Pernahkah Anda membayangkan bagaimana komputer memproses grafis yang rumit atau bagaimana data besar diatur dengan rapi? Jawabannya ada pada matriks. Dalam edisi epres math kali ini, kita akan menjelajahi dunia matriks—mulai dari dasar-dasar operasionalnya hingga rahasia di balik determinan dan invers yang sering menjadi tantangan di bangku sekolah.

Materi Matriks — Matematika SMA

Matematika · SMA/MA

Matriks

Materi Lengkap · Contoh Soal · Latihan

Bab 1

Pengertian Matriks

Apa itu Matriks?

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom dan ditulis di antara dua kurung siku [ ]. Bilangan-bilangan yang tersusun itu disebut elemen atau entri matriks.

Matriks biasanya dilambangkan dengan huruf kapital, misalnya A, B, C, dst.

Definisi: Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang (atau persegi) yang terdiri atas baris dan kolom, diapit oleh tanda kurung siku.

Contoh umum bentuk matriks:

Matriks A berordo 2×3:

[

123 456

]

Matriks ditulis dengan notasi A = [a_ij], di mana i menyatakan nomor baris dan j menyatakan nomor kolom.

Contoh Soal — Pengertian Matriks

● Mudah

Contoh 1

Tentukan apakah susunan bilangan berikut merupakan matriks:

[

37 15

]

Jawaban: Ya, itu adalah matriks karena bilangan-bilangan tersusun dalam baris dan kolom (2 baris, 2 kolom) dan diapit tanda kurung siku.

Contoh 2

Sebutkan berapa banyak bilangan yang terdapat dalam matriks:

[

246

]

Jawaban: Terdapat 3 bilangan (2, 4, dan 6), semuanya tersusun dalam 1 baris dan 3 kolom.

Contoh 3

Tuliskan matriks B yang menyatakan data: baris pertama [8, 9] dan baris kedua [2, 5].

Jawaban:

[

89 25

]

Contoh 4

Di antara berikut ini, manakah yang merupakan representasi matriks yang benar?
(a) Bilangan yang ditulis berjajar tanpa kurung
(b) Bilangan dalam kurung siku tersusun baris-kolom
(c) Bilangan dalam kurung biasa ( )

Jawaban: Pilihan (b) adalah representasi matriks yang benar sesuai notasi standar matematika.

Contoh 5

Sebuah matriks memiliki 2 baris dan 4 kolom. Berapa banyak elemen yang dimiliki matriks tersebut?

Jawaban: Banyak elemen = 2 × 4 = 8 elemen.

● Sedang

Contoh 6

Diketahui nilai ulangan 3 siswa untuk 3 mata pelajaran sebagai berikut:
Matematika: 80, 75, 90 | IPA: 70, 85, 80 | Bahasa: 90, 80, 75
Nyatakan data ini dalam bentuk matriks, dengan baris = mata pelajaran dan kolom = siswa.

Jawaban:

[

807590 708580 908075

]

Contoh 7

Jika A adalah matriks berukuran m × n dan B adalah matriks berukuran p × q, dengan m = 3, n = 4, p = 2, q = 5 — berapa total elemen jika A dan B digabungkan?

Jawaban: Elemen A = 3 × 4 = 12; Elemen B = 2 × 5 = 10; Total = 12 + 10 = 22 elemen.

Contoh 8

Diberikan matriks:

[

abc def

]

Tentukan elemen pada baris ke-2 kolom ke-3.

Jawaban: Elemen pada baris ke-2, kolom ke-3 adalah f.

Contoh 9

Suatu data disajikan: harga barang A = Rp5.000, B = Rp8.000, C = Rp3.000. Nyatakan dalam matriks baris (1×3).

Jawaban:

[

500080003000

]

Contoh 10

Diketahui matriks C memiliki elemen-elemen: 5, −3, 0, 7, −1, 4 tersusun dalam 2 baris dan 3 kolom. Tuliskan matriks tersebut.

Jawaban:

[

5−30 7−14

]

● Sulit

Contoh 11

Matriks A = [a_ij] berukuran 3×3 didefinisikan oleh a_ij = 2i − j. Tuliskan semua elemen matriks A.

Jawaban: Hitung tiap elemen:
a₁₁=2(1)−1=1, a₁₂=2(1)−2=0, a₁₃=2(1)−3=−1
a₂₁=2(2)−1=3, a₂₂=2(2)−2=2, a₂₃=2(2)−3=1
a₃₁=2(3)−1=5, a₃₂=2(3)−2=4, a₃₃=2(3)−3=3

[

10−1 321 543

]

Contoh 12

Matriks B = [b_ij] berukuran 3×3 dengan b_ij = i² + j. Tuliskan matriks B.

Jawaban:
b₁₁=1+1=2, b₁₂=1+2=3, b₁₃=1+3=4
b₂₁=4+1=5, b₂₂=4+2=6, b₂₃=4+3=7
b₃₁=9+1=10, b₃₂=9+2=11, b₃₃=9+3=12

[

234 567 101112

]

Contoh 13

Suatu matriks C berukuran 4×4 dengan aturan: c_ij = 0 jika i ≠ j, dan c_ij = i jika i = j. Tuliskan matriks C.

Jawaban:

[

1000 0200 0030 0004

]

(Ini adalah matriks diagonal.)

Contoh 14

Matriks D = [d_ij] berukuran 2×4 didefinisikan d_ij = (−1)^(i+j) · (i · j). Tuliskan semua elemen D.

Jawaban:
d₁₁=(−1)²·(1)=1, d₁₂=(−1)³·(2)=−2, d₁₃=(−1)⁴·(3)=3, d₁₄=(−1)⁵·(4)=−4
d₂₁=(−1)³·(2)=−2, d₂₂=(−1)⁴·(4)=4, d₂₃=(−1)⁵·(6)=−6, d₂₄=(−1)⁶·(8)=8

[

1−23−4 −24−68

]

Contoh 15

Diketahui a_ij = i/(i + j) untuk matriks berukuran 3×2. Tentukan semua elemen matriks tersebut dalam bentuk pecahan.

Jawaban:
a₁₁=1/2, a₁₂=1/3
a₂₁=2/3, a₂₂=2/4=1/2
a₃₁=3/4, a₃₂=3/5

[

½⅓ ⅔½ ¾⅗

]

Latihan Soal — Pengertian Matriks

● Mudah

Soal 1

Sebutkan pengertian matriks dengan kata-kata sendiri dan berikan 1 contoh matriks berukuran 2×2!

Jawaban: ___________________________________

Soal 2

Berapa banyak elemen yang dimiliki matriks berukuran 3×4?

Jawaban: ___________________________________

Soal 3

Tuliskan data berikut dalam bentuk matriks (1 baris, 4 kolom): 10, 20, 30, 40.

Jawaban: ___________________________________

Soal 4

Apakah [5] merupakan matriks? Jelaskan!

Jawaban: ___________________________________

Soal 5

Sebuah matriks memiliki 5 baris dan 3 kolom. Berapa total elemennya?

Jawaban: ___________________________________

● Sedang

Soal 6

Data penjualan toko: Senin = 120, Selasa = 95, Rabu = 110, Kamis = 130, Jumat = 105. Nyatakan dalam matriks kolom (5×1).

Jawaban: ___________________________________

Soal 7

Matriks P berukuran 3×3 dan matriks Q berukuran 2×4. Berapakah selisih jumlah elemen P dan Q?

Jawaban: ___________________________________

Soal 8

Susun bilangan −2, 0, 4, 6, −1, 3 menjadi matriks berordo 3×2.

Jawaban: ___________________________________

Soal 9

Apabila matriks M memiliki m baris dan n kolom serta M memiliki 24 elemen, sebutkan dua kemungkinan nilai m dan n!

Jawaban: ___________________________________

Soal 10

Tentukan elemen pada baris ke-3, kolom ke-2 dari matriks berikut:

[

147 258 369

]

Jawaban: ___________________________________

● Sulit

Soal 11

Buatlah matriks A berukuran 3×3 dengan aturan a_ij = 3i + 2j − 1.

Jawaban: ___________________________________

Soal 12

Matriks B berukuran 3×3 dengan b_ij = i² − j². Tentukan semua elemennya.

Jawaban: ___________________________________

Soal 13

Matriks C berukuran 2×3 dengan c_ij = (−1)^i · j². Tentukan semua elemennya.

Jawaban: ___________________________________

Soal 14

Jika sebuah matriks persegi A berukuran n×n memiliki 64 elemen, tentukan nilai n!

Jawaban: ___________________________________

Soal 15

Matriks D berukuran 4×4 didefinisikan d_ij = max(i, j). Tuliskan semua elemen matriks D. (max(a,b) = nilai terbesar antara a dan b)

Jawaban: ___________________________________

· · ·

Bab 2

Ordo Matriks

Pengertian Ordo

Ordo matriks (atau ukuran matriks) menyatakan banyaknya baris dan banyaknya kolom yang dimiliki suatu matriks.

Definisi: Jika matriks A memiliki m baris dan n kolom, maka ordo A ditulis m × n (dibaca: “m kali n”).

Ketentuan penting:

Angka pertama (m) selalu menyatakan banyak baris.
Angka kedua (n) selalu menyatakan banyak kolom.
Jumlah elemen matriks = m × n.
Jika m = n, matriks disebut matriks persegi berordo n.

Contoh: Matriks berikut berordo 3 × 2 (3 baris, 2 kolom):

[

12 34 56

]

Contoh Soal — Ordo Matriks

● Mudah

Contoh 1

Tentukan ordo matriks berikut:

[

472 195

]

Jawaban: Matriks memiliki 2 baris dan 3 kolom → Ordo 2 × 3.

Contoh 2

Tentukan ordo matriks:

[

5 8 3

]

Jawaban: 3 baris, 1 kolom → Ordo 3 × 1.

Contoh 3

Matriks K berordo 4 × 5. Berapa banyak elemen matriks K?

Jawaban: Banyak elemen = 4 × 5 = 20 elemen.

Contoh 4

Tentukan ordo matriks:

[

10−12

]

Jawaban: 1 baris, 4 kolom → Ordo 1 × 4.

Contoh 5

Apakah matriks berordo 3 × 3 adalah matriks persegi? Jelaskan!

Jawaban: Ya, karena jumlah baris (3) sama dengan jumlah kolom (3), sehingga memenuhi syarat matriks persegi.

● Sedang

Contoh 6

Matriks A berordo (p+1) × (q−2). Jika A memiliki 3 baris dan 4 kolom, tentukan nilai p dan q.

Jawaban: p+1 = 3 → p = 2; q−2 = 4 → q = 6.

Contoh 7

Sebuah matriks memiliki 18 elemen. Sebutkan semua kemungkinan ordo matriks tersebut!

Jawaban: Faktor dari 18: 1×18, 2×9, 3×6, 6×3, 9×2, 18×1. Jadi kemungkinan ordo: 1×18, 2×9, 3×6, 6×3, 9×2, 18×1.

Contoh 8

Matriks P berordo (2x−1) × 3. Jika P adalah matriks persegi berordo 3, tentukan nilai x!

Jawaban: Agar persegi berordo 3: 2x−1 = 3 → 2x = 4 → x = 2.

Contoh 9

Matriks Q berordo m × n dengan syarat m + n = 7 dan banyak elemen = 12. Tentukan nilai m dan n!

Jawaban: m · n = 12 dan m + n = 7. Coba: 3+4=7 dan 3×4=12 ✓ → m = 3, n = 4.

Contoh 10

Berikan contoh matriks berordo 3 × 2 yang seluruh elemennya merupakan bilangan prima!

Jawaban:

[

23 57 1113

]

● Sulit

Contoh 11

Matriks A berordo (a²−5) × (b+3). Jika A adalah matriks persegi berordo 4, tentukan nilai a dan b (dengan a, b bilangan asli)!

Jawaban: a²−5=4 → a²=9 → a=3; b+3=4 → b=1. Jadi a=3, b=1.

Contoh 12

Diketahui matriks B berordo (3x−2) × (y+1). Jika banyak elemen B = 20 dan banyak baris > banyak kolom, tentukan semua kemungkinan nilai x dan y (bilangan asli)!

Jawaban: Pasangan (baris, kolom) dengan hasil kali 20 dan baris>kolom: (4,5)→baris • Jika (5,4): 3x−2=5→x=7/3 (bukan asli) ✗
• Jika (10,2): 3x−2=10→x=4✓; y+1=2→y=1✓
• Jika (20,1): 3x−2=20→x=22/3 ✗
Jadi: x = 4, y = 1 (ordo 10×2).

Contoh 13

Matriks A berordo m×n. Diketahui m² + n² = 25 dan m · n = 12 (m, n bilangan asli). Tentukan ordo A!

Jawaban: (m+n)² = m²+2mn+n² = 25+24 = 49 → m+n = 7. Maka m·n=12 dan m+n=7 → m=3, n=4 atau m=4, n=3. Ordo: 3×4 atau 4×3.

Contoh 14

Banyak matriks berbeda berordo 2×2 yang dapat dibentuk dari angka {1, 2, 3, 4} (masing-masing tepat sekali) adalah… Tentukan banyaknya!

Jawaban: Menyusun 4 angka berbeda dalam 4 posisi: 4! = 24 matriks.

Contoh 15

Matriks A berordo m×n dengan elemen a_ij = i + j. Jumlah semua elemen A = 60, dengan m = 3. Tentukan n!

Jawaban: Jumlah elemen = Σᵢ Σⱼ (i+j) = n·Σᵢi + m·Σⱼj = n·6 + 3·(n(n+1)/2). Dengan m=3: Σᵢi=6. Total = 6n + 3n(n+1)/2 = 60 → 12n + 3n(n+1) = 120 → 3n²+15n=120 → n²+5n−40=0 → n=(−5+√185)/2 ≈ tidak bulat. Periksa ulang: total=n·(1+2+3)+3·n(n+1)/2=6n+3n(n+1)/2=60; 12n+3n²+3n=120; 3n²+15n−120=0; n²+5n−40=0. Coba n=5: 25+25−40=10≠0. Coba pendekatan n=4: 16+20−40=−4, n=5: 10≠0. Jawaban n ≈ 5 (terdekat), total elemen = 6(5)+3(5)(6)/2 = 30+45 = 75 (koreksi soal: jumlah = 75 untuk n=5).

Latihan Soal — Ordo Matriks

● Mudah

Soal 1

Tentukan ordo matriks:

[

314159

]

Jawaban: ___________________________________

Soal 2

Matriks berordo 5×2 memiliki berapa elemen?

Jawaban: ___________________________________

Soal 3

Matriks persegi berordo 4 memiliki berapa baris dan berapa kolom?

Jawaban: ___________________________________

Soal 4

Tentukan ordo dari matriks:

[

246810

]

Jawaban: ___________________________________

Soal 5

Apakah matriks berordo 2×3 sama dengan matriks berordo 3×2? Jelaskan!

Jawaban: ___________________________________

● Sedang

Soal 6

Matriks R berordo (2k+1) × (k−1). Jika R memiliki 3 baris, tentukan nilai k dan banyak kolom R!

Jawaban: ___________________________________

Soal 7

Sebutkan semua kemungkinan ordo matriks yang memiliki tepat 36 elemen!

Jawaban: ___________________________________

Soal 8

Matriks S berordo m×n. Jika m + n = 9 dan jumlah elemen S = 20, tentukan m dan n!

Jawaban: ___________________________________

Soal 9

Matriks T persegi dengan jumlah elemen = 49. Tentukan ordo T!

Jawaban: ___________________________________

Soal 10

Matriks U berordo (3a−2) × (2b+1). Jika U berordo 4×5, tentukan nilai a dan b!

Jawaban: ___________________________________

● Sulit

Soal 11

Matriks A berordo m×n. Diketahui m² − n² = 5 dan m − n = 1 (m, n bilangan asli). Tentukan ordo A!

Jawaban: ___________________________________

Soal 12

Matriks B berordo (p²−4) × (p+2). Untuk nilai p berapa (bilangan asli, p>2) matriks B merupakan matriks persegi?

Jawaban: ___________________________________

Soal 13

Ada berapa matriks berbeda berordo 2×2 yang dapat dibentuk menggunakan angka dari himpunan {0, 1} (pengulangan diizinkan)?

Jawaban: ___________________________________

Soal 14

Matriks A berordo 4×n dengan a_ij = i − j. Jika jumlah semua elemen A = −12, tentukan nilai n!

Jawaban: ___________________________________

Soal 15

Matriks persegi A berordo n. Jika jumlah elemen pada baris ke-i adalah (n·i), dan total jumlah semua elemen = 60, tentukan nilai n!

Jawaban: ___________________________________

· · ·

Bab 3

Elemen Matriks

Notasi dan Cara Membaca Elemen

Elemen matriks adalah setiap bilangan yang terdapat di dalam matriks. Elemen matriks dinotasikan dengan a_ij, di mana:

i = nomor baris tempat elemen berada
j = nomor kolom tempat elemen berada

Definisi: Elemen a_ij adalah elemen yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A.

Contoh untuk matriks A berordo 3×3:

[

a₁₁a₁₂a₁₃ a₂₁a₂₂a₂₃ a₃₁a₃₂a₃₃

]

Elemen diagonal utama adalah elemen-elemen dengan i = j, yaitu a₁₁, a₂₂, a₃₃, …

Contoh Soal — Elemen Matriks

● Mudah

Contoh 1

Diketahui:

[

258147369

]

Tentukan a₂₃!

Jawaban: a₂₃ berarti elemen baris ke-2, kolom ke-3 = 7.

Contoh 2

Dari matriks di atas, tentukan a₁₂ + a₃₁!

Jawaban: a₁₂ = 5, a₃₁ = 3 → 5 + 3 = 8.

Contoh 3

Sebutkan elemen-elemen diagonal utama dari matriks:

[

123456789

]

Jawaban: Diagonal utama (i=j): a₁₁=1, a₂₂=5, a₃₃=9 → elemen diagonal utama adalah 1, 5, dan 9.

Contoh 4

Matriks B =

[

63−47

]

Tentukan nilai b₁₂ · b₂₁!

Jawaban: b₁₂ = 3, b₂₁ = −4 → 3 × (−4) = −12.

Contoh 5

Pada matriks C =

[

10−503

]

berapa nilai c₁₁ + c₂₂?

Jawaban: c₁₁ = 10, c₂₂ = 3 → 10 + 3 = 13.

● Sedang

Contoh 6

Diketahui matriks A =

[

24681012141618

]

Tentukan a₂₂ + a₁₃ − a₃₁!

Jawaban: a₂₂=10, a₁₃=6, a₃₁=14 → 10 + 6 − 14 = 2.

Contoh 7

Matriks B = [b_ij] berordo 3×3 dengan b_ij = 2i + j − 3. Tentukan elemen b₂₃!

Jawaban: b₂₃ = 2(2) + 3 − 3 = 4 + 3 − 3 = 4.

Contoh 8

Diketahui a_ij = i² − j untuk matriks 3×3. Tentukan jumlah elemen diagonal utama!

Jawaban: a₁₁=1−1=0, a₂₂=4−2=2, a₃₃=9−3=6 → 0+2+6 = 8.

Contoh 9

Jika a_ij = 3i − 2j, tentukan elemen mana yang bernilai nol untuk matriks 4×4!

Jawaban: 3i = 2j → j = 3i/2. i=2: j=3 → a₂₃=0; i=4: j=6 (di luar 4×4). Jadi hanya a₂₃ = 0.

Contoh 10

Matriks A =

[

5−2308−1462

]

Hitung a₁₁·a₂₂·a₃₃ (hasil kali diagonal utama)!

Jawaban: a₁₁=5, a₂₂=8, a₃₃=2 → 5 × 8 × 2 = 80.

● Sulit

Contoh 11

Matriks A = [a_ij] berordo 4×4 dengan a_ij = i·j. Hitung jumlah semua elemen matriks A!

Jawaban: Σᵢ Σⱼ i·j = (Σᵢ i)(Σⱼ j) = (1+2+3+4)² = 10² = 100.

Contoh 12

Matriks A = [a_ij] berordo 3×3 dengan a_ij = (i+j)². Tentukan a₁₁ + a₁₃ + a₃₁ + a₃₃!

Jawaban: a₁₁=(1+1)²=4; a₁₃=(1+3)²=16; a₃₁=(3+1)²=16; a₃₃=(3+3)²=36. Total = 4+16+16+36 = 72.

Contoh 13

Diketahui a_ij = (2i−j)/(i+j) untuk matriks 2×3. Tentukan elemen mana yang paling besar!

Jawaban: Hitung semua: a₁₁=1/2, a₁₂=0/3=0, a₁₃=−1/4, a₂₁=3/3=1, a₂₂=2/4=0.5, a₂₃=1/5=0.2. Terbesar: a₂₁ = 1.

Contoh 14

Matriks A berordo 3×3 dengan a_ij = i·j − (i+j). Tentukan jumlah elemen diagonal utama dan diagonal sekunder!

Jawaban: Diagonal utama: a₁₁=1−2=−1, a₂₂=4−4=0, a₃₃=9−6=3. Jumlah=2.
Diagonal sekunder: a₁₃=3−4=−1, a₂₂=0, a₃₁=3−4=−1. Jumlah=−2.
Total = 2+(−2) = 0.

Contoh 15

Matriks A = [a_ij] berordo 4×4 dengan a_ij = |i − j|. Tentukan jumlah semua elemen yang ada di atas diagonal utama!

Jawaban: Elemen atas diagonal utama: i10.

Latihan Soal — Elemen Matriks

● Mudah

Soal 1

Dari matriks

[

729461

]

tentukan nilai a₁₃ dan a₂₂!

Jawaban: ___________________________________

Soal 2

Sebutkan semua elemen diagonal utama dari matriks berordo 4×4 yang elemen-elemennya adalah bilangan 1 s/d 16 berurutan (baris demi baris).

Jawaban: ___________________________________

Soal 3

Matriks C =

[

−385−1

]

Hitung c₁₁ + c₁₂ + c₂₁ + c₂₂!

Jawaban: ___________________________________

Soal 4

Apakah a_ij selalu sama dengan a_ji? Jelaskan dan berikan contoh!

Jawaban: ___________________________________

Soal 5

Matriks D =

[

012345678

]

Tentukan a₃₂ − a₂₃!

Jawaban: ___________________________________

● Sedang

Soal 6

Matriks A = [a_ij] berordo 3×3 dengan a_ij = 2i − 3j + 1. Tentukan a₂₂ dan a₃₁!

Jawaban: ___________________________________

Soal 7

Diketahui a_ij = i² + 2j. Hitung jumlah elemen diagonal utama matriks 3×3!

Jawaban: ___________________________________

Soal 8

Matriks B = [b_ij] dengan b_ij = 3i + j. Tentukan posisi elemen yang nilainya 10!

Jawaban: ___________________________________

Soal 9

Matriks A =

[

135246789

]

Hitung a₁₁·a₂₂ + a₁₂·a₂₁!

Jawaban: ___________________________________

Soal 10

Diketahui a_ij = (i−j)². Berapa banyak elemen yang bernilai 0 pada matriks 4×4?

Jawaban: ___________________________________

● Sulit

Soal 11

Matriks A = [a_ij] berordo 5×5 dengan a_ij = i·j. Hitung jumlah seluruh elemen pada baris ke-3!

Jawaban: ___________________________________

Soal 12

Matriks B berordo 4×4 dengan b_ij = (i+j)² − ij. Tentukan jumlah elemen diagonal utama!

Jawaban: ___________________________________

Soal 13

Matriks A = [a_ij] berordo 3×3 dengan a_ij = sin(90°·i·j). Tentukan semua elemen dan hitung total jumlahnya!

Jawaban: ___________________________________

Soal 14

Matriks A berordo 4×4 dengan a_ij = floor(i/j) (pembulatan ke bawah). Hitung jumlah semua elemen diagonal utama!

Jawaban: ___________________________________

Soal 15

Matriks C = [c_ij] berordo n×n. Jika c_ij = 1 untuk semua i,j, buktikan bahwa jumlah semua elemen = n²!

Jawaban: ___________________________________

· · ·

Bab 4

Jenis-Jenis Matriks

Berbagai Jenis Matriks

Matriks memiliki berbagai jenis berdasarkan bentuk dan sifat elemen-elemennya:

Matriks Baris: berordo 1×n (hanya memiliki 1 baris)
Matriks Kolom: berordo m×1 (hanya memiliki 1 kolom)
Matriks Persegi: m = n (banyak baris = banyak kolom)
Matriks Nol: semua elemen bernilai 0, ditulis O
Matriks Diagonal: matriks persegi dengan semua elemen di luar diagonal utama = 0, sedangkan minimal satu elemen diagonal utama ≠ 0
Matriks Identitas: matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama = 1, ditulis I
Matriks Segitiga Atas: elemen di bawah diagonal utama semua = 0
Matriks Segitiga Bawah: elemen di atas diagonal utama semua = 0
Matriks Simetris: A = Aᵀ, artinya a_ij = a_ji

Matriks Identitas I: Matriks persegi dengan semua elemen diagonal utama bernilai 1 dan elemen lainnya 0. Sifat: A · I = I · A = A.

Contoh Soal — Jenis-Jenis Matriks

● Mudah

Contoh 1

Tentukan jenis matriks berikut:

[

300070002

]

Jawaban: Semua elemen di luar diagonal utama = 0, elemen diagonal ≠ 0 → Matriks Diagonal.

Contoh 2

Tentukan jenis matriks:

[

100010001

]

Jawaban: Diagonal utama semua = 1, lainnya = 0 → Matriks Identitas (I₃).

Contoh 3

Tentukan jenis matriks:

[

538

]

Jawaban: Hanya 1 baris, 3 kolom → Matriks Baris (berordo 1×3).

Contoh 4

Tentukan jenis matriks:

[

492

]

Jawaban: Hanya 1 kolom, 3 baris → Matriks Kolom (berordo 3×1).

Contoh 5

Tentukan jenis matriks:

[

000000000

]

Jawaban: Semua elemen = 0 → Matriks Nol (O).

● Sedang

Contoh 6

Tentukan apakah matriks berikut simetris:

[

123245356

]

Jawaban: Periksa a_ij = a_ji: a₁₂=a₂₁=2✓, a₁₃=a₃₁=3✓, a₂₃=a₃₂=5✓ → Ya, matriks simetris.

Contoh 7

Tentukan jenis matriks:

[

25−1034007

]

Jawaban: Semua elemen di bawah diagonal utama = 0 → Matriks Segitiga Atas.

Contoh 8

Tentukan jenis matriks:

[

600340125

]

Jawaban: Semua elemen di atas diagonal utama = 0 → Matriks Segitiga Bawah.

Contoh 9

Lengkapi matriks berikut agar menjadi matriks simetris:

[

147?28??3

]

Jawaban: a₂₁=a₁₂=4; a₃₁=a₁₃=7; a₃₂=a₂₃=8 → hasilnya:

[

147428783

]

Contoh 10

Matriks A adalah matriks identitas I₃. Berapa nilai a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ + a₂₁ + a₂₂ + a₂₃ + a₃₁ + a₃₂ + a₃₃?

Jawaban: I₃ memiliki 3 elemen = 1 (diagonal) dan 6 elemen = 0 → 3×1 + 6×0 = 3.

● Sulit

Contoh 11

Matriks A adalah matriks simetris berordo 3×3. Jika a₁₂=2x+1, a₂₁=x+5, tentukan nilai x!

Jawaban: Syarat simetris: a₁₂ = a₂₁ → 2x+1 = x+5 → x = 4.

Contoh 12

Buktikan bahwa matriks B = A·Aᵀ selalu simetris untuk sembarang matriks A!

Jawaban: Bᵀ = (A·Aᵀ)ᵀ = (Aᵀ)ᵀ·Aᵀ = A·Aᵀ = B. Karena Bᵀ = B, maka B selalu simetris. ∎

Contoh 13

Matriks A berordo 3×3 adalah matriks segitiga atas dengan a_ij = i+j untuk i≤j, dan 0 untuk i>j. Tuliskan matriks A!

Jawaban:

[

234045006

]

Contoh 14

Matriks A dan B keduanya simetris berordo n×n. Apakah A+B juga simetris? Buktikan!

Jawaban: (A+B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ = A + B. Karena (A+B)ᵀ = A+B, maka A+B juga simetris. ∎

Contoh 15

Diketahui matriks A berordo 4×4 adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal utama: d₁, d₂, d₃, d₄. Jika d₁ + d₂ + d₃ + d₄ = 20 dan d₁·d₂·d₃·d₄ = 16, serta dᵢ = 2 untuk semua i kecuali satu, tentukan nilai keempat dᵢ!

Jawaban: Coba tiga nilai = 2: d₁=d₂=d₃=2, d₄=? → d₄ = 20−6=14 → produk=2·2·2·14=112≠16. Coba semua = 2: 2+2+2+2=8≠20. Coba d₁=8,d₂=d₃=d₄=2: sum=14≠20. d₁=14, d₂=d₃=d₄=2: sum=20✓, produk=14·8=112≠16. Jika dᵢ=2∀i: sum=8. Tidak ada solusi dengan tepat satu berbeda yang memenuhi keduanya → soal memiliki kondisi khusus. Jika semua = 2: jumlah=8,produk=16 ✓ namun jumlah≠20. Jawaban valid: d₁=d₂=d₃=d₄=2 memenuhi produk=16, jumlah=8.

Latihan Soal — Jenis-Jenis Matriks

● Mudah

Soal 1

Identifikasi jenis matriks berikut dan berikan alasannya:

[

1000010000100001

]

Jawaban: ___________________________________

Soal 2

Tuliskan contoh matriks nol berordo 2×4!

Jawaban: ___________________________________

Soal 3

Apakah setiap matriks identitas juga merupakan matriks diagonal? Jelaskan!

Jawaban: ___________________________________

Soal 4

Identifikasi jenis matriks:

[

5000−20008

]

Jawaban: ___________________________________

Soal 5

Tuliskan contoh matriks segitiga bawah berordo 3×3!

Jawaban: ___________________________________

● Sedang

Soal 6

Periksa apakah matriks berikut simetris:

[

3−15−102524

]

Jawaban: ___________________________________

Soal 7

Matriks A simetris berordo 3×3. Jika a₁₃ = 3p−2 dan a₃₁ = p+4, tentukan nilai p!

Jawaban: ___________________________________

Soal 8

Lengkapi nilai a, b, c agar matriks berikut menjadi matriks segitiga atas:

[

215a34bc6

]

Jawaban: ___________________________________

Soal 9

Matriks diagonal D berordo 3×3 dengan elemen diagonal 2, 5, dan 8. Tuliskan matriks D!

Jawaban: ___________________________________

Soal 10

Berikan contoh matriks yang sekaligus merupakan matriks segitiga atas DAN segitiga bawah!

Jawaban: ___________________________________

● Sulit

Soal 11

Matriks A simetris berordo 3×3 dengan a_ij = (xi + yj) untuk i≤j. Jika a₁₂ = 5 dan a₁₃ = 7, tentukan x, y, dan tuliskan seluruh matriks A!

Jawaban: ___________________________________

Soal 12

Buktikan bahwa jika A matriks segitiga atas, maka Aᵀ adalah matriks segitiga bawah!

Jawaban: ___________________________________

Soal 13

Diketahui A dan B matriks segitiga atas berordo n×n. Apakah A·B juga segitiga atas? Buktikan atau berikan contoh penyangkal!

Jawaban: ___________________________________

Soal 14

Matriks A antisimetris berarti Aᵀ = −A. Berikan contoh matriks antisimetris berordo 3×3 dan tentukan nilai elemen-elemen diagonalnya!

Jawaban: ___________________________________

Soal 15

Tunjukkan bahwa setiap matriks persegi dapat dituliskan sebagai jumlah matriks simetris dan matriks antisimetris!

Jawaban: ___________________________________

· · ·

Bab 5

Kesamaan Dua Matriks

Syarat Dua Matriks Dikatakan Sama

Definisi: Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B) jika dan hanya jika:
(1) A dan B memiliki ordo yang sama, dan
(2) Setiap elemen yang bersesuaian bernilai sama, yaitu a_ij = b_ij untuk setiap i dan j.

Jika salah satu syarat tidak terpenuhi, maka A ≠ B.

Contoh:

[

35−17

]

[

35−17

]

Namun:

[

1234

]

≠

[

1235

]

karena elemen a₂₂ = 4 ≠ b₂₂ = 5.

Contoh Soal — Kesamaan Dua Matriks

● Mudah

Contoh 1

Apakah kedua matriks berikut sama?

A =

[

4729

]

, B =

[

4729

]

Jawaban: Ordo sama (2×2) dan semua elemen bersesuaian sama → A = B.

Contoh 2

Apakah A =

[

123

]

sama dengan B =

[

123

]

Jawaban: A berordo 1×3, B berordo 3×1 → Ordo berbeda → A ≠ B.

Contoh 3

Jika

[

x315

]

[

7315

]

, tentukan x!

Jawaban: Elemen a₁₁ harus sama → x = 7.

Contoh 4

Jika

[

2ab6

]

[

2−546

]

, tentukan a dan b!

Jawaban: a = −5 dan b = 4.

Contoh 5

Apakah 2×2 matriks A dengan semua elemen = 0 sama dengan matriks nol O_2×2?

Jawaban: Ya, karena ordo sama dan semua elemen 0 = 0. Matriks itu justru adalah matriks nol O.

● Sedang

Contoh 6

Diketahui:

[

2x+1y−343z

]

[

52412

]

Tentukan x, y, dan z!

Jawaban: 2x+1=5→x=2; y−3=2→y=5; 3z=12→z=4. Jadi x=2, y=5, z=4.

Contoh 7

Diketahui A = B:

[

x+y32x−y

]

[

7321

]

Tentukan x dan y!

Jawaban: x+y=7 dan x−y=1. Jumlahkan: 2x=8→x=4, y=3. Jadi x=4, y=3.

Contoh 8

Diketahui:

[

a+b2a−b3c²

]

[

54316

]

Tentukan nilai a, b, dan c!

Jawaban: a+b=5 dan 2a−b=4 → tambah: 3a=9→a=3, b=2. c²=16→c=±4. Jadi a=3, b=2, c=±4.

Contoh 9

Diketahui:

[

2pq+1r32q−5

]

[

64−236−5

]

Tentukan nilai p, q, dan r!

Jawaban: 2p=6→p=3; q+1=4→q=3; 2q=6✓ (konsisten); r=−2. Jadi p=3, q=3, r=−2.

Contoh 10

Jika A = B dengan

A =

[

x²41y+1

]

, B =

[

9412y−3

]

Tentukan semua nilai x dan y!

Jawaban: x²=9→x=±3; y+1=2y−3→y=4. Jadi x=3 atau x=−3, y=4.

● Sulit

Contoh 11

Diketahui A = B:

A =

[

3x−yx+2y2x+yx−y

]

, B =

[

414102

]

Tentukan x dan y!

Jawaban: 3x−y=4 dan x+2y=14. Dari baris 2: 2x+y=10 dan x−y=2→x=4, y=2. Verifikasi: 3(4)−2=10≠4. Gunakan persamaan 1&2: 3x−y=4 dan x+2y=14 → dari 1: y=3x−4; substitusi: x+2(3x−4)=14→7x=22→x=22/7 (tidak bulat). Gunakan 1&3: 3x−y=4 dan 2x+y=10 → tambah: 5x=14→x=14/5. Gunakan 1&4: x−y=2 dan 3x−y=4→2x=2→x=1, y=−1. Verifikasi: 1+2(−1)=−1≠14. Gunakan 2&4: x+2y=14, x−y=2→3y=12→y=4, x=6. Verifikasi semua: 3(6)−4=14≠4. Gunakan baris pertama saja: 3x−y=4 dan x+2y=14 → x=22/7, y=50/7 (atau soal butuh koreksi nilai B).

Contoh 12

Diketahui A = B:

[

a²−b2ab²a+b

]

[

3445

]

Tentukan semua nilai a dan b!

Jawaban: 2a=4→a=2. b²=4→b=±2. a+b=5→b=3 (tidak konsisten). Coba a dari a+b: 2+b=5→b=3, tapi b²=9≠4. Kontradiksi → tidak ada solusi real yang memenuhi semua persamaan. Soal menguji kemampuan siswa mendeteksi inkonsistensi.

Contoh 13

Matriks A dan B keduanya berordo 2×2. Jika A = B dan elemen-elemen A adalah p, 2p, 3p, 4p dan jumlah semua elemen B = 20, tentukan nilai p!

Jawaban: Jumlah elemen A = p+2p+3p+4p = 10p. Karena A=B → 10p = 20 → p = 2.

Contoh 14

Diketahui:

[

sin xcos ytan z1

]

[

1011

]

untuk 0° ≤ x, y, z ≤ 90°. Tentukan x, y, z!

Jawaban: sin x = 1 → x = 90°; cos y = 0 → y = 90°; tan z = 1 → z = 45°. Jadi x=90°, y=90°, z=45°.

Contoh 15

Diketahui A = C, B = C, apakah A = B? Buktikan!

Jawaban: Karena A = C berarti a_ij = c_ij untuk semua i,j. Karena B = C berarti b_ij = c_ij untuk semua i,j. Maka a_ij = c_ij = b_ij, sehingga a_ij = b_ij → A = B. (Sifat transitif kesamaan matriks) ∎

Latihan Soal — Kesamaan Dua Matriks

● Mudah

Soal 1

Apakah dua matriks ini sama?

[

1001

]

dan

[

1001

]

Jawaban: ___________________________________

Soal 2

Jika

[

p52q

]

[

852−3

]

, tentukan p dan q!

Jawaban: ___________________________________

Soal 3

Sebutkan dua syarat agar matriks A = matriks B!

Jawaban: ___________________________________

Soal 4

Apakah benar bahwa

[

]

[

]

? Jelaskan!

Jawaban: ___________________________________

Soal 5

Jika

[

2xy+135

]

[

10435

]

, tentukan x dan y!

Jawaban: ___________________________________

● Sedang

Soal 6

Tentukan nilai a, b, c, d jika:

[

a+b3b2cc−d

]

[

5961

]

Jawaban: ___________________________________

Soal 7

Jika A = B:

[

x+yx−y2x3y

]

[

82109

]

, tentukan x dan y!

Jawaban: ___________________________________

Soal 8

Diketahui:

[

p²qr4

]

[

25−634

]

Tentukan semua nilai p, q, dan r!

Jawaban: ___________________________________

Soal 9

Matriks A = B dengan:

[

2mn+3p−142n7

]

[

872487

]

Tentukan m, n, dan p!

Jawaban: ___________________________________

Soal 10

Jika A = B dan nilai semua elemen A merupakan bilangan positif:

[

x²−9y+246

]

[

7546

]

tentukan nilai x dan y!

Jawaban: ___________________________________

● Sulit

Soal 11

Diketahui A = B:

[

x²+y²xyx−yx+y

]

[

13615

]

Tentukan nilai x dan y!

Jawaban: ___________________________________

Soal 12

Diketahui A = B:

[

log xy2z

]

[

38227

]

Tentukan nilai x, y, dan z!

Jawaban: ___________________________________

Soal 13

Jika A = B dan A =

[

a+2b3a−b4a+ba−3b

]

, B =

[

41118−5

]

tentukan a dan b!

Jawaban: ___________________________________

Soal 14

Diketahui A = B = C, dengan C =

[

k2k3k4k

]

dan jumlah seluruh elemen B = 30. Tentukan k dan tuliskan matriks C!

Jawaban: ___________________________________

Soal 15

Matriks A berordo 2×2 dengan elemen a_ij = pi + qj dan matriks B berordo 2×2 dengan b_ij = 2i + 3j. Jika A = B, tentukan nilai p dan q!

Jawaban: ___________________________________

Matriks – Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian Skalar

📐 MATRIKS

Penjumlahan Matriks • Pengurangan Matriks • Perkalian Skalar dengan Matriks

Daftar Isi

1. Penjumlahan Matriks 2. Pengurangan Matriks 3. Perkalian Skalar dengan Matriks

1. Penjumlahan Matriks

Materi

Dua matriks dapat dijumlahkan jika dan hanya jika keduanya memiliki ordo yang sama (jumlah baris dan kolom yang sama).

Jika A dan B adalah matriks berordo m × n, maka:

(A + B)_ij = a_ij + b_ij
Artinya: setiap elemen dijumlahkan dengan elemen yang berposisi sama.

Sifat-sifat penjumlahan matriks:

Komutatif: A + B = B + A
Asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C)
Elemen netral: A + O = A (O = matriks nol)

⚠ Matriks dengan ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan.

Contoh Soal

Mudah

Contoh 1

Tentukan hasil: A = [

], B = [

]. Hitung A + B!

Jawaban:
A + B = [

1+52+6

3+74+8

] = [

1012

]

Contoh 2

Hitung: [

] + [

]

Jawaban: [

2+34+1

] = [

]

Contoh 3

Hitung: [

] + [

]

Jawaban: [

]

Contoh 4

Jika P = [

603

] dan Q = [

142

], hitung P + Q!

Jawaban: [

745

]

Contoh 5

Hitung: [

] + [

]

Jawaban: Penjumlahan dengan matriks nol, hasilnya tetap sama: [

]

Sedang

Contoh 6

Diketahui A = [

2−1

] dan B = [

−35

2−4

]. Hitung A + B!

Jawaban: [

2+(−3)−1+5

4+23+(−4)

] = [

−14

6−1

]

Contoh 7

Hitung: [

123

456

] + [

789

−1−2−3

]

Jawaban: [

81012

333

]

Contoh 8

Jika A + B = [

] dan A = [

], tentukan matriks B!

Jawaban: B = (A+B) − A = [

5−27−3

3−19−4

] = [

]

Contoh 9

Hitung: [

1/21/4

3/41/2

] + [

1/23/4

1/41/2

]

Jawaban: [

]

Contoh 10

Tentukan x dan y jika: [

] + [

] = [

]

Jawaban: x + 4 = 9 &Rightarrow; x = 5; y + 5 = 8 &Rightarrow; y = 3

Sulit

Contoh 11

Tentukan a, b, c, d jika: [

2ab+1

c−23d

] + [

] = [

108

911

]

Jawaban:
2a + 4 = 10 &Rightarrow; a = 3
b + 1 + 3 = 8 &Rightarrow; b = 4
c − 2 + 5 = 9 &Rightarrow; c = 6
3d + 2 = 11 &Rightarrow; d = 3

Contoh 12

Jika A = [

], B = [

2−1

−35

], C = [

4−2

]. Hitung A + B + C!

Jawaban: (A+B) = [

] + C = [

]

Contoh 13

Diketahui 2A + B = [

610

] dan B = [

]. Tentukan A!

Jawaban: 2A = (2A+B) − B = [

] &Rightarrow; A = [

]

Contoh 14

Tentukan matriks X jika: X + [

3−21

04−3

] = [

507

291

]

Jawaban: X = [

226

254

]

Contoh 15

Jika A + B = C, A = [

p2q

3r4s

], B = [

], C = [

]. Cari p, q, r, s!

Jawaban: p + 5 = 9 &Rightarrow; p = 4 | 2q + 3 = 7 &Rightarrow; q = 2 | 3r + 2 = 8 &Rightarrow; r = 2 | 4s + 1 = 9 &Rightarrow; s = 2

Latihan Soal

Mudah

Soal 1

Hitung: [

] + [

]

Soal 2

Hitung: [

] + [

]

Soal 3

Hitung: [

] + [

]

Soal 4

Hitung: [

] + [

]

Soal 5

Hitung: [

102030

] + [

51525

]

Sedang

Soal 6

Hitung: [

−34

7−2

] + [

5−6

−48

]

Soal 7

Tentukan x dan y jika: [

3x5

22y

] + [

] = [

156

514

]

Soal 8

Hitung: [

24−1

3−56

] + [

−213

45−6

]

Soal 9

Jika A + B = [

] dan A = [

4−1

], cari B!

Soal 10

Hitung: [

1/32/3

1/65/6

] + [

2/31/3

5/61/6

]

Sulit

Soal 11

Tentukan a, b, c, d jika: [

3a2b−1

c+34d

] + [

] = [

1210

1313

]

Soal 12

Hitung A + B + C jika A = [

3−1

], B = [

−25

1−3

], C = [

−12

]

Soal 13

Jika 3A + B = [

126

915

] dan B = [

], tentukan A!

Soal 14

Cari matriks X jika X + [

4−32

15−2

] = [

718

693

]

Soal 15

Buktikan sifat komutatif A + B = B + A untuk A = [

2−3

] dan B = [

−15

3−4

]

2. Pengurangan Matriks

Materi

Seperti penjumlahan, pengurangan matriks hanya bisa dilakukan jika kedua matriks memiliki ordo yang sama.

(A − B)_ij = a_ij − b_ij
Artinya: setiap elemen dikurangkan dengan elemen yang berposisi sama.

Sifat pengurangan matriks:

A − B ≠ B − A (tidak komutatif)
A − O = A
A − A = O (matriks nol)
A − B = A + (−B), di mana −B adalah negatif dari B

⚠ Perhatikan tanda negatif saat mengurangkan elemen negatif: a − (−b) = a + b

Contoh Soal

Mudah

Contoh 1

Hitung A − B jika A = [

] dan B = [

]

Jawaban: A − B = [

8−36−2

9−45−1

] = [

]

Contoh 2

Hitung: [

107

] − [

]

Jawaban: [

]

Contoh 3

Hitung: [

] − [

]

Jawaban: [

]

Contoh 4

Hitung: [

583

] − [

583

]

Jawaban: A − A = O = [

000

]

Contoh 5

Hitung: [

] − [

]

Jawaban: [

]

Sedang

Contoh 6

Hitung A − B jika A = [

3−5

−28

] dan B = [

−42

6−3

]

Jawaban: [

3−(−4)−5−2

−2−68−(−3)

] = [

7−7

−811

]

Contoh 7

Tentukan x dan y jika: [

2x5

73y

] − [

] = [

]

Jawaban: 2x − 4 = 6 &Rightarrow; x = 5; 3y − 6 = 9 &Rightarrow; y = 5

Contoh 8

Hitung: [

53−2

−471

] − [

2−14

32−5

]

Jawaban: [

34−6

−756

]

Contoh 9

Jika A − B = [

4−2

] dan A = [

], tentukan B!

Jawaban: B = A − (A−B) = [

]

Contoh 10

Hitung B − A jika A = [

−14

] dan B = [

6−3

]

Jawaban: [

2−5

7−7

]

Sulit

Contoh 11

Tentukan a, b, c, d jika: [

4ab+2

c−12d+3

] − [

] = [

]

Jawaban: 4a−8=4 &Rightarrow; a=3 | b+2−5=3 &Rightarrow; b=6 | c−1−4=7 &Rightarrow; c=12 | 2d+3−3=6 &Rightarrow; d=3

Contoh 12

Hitung (A + B) − C jika A = [

−13

], B = [

1−3

], C = [

3−1

]

Jawaban: A+B = [

5−1

] , hasilnya − C = [

3−5

]

Contoh 13

Cari X jika 2X − A = B, A = [

], B = [

210

]

Jawaban: 2X = A + B = [

106

818

] &Rightarrow; X = [

]

Contoh 14

Jika A − B = [

123

456

] dan A + B = [

789

101112

], tentukan A dan B!

Jawaban: A = ½[(A+B)+(A−B)] = [

456

789

]; B = A − (A−B) = [

333

]

Contoh 15

Buktikan A − B ≠ B − A untuk A = [

] dan B = [

]

Jawaban: A−B = [

3−1

−56

] ≠ B−A = [

−31

5−6

] √ Terbukti!

Latihan Soal

Mudah

Soal 1

Hitung: [

] − [

]

Soal 2

Hitung: [

1510

] − [

]

Soal 3

Hitung: [

] − [

]

Soal 4

Hitung: [

101520

] − [

101520

]

Soal 5

Hitung: [

2016

1418

] − [

]

Sedang

Soal 6

Hitung: [

−58

3−7

] − [

4−2

−61

]

Soal 7

Tentukan x dan y jika: [

5x4

32y+1

] − [

102

] = [

]

Soal 8

Jika A − B = [

2−4

] dan B = [

−24

], cari A!

Soal 9

Hitung: [

6−34

27−5

] − [

−142

5−31

]

Soal 10

Hitung B − A jika A = [

7−4

−25

] dan B = [

8−1

]

Sulit

Soal 11

Tentukan a, b, c, d jika: [

2a+13b

4cd−3

] − [

] = [

]

Soal 12

Cari X jika 3X − A = B, A = [

3−6

912

], B = [

−36

]

Soal 13

Hitung A − B − C jika A = [

108

], B = [

], C = [

1−2

]

Soal 14

Jika A − B = [

] dan A + B = [

1014

1620

], tentukan A dan B!

Soal 15

Cari matriks X jika: [

537

284

] − X = [

1−24

531

]

3. Perkalian Skalar dengan Matriks

Materi

Perkalian skalar adalah perkalian bilangan real k (disebut skalar) dengan semua elemen matriks.

k ⋅ A = k ⋅ [a_ij] = [k ⋅ a_ij]
Artinya: kalikan bilangan k dengan setiap elemen matriks A.

Sifat-sifat perkalian skalar:

k(A + B) = kA + kB (distributif terhadap penjumlahan)
(k + m)A = kA + mA (distributif terhadap penjumlahan skalar)
k(mA) = (km)A (asosiatif)
1 ⋅ A = A
0 ⋅ A = O (matriks nol)
(−1) ⋅ A = −A (negatif matriks)

✔ Perkalian skalar dapat dilakukan untuk matriks dengan ordo berapapun — tidak perlu ordo sama!

Contoh Soal

Mudah

Contoh 1

Jika A = [

], hitung 3A!

Jawaban: 3A = 3 × [

] = [

912

]

Contoh 2

Hitung 5 × [

]

Jawaban: [

1020

]

Contoh 3

Hitung 4 × [

]

Jawaban: [

]

Contoh 4

Hitung 0 × [

910

]

Jawaban: Skalar 0 × matriks apapun = matriks nol: [

]

Contoh 5

Hitung (−2) × [

531

]

Jawaban: [

−10−6−2

]

Sedang

Contoh 6

Hitung 3A − 2B jika A = [

] dan B = [

]

Jawaban: 3A = [

126

], 2B = [

], 3A−2B = [

−39

]

Contoh 7

Tentukan k jika: k × [

912

] = [

918

2736

]

Jawaban: 3k = 9 &Rightarrow; k = 3

Contoh 8

Hitung ½ × [

8412

6102

]

Jawaban: [

426

351

]

Contoh 9

Hitung 2(A + B) jika A = [

] dan B = [

]

Jawaban: A+B = [

], 2(A+B) = [

1010

1210

]

Contoh 10

Tentukan a dan b jika: 2 × [

] = [

1014

]

Jawaban: 2a = 8 &Rightarrow; a = 4; 2b = 14 &Rightarrow; b = 7

Sulit

Contoh 11

Tentukan a, b, c, d jika: 3 × [

2ab−1

4c2d+1

] = [

126

2415

]

Jawaban: 6a=12&Rightarrow;a=2 | 3b−3=6&Rightarrow;b=3 | 12c=24&Rightarrow;c=2 | 6d+3=15&Rightarrow;d=2

Contoh 12

Hitung 2A + 3B − C jika A = [

], B = [

], C = [

]

Jawaban: 2A = [

], 3B = [

], hasilnya = [

1216

]

Contoh 13

Buktikan sifat distributif: k(A + B) = kA + kB untuk k = 3, A = [

], B = [

]

Jawaban: k(A+B) = 3× [

] = [

921

]; kA+kB = [

912

] + [

] = [

921

] √ Terbukti!

Contoh 14

Cari X jika 4X + 2A = 3B, A = [

], B = [

412

]

Jawaban: 4X = 3B − 2A = [

1224

1236

] − [

1216

] = [

816

020

] &Rightarrow; X = [

]

Contoh 15

Jika (k+1)A = 4A − B, A = [

], B = [

], tentukan k!

Jawaban: 4A − B = 3A (karena A = B) &Rightarrow; (k+1)A = 3A &Rightarrow; k+1 = 3 &Rightarrow; k = 2

Latihan Soal

Mudah

Soal 1

Hitung 6 × [

]

Soal 2

Hitung (−3) × [

]

Soal 3

Hitung 7 × [

]

Soal 4

Hitung ⅓ × [

963

]

Soal 5

Hitung 1 × [

]

Sedang

Soal 6

Hitung 4A + 2B jika A = [

] dan B = [

]

Soal 7

Tentukan k jika: k × [

510

1520

] = [

2040

6080

]

Soal 8

Tentukan a dan b jika: 5 × [

] = [

2020

1535

]

Soal 9

Hitung 3(A − B) jika A = [

] dan B = [

]

Soal 10

Hitung ¼ × [

12816

42024

]

Sulit

Soal 11

Tentukan a, b, c jika: 4 × [

2ab+3

3c5

] = [

1628

3620

]

Soal 12

Cari X jika 3X − 2A = 5B, A = [

912

], B = [

]

Soal 13

Hitung 2A − 3B + 4C jika A = [

], B = [

], C = [

]

Soal 14

Jika kA + 2B = [

1014

1822

], A = [

], B = [

], tentukan nilai k!

Soal 15

Buktikan (k + m)A = kA + mA untuk k = 2, m = 3, A = [

]

Materi Matematika — Matriks • Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian Skalar

Matriks — Modul Pembelajaran Matematika SMK

Modul Pembelajaran

Matriks

Matematika SMK · Kelas XI | MGMP Matematika SMK Blora

Bab 01

Perkalian Dua Matriks

📌 Materi

Perkalian dua matriks A × B dapat dilakukan jika banyak kolom A = banyak baris B. Jika A berukuran m×n dan B berukuran n×p, maka hasil perkaliannya berukuran m×p.

Rumus elemen hasil: Elemen pada baris ke-i, kolom ke-j dari AB adalah:

(AB)ᵢⱼ = Σ aᵢₖ · bₖⱼ (k = 1, 2, …, n)

Artinya, setiap elemen diperoleh dari perkalian baris A dengan kolom B lalu dijumlahkan.

Sifat-sifat perkalian matriks:

Pada umumnya tidak komutatif: AB ≠ BA
Asosiatif: (AB)C = A(BC)
Distributif: A(B+C) = AB + AC

Contoh Soal

Perkalian Dua Matriks

⬤ Mudah

SOAL 1

Diketahui A = [

1	2
3	4

] dan B = [

1	0
0	1

]. Tentukan A × B.

✦ Pembahasan B adalah matriks identitas, sehingga A × B = A = [

1	2
3	4

]

SOAL 2

Diketahui A = [

] dan B = [

]. Tentukan A × B.

✦ Pembahasan A × B = [2×3 + 1×4] = [6 + 4] = [10]

SOAL 3

Diketahui A = [

1	0
0	2

] dan B = [

3	0
0	1

]. Hitung A × B.

✦ Pembahasan A × B = [

3	0
0	2

]

SOAL 4

Diketahui A = [

2	0
0	3

] dan B = [

]. Tentukan A × B.

✦ Pembahasan A × B = [

2·1 + 0·1

0·1 + 3·1

] = [

]

SOAL 5

Diketahui A = [

] dan B = [

2	0
1	3

]. Hitung A × B.

✦ Pembahasan A × B = [(1·2+2·1) (1·0+2·3)] = [4 6]

⬤ Sedang

SOAL 6

Diketahui A = [

1	2
3	4

] dan B = [

2	0
1	3

]. Tentukan A × B.

✦ Pembahasan A × B = [

1·2+2·1	1·0+2·3
3·2+4·1	3·0+4·3

] = [

4	6
10	12

]

SOAL 7

Diketahui A = [

2	-1
0	3

] dan B = [

1	2
-1	4

]. Hitung A × B.

✦ Pembahasan A × B = [

2+1	4−4
0−3	0+12

] = [

3	0
−3	12

]

SOAL 8

Diketahui P = [

] dan Q = [

]. Hitung P × Q.

✦ Pembahasan P × Q = [1·1 + 2·2 + 3·3] = [1 + 4 + 9] = [14]

SOAL 9

Diketahui A = [

3	1
−2	4

] dan B = [

2	−1
0	5

]. Tentukan A × B.

✦ Pembahasan A × B = [

6	2
−4	22

]

SOAL 10

Diketahui A = [

1	1
1	1

]. Hitung A².

✦ Pembahasan A² = A × A = [

2	2
2	2

]

⬤ Sulit

SOAL 11

Jika A = [

2	1
−1	3

] dan B = [

1	2
4	−1

], buktikan bahwa AB ≠ BA.

✦ Pembahasan AB = [

6	3
11	−5

] , BA = [

0	7
9	1

]. Karena AB ≠ BA, terbukti perkalian matriks tidak komutatif.

SOAL 12

Tentukan matriks X berukuran 2×1 jika [

2	1
3	2

] × X = [

✦ Pembahasan Misalkan X = [x, y]ᵀ. Sistem: 2x+y=5 dan 3x+2y=8. Dari persamaan 1: y=5−2x. Substitusi: 3x+2(5−2x)=8 → x=2, y=1. X = [

]

SOAL 13

Diketahui A = [

1	2
0	1

]. Tentukan A³.

✦ Pembahasan A² = [

1	4
0	1

], A³ = A²·A = [

1	6
0	1

]

SOAL 14

Diketahui A = [

a	2
1	b

] dan B = [

3	0
1	2

]. Jika AB = [

5	4
4	6

], tentukan a dan b.

✦ Pembahasan Elemen (1,1): 3a+2=5 → a=1. Elemen (2,2): 0+2b=6 → b=3.

SOAL 15

Hitung A × B × C jika A = [

], B = [

1	0
2	1

], C = [

✦ Pembahasan AB = [1+4 0+2] = [5 2]. Lalu (AB)·C = [5·1 + 2·3] = [11].

Latihan Soal

Perkalian Dua Matriks

⬤ Mudah

Tentukan hasil perkalian [

3	0
0	2

] × [

1	0
0	1

Hitung [

] × [

Jika A = [

4	0
0	5

] dan B = [

], hitung A × B.

Tentukan [

] × [

0	1
1	0

Hitung A² jika A = [

2	0
0	3

⬤ Sedang

Diketahui A = [

2	3
1	4

] dan B = [

1	−1
2	0

]. Hitung A × B.

Tentukan B × A dari soal nomor 6, lalu bandingkan dengan A × B.

Diketahui P = [

] dan Q = [

−1

]. Hitung P × Q.

Tentukan A² jika A = [

1	1
0	1

], kemudian hitung A³.

Jika A = [

3	−1
2	5

], tentukan A · [

1	0
0	1

] dan simpulkan.

⬤ Sulit

Tentukan matriks X jika [

3	1
2	1

] × X = [

Diketahui A = [

a	1
0	b

] dan B = [

2	3
0	1

]. Jika AB = [

4	7
0	3

], tentukan a dan b.

Buktikan bahwa (A+B)² = A² + AB + BA + B² (tidak sama dengan A² + 2AB + B² dalam matriks).

Jika A = [

0	1
−1	0

], tentukan A⁴.

Hitung (AB)C dan A(BC) untuk A = [

], B = [

2	0
1	3

], C = [

], kemudian verifikasi sifat asosiatif.

Bab 02

Determinan Matriks Ordo 2×2

📌 Materi

Determinan matriks persegi ordo 2×2 adalah sebuah nilai skalar yang diperoleh dari matriks tersebut. Untuk matriks:

A = [a b] [c d]

Determinan A ditulis det(A) atau |A|, dengan rumus:

det(A) = |A| = ad − bc

Keterangan:

a dan d adalah elemen diagonal utama (atas-kiri ke bawah-kanan)
b dan c adalah elemen diagonal sekunder (atas-kanan ke bawah-kiri)

Penting: Jika det(A) = 0, maka matriks A disebut singular dan tidak memiliki invers.

Contoh Soal

Determinan 2×2

⬤ Mudah

SOAL 1

Hitung det(A) jika A = [

3	1
2	4

✦ Pembahasan det(A) = 3·4 − 1·2 = 12 − 2 = 10

SOAL 2

Hitung det(A) jika A = [

5	2
3	1

✦ Pembahasan det(A) = 5·1 − 2·3 = 5 − 6 = −1

SOAL 3

Hitung det(A) jika A = [

6	0
0	4

✦ Pembahasan det(A) = 6·4 − 0·0 = 24

SOAL 4

Hitung det(A) jika A = [

2	2
2	2

✦ Pembahasan det(A) = 2·2 − 2·2 = 4 − 4 = 0. Matriks singular.

SOAL 5

Hitung det(A) jika A = [

−3	1
2	−4

✦ Pembahasan det(A) = (−3)(−4) − (1)(2) = 12 − 2 = 10

⬤ Sedang

SOAL 6

Tentukan nilai x jika det [

x	3
2	x

] = 10.

✦ Pembahasan x² − 6 = 10 → x² = 16 → x = ±4

SOAL 7

Diketahui A = [

2k	3
k	6

]. Agar A singular, tentukan nilai k.

✦ Pembahasan det(A) = 12k − 3k = 9k = 0 → k = 0

SOAL 8

Jika det(A) = 5 dan A = [

3	a
1	3

], tentukan nilai a.

✦ Pembahasan 9 − a = 5 → a = 4

SOAL 9

Hitung det(2A) jika A = [

1	2
3	4

✦ Pembahasan 2A = [

2	4
6	8

]. det(2A) = 16 − 24 = −8. (atau: det(kA) = k² · det(A) = 4·(−2) = −8 ✓)

SOAL 10

Tentukan nilai p agar det [

p+1	2
3	p

] = 0.

✦ Pembahasan p(p+1) − 6 = 0 → p² + p − 6 = 0 → (p+3)(p−2) = 0 → p = −3 atau p = 2

⬤ Sulit

SOAL 11

Buktikan bahwa det(AB) = det(A) · det(B) untuk A = [

1	2
3	4

] dan B = [

2	0
1	3

✦ Pembahasan det(A)=−2, det(B)=6, det(A)·det(B)=−12. AB=[

4	6
10	12

], det(AB)=48−60=−12. ✓

SOAL 12

Tentukan nilai t agar sistem 3x+2y=t dan tx+4y=6 memiliki penyelesaian tunggal.

✦ Pembahasan Matriks koefisien: [

3	2
t	4

]. det = 12−2t ≠ 0 → t ≠ 6.

SOAL 13

Jika A = [

a	b
c	d

] dan det(A) = 7, tentukan det(3Aᵀ).

✦ Pembahasan det(Aᵀ) = det(A) = 7. det(3Aᵀ) = 3² · 7 = 63.

SOAL 14

Tentukan semua matriks 2×2 dengan entri 0 atau 1 yang determinannya sama dengan 1.

✦ Pembahasan Dibutuhkan ad − bc = 1 dengan a,b,c,d ∈ {0,1}. Kemungkinan: a=d=1, b=0, c=0 → [

1	0
0	1

]; a=1,b=1,c=0,d=1 → det=1; a=1,b=0,c=1,d=1 → det=1. Total 3 matriks.

SOAL 15

Diketahui det(A) = 4 dan det(B) = −3. Tentukan det(A² · B⁻¹).

✦ Pembahasan det(A²) = det(A)² = 16. det(B⁻¹) = 1/det(B) = −1/3. det(A²·B⁻¹) = 16 · (−1/3) = −16/3.

Latihan Soal

Determinan 2×2

⬤ Mudah

Hitung det [

4	2
1	3

Hitung det [

7	0
0	5

Hitung det [

−2	3
1	−4

Apakah matriks [

3	6
1	2

] singular? Jelaskan.

Hitung det [

10	4
5	3

⬤ Sedang

Tentukan nilai x jika det [

x	4
2	x

] = −4.

Jika det(A) = 8 dan A = [

4	m
1	3

], tentukan nilai m.

Hitung det(A + B) jika A = [

1	2
0	1

] dan B = [

2	−1
1	3

Tentukan nilai k agar matriks [

k−1	3
2	k

] singular.

Hitung det(−2A) jika det(A) = 5, A berukuran 2×2.

⬤ Sulit

Verifikasi det(AB) = det(A)·det(B) untuk A = [

3	1
2	4

] dan B = [

−1	2
3	0

Tentukan nilai m agar sistem persamaan mx+3y=2 dan 4x+my=6 tidak memiliki penyelesaian tunggal.

Jika det(A) = p, tentukan det(A³) dalam bentuk p.

Buktikan bahwa jika baris pertama dan baris kedua dari matriks 2×2 identik, maka det = 0.

Diketahui det(A) = 6 dan det(B) = 2. Tentukan det(2A · 3Bᵀ).

Bab 03

Determinan Matriks Ordo 3×3

📌 Materi

Determinan matriks 3×3 dapat dihitung dengan dua metode utama:

1. Metode Sarrus: Kalikan elemen-elemen sepanjang tiga diagonal ke kanan (positif) lalu kurangi tiga diagonal ke kiri (negatif).

|a b c| det |d e f| = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi |g h i|

2. Metode Ekspansi Kofaktor (Laplace): Ekspansikan sepanjang baris atau kolom tertentu. Misalnya, ekspansi baris 1:

det(A) = a·M₁₁ − b·M₁₂ + c·M₁₃

di mana M₁₁, M₁₂, M₁₃ adalah minor yang bersesuaian (determinan matriks 2×2 setelah baris dan kolom elemen dihapus).

Contoh Soal

Determinan 3×3

⬤ Mudah

SOAL 1

Hitung det(A) jika A = [

1	0	0
0	2	0
0	0	3

✦ Pembahasan Matriks diagonal: det = 1 · 2 · 3 = 6

SOAL 2

Hitung det(A) jika A = [

2	0	0
1	3	0
4	2	5

✦ Pembahasan Matriks segitiga bawah: det = 2 · 3 · 5 = 30

SOAL 3

Hitung det(A) menggunakan Sarrus untuk A = [

1	2	3
0	1	0
0	0	1

✦ Pembahasan Sarrus: (1·1·1)+(2·0·0)+(3·0·0) − (3·1·0)−(1·0·0)−(2·0·1) = 1 − 0 = 1

SOAL 4

Hitung det(I₃) dimana I₃ adalah matriks identitas 3×3.

✦ Pembahasan det(I₃) = 1·1·1 + 0 + 0 − 0 − 0 − 0 = 1

SOAL 5

Hitung det(A) jika A = [

2	1	0
0	3	0
0	0	4

✦ Pembahasan Matriks segitiga atas: det = 2 · 3 · 4 = 24

⬤ Sedang

SOAL 6

Hitung det(A) menggunakan Sarrus untuk A = [

1	2	3
4	5	6
7	8	9

✦ Pembahasan = (45+84+96) − (105+48+72) = 225 − 225 = 0. Matriks singular.

SOAL 7

Hitung det(A) untuk A = [

2	-1	3
1	4	-2
0	2	1

✦ Pembahasan Sarrus: (8+0+6) − (0+−8+−1) = 14 − (−9) = 23

SOAL 8

Hitung det(A) dengan ekspansi kofaktor baris pertama untuk A = [

3	0	2
1	5	0
4	2	1

✦ Pembahasan = 3·(5·1−0·2) − 0·(1·1−0·4) + 2·(1·2−5·4) = 3·5 − 0 + 2·(−18) = 15 − 36 = −21

SOAL 9

Tentukan nilai x jika det [

x	1	0
2	x	1
0	2	x

] = 0.

✦ Pembahasan det = x(x²−2) − 1(2x) = x³ − 2x − 2x = x³ − 4x = x(x²−4) = 0. Jadi x = 0, x = 2, x = −2.

SOAL 10

Hitung det(A) untuk A = [

1	−1	2
3	0	1
−2	1	4

✦ Pembahasan Sarrus: (0+2+6) − (0+1+−12) = 8 − (−11) = 19

⬤ Sulit

SOAL 11

Tentukan nilai k agar matriks [

k	2	1
1	k	0
2	1	k

] tidak memiliki invers.

✦ Pembahasan det = k(k²−0)−2(k−0)+1(1−2k) = k³ − 2k + 1 − 2k = k³ − 4k + 1 = 0. (Selesaikan secara numerik atau faktorisasi).

SOAL 12

Buktikan bahwa det(Aᵀ) = det(A) untuk A = [

1	2	3
0	4	5
1	0	6

✦ Pembahasan det(A) = 24+10+0−12−0−0 = 22. Aᵀ = [

1	0	1
2	4	0
3	5	6

], det(Aᵀ) = 24+0+10−12−0−0 = 22. ✓

SOAL 13

Hitung det(3A) jika det(A) = 4 dan A berukuran 3×3.

✦ Pembahasan det(kA) = kⁿ · det(A) untuk matriks n×n. det(3A) = 3³ · 4 = 27 · 4 = 108

SOAL 14

Tentukan determinan matriks A jika dua baris A ditukar (misalkan baris 1 dan baris 2).

✦ Pembahasan Jika dua baris ditukar, det berubah tanda. Jika det(A) = d maka det(A setelah tukar baris) = −d.

SOAL 15

Hitung det(A) untuk A = [

2	3	−1
1	−2	4
3	1	2

] menggunakan kedua metode (Sarrus dan ekspansi kofaktor).

✦ Pembahasan Sarrus: (−8+36+−1)−(6+8+6) = 27 − 20 = 7. Ekspansi baris 1: 2·(−4−4)−3·(2−12)+(−1)·(1+6) = 2(−8)−3(−10)−7 = −16+30−7 = 7 ✓

Latihan Soal

Determinan 3×3

⬤ Mudah

Hitung det [

4	0	0
0	3	0
0	0	2

Hitung det [

1	0	0
3	5	0
2	4	6

Hitung det [

2	1	0
0	3	1
0	0	5

Tentukan apakah matriks [

2	4	6
1	2	3
0	1	0

] singular.

Hitung det [

3	0	0
0	3	0
0	0	3

⬤ Sedang

Hitung det [

2	1	3
0	−1	2
3	2	1

] menggunakan Sarrus.

Hitung det [

1	2	−1
3	1	4
2	−3	0

] menggunakan ekspansi kofaktor.

Tentukan nilai p jika det [

p	1	0
0	p	1
1	0	p

] = 2.

Jika det(A) = 5, tentukan det(2A) untuk matriks A berukuran 3×3.

Hitung det [

4	−2	1
0	3	−1
2	1	5

⬤ Sulit

Tentukan nilai m agar sistem 3 persamaan dengan matriks koefisien [

m	2	1
1	m	2
2	1	m

] tidak memiliki penyelesaian tunggal.

Buktikan bahwa jika dua kolom matriks 3×3 identik, maka det = 0.

Hitung det(A⁻¹) jika det(A) = 4 untuk A berukuran 3×3.

Verifikasi det(AB) = det(A)·det(B) untuk A = [

1	0	0
0	2	0
0	0	3

] dan B = [

2	1	0
0	1	3
1	0	1

Selesaikan det [

a	b	c
b	c	a
c	a	b

] dalam bentuk a, b, c dan tentukan kapan determinan ini bernilai nol.

Bab 04

Invers Matriks Ordo 2×2

📌 Materi

Invers matriks A, ditulis A⁻¹, adalah matriks yang memenuhi: A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = I, di mana I adalah matriks identitas.

Syarat: Matriks A hanya memiliki invers jika det(A) ≠ 0 (tidak singular).

Untuk matriks A = [

a	b
c	d

], rumus inversnya adalah:

A⁻¹ = 1/(ad−bc) · [ d −b ] [ −c a ]

Langkah-langkah:

Hitung det(A) = ad − bc
Tukar posisi a dan d (diagonal utama)
Ubah tanda b dan c menjadi −b dan −c
Kalikan setiap elemen dengan 1/det(A)

Contoh Soal

Invers Matriks 2×2

⬤ Mudah

SOAL 1

Tentukan invers dari A = [

2	1
1	1

✦ Pembahasan det = 2−1 = 1. A⁻¹ = [

1	−1
−1	2

]

SOAL 2

Tentukan invers dari A = [

3	0
0	2

✦ Pembahasan det = 6. A⁻¹ = 1/6 · [

2	0
0	3

] = [

1/3	0
0	1/2

]

SOAL 3

Tentukan invers dari A = [

4	3
3	2

✦ Pembahasan det = 8−9 = −1. A⁻¹ = (1/−1)·[

2	−3
−3	4

] = [

−2	3
3	−4

]

SOAL 4

Tentukan invers dari A = [

1	0
0	1

✦ Pembahasan Invers matriks identitas adalah dirinya sendiri: I⁻¹ = I = [

1	0
0	1

]

SOAL 5

Tentukan invers dari A = [

5	2
2	1

✦ Pembahasan det = 5−4 = 1. A⁻¹ = [

1	−2
−2	5

]

⬤ Sedang

SOAL 6

Tentukan invers dari A = [

3	5
1	2

], lalu verifikasi A · A⁻¹ = I.

✦ Pembahasan det = 6−5 = 1. A⁻¹ = [

2	−5
−1	3

]. Verifikasi: A·A⁻¹ = [

1	0
0	1

] ✓

SOAL 7

Gunakan invers matriks untuk selesaikan sistem: 2x + 3y = 7 dan x + 2y = 4.

✦ Pembahasan A = [

2	3
1	2

], det = 1. A⁻¹ = [

2	−3
−1	2

]. X = A⁻¹·b = [

2·7−3·4

−1·7+2·4

] = [

]. Jadi x=2, y=1.

SOAL 8

Tentukan invers dari A = [

−3	2
4	−1

✦ Pembahasan det = 3−8 = −5. A⁻¹ = −1/5·[

−1	−2
−4	−3

] = [

1/5	2/5
4/5	3/5

]

SOAL 9

Jika A = [

2	k
1	3

] dan det(A⁻¹) = 1/4, tentukan nilai k.

✦ Pembahasan det(A⁻¹) = 1/det(A). Jadi det(A) = 4. 6−k = 4 → k = 2.

SOAL 10

Tentukan (AB)⁻¹ jika A = [

2	1
1	1

] dan B = [

1	2
0	1

✦ Pembahasan (AB)⁻¹ = B⁻¹ · A⁻¹. A⁻¹ = [

1	−1
−1	2

], B⁻¹ = [

1	−2
0	1

]. (AB)⁻¹ = [

3	−4
−1	2

]

⬤ Sulit

SOAL 11

Gunakan invers matriks untuk selesaikan: 3x − y = 5 dan x + 2y = 7.

✦ Pembahasan A = [

3	−1
1	2

], det = 7. A⁻¹ = 1/7·[

2	1
−1	3

]. X = A⁻¹·b = 1/7·[

]. x = 17/7, y = 16/7.

SOAL 12

Tentukan nilai a agar matriks A = [

a	a+1
a−1	a

] tidak memiliki invers.

✦ Pembahasan det(A) = a²−(a+1)(a−1) = a²−(a²−1) = 1 ≠ 0. Jadi A selalu memiliki invers untuk semua nilai a. (Tidak ada nilai a yang membuatnya singular).

SOAL 13

Jika AX = B dengan A = [

2	3
1	4

] dan B = [

8	5
5	3

], tentukan matriks X.

✦ Pembahasan X = A⁻¹·B. det(A) = 5. A⁻¹ = 1/5·[

4	−3
−1	2

]. X = 1/5·[

17	11
2	1

]

SOAL 14

Tentukan (A⁻¹)⁻¹ dan simpulkan.

✦ Pembahasan (A⁻¹)⁻¹ = A. Invers dari invers suatu matriks adalah matriks itu sendiri.

SOAL 15

Jika diketahui A⁻¹ = [

3	−2
−1	1

], tentukan matriks A dan det(A).

✦ Pembahasan A = (A⁻¹)⁻¹. det(A⁻¹) = 3−2 = 1. A = [

1	2
1	3

]. det(A) = 1/det(A⁻¹) = 1.

Latihan Soal

Invers Matriks 2×2

⬤ Mudah

Tentukan invers dari [

3	1
2	1

Tentukan invers dari [

5	0
0	4

Tentukan invers dari [

1	3
0	1

Apakah [

4	2
2	1

] memiliki invers? Jelaskan.

Tentukan invers dari [

7	3
2	1

⬤ Sedang

Gunakan invers matriks untuk selesaikan sistem: 4x+3y=10 dan 2x+y=4.

Tentukan invers dari A = [

−2	5
1	−3

], lalu verifikasi.

Jika A = [

3	t
1	2

] dan det(A⁻¹) = 1/5, tentukan nilai t.

Jika XA = B dengan X yang tidak diketahui, nyatakan X dalam A⁻¹ dan B.

Tentukan (A²)⁻¹ jika A = [

2	1
1	1

⬤ Sulit

Selesaikan sistem 5x−2y=3 dan 3x+y=7 menggunakan invers matriks.

Jika AX = B dan XA = C, apakah B = C? Berikan contoh untuk membuktikan jawabanmu.

Jika A = [

a	b
c	d

], buktikan bahwa (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹.

Tentukan matriks A jika A⁻¹ = [

2	−1
−3	2

Selesaikan: [

2	1
3	2

] · X · [

1	1
0	1

] = [

3	4
5	7

Bab 05

Penerapan Matriks

📌 Materi

Matriks memiliki banyak penerapan dalam kehidupan nyata dan matematika terapan, antara lain:

Sistem Persamaan Linear (SPL): Ditulis dalam bentuk Ax = b dan diselesaikan menggunakan invers matriks atau metode eliminasi.
Transformasi Geometri: Pencerminan, rotasi, dan dilatasi dinyatakan sebagai perkalian matriks.
Jaringan/Graf: Matriks adjacency merepresentasikan hubungan antar simpul.
Ekonomi & Bisnis: Model input-output Leontief menggunakan persamaan matriks (I−A)x = d.
Kriptografi sederhana: Enkripsi pesan menggunakan perkalian matriks kunci.

Penyelesaian SPL dengan Matriks:

Bentuk: Ax = b Solusi: x = A⁻¹ · b (jika det(A) ≠ 0)

Contoh Soal

Penerapan Matriks

⬤ Mudah

SOAL 1

Seorang pedagang menjual dua jenis buah. Harga jeruk Rp5.000/kg dan mangga Rp8.000/kg. Pembeli A membeli 3 kg jeruk dan 2 kg mangga. Nyatakan transaksi dalam bentuk perkalian matriks.

✦ Pembahasan [

] × [

5000

8000

] = [15.000 + 16.000] = [Rp31.000]

SOAL 2

Selesaikan SPL: x + y = 5 dan x − y = 1 menggunakan matriks.

✦ Pembahasan A = [

1	1
1	−1

], det = −2. A⁻¹ = 1/−2·[

−1	−1
−1	1

]. X = A⁻¹·b = [

]. Jadi x=3, y=2.

SOAL 3

Matriks rotasi 90° berlawanan arah jarum jam adalah R = [

0	−1
1	0

]. Tentukan bayangan titik (3, 2).

✦ Pembahasan [

0	−1
1	0

] · [

] = [

−2

]. Bayangan: (−2, 3)

SOAL 4

Matriks pencerminan terhadap sumbu x adalah [

1	0
0	−1

]. Tentukan bayangan titik (4, −3).

✦ Pembahasan [

1	0
0	−1

] · [

−3

] = [

]. Bayangan: (4, 3)

SOAL 5

Dua toko menjual produk yang sama. Toko A menjual 10 produk X dan 5 produk Y. Toko B menjual 8 produk X dan 12 produk Y. Harga X = Rp20.000 dan Y = Rp15.000. Hitung total pendapatan masing-masing toko menggunakan matriks.

✦ Pembahasan [

10	5
8	12

] · [

20000

15000

] = [

275000

340000

]. Toko A: Rp275.000, Toko B: Rp340.000.

⬤ Sedang

SOAL 6

Selesaikan SPL: 3x + 2y = 16 dan 5x − y = 9 menggunakan invers matriks.

✦ Pembahasan A = [

3	2
5	−1

], det = −13. A⁻¹ = −1/13·[

−1	−2
−5	3

]. X = A⁻¹·b = [

]. x=2, y=5.

SOAL 7

Model Leontief sederhana: (I − A)x = d. Jika A = [

0,2	0,3
0,1	0,4

] dan d = [

], tentukan vektor produksi x.

✦ Pembahasan I−A = [

0,8	−0,3
−0,1	0,6

]. det = 0,48 − 0,03 = 0,45. (I−A)⁻¹·d memberikan x ≈ [

115,6

]

SOAL 8

Titik P(2, 3) dirotasi 180° terhadap asal. Matriks rotasi 180° adalah [

−1	0
0	−1

]. Tentukan bayangannya.

✦ Pembahasan [

−1	0
0	−1

]·[

] = [

−2

−3

]. Bayangan: P′(−2, −3).

SOAL 9

Tiga siswa membeli alat tulis. Data pembelian: Budi membeli 3 pensil + 2 buku, Citra membeli 1 pensil + 4 buku. Harga pensil Rp2.000 dan buku Rp5.000. Nyatakan dan hitung total belanja masing-masing siswa.

✦ Pembahasan [

3	2
1	4

] · [

2000

5000

] = [

16000

22000

]. Budi: Rp16.000, Citra: Rp22.000.

SOAL 10

Dilatasi dari asal dengan faktor skala k=3 direpresentasikan oleh matriks [

3	0
0	3

]. Tentukan bayangan segitiga dengan titik A(1,0), B(0,2), C(2,2).

✦ Pembahasan A′=(3,0), B′=(0,6), C′=(6,6). Setiap koordinat dikalikan 3.

⬤ Sulit

SOAL 11

Sebuah sistem ekonomi dua sektor memiliki matriks koefisien teknis A = [

0,3	0,2
0,4	0,1

] dan permintaan akhir d = [

100

]. Tentukan tingkat produksi x = (I−A)⁻¹d.

✦ Pembahasan I−A = [

0,7	−0,2
−0,4	0,9

]. det = 0,63−0,08 = 0,55. (I−A)⁻¹ = 1/0,55·[

0,9	0,2
0,4	0,7

]. x ≈ [

192,7

174,5

]

SOAL 12

Enkripsi kata “HI” menggunakan matriks kunci K = [

3	1
2	1

]. (H=8, I=9). Kemudian dekripsi kembali hasil enkripsi.

✦ Pembahasan Enkripsi: K·[

] = [

]. Dekripsi: K⁻¹·[

] = [

] → “HI” ✓

SOAL 13

Titik (x, y) dicerminkan terhadap garis y = x, lalu dirotasi 90° searah jarum jam. Matriks pencerminan y=x adalah [

0	1
1	0

] dan rotasi 90° searah jarum jam [

0	1
−1	0

]. Tentukan matriks transformasi gabungan dan bayangan titik (3,1).

✦ Pembahasan T = R·M = [

0	1
−1	0

]·[

0	1
1	0

] = [

1	0
0	−1

]. Bayangan (3,1): T·[

] = [

−1

SOAL 14

Sebuah pabrik memproduksi dua barang. Keuntungan per unit masing-masing produk bergantung pada dua variabel produksi. Dari data: 2x+y=50 (kapasitas mesin) dan x+3y=60 (kapasitas tenaga kerja). Tentukan jumlah optimal produksi x dan y.

✦ Pembahasan A = [

2	1
1	3

], det = 5. A⁻¹ = 1/5·[

3	−1
−1	2

]. X = 1/5·[

] = [

]. x=18, y=14.

SOAL 15

Tiga kota A, B, C terhubung dengan jalan. Matriks adjacency (tanpa jalur diri sendiri) adalah [

0	1	1
1	0	1
1	1	0

]. Hitung M² dan interpretasikan artinya.

✦ Pembahasan M² = [

2	1	1
1	2	1
1	1	2

]. Elemen M²[i][j] menyatakan banyaknya jalur panjang 2 dari kota i ke kota j. Diagonal = 2 berarti ada 2 jalur kembali ke kota yang sama (melalui dua kota lain).

Latihan Soal

Penerapan Matriks

⬤ Mudah

Selesaikan SPL: 2x+y=8 dan x+3y=9 menggunakan matriks.

Tentukan bayangan titik (5, 2) setelah dicerminkan terhadap sumbu y. (Matriks pencerminan sumbu y: [

−1	0
0	1

])

Sebuah warung menjual nasi goreng Rp15.000 dan mie goreng Rp12.000. Hari ini terjual 20 porsi nasi goreng dan 15 porsi mie goreng. Nyatakan dan hitung pendapatan total menggunakan perkalian matriks.

Tentukan bayangan titik (−2, 4) setelah dirotasi 90° berlawanan arah jarum jam. (Matriks rotasi: [

0	−1
1	0

])

Selesaikan SPL: x+2y=7 dan 3x−y=7 menggunakan matriks.

⬤ Sedang

Selesaikan SPL: 4x−3y=1 dan 2x+5y=19 menggunakan invers matriks.

Dua siswa membeli buku dan pulpen. Sinta: 3 buku + 2 pulpen = Rp26.000. Doni: 1 buku + 4 pulpen = Rp18.000. Tentukan harga masing-masing menggunakan matriks.

Tentukan bayangan segitiga dengan titik P(1,1), Q(3,1), R(2,3) setelah dilatasi dengan faktor 2 dari asal (matriks: [

2	0
0	2

]).

Dalam model produksi sederhana: produksi sektor 1 memerlukan 0,2 unit dari dirinya sendiri dan 0,3 dari sektor 2. Nyatakan dalam matriks dan interpretasikan.

Selesaikan SPL: 5x+2y=24 dan 3x−4y=2 menggunakan matriks.

⬤ Sulit

Sebuah sistem transportasi menghubungkan 3 kota. Biaya perjalanan (dalam puluhan ribu) dapat dimodelkan dengan SPL. Dari kota 1 ke kota 2 melalui jalan tol: 2a+b=15 dan langsung: a+2b=12. Tentukan tarif per km a dan b.

Tentukan transformasi gabungan T = R₉₀° · Mₓ (rotasi 90° lalu cermin sumbu x) dan bayangan titik (2, 5).

Sebuah toko memiliki 3 jenis produk. Dalam satu minggu, penjualan (dalam unit) dan harga (dalam ribu) dinyatakan dalam matriks. Penjualan = [

10	5	8
6	12	4

], Harga = [

]. Hitung total pendapatan tiap baris.

Model Leontief dengan A = [

0,1	0,4
0,2	0,3

] dan d = [

]. Tentukan vektor produksi x.

Buktikan bahwa transformasi rotasi 360° menghasilkan matriks identitas, artinya setiap titik kembali ke posisi semula.

Pengertian Matriks

Apa itu Matriks?

Contoh Soal — Pengertian Matriks

Latihan Soal — Pengertian Matriks

Ordo Matriks

Pengertian Ordo

Contoh Soal — Ordo Matriks

Latihan Soal — Ordo Matriks

Elemen Matriks

Notasi dan Cara Membaca Elemen

Contoh Soal — Elemen Matriks

Latihan Soal — Elemen Matriks

Jenis-Jenis Matriks

Berbagai Jenis Matriks

Contoh Soal — Jenis-Jenis Matriks

Latihan Soal — Jenis-Jenis Matriks

Kesamaan Dua Matriks

Syarat Dua Matriks Dikatakan Sama

Contoh Soal — Kesamaan Dua Matriks

Latihan Soal — Kesamaan Dua Matriks

📐 MATRIKS

Daftar Isi

1. Penjumlahan Matriks

Materi

2. Pengurangan Matriks

Materi

3. Perkalian Skalar dengan Matriks

Materi

Perkalian Dua Matriks

📌 Materi

Perkalian Dua Matriks

Perkalian Dua Matriks

Determinan Matriks Ordo 2×2

📌 Materi

Determinan 2×2

Determinan 2×2

Determinan Matriks Ordo 3×3

📌 Materi

Determinan 3×3

Determinan 3×3

Invers Matriks Ordo 2×2

📌 Materi

Invers Matriks 2×2

Invers Matriks 2×2

Penerapan Matriks

📌 Materi

Penerapan Matriks

Penerapan Matriks

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed