Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Deret Aritmetika
A. Pengertian Deret Aritmetika
π Mengamati
Perhatikan barisan aritmetika berikut:
2, 5, 8, 11, 14, …
Jika kita menjumlahkan suku-suku barisan tersebut secara berurutan, kita memperoleh:
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + …
Penjumlahan berurutan suku-suku barisan aritmetika inilah yang disebut Deret Aritmetika.
β Menanya
Apa perbedaan antara barisan aritmetika dan deret aritmetika?
- Barisan Aritmetika: urutan bilangan yang memiliki beda tetap. Contoh: 3, 7, 11, 15, …
- Deret Aritmetika: jumlah (penjumlahan) suku-suku barisan aritmetika. Contoh: 3 + 7 + 11 + 15 + …
Definisi:
Deret aritmetika adalah jumlah berurutan suku-suku dari suatu barisan aritmetika.
Jika barisan aritmetika: Uβ, Uβ, Uβ, …, Uβ
Maka deret aritmetika: Sn = Uβ + Uβ + Uβ + … + Uβ
π‘ Menalar
Notasi Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmetika.
- Sβ = Uβ
- Sβ = Uβ + Uβ
- Sβ = Uβ + Uβ + Uβ
- Sn = Uβ + Uβ + Uβ + … + Un
Hubungan antara Sn dan Un:
Un = Sn β Snβ1 , untuk n β₯ 2
B. Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmetika
π Mengamati & π‘ Menalar
Kita akan menurunkan rumus Sn. Misalkan barisan aritmetika dengan suku pertama a, beda b, dan suku ke-n = Un.
Sn = a + (a+b) + (a+2b) + … + (a+(nβ1)b) … (i)
Tulis terbalik:
Sn = Un + (Unβb) + (Unβ2b) + … + a … (ii)
Jumlahkan (i) dan (ii):
2Sn = n(a + Un)
Rumus Jumlah n Suku Pertama:
Sn = nβ2 Γ (a + Un)
Sn = nβ2 Γ (2a + (nβ1)b)
Keterangan:
- Sn = jumlah n suku pertama
- a = suku pertama (Uβ)
- b = beda
- n = banyak suku
- Un = suku ke-n = a + (nβ1)b
π§ͺ Mencoba
Cobalah hitung Sβ dari deret: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + …
Dengan a = 2, b = 3, n = 5:
Sβ = 5/2 Γ (2(2) + (5β1)(3)) = 5/2 Γ (4 + 12) = 5/2 Γ 16 = 40
Verifikasi: 2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40 β
C. Sifat-Sifat Deret Aritmetika
π‘ Menalar
Beberapa sifat penting deret aritmetika:
Sifat 1: Un = Sn β Snβ1 , untuk n β₯ 2
Sifat 2: Jika Sn = anΒ² + bn + c, maka deret tersebut aritmetika jika dan hanya jika c = 0.
Sifat 3: Jumlah suku ke-p dari ujung awal dan suku ke-p dari ujung akhir selalu sama, yaitu = a + Un
π’ Mengkomunikasikan
Perhatikan tabel berikut yang menunjukkan hubungan antara barisan, deret, dan Sn:
| n | Un | Sn |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 3 |
| 2 | 7 | 10 |
| 3 | 11 | 21 |
| 4 | 15 | 36 |
| 5 | 19 | 55 |
Barisan: 3, 7, 11, 15, 19, … (a=3, b=4). Verifikasi: Sβ = 5/2 Γ (2Β·3 + 4Β·4) = 5/2 Γ 22 = 55 β
D. Deret Aritmetika dalam Notasi Sigma
π Mengamati
Deret aritmetika dapat ditulis dalam notasi sigma (Ξ£):
Sn = Ξ£nk=1 Uk = Ξ£nk=1 (a + (kβ1)b)
Contoh:
Deret 2 + 5 + 8 + 11 + 14 ditulis: Ξ£5k=1 (3k β 1)
Karena Uk = 2 + (kβ1)Β·3 = 3k β 1
E. Contoh Soal dan Pembahasan
π Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan jumlah 10 suku pertama deret aritmetika: 4 + 7 + 10 + 13 + …
Pembahasan:
a = 4, b = 7 β 4 = 3, n = 10
Sββ = 10/2 Γ (2(4) + (10β1)(3))
Sββ = 5 Γ (8 + 27)
Sββ = 5 Γ 35 = 175
Contoh 2
Hitunglah Sβ dari deret: 1 + 4 + 7 + 10 + …
Pembahasan:
a = 1, b = 3, n = 8
Sβ = 8/2 Γ (2(1) + (8β1)(3)) = 4 Γ (2 + 21) = 4 Γ 23 = 92
Contoh 3
Tentukan jumlah 6 suku pertama dari deret: 5 + 9 + 13 + 17 + …
Pembahasan:
a = 5, b = 4, n = 6
Sβ = 6/2 Γ (2(5) + (6β1)(4)) = 3 Γ (10 + 20) = 3 Γ 30 = 90
Contoh 4
Jumlah 5 suku pertama deret aritmetika adalah 50. Jika suku pertama = 2, tentukan beda.
Pembahasan:
Sβ = 50, a = 2, n = 5
50 = 5/2 Γ (2(2) + (5β1)b)
50 = 5/2 Γ (4 + 4b)
100 = 5(4 + 4b)
20 = 4 + 4b
4b = 16 β b = 4
Contoh 5
Tentukan jumlah deret: 10 + 8 + 6 + 4 + 2
Pembahasan:
a = 10, b = β2, n = 5, Uβ = 2
Sβ = 5/2 Γ (10 + 2) = 5/2 Γ 12 = 30
π Tingkat Sedang
Contoh 6
Diketahui deret aritmetika dengan Uβ = 12 dan Uβ = 24. Tentukan Sββ.
Pembahasan:
Uβ = a + 2b = 12 … (i)
Uβ = a + 6b = 24 … (ii)
(ii) β (i): 4b = 12 β b = 3
Substitusi ke (i): a + 6 = 12 β a = 6
Sββ = 10/2 Γ (2(6) + 9(3)) = 5 Γ (12 + 27) = 5 Γ 39 = 195
Contoh 7
Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn = 3nΒ² + 2n. Tentukan Uβ .
Pembahasan:
Uβ = Sβ β Sβ
Sβ = 3(25) + 2(5) = 75 + 10 = 85
Sβ = 3(16) + 2(4) = 48 + 8 = 56
Uβ = 85 β 56 = 29
Contoh 8
Tentukan banyak suku deret aritmetika 5 + 8 + 11 + … jika jumlahnya 345.
Pembahasan:
a = 5, b = 3, Sn = 345
345 = n/2 Γ (2(5) + (nβ1)(3))
690 = n(10 + 3n β 3) = n(3n + 7)
3nΒ² + 7n β 690 = 0
Menggunakan rumus kuadrat: n = (β7 + β(49 + 8280))/6 = (β7 + β8329)/6 = (β7 + 91.3)/6
Karena diskriminan: 49 + 4Β·3Β·690 = 49 + 8280 = 8329. β8329 β 91.3 bukan bulat.
Cek: 3(15)Β² + 7(15) = 675 + 105 = 780 β 690. Coba n=15: Sββ = 15/2Γ(10+42) = 15/2Γ52 = 390.
Coba n=20: Sββ = 20/2Γ(10+57) = 10Γ67 = 670. n=21: Sββ = 21/2Γ(10+60) = 21/2Γ70 = 735.
Koreksi: 3nΒ²+7nβ690=0. Diskriminan = 49+8280 = 8329. Hmm, coba lagi.
Cek ulang: 690 = 3nΒ²+7n. n=13: 3(169)+91=507+91=598. n=14: 3(196)+98=588+98=686. n=15: 675+105=780.
Koreksi soal: Sn = n/2(3n+7). n=14: 14/2Γ(42+7)=7Γ49=343. n=15: 15/2Γ52=390.
Mari perbaiki: 345 = n/2(3n+7). 690=3nΒ²+7n. 3nΒ²+7nβ690=0.
n = (β7+β(49+8280))/6 = (β7+β8329)/6. Karena 91Β²=8281, 92Β²=8464. Tidak bulat.
Koreksi soal agar dapat jawaban bulat: Gunakan Sn = 390, maka n = 15.
Verifikasi: Sββ = 15/2 Γ (10 + 42) = 15/2 Γ 52 = 390. Jadi untuk Sn = 390, n = 15.
Contoh 8 (Revisi)
Tentukan banyak suku deret aritmetika 5 + 8 + 11 + … jika jumlahnya sum = 155.
Pembahasan:
a = 5, b = 3, Sn = 155
155 = n/2 Γ (2(5) + (nβ1)(3)) = n/2 Γ (10 + 3n β 3) = n/2 Γ (3n + 7)
310 = n(3n + 7) = 3nΒ² + 7n
3nΒ² + 7n β 310 = 0
Diskriminan = 49 + 3720 = 3769. β3769 β hm. 61Β² = 3721, 62Β² = 3844. Tidak bulat juga.
Coba Sn=95: 190=3nΒ²+7n. n=7: 147+49=196β 190. Coba langsung n=10: Sββ = 5Γ(10+27)=5Γ37=185.
Gunakan jawaban langsung: Sββ = 10/2Γ(10+27) = 5Γ37 = 185. Maka untuk jumlah = 185, n = 10.
Contoh 8 (Final)
Tentukan banyak suku deret aritmetika 3 + 7 + 11 + … jika jumlahnya 465.
Pembahasan:
a = 3, b = 4, Sn = 465
465 = n/2 Γ (2(3) + (nβ1)(4)) = n/2 Γ (6 + 4n β 4) = n/2 Γ (4n + 2) = n(2n + 1)
2nΒ² + n β 465 = 0
Diskriminan = 1 + 3720 = 3721 = 61Β²
n = (β1 + 61)/4 = 60/4 = 15
Verifikasi: Sββ = 15(2Β·15+1) = 15Γ31 = 465 β
Contoh 9
Diketahui Sβ = 66 dan Sββ = 170. Tentukan suku pertama dan beda deret aritmetika tersebut.
Pembahasan:
Sβ = 6/2(2a+5b) = 3(2a+5b) = 66 β 2a+5b = 22 … (i)
Sββ = 10/2(2a+9b) = 5(2a+9b) = 170 β 2a+9b = 34 … (ii)
(ii)β(i): 4b = 12 β b = 3
Substitusi: 2a+15 = 22 β 2a = 7 β a = 3,5
Jadi a = 3,5 dan b = 3
Contoh 10
Tentukan nilai Ξ£20k=1 (4k β 1)
Pembahasan:
Uk = 4k β 1. Ini barisan aritmetika dengan:
Uβ = 4(1)β1 = 3, Uβ = 7, b = 4
Ξ£20k=1(4kβ1) = Sββ = 20/2 Γ (2(3) + 19(4)) = 10 Γ (6+76) = 10 Γ 82 = 820
π Tingkat Sulit
Contoh 11
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah Sn = 2nΒ² β 3n. Tentukan rumus suku ke-n dan buktikan bahwa barisan tersebut aritmetika.
Pembahasan:
Un = Sn β Snβ1 (untuk n β₯ 2)
Snβ1 = 2(nβ1)Β² β 3(nβ1) = 2(nΒ²β2n+1) β 3n+3 = 2nΒ²β4n+2β3n+3 = 2nΒ²β7n+5
Un = (2nΒ²β3n) β (2nΒ²β7n+5) = 4n β 5
Cek n=1: Uβ = 4(1)β5 = β1. Dan Sβ = 2(1)β3 = β1 β
Jadi Un = 4n β 5
Bukti aritmetika: Un β Unβ1 = (4nβ5) β (4(nβ1)β5) = 4nβ5β4n+4+5 = 4 (konstan)
Karena beda konstan = 4, terbukti barisan tersebut aritmetika. β
Contoh 12
Deret aritmetika memiliki 20 suku. Jumlah suku-suku bernomor ganjil (Uβ+Uβ+Uβ +…+Uββ) = 200. Tentukan jumlah seluruh 20 suku.
Pembahasan:
Suku bernomor ganjil: Uβ, Uβ, Uβ , …, Uββ (ada 10 suku)
Suku bernomor genap: Uβ, Uβ, Uβ, …, Uββ (ada 10 suku)
Perhatikan: Uβ = Uβ + b, Uβ = Uβ + b, …, Uββ = Uββ + b
Maka jumlah suku genap = jumlah suku ganjil + 10b
Sββ = jumlah ganjil + jumlah genap = 200 + (200 + 10b)
Juga: Sββ = 20/2(2a + 19b) = 10(2a + 19b)
Jumlah ganjil: Uβ+Uβ+…+Uββ. Ini deret aritmetika dengan suku pertama a, beda 2b, 10 suku.
= 10/2(2a + 9(2b)) = 5(2a + 18b) = 200 β 2a + 18b = 40 … (i)
Sββ = 10(2a + 19b). Dari (i): 2a = 40 β 18b
Sββ = 10(40 β 18b + 19b) = 10(40 + b)
Hmm, kita butuh info tambahan. Tapi perhatikan:
Jumlah genap = 5(2(a+b) + 9(2b)) = 5(2a+2b+18b) = 5(2a+20b) = 200 + 10b
Sββ = 200 + 200 + 10b = 400 + 10b
Alternatif: Sββ = jumlah ganjil + jumlah genap. Jumlah genap = 5(2a+20b).
5(2a+18b) = 200 β 2a+18b = 40.
Sββ = 10(2a+19b) = 10((2a+18b)+b) = 10(40+b).
Tanpa informasi tambahan, kita gunakan hubungan lain:
Sebenarnya Sββ = 10(a + Uββ)/1… Mari gunakan cara langsung:
Sββ = (Uβ+Uβ)+(Uβ+Uβ)+…+(Uββ+Uββ) = 10 pasang, tiap pasang = U2k-1+U2k = 2U2k-1+b
= 2(Uβ+Uβ+…+Uββ) + 10b = 2(200)+10b = 400+10b
Jika soal menambahkan info bahwa b=2: Sββ = 400+20 = 420
Atau jika diminta dalam b: Sββ = 400 + 10b
Contoh 12 (Revisi)
Deret aritmetika memiliki 20 suku. Jumlah suku bernomor ganjil = 200, jumlah suku bernomor genap = 220. Tentukan Sββ dan beda.
Pembahasan:
Sββ = 200 + 220 = 420
Jumlah genap β jumlah ganjil = 10b
220 β 200 = 10b β b = 2
Dari jumlah ganjil: 5(2a+18b)=200 β 2a+36=40 β a = 2
Contoh 13
Tentukan jumlah semua bilangan asli kelipatan 7 yang kurang dari 500.
Pembahasan:
Kelipatan 7 yang kurang dari 500: 7, 14, 21, …, 497
Ini deret aritmetika dengan a = 7, b = 7, Un = 497
497 = 7 + (nβ1)Β·7 = 7n β n = 71
Sββ = 71/2 Γ (7 + 497) = 71/2 Γ 504 = 71 Γ 252 = 17.892
Contoh 14
Suatu deret aritmetika memiliki jumlah 5 suku pertama sama dengan jumlah 9 suku pertama. Tentukan jumlah 14 suku pertama.
Pembahasan:
Sβ = Sβ
5/2(2a+4b) = 9/2(2a+8b)
5(2a+4b) = 9(2a+8b)
10a+20b = 18a+72b
β8a = 52b β a = β6,5b
Sββ = 14/2(2a+13b) = 7(2(β6,5b)+13b) = 7(β13b+13b) = 7(0) = 0
Contoh 15
Diketahui Sn = pnΒ² + qn. Jika Sβ = 21 dan Sβ = 55, tentukan nilai p dan q, lalu tentukan Uββ.
Pembahasan:
Sβ = 9p + 3q = 21 … (i)
Sβ = 25p + 5q = 55 … (ii)
Dari (i): 3p + q = 7 β q = 7 β 3p … (iii)
Substitusi ke (ii): 25p + 5(7β3p) = 55
25p + 35 β 15p = 55
10p = 20 β p = 2
q = 7 β 6 = 1
Jadi Sn = 2nΒ² + n
Uββ = Sββ β Sβ = (200+10) β (162+9) = 210 β 171 = 39
Atau: Un = 4n β 1, maka Uββ = 40 β 1 = 39 β
F. Latihan Soal
π Tingkat Mudah
1. Tentukan jumlah 12 suku pertama deret aritmetika: 2 + 6 + 10 + 14 + …
2. Hitunglah Sβ dari deret: 3 + 8 + 13 + 18 + …
3. Tentukan jumlah deret: 20 + 17 + 14 + 11 + 8 + 5 + 2
4. Diketahui deret aritmetika dengan a = 4 dan b = 5. Tentukan Sββ.
5. Tentukan jumlah 8 suku pertama dari deret: β3 + 1 + 5 + 9 + …
π Tingkat Sedang
6. Diketahui deret aritmetika dengan Uβ = 15 dan Uβ = 35. Tentukan Sββ.
7. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dinyatakan Sn = nΒ² + 5n. Tentukan Uβ.
8. Tentukan nilai Ξ£15k=1 (3k + 2)
9. Deret aritmetika memiliki Sβ = 35 dan Sββ = 120. Tentukan a dan b.
10. Berapa banyak suku deret 4 + 9 + 14 + … agar jumlahnya 468?
π Tingkat Sulit
11. Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 100 dan 400 yang habis dibagi 9.
12. Suatu deret aritmetika 21 suku. Jumlah suku bernomor ganjil = 231. Tentukan jumlah suku bernomor genap jika b = 2.
13. Diketahui Sn = pnΒ² + qn. Jika Sβ = 40 dan Sβ = 84, tentukan p, q, dan Uββ .
14. Deret aritmetika memiliki Sβ = Sββ. Tentukan Sββ.
15. Tiga bilangan membentuk deret aritmetika. Jumlah ketiga bilangan = 27, dan jumlah kuadrat ketiga bilangan = 275. Tentukan ketiga bilangan tersebut dan jumlah deretnya.