Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Sifat-Sifat Invers dari Perkalian Dua Matriks Persegi
Pendahuluan
Dalam pembahasan ini, kita akan mempelajari secara khusus sifat-sifat invers dari perkalian dua matriks persegi. Jika A dan B adalah matriks persegi yang memiliki invers (invertible), maka perkalian AB juga memiliki invers dengan sifat-sifat tertentu yang perlu dipahami.
Ingat bahwa invers matriks A dilambangkan dengan A−1, yaitu matriks yang memenuhi:
dengan I adalah matriks identitas.
Sifat-Sifat Invers Perkalian Dua Matriks Persegi
Sifat 1: Invers Perkalian Dua Matriks
Jika A dan B adalah matriks persegi berorde sama yang keduanya invertible, maka invers dari perkalian AB adalah perkalian invers masing-masing matriks dengan urutan dibalik.
Catatan penting: Urutan perkalian dibalik! Ini karena perkalian matriks tidak komutatif.
Sifat 2: Invers dari Invers
Invers dari invers suatu matriks sama dengan matriks itu sendiri.
Sifat 3: Invers Transpose Perkalian
Transpose dari perkalian dua matriks sama dengan perkalian transpose masing-masing dengan urutan dibalik.
Sifat 4: Invers Transpose
Transpose dari invers sama dengan invers dari transpose.
Sifat 5: Invers Perkalian Skalar
Invers dari matriks yang dikalikan skalar k adalah (1/k) dikalikan invers matriks tersebut.
Sifat 6: Determinan Invers Perkalian
Determinan dari invers perkalian dua matriks adalah kebalikan dari perkalian determinan masing-masing.
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan dua matriks berikut:
Langkah 1: Hitung AB
Langkah 2: Hitung (AB)−1 secara langsung
det(AB) = 4·19 − 11·7 = 76 − 77 = −1
Langkah 3: Hitung B−1·A−1
det(A) = 2·2 − 1·3 = 1, maka A−1 = [2−1−32]
det(B) = 1·5 − 3·2 = −1, maka B−1 = [−532−1]
✅ Terbukti: (AB)−1 = B−1·A−1
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati, muncul pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Mengapa urutan perkalian invers harus dibalik?
- Apakah sifat ini berlaku untuk semua matriks persegi?
- Bagaimana jika salah satu matriks tidak memiliki invers?
- Apakah sifat ini berlaku untuk perkalian lebih dari dua matriks?
Jawaban:
1. Urutan dibalik karena perkalian matriks tidak komutatif. Pembuktian: (AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I
2. Sifat ini hanya berlaku jika kedua matriks invertible (det ≠ 0).
3. Jika salah satu matriks singular (det = 0), maka AB juga singular dan tidak memiliki invers.
4. Ya! Untuk tiga matriks: (ABC)−1 = C−1B−1A−1
💡 Kegiatan: Menalar
Pembuktian Formal Sifat (AB)−1 = B−1A−1
Kita perlu membuktikan bahwa (B−1A−1) adalah invers dari (AB), yaitu:
Bukti bagian pertama:
= A(BB−1)A−1 (sifat asosiatif)
= A · I · A−1 (definisi invers)
= A · A−1
= I ✓
Bukti bagian kedua:
= B−1(A−1A)B (sifat asosiatif)
= B−1 · I · B (definisi invers)
= B−1 · B
= I ✓
Karena kedua syarat terpenuhi, terbukti bahwa (AB)−1 = B−1A−1
Analogi sederhana:
Bayangkan memakai sepatu: kamu pakai kaos kaki dulu (A), baru sepatu (B). Saat melepas, urutannya dibalik: lepas sepatu dulu (B−1), baru kaos kaki (A−1). Inilah mengapa invers perkalian matriks urutannya dibalik!
✏️ Kegiatan: Mencoba
Cobalah verifikasi sifat (AB)−1 = B−1A−1 dengan matriks berikut:
Langkah yang harus dilakukan:
- Hitung AB
- Hitung det(AB) dan tentukan (AB)−1
- Hitung A−1 dan B−1
- Hitung B−1·A−1
- Bandingkan hasil langkah 2 dan langkah 4
Kunci Jawaban:
AB = [48312], det(AB) = 48−24 = 24
(AB)−1 = (1/24)[12−8−34] = [1/2−1/3−1/81/6]
B−1A−1 menghasilkan matriks yang sama. ✓
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Rangkumlah sifat-sifat invers perkalian dua matriks persegi dalam tabel berikut:
| No | Sifat | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | (AB)−1 = B−1A−1 | Urutan dibalik |
| 2 | (A−1)−1 = A | Invers dari invers = matriks asal |
| 3 | (AB)T = BTAT | Transpose perkalian, urutan dibalik |
| 4 | (A−1)T = (AT)−1 | Transpose dan invers bisa ditukar |
| 5 | (kA)−1 = (1/k)A−1 | k ≠ 0 |
| 6 | det(AB)−1 = 1/(det A · det B) | Determinan invers perkalian |
Diskusikan dengan teman sekelompokmu: Mengapa urutan perkalian harus dibalik saat mencari invers? Presentasikan jawabanmu di depan kelas.
Contoh Soal dan Pembahasan
Level Mudah
Contoh 1:
Diketahui A−1 = [3121] dan B−1 = [1021]. Tentukan (AB)−1.
Pembahasan:
Gunakan sifat: (AB)−1 = B−1·A−1
= [1·3+0·21·1+0·12·3+1·22·1+1·1] = [3183]
Contoh 2:
Diketahui A−1 = [2003] dan B−1 = [1102]. Tentukan (AB)−1.
Pembahasan:
(AB)−1 = B−1·A−1
= [1102] · [2003] = [2306]
Contoh 3:
Jika (AB)−1 = [5231], tentukan matriks AB.
Pembahasan:
Gunakan sifat: ((AB)−1)−1 = AB
det((AB)−1) = 5·1 − 2·3 = 5 − 6 = −1
AB = (1/−1)[1−2−35] = [−123−5]
Contoh 4:
Diketahui A = [1201] dan B = [1031]. Tentukan (AB)−1.
Pembahasan:
det(A) = 1, maka A−1 = [1−201]
det(B) = 1, maka B−1 = [10−31]
(AB)−1 = B−1A−1 = [10−31] · [1−201] = [1−2−37]
Contoh 5:
Jika det(A) = 2 dan det(B) = 3, tentukan det((AB)−1).
Pembahasan:
det(AB) = det(A) · det(B) = 2 · 3 = 6
det((AB)−1) = 1/det(AB) = 1/6
Level Sedang
Contoh 6:
Diketahui A = [2153] dan B = [3412]. Verifikasi bahwa (AB)−1 = B−1A−1.
Pembahasan:
Cara 1: Hitung (AB)−1 langsung
AB = [7101826]
det(AB) = 7·26 − 10·18 = 182 − 180 = 2
(AB)−1 = (1/2)[26−10−187] = [13−5−97/2]
Cara 2: Hitung B−1A−1
det(A) = 1, A−1 = [3−1−52]
det(B) = 2, B−1 = (1/2)[2−4−13] = [1−2−1/23/2]
B−1A−1 = [1−2−1/23/2] · [3−1−52] = [13−5−97/2]
✅ Terbukti sama.
Contoh 7:
Diketahui (AB)−1 = [4131] dan B−1 = [2111]. Tentukan A−1.
Pembahasan:
Dari (AB)−1 = B−1A−1, maka:
A−1 = (B−1)−1 · (AB)−1
det(B−1) = 2·1 − 1·1 = 1
(B−1)−1 = B = [1−1−12]
A−1 = B · (AB)−1 = [1−1−12] · [4131] = [1021]
Contoh 8:
Diketahui (AB)−1 = [3211] dan A−1 = [1021]. Tentukan B−1.
Pembahasan:
Dari (AB)−1 = B−1A−1, maka:
B−1 = (AB)−1 · (A−1)−1 = (AB)−1 · A
det(A−1) = 1, maka A = (A−1)−1 = [10−21]
B−1 = [3211] · [10−21] = [−12−11]
Contoh 9:
Jika A = [2312], tentukan (2A)−1.
Pembahasan:
Gunakan sifat: (kA)−1 = (1/k)A−1
det(A) = 4 − 3 = 1, maka A−1 = [2−3−12]
(2A)−1 = (1/2)A−1 = (1/2)[2−3−12] = [1−3/2−1/21]
Contoh 10:
Diketahui A = [1234] dan B = [2111]. Tentukan (AB)−1 · (AB).
Pembahasan:
Berdasarkan definisi invers: M−1 · M = I
Maka (AB)−1 · (AB) = I = [1001]
Tidak perlu menghitung AB maupun inversnya — langsung gunakan definisi invers!
Level Sulit
Contoh 11:
Diketahui A = [1123], B = [2111], dan C = [1032]. Tentukan (ABC)−1.
Pembahasan:
Gunakan sifat: (ABC)−1 = C−1B−1A−1
det(A) = 3−2 = 1, A−1 = [3−1−21]
det(B) = 2−1 = 1, B−1 = [1−1−12]
det(C) = 2−0 = 2, C−1 = (1/2)[20−31] = [10−3/21/2]
Langkah 1: C−1B−1 = [10−3/21/2] · [1−1−12] = [1−1−25/2]
Langkah 2: (C−1B−1)A−1 = [1−1−25/2] · [3−1−21] = [5−2−119/2]
Contoh 12:
Jika A2 = AB dan A invertible, buktikan bahwa A = B.
Pembahasan:
Diketahui: A2 = AB
Kalikan kedua ruas dari kiri dengan A−1:
A−1 · A2 = A−1 · AB
(A−1A) · A = (A−1A) · B
I · A = I · B
A = B (terbukti) ✓
Contoh 13:
Diketahui A = [3254] dan B = [1225]. Tentukan matriks X jika AXB = I.
Pembahasan:
AXB = I
Kalikan kedua ruas dari kiri dengan A−1: XB = A−1
Kalikan kedua ruas dari kanan dengan B−1: X = A−1B−1
det(A) = 12−10 = 2, A−1 = (1/2)[4−2−53] = [2−1−5/23/2]
det(B) = 5−4 = 1, B−1 = [5−2−21]
X = A−1B−1 = [2−1−5/23/2] · [5−2−21] = [12−5−31/213/2]
Contoh 14:
Buktikan bahwa jika AB = I maka BA = I (untuk matriks persegi).
Pembahasan:
Diketahui AB = I
Maka det(AB) = det(I) = 1
det(A) · det(B) = 1
Ini berarti det(A) ≠ 0 dan det(B) ≠ 0, jadi keduanya invertible.
Dari AB = I:
Kalikan dari kanan dengan B−1: A = B−1
Substitusi: BA = B · B−1 = I ✓
Terbukti BA = I.
Contoh 15:
Diketahui A = [1101]. Tentukan (An)−1 untuk n bilangan asli.
Pembahasan:
Pertama, cari pola An:
A2 = [1201], A3 = [1301]
Pola: An = [1n01]
det(An) = 1·1 − n·0 = 1
(An)−1 = [1−n01]
Catatan: Ini juga sama dengan (A−1)n karena A−1 = [1−101] dan (A−1)n = [1−n01]
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan untuk mengasah pemahamanmu.
Level Mudah
1. Diketahui A−1 = [1203] dan B−1 = [2011]. Tentukan (AB)−1.
2. Diketahui A−1 = [4110] dan B−1 = [1325]. Tentukan (AB)−1.
3. Jika det(A) = 4 dan det(B) = −2, tentukan det((AB)−1).
4. Jika (AB)−1 = [2312], tentukan AB.
5. Diketahui A = [1002] dan B = [3101]. Tentukan (AB)−1 menggunakan sifat B−1A−1.
Level Sedang
6. Diketahui (AB)−1 = [1234] dan A−1 = [2101]. Tentukan B−1.
7. Diketahui (AB)−1 = [5321] dan B−1 = [1102]. Tentukan A−1.
8. Jika A = [3121], tentukan (3A)−1.
9. Diketahui A = [2111] dan B = [1302]. Verifikasi bahwa (AB)−1 = B−1A−1.
10. Jika A−1 = [abcd] dan B−1 = [1001], tentukan (AB)−1 dalam a, b, c, d.
Level Sulit
11. Diketahui A = [2111], B = [1324], C = [1012]. Tentukan (ABC)−1.
12. Jika AXB = C, dengan A, B, C matriks persegi invertible, tentukan X dalam bentuk A, B, C dan inversnya.
13. Buktikan bahwa (ATBT)−1 = (B−1)T(A−1)T = (A−1B−1)T.
14. Diketahui A = [1201] dan B = [1011]. Tentukan matriks X jika XAB = B−1.
15. Jika A2B = BA dan A invertible, tunjukkan bahwa AB = BA (A dan B komutatif).