baris 1:
A =
1230−1231−2
Pembahasan – Ekspansi Baris 1
M₁₁ = det[[−1,2],[1,−2]] = (2−2) = 0 → C₁₁ = +0 = 0
M₁₂ = det[[0,2],[3,−2]] = (0−6) = −6 → C₁₂ = −(−6) = 6
M₁₃ = det[[0,−1],[3,1]] = (0+3) = 3 → C₁₃ = +3 = 3
M₁₂ = det[[0,2],[3,−2]] = (0−6) = −6 → C₁₂ = −(−6) = 6
M₁₃ = det[[0,−1],[3,1]] = (0+3) = 3 → C₁₃ = +3 = 3
det(A) = 1·0 + 2·6 + 3·3
= 0 + 12 + 9 = 21
= 0 + 12 + 9 = 21
det(A) = 21
S-3 Tentukan nilai x
Tentukan x jika det(A) = 0:
A =
x102x102x
Pembahasan
Sarrus positif: x·x·x + 1·1·0 + 0·2·2 = x³
Sarrus negatif: 0·x·0 + x·1·2 + 1·2·x = 2x + 2x = 4x
det = x³ − 4x = 0
x(x² − 4) = 0
x(x−2)(x+2) = 0
Sarrus negatif: 0·x·0 + x·1·2 + 1·2·x = 2x + 2x = 4x
det = x³ − 4x = 0
x(x² − 4) = 0
x(x−2)(x+2) = 0
x = 0, x = 2, atau x = −2
S-4 Verifikasi kedua metode
Hitung det(A) dengan Sarrus DAN kofaktor, lalu bandingkan:
A =
3210−1421−2
Pembahasan
Sarrus:
Positif: (3·−1·−2)+(2·4·2)+(1·0·1) = 6+16+0 = 22
Negatif: (1·−1·2)+(3·4·1)+(2·0·−2) = −2+12+0 = 10
det = 22−10 = 12
Positif: (3·−1·−2)+(2·4·2)+(1·0·1) = 6+16+0 = 22
Negatif: (1·−1·2)+(3·4·1)+(2·0·−2) = −2+12+0 = 10
det = 22−10 = 12
Kofaktor baris 1:
C₁₁ = +det[[−1,4],[1,−2]] = (2−4) = −2
C₁₂ = −det[[0,4],[2,−2]] = −(0−8) = 8
C₁₃ = +det[[0,−1],[2,1]] = (0+2) = 2
det = 3(−2)+2(8)+1(2) = −6+16+2 = 12 ✓
C₁₁ = +det[[−1,4],[1,−2]] = (2−4) = −2
C₁₂ = −det[[0,4],[2,−2]] = −(0−8) = 8
C₁₃ = +det[[0,−1],[2,1]] = (0+2) = 2
det = 3(−2)+2(8)+1(2) = −6+16+2 = 12 ✓
det(A) = 12 (kedua metode sama) ✓
S-5 Hitung det(2A)
Jika det(A) = 6 untuk matriks 3×3, hitunglah det(2A) menggunakan sifat!
Pembahasan
Untuk matriks n×n: det(kA) = kⁿ · det(A)
Disini n = 3 dan k = 2:
det(2A) = 2³ × det(A) = 8 × 6 = 48
Disini n = 3 dan k = 2:
det(2A) = 2³ × det(A) = 8 × 6 = 48
det(2A) = 48
Tingkat Sulit
H-1 Matriks 3×3 elemen negatif penuh
Hitung det(A):
A =
2−31−14−23−25
Pembahasan – Sarrus
Positif:
2·4·5 = 40
(−3)·(−2)·3 = 18
1·(−1)·(−2) = 2
Total = 60
2·4·5 = 40
(−3)·(−2)·3 = 18
1·(−1)·(−2) = 2
Total = 60
Negatif:
1·4·3 = 12
2·(−2)·(−2) = 8
(−3)·(−1)·5 = 15
Total = 35
1·4·3 = 12
2·(−2)·(−2) = 8
(−3)·(−1)·5 = 15
Total = 35
det(A) = 60 − 35 = 25
H-2 Sistem 3 persamaan – Cramer 3×3
Selesaikan sistem berikut dengan aturan Cramer:
x + y + z = 6
2x − y + z = 3
x + 2y − z = 2
Pembahasan
A = [[1,1,1],[2,−1,1],[1,2,−1]]
det(A): Sarrus positif: (1·−1·−1)+(1·1·1)+(1·2·2) = 1+1+4 = 6
Sarrus negatif: (1·−1·1)+(1·1·2)+(1·2·−1) = −1+2−2 = −1
det(A) = 6−(−1) = 7
det(A): Sarrus positif: (1·−1·−1)+(1·1·1)+(1·2·2) = 1+1+4 = 6
Sarrus negatif: (1·−1·1)+(1·1·2)+(1·2·−1) = −1+2−2 = −1
det(A) = 6−(−1) = 7
Aₓ: ganti kolom 1 dengan [6,3,2]:
Aₓ = [[6,1,1],[3,−1,1],[2,2,−1]]
det(Aₓ): positif=(6·−1·−1)+(1·1·2)+(1·3·2)=6+2+6=14
negatif=(1·−1·2)+(6·1·2)+(1·3·−1)=−2+12−3=7
det(Aₓ) = 14−7 = 7 → x = 7/7 = 1
Aₓ = [[6,1,1],[3,−1,1],[2,2,−1]]
det(Aₓ): positif=(6·−1·−1)+(1·1·2)+(1·3·2)=6+2+6=14
negatif=(1·−1·2)+(6·1·2)+(1·3·−1)=−2+12−3=7
det(Aₓ) = 14−7 = 7 → x = 7/7 = 1
Aᵧ: ganti kolom 2 dengan [6,3,2]:
Aᵧ = [[1,6,1],[2,3,1],[1,2,−1]]
det(Aᵧ): positif=(1·3·−1)+(6·1·1)+(1·2·2)=−3+6+4=7
negatif=(1·3·1)+(1·1·2)+(6·2·−1)=3+2−12=−7
det(Aᵧ) = 7−(−7)=14 → y = 14/7 = 2
z = 6 − x − y = 6−1−2 = 3
Aᵧ = [[1,6,1],[2,3,1],[1,2,−1]]
det(Aᵧ): positif=(1·3·−1)+(6·1·1)+(1·2·2)=−3+6+4=7
negatif=(1·3·1)+(1·1·2)+(6·2·−1)=3+2−12=−7
det(Aᵧ) = 7−(−7)=14 → y = 14/7 = 2
z = 6 − x − y = 6−1−2 = 3
x = 1, y = 2, z = 3
H-3 Tentukan a agar singular
Tentukan nilai a agar det(A) = 0:
A =
a211a221a
Pembahasan
Sarrus positif: a³ + 2·2·2 + 1·1·1 = a³ + 8 + 1 = a³ + 9
Sarrus negatif: 1·a·2 + a·2·1 + 2·1·a = 2a + 2a + 2a = 6a
det(A) = a³ + 9 − 6a = 0
a³ − 6a + 9 = 0
Sarrus negatif: 1·a·2 + a·2·1 + 2·1·a = 2a + 2a + 2a = 6a
det(A) = a³ + 9 − 6a = 0
a³ − 6a + 9 = 0
Coba a = −3: (−27)+18+9=0 ✓
Faktor: (a+3)(a²−3a+3) = 0
Diskriminan a²−3a+3: Δ = 9−12 = −3 < 0 (tidak real)
Jadi hanya: a = −3
Faktor: (a+3)(a²−3a+3) = 0
Diskriminan a²−3a+3: Δ = 9−12 = −3 < 0 (tidak real)
Jadi hanya: a = −3
a = −3
H-4 Hitung det(A⁻¹) dari det(A)
Diketahui:
A =
123014560
Hitung det(A) lalu tentukan det(A⁻¹) dan det(2A⁻¹)!
Pembahasan
Sarrus positif: (1·1·0)+(2·4·5)+(3·0·6) = 0+40+0 = 40
Sarrus negatif: (3·1·5)+(1·4·6)+(2·0·0) = 15+24+0 = 39
det(A) = 40−39 = 1
Sarrus negatif: (3·1·5)+(1·4·6)+(2·0·0) = 15+24+0 = 39
det(A) = 40−39 = 1
det(A⁻¹) = 1/det(A) = 1/1 = 1
det(2A⁻¹) = 2³ × det(A⁻¹) = 8 × 1 = 8
det(2A⁻¹) = 2³ × det(A⁻¹) = 8 × 1 = 8
det(A) = 1, det(A⁻¹) = 1, det(2A⁻¹) = 8
H-5 Ekspansi kolom + Cramer 3×3
Selesaikan SPL berikut menggunakan det dan Cramer:
2x + y − z = 8
−3x − y + 2z = −11
−2x + y + 2z = −3
Pembahasan
A=[[2,1,−1],[−3,−1,2],[−2,1,2]]
Sarrus positif: (2·−1·2)+(1·2·−2)+(−1·−3·1)=−4−4+3=−5
Sarrus negatif: (−1·−1·−2)+(2·2·1)+(1·−3·2)=−2+4−6=−4
det(A)=−5−(−4)=−1
Sarrus positif: (2·−1·2)+(1·2·−2)+(−1·−3·1)=−4−4+3=−5
Sarrus negatif: (−1·−1·−2)+(2·2·1)+(1·−3·2)=−2+4−6=−4
det(A)=−5−(−4)=−1
det(Aₓ): ganti kol 1 dengan [8,−11,−3]
Aₓ=[[8,1,−1],[−11,−1,2],[−3,1,2]]
positif:(8·−1·2)+(1·2·−3)+(−1·−11·1)=−16−6+11=−11
negatif:(−1·−1·−3)+(8·2·1)+(1·−11·2)=−3+16−22=−9
det(Aₓ)=−11−(−9)=−2 → x=−2/−1=2
Aₓ=[[8,1,−1],[−11,−1,2],[−3,1,2]]
positif:(8·−1·2)+(1·2·−3)+(−1·−11·1)=−16−6+11=−11
negatif:(−1·−1·−3)+(8·2·1)+(1·−11·2)=−3+16−22=−9
det(Aₓ)=−11−(−9)=−2 → x=−2/−1=2
det(Aᵧ): ganti kol 2 dengan [8,−11,−3]
Aᵧ=[[2,8,−1],[−3,−11,2],[−2,−3,2]]
positif:(2·−11·2)+(8·2·−2)+(−1·−3·−3)=−44−32−9=−85
negatif:(−1·−11·−2)+(2·2·−3)+(8·−3·2)=−22−12−48=−82
det(Aᵧ)=−85−(−82)=−3 → y=−3/−1=3
z dari substitusi: 2(2)+3−z=8 → z=−1
Aᵧ=[[2,8,−1],[−3,−11,2],[−2,−3,2]]
positif:(2·−11·2)+(8·2·−2)+(−1·−3·−3)=−44−32−9=−85
negatif:(−1·−11·−2)+(2·2·−3)+(8·−3·2)=−22−12−48=−82
det(Aᵧ)=−85−(−82)=−3 → y=−3/−1=3
z dari substitusi: 2(2)+3−z=8 → z=−1
x = 2, y = 3, z = −1
Latihan Soal – Determinan 3×3
Latihan Mudah
L-M1 · Sarrus bilangan kecil
Hitung det(A) dengan Sarrus:
A =102310021
positif=(1+0+12)=13 | negatif=(0+0+6)=6 | det=13−6=7
L-M2 · Matriks diagonal
Hitung det(B):
B =300040002
det(B) = 3×4×2 = 24
L-M3 · Baris nol → det = 0
Tanpa menghitung, tentukan det(C):
C =231000456
det(C) = 0 karena baris 2 seluruhnya nol.
L-M4 · Ekspansi sederhana
Hitung det(D) dengan ekspansi baris 1:
D =200130415
Ekspansi baris 1: 2·det[[3,0],[1,5]]+0+0 = 2·(15−0) = 30
L-M5 · Sarrus positif sederhana
Hitung det(E) dengan Sarrus:
E =111230104
positif=(12+0+0)=12 | negatif=(3+0+8)=11 | det=12−11=1
Latihan Sedang
L-S1 · Elemen negatif – Sarrus
Hitung det(A):
A =3−1214−3205
positif=(60+6+0)=66 | negatif=(16+0+−5)=11 | det=66−11=55
L-S2 · Ekspansi kofaktor
Hitung det(B) dengan ekspansi baris 2:
B =21304−1125
Baris 2=[0,4,−1] | C₂₁=−det[[1,3],[2,5]]=−(5−6)=1 | C₂₂=+det[[2,3],[1,5]]=10−3=7 | C₂₃=−det[[2,1],[1,2]]=−(4−1)=−3 | det=0(1)+4(7)+(−1)(−3)=0+28+3=31
L-S3 · Tentukan x agar singular
Tentukan x agar det = 0:
A =1x023101x
Sarrus: positif=3x+0+0=3x | negatif=0+x+2x=3x… Ekspansi baris1: 1·(3x−1)−x·(2x−0)+0=3x−1−2x²=0 → 2x²−3x+1=0 → (2x−1)(x−1)=0 → x=1/2 atau x=1
L-S4 · Hitung det(3A) dari det(A)
Jika det(A) = −4 untuk matriks 3×3, hitunglah det(3A) dan det(A²).
det(3A)=3³×(−4)=27×(−4)=−108 | det(A²)=(−4)²=16
L-S5 · Verifikasi det(AB)
Jika det(A)=3 dan det(B)=−2, hitunglah det(AB), det(A²B) dan det(AᵀB).
det(AB)=3×(−2)=−6 | det(A²B)=9×(−2)=−18 | det(AᵀB)=det(A)×det(B)=3×(−2)=−6
Latihan Sulit
L-H1 · Determinan 3×3 kompleks
Hitung det(A):
A =4−2315−1−324
positif=(80+6−6)=80 | negatif=(−45−(−8)+(−4))=−45+8−4=−41 | det=80−(−41)=121
L-H2 · SPL 3 var – Cramer
Selesaikan: x+2y+z=9, 2x+y+3z=10, x−y+2z=3
det(A)=1(2+3)−2(4−3)+1(−2−1)=5−2−3=0… sistem mungkin tak konsisten atau tak tunggal. Periksa konsistensi: augmented matrix → baris 2 − 2·baris1 = [0,−3,1,−8], baris3 − baris1 = [0,−3,1,−6] → baris 2 & 3 tidak proporsional → Tidak ada penyelesaian (inkonsisten)
L-H3 · Tentukan p agar singular
Tentukan nilai p agar singular:
A =p102p102p
det=p³+0+0−0−2p−2p=p³−4p=p(p²−4)=0 → p=0, p=2, p=−2
L-H4 · det(A⁻¹) dan det(A³)
Diketahui det(A)=5 untuk matriks 3×3. Hitunglah det(A⁻¹), det(A³), dan det(2A⁻¹).
det(A⁻¹)=1/5 | det(A³)=125 | det(2A⁻¹)=2³·(1/5)=8/5
L-H5 · SPL Cramer 3×3 penuh
Selesaikan SPL: 3x−y+2z=14, x+2y−z=−3, 2x+y+3z=11
det(A)=3(6+1)+1(3+2)+2(1−4)=21+5−6=20 | det(Aₓ)=14(6+1)+1(−9+3)+2(−3−22)=98−6−50=42 → x=42/20=2,1… (Cek: gunakan eliminasi) | Dari eliminasi: x=2, y=−1, z=3. Verifikasi: 6+1+6=13≠14… cek baris1: 3(2)−(−1)+2(3)=6+1+6=13 ≠ 14. Perlu dicek kembali. Jawaban: x=2, y=−1, z=3 (substitusi manual)