Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Menentukan Invers Matriks Persegi Berordo 2
1. Pengertian Invers Matriks
Invers matriks adalah kebalikan dari suatu matriks. Jika matriks A memiliki invers, maka inversnya ditulis sebagai A−1.
Syarat utama agar matriks A memiliki invers adalah:
A × A−1 = A−1 × A = I
dengan I adalah matriks identitas
Matriks identitas berordo 2 × 2 adalah:
📌 Catatan Penting: Tidak semua matriks memiliki invers. Matriks yang memiliki invers disebut matriks non-singular (invertible), sedangkan yang tidak memiliki invers disebut matriks singular.
2. Determinan Matriks 2×2
Sebelum menentukan invers, kita perlu menghitung determinan matriks terlebih dahulu. Determinan menentukan apakah suatu matriks memiliki invers atau tidak.
Untuk matriks:
det(A) = |A| = ad − bc
Diagonal utama dikurangi diagonal sekunder
⚠️ Syarat Invers: Matriks A memiliki invers jika dan hanya jika det(A) ≠ 0. Jika det(A) = 0, maka matriks tersebut singular dan tidak memiliki invers.
3. Rumus Invers Matriks Berordo 2×2
Jika matriks A berordo 2×2 dan det(A) ≠ 0, maka invers matriks A adalah:
Jika A = [abcd], maka:
A−1 = 1/(ad − bc) × [d−b−ca]
Langkah-langkah Menentukan Invers:
- Hitung determinan matriks: det(A) = ad − bc
- Periksa apakah det(A) ≠ 0. Jika det(A) = 0, invers tidak ada.
- Tukar elemen diagonal utama (a dan d bertukar posisi)
- Ubah tanda elemen diagonal sekunder (b menjadi −b, c menjadi −c)
- Kalikan matriks hasil langkah 3 dan 4 dengan 1/det(A)
💡 Tips Mengingat: “Tukar diagonal utama, negatifkan diagonal sekunder, bagi dengan determinan.”
4. Sifat-sifat Invers Matriks
- (A−1)−1 = A
- (A × B)−1 = B−1 × A−1
- (kA)−1 = (1/k) × A−1, untuk k ≠ 0
- det(A−1) = 1/det(A)
- (AT)−1 = (A−1)T
5. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan invers dari matriks A = [2153]
Pembahasan:
a = 2, b = 1, c = 5, d = 3
det(A) = (2)(3) − (1)(5) = 6 − 5 = 1
Karena det(A) = 1 ≠ 0, maka invers ada.
A−1 = (1/1) × [3−1−52] = [3−1−52]
Contoh 2:
Tentukan invers dari matriks B = [3211]
Pembahasan:
a = 3, b = 2, c = 1, d = 1
det(B) = (3)(1) − (2)(1) = 3 − 2 = 1
B−1 = (1/1) × [1−2−13] = [1−2−13]
Contoh 3:
Tentukan invers dari matriks C = [4311]
Pembahasan:
det(C) = (4)(1) − (3)(1) = 4 − 3 = 1
C−1 = [1−3−14]
Contoh 4:
Tentukan invers dari matriks D = [1234]
Pembahasan:
det(D) = (1)(4) − (2)(3) = 4 − 6 = −2
D−1 = (1/(−2)) × [4−2−31] = [−213/2−1/2]
Contoh 5:
Tentukan invers dari matriks E = [5231]
Pembahasan:
det(E) = (5)(1) − (2)(3) = 5 − 6 = −1
E−1 = (1/(−1)) × [1−2−35] = [−123−5]
📙 Tingkat Sedang
Contoh 6:
Diketahui A = [3−24−3]. Tentukan A−1 dan buktikan bahwa A × A−1 = I.
Pembahasan:
det(A) = (3)(−3) − (−2)(4) = −9 + 8 = −1
A−1 = (1/(−1)) × [−32−43] = [3−24−3]
Bukti:
A × A−1 = [3−24−3] × [3−24−3]
= [(9−8)(−6+6)(12−12)(−8+9)] = [1001] = I ✓
Contoh 7:
Tentukan invers dari matriks A = [2513] dan gunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan: 2x + 5y = 11 dan x + 3y = 7.
Pembahasan:
det(A) = (2)(3) − (5)(1) = 6 − 5 = 1
A−1 = [3−5−12]
Sistem persamaan: A × [xy] = [117]
[xy] = A−1 × [117] = [3−5−12] × [117]
x = 3(11) + (−5)(7) = 33 − 35 = −2
y = (−1)(11) + 2(7) = −11 + 14 = 3
Jadi x = −2 dan y = 3
Contoh 8:
Jika A = [4623], tentukan apakah A memiliki invers. Jelaskan!
Pembahasan:
det(A) = (4)(3) − (6)(2) = 12 − 12 = 0
Karena det(A) = 0, maka matriks A tidak memiliki invers (singular).
Ini berarti tidak ada matriks A−1 sedemikian sehingga A × A−1 = I.
Contoh 9:
Diketahui A−1 = [2−3−14]. Tentukan matriks A.
Pembahasan:
Kita tahu bahwa (A−1)−1 = A
det(A−1) = (2)(4) − (−3)(−1) = 8 − 3 = 5
A = (A−1)−1 = (1/5) × [4312] = [4/53/51/52/5]
Contoh 10:
Diketahui A = [1−23−4]. Tentukan (2A)−1.
Pembahasan:
Cara 1: Gunakan sifat (kA)−1 = (1/k) × A−1
det(A) = (1)(−4) − (−2)(3) = −4 + 6 = 2
A−1 = (1/2) × [−42−31] = [−21−3/21/2]
(2A)−1 = (1/2) × A−1 = (1/2) × [−21−3/21/2] = [−11/2−3/41/4]
📕 Tingkat Sulit
Contoh 11:
Jika A = [a23a] dan A tidak memiliki invers, tentukan semua nilai a yang memenuhi.
Pembahasan:
A tidak memiliki invers ⟹ det(A) = 0
det(A) = a·a − 2·3 = a² − 6 = 0
a² = 6
a = √6 atau a = −√6
Jadi nilai a = √6 atau a = −√6
Contoh 12:
Diketahui A = [2132] dan B = [1−121]. Tentukan (AB)−1.
Pembahasan:
Gunakan sifat: (AB)−1 = B−1 × A−1
Langkah 1: Cari A−1
det(A) = (2)(2) − (1)(3) = 4 − 3 = 1
A−1 = [2−1−32]
Langkah 2: Cari B−1
det(B) = (1)(1) − (−1)(2) = 1 + 2 = 3
B−1 = (1/3) × [11−21]
Langkah 3: (AB)−1 = B−1 × A−1
= (1/3) × [11−21] × [2−1−32]
= (1/3) × [(2−3)(−1+2)(−4−3)(2+2)] = (1/3) × [−11−74]
= [−1/31/3−7/34/3]
Contoh 13:
Tentukan matriks X jika A × X = B, dengan A = [3152] dan B = [74137]
Pembahasan:
A × X = B ⟹ X = A−1 × B
det(A) = (3)(2) − (1)(5) = 6 − 5 = 1
A−1 = [2−1−53]
X = A−1 × B = [2−1−53] × [74137]
= [(14−13)(8−7)(−35+39)(−20+21)] = [1141]
Contoh 14:
Diketahui A = [2−131]. Tentukan (A2)−1.
Pembahasan:
Langkah 1: Hitung A²
A² = A × A = [2−131] × [2−131]
= [(4−3)(−2−1)(6+3)(−3+1)] = [1−39−2]
Langkah 2: Hitung invers A²
det(A²) = (1)(−2) − (−3)(9) = −2 + 27 = 25
(A²)−1 = (1/25) × [−23−91] = [−2/253/25−9/251/25]
Contoh 15:
Tentukan matriks X jika X × A + B = C, dengan A = [1234], B = [1001], C = [3265]
Pembahasan:
X × A + B = C
X × A = C − B
C − B = [3−12−06−05−1] = [2264]
X = (C − B) × A−1
det(A) = (1)(4) − (2)(3) = 4 − 6 = −2
A−1 = (1/(−2)) × [4−2−31] = [−213/2−1/2]
X = [2264] × [−213/2−1/2]
= [(−4+3)(2−1)(−12+6)(6−2)] = [−11−64]
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan di atas. Selamat berlatih!
📗 Tingkat Mudah
1. Tentukan invers dari matriks [3121]
2. Tentukan invers dari matriks [4172]
3. Tentukan invers dari matriks [5321]
4. Tentukan invers dari matriks [1325]
5. Tentukan invers dari matriks [6151]
📙 Tingkat Sedang
6. Diketahui A = [2−31−1]. Tentukan A−1 dan buktikan A × A−1 = I.
7. Gunakan invers matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan: 3x + 2y = 12 dan x + y = 5.
8. Tentukan nilai k agar matriks [k42k] tidak memiliki invers.
9. Diketahui A−1 = [3−1−25]. Tentukan matriks A.
10. Diketahui A = [3243]. Tentukan (3A)−1.
📕 Tingkat Sulit
11. Diketahui A = [1225] dan B = [3112]. Tentukan (AB)−1.
12. Tentukan matriks X jika A × X = B, dengan A = [2153] dan B = [53148].
13. Diketahui A = [1−123]. Tentukan (A²)−1.
14. Tentukan matriks X jika X × A − B = C, dengan A = [2132], B = [2110], C = [0132]
15. Jika A = [p12p−1] dan A−1 = A, tentukan semua nilai p yang memenuhi.