Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Bentuk Desimal Berulang dari Bilangan Rasional
Pada Barisan dan Deret
A. Pendahuluan
Setiap bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk desimal. Hasil pembagian bilangan rasional pq (dengan q ≠ 0) selalu menghasilkan desimal yang berhingga (terminasi) atau berulang (repetisi).
Fokus pembahasan kita adalah bentuk desimal berulang, yaitu desimal yang memiliki satu atau beberapa digit yang berulang secara periodik tanpa henti.
Notasi Desimal Berulang:
• 0,333… ditulis 0,3
• 0,142857142857… ditulis 0,142857
• 1,2666… ditulis 1,26
Garis di atas digit menunjukkan bagian yang berulang (periode).
Kegiatan: Mengamati
Amatilah hasil pembagian berikut menggunakan kalkulator atau pembagian bersusun:
| Pecahan | Hasil Desimal | Jenis | Periode |
|---|---|---|---|
| 14 | 0,25 | Terminasi | – |
| 13 | 0,3 | Berulang | 1 digit |
| 16 | 0,16 | Berulang | 1 digit |
| 17 | 0,142857 | Berulang | 6 digit |
| 111 | 0,09 | Berulang | 2 digit |
Perhatikan bahwa panjang periode desimal berulang dari 1q paling banyak (q−1) digit.
B. Mengubah Desimal Berulang Menjadi Pecahan
Kegiatan: Menanya
Bagaimana cara kita mengubah desimal berulang seperti 0,3 atau 0,16 kembali menjadi bentuk pecahan? Apakah desimal berulang selalu merupakan bilangan rasional?
Metode 1: Menggunakan Deret Geometri Tak Hingga
Desimal berulang dapat dipandang sebagai jumlah deret geometri tak hingga. Ingat bahwa jumlah deret geometri tak hingga dengan |r| < 1 adalah:
S∞ = a1 − r
dengan a = suku pertama dan r = rasio (|r| < 1)
Contoh penerapan:
0,3 = 0,333…
= 0,3 + 0,03 + 0,003 + …
= 310 + 3100 + 31000 + …
Ini adalah deret geometri dengan a = 310 dan r = 110
S∞ = 3/101 − 1/10 = 3/109/10 = 39 = 13
Kegiatan: Menalar
Dari metode deret geometri di atas, kita dapat menyimpulkan rumus umum:
Desimal murni berulang 0,abc…n (n digit berulang):
= bagian berulang9 sebanyak n buah
Contoh: 0,27 = 2799 = 311
Metode 2: Menggunakan Aljabar (Perkalian 10n)
Metode ini memanfaatkan sifat perkalian dengan 10, 100, 1000, dst. untuk mengeliminasi bagian berulang.
Langkah-langkah:
1. Misalkan x = desimal berulang
2. Kalikan x dengan 10n (n = jumlah digit berulang)
3. Kurangkan persamaan untuk menghilangkan bagian berulang
4. Selesaikan x
Contoh: Ubah 0,6 menjadi pecahan
Misalkan x = 0,666…
10x = 6,666…
10x − x = 6,666… − 0,666…
9x = 6
x = 69 = 23
Desimal Campuran Berulang
Desimal campuran berulang memiliki bagian tidak berulang sebelum bagian berulang, misalnya 0,16 = 0,1666…
Rumus untuk desimal campuran berulang:
= seluruh angka di belakang koma − bagian tidak berulang9 sebanyak digit berulang diikuti 0 sebanyak digit tidak berulang
Contoh: 0,16
Seluruh angka di belakang koma (satu periode): 16
Bagian tidak berulang: 1
Digit berulang: 1 buah → satu angka 9
Digit tidak berulang: 1 buah → satu angka 0
= 16 − 190 = 1590 = 16
Kegiatan: Mencoba
Cobalah ubah desimal berulang berikut menjadi pecahan menggunakan kedua metode:
- 0,9
- 0,45
- 0,23
- 1,27
Petunjuk: 0,9 = 1 (menarik, bukan?)
C. Hubungan Desimal Berulang dengan Deret Geometri
Setiap desimal berulang dapat dinyatakan sebagai jumlah deret geometri tak hingga. Hal ini menunjukkan hubungan erat antara bentuk desimal berulang dengan konsep barisan dan deret.
Bentuk Umum:
Desimal 0,d₁d₂…dₙ dapat ditulis:
∑k=1∞ (d₁d₂…dₙ) × 10−nk
= (d₁d₂…dₙ) × 10−n + (d₁d₂…dₙ) × 10−2n + …
Ini deret geometri dengan:
• a = (d₁d₂…dₙ) × 10−n
• r = 10−n
Contoh dengan Notasi Sigma:
0,142857 = ∑k=1∞ 142857 × 10−6k
= 142857 × 10−6 × 11 − 10−6
= 142857999999 = 17
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman dan jelaskan:
- Mengapa setiap desimal berulang pasti merupakan bilangan rasional?
- Mengapa deret geometri dengan |r| < 1 konvergen (memiliki jumlah)?
- Bagaimana hubungan antara panjang periode desimal dan penyebut pecahan?
D. Kasus-Kasus Khusus
1. Desimal 0,9 = 1
Misalkan x = 0,999…
10x = 9,999…
10x − x = 9
9x = 9 → x = 1
Atau: 0,9 = 99 = 1 ✓
2. Menentukan Digit ke-n dari Desimal Berulang
Untuk menentukan digit ke-n setelah koma dari desimal berulang, gunakan konsep sisa pembagian.
Contoh: Tentukan digit ke-100 dari 17 = 0,142857
Periode = 6 digit
100 ÷ 6 = 16 sisa 4
Digit ke-100 = digit ke-4 dari periode = 8
3. Kapan Pecahan Menghasilkan Desimal Berulang?
Pecahan pq (dalam bentuk paling sederhana) menghasilkan:
• Desimal terminasi jika faktor prima q hanya 2 dan/atau 5
• Desimal murni berulang jika q tidak memiliki faktor 2 atau 5
• Desimal campuran berulang jika q memiliki faktor 2 atau 5 DAN faktor lain
E. Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1: Ubah 0,4 menjadi pecahan biasa.
Cara 1 (Rumus cepat):
0,4 = 49
Cara 2 (Aljabar):
x = 0,444…
10x = 4,444…
9x = 4
x = 49 ✓
Contoh 2: Ubah 0,7 menjadi pecahan biasa.
0,7 = 79
Verifikasi: 7 ÷ 9 = 0,777… ✓
Contoh 3: Ubah 0,12 menjadi pecahan biasa.
0,12 = 1299 = 433
Verifikasi dengan aljabar:
x = 0,121212…
100x = 12,121212…
99x = 12
x = 1299 = 433 ✓
Contoh 4: Nyatakan 0,5 sebagai deret geometri dan tentukan jumlahnya.
0,5 = 0,5 + 0,05 + 0,005 + …
a = 510, r = 110
S∞ = 5/101 − 1/10 = 5/109/10 = 59 ✓
Contoh 5: Ubah 2,3 menjadi pecahan biasa.
2,3 = 2 + 0,3 = 2 + 39 = 2 + 13 = 73
Tingkat Sedang
Contoh 6: Ubah 0,16 menjadi pecahan biasa.
Metode aljabar:
x = 0,1666…
10x = 1,666…
100x = 16,666…
100x − 10x = 16,666… − 1,666…
90x = 15
x = 1590 = 16
Rumus cepat: 16 − 190 = 1590 = 16 ✓
Contoh 7: Ubah 0,123 menjadi pecahan biasa.
x = 0,123123123…
1000x = 123,123123…
999x = 123
x = 123999 = 41333
Contoh 8: Nyatakan 0,245 sebagai pecahan.
x = 0,24545…
10x = 2,4545…
1000x = 245,4545…
1000x − 10x = 245,4545… − 2,4545…
990x = 243
x = 243990 = 27110
Rumus cepat: 245 − 2990 = 243990 = 27110 ✓
Contoh 9: Tentukan digit ke-50 setelah koma dari 511.
511 = 0,45
Periode = 2 digit (4, 5)
50 ÷ 2 = 25 sisa 0
Sisa 0 berarti digit terakhir dalam periode
Digit ke-50 = digit ke-2 dari periode = 5
Contoh 10: Nyatakan 0,27 sebagai deret geometri dan hitung jumlahnya dengan notasi sigma.
0,27 = 0,27 + 0,0027 + 0,000027 + …
= ∑k=1∞ 27 × 10−2k
= ∑k=1∞ 27100k
a = 27100, r = 1100
S∞ = 27/10099/100 = 2799 = 311 ✓
Tingkat Sulit
Contoh 11: Ubah 3,14285714 menjadi pecahan biasa.
x = 3,14285714285714…
Bagian bulat = 3, bagian desimal = 0,14285714
Untuk 0,14285714:
Digit tidak berulang: 14 (2 digit)
Digit berulang: 285714 (6 digit)
= 14285714 − 1499999900 = 1428570099999900 = 142857999999 = 17
Jadi x = 3 + 17 = 227 ✓
Contoh 12: Tentukan jumlah 50 digit pertama setelah koma dari desimal 17.
17 = 0,142857
Jumlah digit dalam satu periode: 1+4+2+8+5+7 = 27
50 ÷ 6 = 8 sisa 2
8 periode penuh: 8 × 27 = 216
2 digit sisa (1, 4): 1 + 4 = 5
Jumlah total = 216 + 5 = 221
Contoh 13: Buktikan bahwa 0,9 = 1 menggunakan deret geometri.
0,9 = 0,9 + 0,09 + 0,009 + …
= ∑k=1∞ 9 × 10−k
Deret geometri dengan a = 910, r = 110
S∞ = 9/101 − 1/10 = 9/109/10 = 1
Terbukti: 0,9 = 1 ∎
Contoh 14: Jika pq = 0,abc dan pq dalam bentuk paling sederhana, buktikan bahwa q membagi 999.
0,abc = abc999
Maka pq = abc999
Karena pq dalam bentuk paling sederhana, maka q merupakan penyederhanaan dari 999.
Artinya 999 = q × m untuk suatu bilangan bulat m (yaitu m = abcp)
Dengan kata lain, q | 999 (q membagi 999) ∎
Contoh 15: Dua bilangan rasional memiliki bentuk desimal 0,ab dan 0,ba. Jika jumlah keduanya = implyingsomething… Tentukan semua pasangan (a,b) jika 0,ab + 0,ba = 1.
0,ab = 10a + b99
0,ba = 10b + a99
Jumlah: 10a + b + 10b + a99 = 1
11a + 11b = 99
a + b = 9
Dengan a, b ∈ {1, 2, …, 9} (tidak boleh 0 agar 2 digit):
Pasangan: (1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1), dan juga (9,0) jika 0 diperbolehkan.
Jika a,b ≥ 1: ada 8 pasangan.
F. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan.
Tingkat Mudah
- Ubah 0,8 menjadi pecahan biasa.
- Ubah 0,54 menjadi pecahan biasa.
- Nyatakan 0,2 sebagai jumlah deret geometri tak hingga.
- Ubah 1,5 menjadi pecahan biasa.
- Tentukan apakah 38 menghasilkan desimal terminasi atau berulang. Jelaskan.
Tingkat Sedang
- Ubah 0,318 menjadi pecahan biasa.
- Nyatakan 0,036 dalam bentuk notasi sigma deret geometri dan tentukan nilainya.
- Tentukan digit ke-75 setelah koma dari 211.
- Ubah 2,53 menjadi pecahan biasa.
- Jika 0,x = 79, tentukan nilai x.
Tingkat Sulit
- Tentukan jumlah 100 digit pertama setelah koma dari 37.
- Buktikan bahwa untuk setiap n ∈ ℕ, 0,n (satu digit berulang) selalu dapat dinyatakan sebagai n9.
- Jika 0,ab × 0,cd = 19, tentukan semua kemungkinan pasangan (ab, cd) dengan ab dan cd dua digit.
- Tentukan pecahan paling sederhana dari 0,12345 dan nyatakan dalam deret geometri.
- Diketahui barisan desimal berulang: 0,1, 0,12, 0,123, 0,1234, … Tentukan jumlah 4 suku pertama barisan tersebut dalam bentuk pecahan.