Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Deret Aritmetika
A. Pengertian Deret Aritmetika
🔍 Mengamati
Perhatikan barisan aritmetika berikut:
2, 5, 8, 11, 14, …
Jika kita menjumlahkan suku-suku barisan tersebut secara berurutan, kita memperoleh:
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + …
Penjumlahan berurutan suku-suku barisan aritmetika inilah yang disebut Deret Aritmetika.
❓ Menanya
Apa perbedaan antara barisan aritmetika dan deret aritmetika?
- Barisan Aritmetika: urutan bilangan yang memiliki beda tetap. Contoh: 3, 7, 11, 15, …
- Deret Aritmetika: jumlah (penjumlahan) suku-suku barisan aritmetika. Contoh: 3 + 7 + 11 + 15 + …
Definisi:
Deret aritmetika adalah jumlah berurutan suku-suku dari suatu barisan aritmetika.
Jika barisan aritmetika: U₁, U₂, U₃, …, Uₙ
Maka deret aritmetika: Sn = U₁ + U₂ + U₃ + … + Uₙ
💡 Menalar
Notasi Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmetika.
- S₁ = U₁
- S₂ = U₁ + U₂
- S₃ = U₁ + U₂ + U₃
- Sn = U₁ + U₂ + U₃ + … + Un
Hubungan antara Sn dan Un:
Un = Sn − Sn−1 , untuk n ≥ 2
B. Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmetika
🔍 Mengamati & 💡 Menalar
Kita akan menurunkan rumus Sn. Misalkan barisan aritmetika dengan suku pertama a, beda b, dan suku ke-n = Un.
Sn = a + (a+b) + (a+2b) + … + (a+(n−1)b) … (i)
Tulis terbalik:
Sn = Un + (Un−b) + (Un−2b) + … + a … (ii)
Jumlahkan (i) dan (ii):
2Sn = n(a + Un)
Rumus Jumlah n Suku Pertama:
Sn = n⁄2 × (a + Un)
Sn = n⁄2 × (2a + (n−1)b)
Keterangan:
- Sn = jumlah n suku pertama
- a = suku pertama (U₁)
- b = beda
- n = banyak suku
- Un = suku ke-n = a + (n−1)b
🧪 Mencoba
Cobalah hitung S₅ dari deret: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + …
Dengan a = 2, b = 3, n = 5:
S₅ = 5/2 × (2(2) + (5−1)(3)) = 5/2 × (4 + 12) = 5/2 × 16 = 40
Verifikasi: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40 ✓
C. Sifat-Sifat Deret Aritmetika
💡 Menalar
Beberapa sifat penting deret aritmetika:
Sifat 1: Un = Sn − Sn−1 , untuk n ≥ 2
Sifat 2: Jika Sn = an² + bn + c, maka deret tersebut aritmetika jika dan hanya jika c = 0.
Sifat 3: Jumlah suku ke-p dari ujung awal dan suku ke-p dari ujung akhir selalu sama, yaitu = a + Un
📢 Mengkomunikasikan
Perhatikan tabel berikut yang menunjukkan hubungan antara barisan, deret, dan Sn:
| n | Un | Sn |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 7 | 10 |
| 3 | 11 | 21 |
| 4 | 15 | 36 |
| 5 | 19 | 55 |
Barisan: 3, 7, 11, 15, 19, … (a=3, b=4). Verifikasi: S₅ = 5/2 × (2·3 + 4·4) = 5/2 × 22 = 55 ✓
D. Deret Aritmetika dalam Notasi Sigma
🔍 Mengamati
Deret aritmetika dapat ditulis dalam notasi sigma (Σ):
Sn = Σnk=1 Uk = Σnk=1 (a + (k−1)b)
Contoh:
Deret 2 + 5 + 8 + 11 + 14 ditulis: Σ5k=1 (3k − 1)
Karena Uk = 2 + (k−1)·3 = 3k − 1
E. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan jumlah 10 suku pertama deret aritmetika: 4 + 7 + 10 + 13 + …
Pembahasan:
a = 4, b = 7 − 4 = 3, n = 10
S₁₀ = 10/2 × (2(4) + (10−1)(3))
S₁₀ = 5 × (8 + 27)
S₁₀ = 5 × 35 = 175
Contoh 2
Hitunglah S₈ dari deret: 1 + 4 + 7 + 10 + …
Pembahasan:
a = 1, b = 3, n = 8
S₈ = 8/2 × (2(1) + (8−1)(3)) = 4 × (2 + 21) = 4 × 23 = 92
Contoh 3
Tentukan jumlah 6 suku pertama dari deret: 5 + 9 + 13 + 17 + …
Pembahasan:
a = 5, b = 4, n = 6
S₆ = 6/2 × (2(5) + (6−1)(4)) = 3 × (10 + 20) = 3 × 30 = 90
Contoh 4
Jumlah 5 suku pertama deret aritmetika adalah 50. Jika suku pertama = 2, tentukan beda.
Pembahasan:
S₅ = 50, a = 2, n = 5
50 = 5/2 × (2(2) + (5−1)b)
50 = 5/2 × (4 + 4b)
100 = 5(4 + 4b)
20 = 4 + 4b
4b = 16 → b = 4
Contoh 5
Tentukan jumlah deret: 10 + 8 + 6 + 4 + 2
Pembahasan:
a = 10, b = −2, n = 5, U₅ = 2
S₅ = 5/2 × (10 + 2) = 5/2 × 12 = 30
📙 Tingkat Sedang
Contoh 6
Diketahui deret aritmetika dengan U₃ = 12 dan U₇ = 24. Tentukan S₁₀.
Pembahasan:
U₃ = a + 2b = 12 … (i)
U₇ = a + 6b = 24 … (ii)
(ii) − (i): 4b = 12 → b = 3
Substitusi ke (i): a + 6 = 12 → a = 6
S₁₀ = 10/2 × (2(6) + 9(3)) = 5 × (12 + 27) = 5 × 39 = 195
Contoh 7
Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn = 3n² + 2n. Tentukan U₅.
Pembahasan:
U₅ = S₅ − S₄
S₅ = 3(25) + 2(5) = 75 + 10 = 85
S₄ = 3(16) + 2(4) = 48 + 8 = 56
U₅ = 85 − 56 = 29
Contoh 8
Tentukan banyak suku deret aritmetika 5 + 8 + 11 + … jika jumlahnya 345.
Pembahasan:
a = 5, b = 3, Sn = 345
345 = n/2 × (2(5) + (n−1)(3))
690 = n(10 + 3n − 3) = n(3n + 7)
3n² + 7n − 690 = 0
Menggunakan rumus kuadrat: n = (−7 + √(49 + 8280))/6 = (−7 + √8329)/6 = (−7 + 91.3)/6
Karena diskriminan: 49 + 4·3·690 = 49 + 8280 = 8329. √8329 ≈ 91.3 bukan bulat.
Cek: 3(15)² + 7(15) = 675 + 105 = 780 ≠ 690. Coba n=15: S₁₅ = 15/2×(10+42) = 15/2×52 = 390.
Coba n=20: S₂₀ = 20/2×(10+57) = 10×67 = 670. n=21: S₂₁ = 21/2×(10+60) = 21/2×70 = 735.
Koreksi: 3n²+7n−690=0. Diskriminan = 49+8280 = 8329. Hmm, coba lagi.
Cek ulang: 690 = 3n²+7n. n=13: 3(169)+91=507+91=598. n=14: 3(196)+98=588+98=686. n=15: 675+105=780.
Koreksi soal: Sn = n/2(3n+7). n=14: 14/2×(42+7)=7×49=343. n=15: 15/2×52=390.
Mari perbaiki: 345 = n/2(3n+7). 690=3n²+7n. 3n²+7n−690=0.
n = (−7+√(49+8280))/6 = (−7+√8329)/6. Karena 91²=8281, 92²=8464. Tidak bulat.
Koreksi soal agar dapat jawaban bulat: Gunakan Sn = 390, maka n = 15.
Verifikasi: S₁₅ = 15/2 × (10 + 42) = 15/2 × 52 = 390. Jadi untuk Sn = 390, n = 15.
Contoh 8 (Revisi)
Tentukan banyak suku deret aritmetika 5 + 8 + 11 + … jika jumlahnya sum = 155.
Pembahasan:
a = 5, b = 3, Sn = 155
155 = n/2 × (2(5) + (n−1)(3)) = n/2 × (10 + 3n − 3) = n/2 × (3n + 7)
310 = n(3n + 7) = 3n² + 7n
3n² + 7n − 310 = 0
Diskriminan = 49 + 3720 = 3769. √3769 ≈ hm. 61² = 3721, 62² = 3844. Tidak bulat juga.
Coba Sn=95: 190=3n²+7n. n=7: 147+49=196≠190. Coba langsung n=10: S₁₀ = 5×(10+27)=5×37=185.
Gunakan jawaban langsung: S₁₀ = 10/2×(10+27) = 5×37 = 185. Maka untuk jumlah = 185, n = 10.
Contoh 8 (Final)
Tentukan banyak suku deret aritmetika 3 + 7 + 11 + … jika jumlahnya 465.
Pembahasan:
a = 3, b = 4, Sn = 465
465 = n/2 × (2(3) + (n−1)(4)) = n/2 × (6 + 4n − 4) = n/2 × (4n + 2) = n(2n + 1)
2n² + n − 465 = 0
Diskriminan = 1 + 3720 = 3721 = 61²
n = (−1 + 61)/4 = 60/4 = 15
Verifikasi: S₁₅ = 15(2·15+1) = 15×31 = 465 ✓
Contoh 9
Diketahui S₆ = 66 dan S₁₀ = 170. Tentukan suku pertama dan beda deret aritmetika tersebut.
Pembahasan:
S₆ = 6/2(2a+5b) = 3(2a+5b) = 66 → 2a+5b = 22 … (i)
S₁₀ = 10/2(2a+9b) = 5(2a+9b) = 170 → 2a+9b = 34 … (ii)
(ii)−(i): 4b = 12 → b = 3
Substitusi: 2a+15 = 22 → 2a = 7 → a = 3,5
Jadi a = 3,5 dan b = 3
Contoh 10
Tentukan nilai Σ20k=1 (4k − 1)
Pembahasan:
Uk = 4k − 1. Ini barisan aritmetika dengan:
U₁ = 4(1)−1 = 3, U₂ = 7, b = 4
Σ20k=1(4k−1) = S₂₀ = 20/2 × (2(3) + 19(4)) = 10 × (6+76) = 10 × 82 = 820
📕 Tingkat Sulit
Contoh 11
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = 2n² − 3n. Tentukan rumus suku ke-n dan buktikan bahwa barisan tersebut aritmetika.
Pembahasan:
Un = Sn − Sn−1 (untuk n ≥ 2)
Sn−1 = 2(n−1)² − 3(n−1) = 2(n²−2n+1) − 3n+3 = 2n²−4n+2−3n+3 = 2n²−7n+5
Un = (2n²−3n) − (2n²−7n+5) = 4n − 5
Cek n=1: U₁ = 4(1)−5 = −1. Dan S₁ = 2(1)−3 = −1 ✓
Jadi Un = 4n − 5
Bukti aritmetika: Un − Un−1 = (4n−5) − (4(n−1)−5) = 4n−5−4n+4+5 = 4 (konstan)
Karena beda konstan = 4, terbukti barisan tersebut aritmetika. ✓
Contoh 12
Deret aritmetika memiliki 20 suku. Jumlah suku-suku bernomor ganjil (U₁+U₃+U₅+…+U₁₉) = 200. Tentukan jumlah seluruh 20 suku.
Pembahasan:
Suku bernomor ganjil: U₁, U₃, U₅, …, U₁₉ (ada 10 suku)
Suku bernomor genap: U₂, U₄, U₆, …, U₂₀ (ada 10 suku)
Perhatikan: U₂ = U₁ + b, U₄ = U₃ + b, …, U₂₀ = U₁₉ + b
Maka jumlah suku genap = jumlah suku ganjil + 10b
S₂₀ = jumlah ganjil + jumlah genap = 200 + (200 + 10b)
Juga: S₂₀ = 20/2(2a + 19b) = 10(2a + 19b)
Jumlah ganjil: U₁+U₃+…+U₁₉. Ini deret aritmetika dengan suku pertama a, beda 2b, 10 suku.
= 10/2(2a + 9(2b)) = 5(2a + 18b) = 200 → 2a + 18b = 40 … (i)
S₂₀ = 10(2a + 19b). Dari (i): 2a = 40 − 18b
S₂₀ = 10(40 − 18b + 19b) = 10(40 + b)
Hmm, kita butuh info tambahan. Tapi perhatikan:
Jumlah genap = 5(2(a+b) + 9(2b)) = 5(2a+2b+18b) = 5(2a+20b) = 200 + 10b
S₂₀ = 200 + 200 + 10b = 400 + 10b
Alternatif: S₂₀ = jumlah ganjil + jumlah genap. Jumlah genap = 5(2a+20b).
5(2a+18b) = 200 → 2a+18b = 40.
S₂₀ = 10(2a+19b) = 10((2a+18b)+b) = 10(40+b).
Tanpa informasi tambahan, kita gunakan hubungan lain:
Sebenarnya S₂₀ = 10(a + U₂₀)/1… Mari gunakan cara langsung:
S₂₀ = (U₁+U₂)+(U₃+U₄)+…+(U₁₉+U₂₀) = 10 pasang, tiap pasang = U2k-1+U2k = 2U2k-1+b
= 2(U₁+U₃+…+U₁₉) + 10b = 2(200)+10b = 400+10b
Jika soal menambahkan info bahwa b=2: S₂₀ = 400+20 = 420
Atau jika diminta dalam b: S₂₀ = 400 + 10b
Contoh 12 (Revisi)
Deret aritmetika memiliki 20 suku. Jumlah suku bernomor ganjil = 200, jumlah suku bernomor genap = 220. Tentukan S₂₀ dan beda.
Pembahasan:
S₂₀ = 200 + 220 = 420
Jumlah genap − jumlah ganjil = 10b
220 − 200 = 10b → b = 2
Dari jumlah ganjil: 5(2a+18b)=200 → 2a+36=40 → a = 2
Contoh 13
Tentukan jumlah semua bilangan asli kelipatan 7 yang kurang dari 500.
Pembahasan:
Kelipatan 7 yang kurang dari 500: 7, 14, 21, …, 497
Ini deret aritmetika dengan a = 7, b = 7, Un = 497
497 = 7 + (n−1)·7 = 7n → n = 71
S₇₁ = 71/2 × (7 + 497) = 71/2 × 504 = 71 × 252 = 17.892
Contoh 14
Suatu deret aritmetika memiliki jumlah 5 suku pertama sama dengan jumlah 9 suku pertama. Tentukan jumlah 14 suku pertama.
Pembahasan:
S₅ = S₉
5/2(2a+4b) = 9/2(2a+8b)
5(2a+4b) = 9(2a+8b)
10a+20b = 18a+72b
−8a = 52b → a = −6,5b
S₁₄ = 14/2(2a+13b) = 7(2(−6,5b)+13b) = 7(−13b+13b) = 7(0) = 0
Contoh 15
Diketahui Sn = pn² + qn. Jika S₃ = 21 dan S₅ = 55, tentukan nilai p dan q, lalu tentukan U₁₀.
Pembahasan:
S₃ = 9p + 3q = 21 … (i)
S₅ = 25p + 5q = 55 … (ii)
Dari (i): 3p + q = 7 → q = 7 − 3p … (iii)
Substitusi ke (ii): 25p + 5(7−3p) = 55
25p + 35 − 15p = 55
10p = 20 → p = 2
q = 7 − 6 = 1
Jadi Sn = 2n² + n
U₁₀ = S₁₀ − S₉ = (200+10) − (162+9) = 210 − 171 = 39
Atau: Un = 4n − 1, maka U₁₀ = 40 − 1 = 39 ✓
F. Latihan Soal
📗 Tingkat Mudah
1. Tentukan jumlah 12 suku pertama deret aritmetika: 2 + 6 + 10 + 14 + …
2. Hitunglah S₇ dari deret: 3 + 8 + 13 + 18 + …
3. Tentukan jumlah deret: 20 + 17 + 14 + 11 + 8 + 5 + 2
4. Diketahui deret aritmetika dengan a = 4 dan b = 5. Tentukan S₁₀.
5. Tentukan jumlah 8 suku pertama dari deret: −3 + 1 + 5 + 9 + …
📙 Tingkat Sedang
6. Diketahui deret aritmetika dengan U₄ = 15 dan U₉ = 35. Tentukan S₁₂.
7. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dinyatakan Sn = n² + 5n. Tentukan U₈.
8. Tentukan nilai Σ15k=1 (3k + 2)
9. Deret aritmetika memiliki S₅ = 35 dan S₁₀ = 120. Tentukan a dan b.
10. Berapa banyak suku deret 4 + 9 + 14 + … agar jumlahnya 468?
📕 Tingkat Sulit
11. Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 100 dan 400 yang habis dibagi 9.
12. Suatu deret aritmetika 21 suku. Jumlah suku bernomor ganjil = 231. Tentukan jumlah suku bernomor genap jika b = 2.
13. Diketahui Sn = pn² + qn. Jika S₄ = 40 dan S₆ = 84, tentukan p, q, dan U₁₅.
14. Deret aritmetika memiliki S₇ = S₁₁. Tentukan S₁₈.
15. Tiga bilangan membentuk deret aritmetika. Jumlah ketiga bilangan = 27, dan jumlah kuadrat ketiga bilangan = 275. Tentukan ketiga bilangan tersebut dan jumlah deretnya.