Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Barisan Geometri
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
📘 Materi: Barisan Geometri
1. Pengertian Barisan Geometri
Barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang memiliki rasio (perbandingan) tetap antara dua suku yang berurutan. Rasio tetap ini disebut rasio (r).
Secara matematis, barisan geometri dapat ditulis sebagai:
Bentuk Umum Barisan Geometri:
U1, U2, U3, U4, …, Un
atau
a, ar, ar2, ar3, …, arn−1
dengan:
- a = suku pertama (U1)
- r = rasio (perbandingan tetap)
- n = banyak suku
Rasio diperoleh dengan membagi suatu suku dengan suku sebelumnya:
r = UnUn−1 = U2U1 = U3U2 = …
Contoh barisan geometri:
- 2, 6, 18, 54, … (r = 3)
- 100, 50, 25, 12,5, … (r = 0,5)
- 3, −6, 12, −24, … (r = −2)
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan barisan bilangan berikut:
- Barisan A: 5, 10, 20, 40, 80, …
- Barisan B: 1, 3, 9, 27, 81, …
- Barisan C: 64, 32, 16, 8, 4, …
Amatilah pola dari ketiga barisan di atas. Apa kesamaan yang dimiliki ketiga barisan tersebut?
Petunjuk: Coba bagi setiap suku dengan suku sebelumnya.
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati, tanyakan pada diri sendiri:
- Mengapa hasil bagi setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama?
- Bagaimana cara menentukan suku ke-n dari barisan geometri?
- Apa perbedaan barisan geometri dengan barisan aritmetika?
- Apakah rasio bisa bernilai negatif? Apa dampaknya?
2. Rumus Suku ke-n Barisan Geometri
Untuk menentukan suku ke-n dari barisan geometri, kita gunakan rumus:
Un = a · rn−1
dengan:
- Un = suku ke-n
- a = suku pertama
- r = rasio
- n = nomor suku yang dicari
Penurunan rumus:
| Suku | Pola | Hasil |
|---|---|---|
| U1 | a · r0 | a |
| U2 | a · r1 | ar |
| U3 | a · r2 | ar2 |
| U4 | a · r3 | ar3 |
| … | … | … |
| Un | a · rn−1 | arn−1 |
💡 Kegiatan: Menalar
Dari tabel di atas, kita dapat melihat bahwa:
- Pangkat dari r selalu 1 kurang dari nomor suku
- Suku pertama (a) selalu menjadi faktor pengali
- Jika r > 1, barisan membesar (naik)
- Jika 0 < r < 1, barisan mengecil (turun)
- Jika r < 0, barisan memiliki tanda bergantian (positif-negatif)
3. Sifat-sifat Barisan Geometri
- Jika U1, U2, U3 adalah tiga suku berurutan dalam barisan geometri, maka:
(U2)2 = U1 · U3 - Rasio: r = Un+1Un untuk setiap n
- Jika r > 0, semua suku bertanda sama
- Jika r < 0, tanda suku bergantian
- Suku tengah dari tiga suku berurutan: U2 = √(U1 · U3) (rata-rata geometri)
✏️ Kegiatan: Mencoba
Cobalah tentukan:
- Rasio dari barisan: 4, 12, 36, 108, …
- Suku ke-6 dari barisan: 2, 6, 18, …
- Buatlah barisan geometri sendiri dengan a = 5 dan r = 2, tuliskan 5 suku pertama!
- Verifikasi bahwa (U2)2 = U1 · U3 pada barisan yang kamu buat
4. Sisipan pada Barisan Geometri
Jika antara dua suku barisan geometri disisipkan k buah suku sehingga tetap membentuk barisan geometri, maka rasio baru adalah:
r’ = k+1√(Un+1Un) = r1k+1
dengan:
- r’ = rasio baru setelah penyisipan
- k = banyak suku yang disisipkan
- r = rasio barisan semula
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada temanmu:
- Apa perbedaan barisan geometri dengan barisan aritmetika? Berikan contoh!
- Dalam kehidupan sehari-hari, di mana kita menemukan konsep barisan geometri? (misalnya: pertumbuhan bakteri, bunga majemuk, peluruhan radioaktif)
- Bagaimana cara menentukan apakah suatu barisan merupakan barisan geometri?
📝 Contoh Soal & Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah (1–5)
Contoh Soal 1:
Tentukan rasio dari barisan geometri: 3, 12, 48, 192, …
Pembahasan:
r = U2 / U1 = 12 / 3 = 4
Verifikasi: U3 / U2 = 48 / 12 = 4 ✓
Jadi, rasio barisan tersebut adalah r = 4
Contoh Soal 2:
Diketahui barisan geometri dengan a = 5 dan r = 2. Tentukan suku ke-4!
Pembahasan:
Un = a · rn−1
U4 = 5 · 24−1 = 5 · 23 = 5 · 8 = 40
Contoh Soal 3:
Tentukan suku ke-5 dari barisan geometri: 2, 6, 18, …
Pembahasan:
a = 2, r = 6/2 = 3
U5 = 2 · 35−1 = 2 · 34 = 2 · 81 = 162
Contoh Soal 4:
Barisan geometri memiliki suku pertama 100 dan rasio ½. Tentukan suku ke-4!
Pembahasan:
U4 = 100 · (½)3 = 100 · ⅛ = 12,5
Contoh Soal 5:
Tentukan 3 suku berikutnya dari barisan geometri: 4, 20, 100, …
Pembahasan:
r = 20/4 = 5
Suku ke-4 = 100 × 5 = 500
Suku ke-5 = 500 × 5 = 2500
Suku ke-6 = 2500 × 5 = 12.500
Jadi 3 suku berikutnya: 500, 2500, 12.500
🟡 Contoh Soal Sedang (6–10)
Contoh Soal 6:
Suku ke-3 barisan geometri adalah 18 dan suku ke-5 adalah 162. Tentukan suku pertama dan rasio!
Pembahasan:
U3 = ar2 = 18 … (1)
U5 = ar4 = 162 … (2)
Bagi (2) dengan (1): r2 = 162/18 = 9 → r = 3 (ambil positif)
Substitusi ke (1): a · 9 = 18 → a = 2
Jadi a = 2 dan r = 3
Contoh Soal 7:
Diketahui barisan geometri: 4, x, 36. Tentukan nilai x!
Pembahasan:
Sifat barisan geometri: (U2)2 = U1 · U3
x2 = 4 · 36 = 144
x = √144 = 12 (atau −12)
Jika x = 12, maka r = 12/4 = 3 ✓
Contoh Soal 8:
Suku ke-2 barisan geometri adalah 10 dan suku ke-4 adalah 40. Tentukan suku ke-7!
Pembahasan:
U2 = ar = 10 … (1)
U4 = ar3 = 40 … (2)
Bagi (2)/(1): r2 = 4 → r = 2
Dari (1): a · 2 = 10 → a = 5
U7 = 5 · 26 = 5 · 64 = 320
Contoh Soal 9:
Antara 2 dan 162 disisipkan 3 bilangan sehingga membentuk barisan geometri. Tentukan bilangan-bilangan tersebut!
Pembahasan:
Barisan: 2, _, _, _, 162
Banyak suku = 5, sehingga: U5 = U1 · r4
162 = 2 · r4 → r4 = 81 → r = 3
Suku-suku: 2, 6, 18, 54, 162
Bilangan yang disisipkan: 6, 18, 54
Contoh Soal 10:
Suatu barisan geometri memiliki U3 = 24 dan U6 = 192. Tentukan U8!
Pembahasan:
U3 = ar2 = 24 … (1)
U6 = ar5 = 192 … (2)
Bagi (2)/(1): r3 = 8 → r = 2
Dari (1): a · 4 = 24 → a = 6
U8 = 6 · 27 = 6 · 128 = 768
🔴 Contoh Soal Sulit (11–15)
Contoh Soal 11:
Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiganya adalah 26 dan hasil kalinya adalah 216. Tentukan ketiga bilangan tersebut!
Pembahasan:
Misalkan tiga bilangan: ar, a, ar
Hasil kali: ar · a · ar = a3 = 216 → a = 6
Jumlah: 6r + 6 + 6r = 26
6r + 6r = 20
6 + 6r2 = 20r → 6r2 − 20r + 6 = 0 → 3r2 − 10r + 3 = 0
(3r − 1)(r − 3) = 0 → r = 3 atau r = ⅓
Jika r = 3: bilangan = 2, 6, 18
Jika r = ⅓: bilangan = 18, 6, 2
Jadi ketiga bilangan: 2, 6, 18
Contoh Soal 12:
Suku ke-n barisan geometri dinyatakan dengan Un = 3 · 2n+1. Tentukan rasio dan suku ke-8!
Pembahasan:
U1 = 3 · 22 = 12
U2 = 3 · 23 = 24
r = U2/U1 = 24/12 = 2
U8 = 3 · 28+1 = 3 · 29 = 3 · 512 = 1536
Contoh Soal 13:
Barisan geometri memiliki U2 + U4 = 30 dan U3 + U5 = 60. Tentukan suku pertama dan rasio!
Pembahasan:
U2 + U4 = ar + ar3 = ar(1 + r2) = 30 … (1)
U3 + U5 = ar2 + ar4 = ar2(1 + r2) = 60 … (2)
Bagi (2)/(1): r = 60/30 = 2
Substitusi ke (1): a · 2 · (1 + 4) = 30 → 10a = 30 → a = 3
Jadi a = 3 dan r = 2
Contoh Soal 14:
Populasi bakteri mula-mula 500 dan berlipat ganda setiap 3 jam. Berapa populasi bakteri setelah 15 jam?
Pembahasan:
Ini membentuk barisan geometri dengan a = 500, r = 2
Setiap 3 jam populasi berlipat ganda
Dalam 15 jam terjadi: 15/3 = 5 kali pelipatan
Banyak suku = 5 + 1 = 6 (termasuk kondisi awal)
U6 = 500 · 25 = 500 · 32 = 16.000 bakteri
Contoh Soal 15:
Barisan geometri memiliki suku pertama positif. Jika U4 − U2 = 24 dan U5 − U3 = 48, tentukan U1 dan r!
Pembahasan:
U4 − U2 = ar3 − ar = ar(r2 − 1) = 24 … (1)
U5 − U3 = ar4 − ar2 = ar2(r2 − 1) = 48 … (2)
Bagi (2)/(1): r = 48/24 = 2
Substitusi ke (1): a · 2 · (4 − 1) = 24 → 6a = 24 → a = 4
Jadi a = 4 dan r = 2
📋 Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan rumus yang telah dipelajari!
🟢 Latihan Soal Mudah
1. Tentukan rasio dari barisan geometri: 7, 21, 63, 189, …
2. Tentukan suku ke-5 dari barisan geometri dengan a = 3 dan r = 4!
3. Barisan geometri: 10, 30, 90, … Tentukan suku ke-6!
4. Tentukan 4 suku pertama barisan geometri dengan a = 8 dan r = ½!
5. Jika U1 = 6 dan r = −3, tentukan U4!
🟡 Latihan Soal Sedang
6. Suku ke-2 suatu barisan geometri adalah 8 dan suku ke-5 adalah 64. Tentukan suku pertama dan rasio!
7. Diketahui barisan geometri: 5, x, 45. Tentukan nilai x yang mungkin!
8. Antara 3 dan 768 disisipkan 3 bilangan sehingga membentuk barisan geometri. Tentukan rasio baru dan bilangan-bilangan yang disisipkan!
9. Jika U3 = 32 dan U7 = 512, tentukan U10!
10. Suku ke-n suatu barisan geometri adalah Un = 5 · 3n−1. Tentukan U1, U2, dan rasio barisan tersebut!
🔴 Latihan Soal Sulit
11. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiganya adalah 21 dan jumlah kuadratnya adalah 189. Tentukan ketiga bilangan tersebut!
12. Barisan geometri memiliki U3 + U5 = 90 dan U4 + U6 = 270. Tentukan suku pertama, rasio, dan U8!
13. Harga sebuah mobil turun 20% setiap tahun. Jika harga awal mobil Rp200.000.000, berapa harga mobil setelah 5 tahun? (Gunakan konsep barisan geometri)
14. Diketahui log U1, log U2, log U3 membentuk barisan aritmetika dengan beda 2. Jika U1 = 3, tentukan U2 dan U3, serta tunjukkan bahwa U1, U2, U3 membentuk barisan geometri!
15. Suatu bola dijatuhkan dari ketinggian 128 cm. Setiap kali memantul, bola mencapai ¾ dari ketinggian sebelumnya. Tentukan ketinggian bola setelah pantulan ke-5 dan total jarak yang ditempuh bola hingga pantulan ke-5!