Matriks – Invers Matriks Persegi Berordo 3

Mengamati

1. Pengertian Invers Matriks Berordo 3×3

Misalkan A adalah matriks persegi berordo 3×3. Invers dari matriks A dilambangkan dengan A⁻¹, yaitu matriks yang memenuhi:

A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I

dengan I adalah matriks identitas berordo 3×3:

I = 100 010 001

Syarat: Matriks A memiliki invers jika dan hanya jika determinan A ≠ 0 (det(A) ≠ 0). Matriks yang memiliki invers disebut matriks non-singular atau matriks invertibel.

Rumus Invers Matriks 3×3:

A⁻¹ = 1 / det(A) × adj(A)

atau ditulis: A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A)

Keterangan:

det(A) = determinan matriks A
adj(A) = adjoin matriks A (transpose dari matriks kofaktor)

Menanya

2. Langkah-Langkah Mencari Invers Matriks 3×3

Diberikan matriks A:

A = a₁₁a₁₂a₁₃ a₂₁a₂₂a₂₃ a₃₁a₃₂a₃₃

Langkah 1: Hitung Determinan (det A)

Menggunakan metode Sarrus atau ekspansi kofaktor:

det(A) = a₁₁(a₂₂·a₃₃ − a₂₃·a₃₂) − a₁₂(a₂₁·a₃₃ − a₂₃·a₃₁) + a₁₃(a₂₁·a₃₂ − a₂₂·a₃₁)

⚠️ Jika det(A) = 0, maka matriks A tidak memiliki invers!

Langkah 2: Hitung Minor setiap elemen

Minor M_ij adalah determinan submatriks 2×2 yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j.

Contoh: Minor M₁₁ diperoleh dengan menghapus baris 1 dan kolom 1:

M₁₁ = det a₂₂a₂₃ a₃₂a₃₃ = a₂₂·a₃₃ − a₂₃·a₃₂

Langkah 3: Hitung Kofaktor setiap elemen

Kofaktor dihitung dengan rumus:

C_ij = (−1)^i+j × M_ij

Pola tanda kofaktor:

+−+ −+− +−+

Langkah 4: Susun Matriks Kofaktor

Kof(A) = C₁₁C₁₂C₁₃ C₂₁C₂₂C₂₃ C₃₁C₃₂C₃₃

Langkah 5: Hitung Adjoin (Transpose Kofaktor)

adj(A) = [Kof(A)]^T

adj(A) = C₁₁C₂₁C₃₁ C₁₂C₂₂C₃₂ C₁₃C₂₃C₃₃

Langkah 6: Hitung Invers

A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A)

Menalar

3. Sifat-Sifat Invers Matriks

Berikut sifat-sifat penting invers matriks yang perlu dipahami:

(A⁻¹)⁻¹ = A
Invers dari invers matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.
(A × B)⁻¹ = B⁻¹ × A⁻¹
Invers perkalian dua matriks sama dengan perkalian invers dalam urutan terbalik.
(A^T)⁻¹ = (A⁻¹)^T
Invers dari transpose sama dengan transpose dari invers.
(kA)⁻¹ = (1/k) × A⁻¹, untuk k ≠ 0
Invers matriks yang dikalikan skalar.
det(A⁻¹) = 1/det(A)
Determinan invers sama dengan kebalikan determinan matriks asli.

Mencoba

4. Contoh Soal dan Pembahasan

📗 Tingkat Mudah

Contoh Soal 1 (Mudah)

Tentukan invers dari matriks A berikut:

A = 100 020 003

Pembahasan:

Langkah 1: Hitung det(A)

Karena A adalah matriks diagonal, det(A) = 1 × 2 × 3 = 6

Langkah 2: Hitung Minor

M₁₁ = (2)(3) − (0)(0) = 6

M₁₂ = (0)(3) − (0)(0) = 0

M₁₃ = (0)(0) − (2)(0) = 0

M₂₁ = (0)(3) − (0)(0) = 0

M₂₂ = (1)(3) − (0)(0) = 3

M₂₃ = (1)(0) − (0)(0) = 0

M₃₁ = (0)(0) − (2)(0) = 0

M₃₂ = (1)(0) − (0)(0) = 0

M₃₃ = (1)(2) − (0)(0) = 2

Langkah 3: Kofaktor (dengan pola tanda)

C₁₁=+6, C₁₂=−0=0, C₁₃=+0=0

C₂₁=−0=0, C₂₂=+3, C₂₃=−0=0

C₃₁=+0=0, C₃₂=−0=0, C₃₃=+2

Langkah 4: adj(A) = transpose kofaktor

adj(A) = 600 030 002

Langkah 5: A⁻¹ = (1/6) × adj(A)

A⁻¹ = 100 01/20 001/3

Contoh Soal 2 (Mudah)

Tentukan invers dari matriks B berikut:

B = 200 010 004

Pembahasan:

Langkah 1: det(B) = 2 × 1 × 4 = 8 ≠ 0, invers ada.

Langkah 2-4: Karena B diagonal, kofaktornya juga diagonal.

C₁₁ = 4, C₂₂ = 8, C₃₃ = 2, lainnya = 0

adj(B) = transpose kofaktor (sama karena diagonal)

Langkah 5:

B⁻¹ = (1/8) × 400 080 002 = 1/200 010 001/4

Contoh Soal 3 (Mudah)

Tentukan invers dari matriks C:

C = 100 010 001

Pembahasan:

C adalah matriks identitas I.

det(C) = 1

Sifat: Invers dari matriks identitas adalah matriks identitas itu sendiri.

C⁻¹ = I = 100 010 001

Contoh Soal 4 (Mudah)

Tentukan invers dari matriks D:

D = 110 010 001

Pembahasan:

Langkah 1: det(D) = 1(1·1 − 0·0) − 1(0·1 − 0·0) + 0 = 1

Langkah 2-3: Kofaktor

C₁₁ = +(1·1 − 0·0) = 1

C₁₂ = −(0·1 − 0·0) = 0

C₁₃ = +(0·0 − 1·0) = 0

C₂₁ = −(1·1 − 0·0) = −1

C₂₂ = +(1·1 − 0·0) = 1

C₂₃ = −(1·0 − 1·0) = 0

C₃₁ = +(1·0 − 1·0) = 0

C₃₂ = −(1·0 − 0·0) = 0

C₃₃ = +(1·1 − 1·0) = 1

Langkah 4: adj(D) = transpose kofaktor

adj(D) = 1−10 010 001

Langkah 5: A⁻¹ = (1/1) × adj(D)

D⁻¹ = 1−10 010 001

Contoh Soal 5 (Mudah)

Tentukan invers dari matriks E:

E = 300 030 003

Pembahasan:

E = 3I (matriks skalar)

det(E) = 3 × 3 × 3 = 27

Menggunakan sifat: (kI)⁻¹ = (1/k)I

E⁻¹ = (1/3)I = 1/300 01/30 001/3

📙 Tingkat Sedang

Contoh Soal 6 (Sedang)

Tentukan invers dari matriks A:

A = 120 013 001

Pembahasan:

Langkah 1: det(A) = 1(1·1 − 3·0) − 2(0·1 − 3·0) + 0 = 1

Langkah 2-3: Kofaktor

C₁₁ = +(1·1 − 3·0) = 1

C₁₂ = −(0·1 − 3·0) = 0

C₁₃ = +(0·0 − 1·0) = 0

C₂₁ = −(2·1 − 0·0) = −2

C₂₂ = +(1·1 − 0·0) = 1

C₂₃ = −(1·0 − 2·0) = 0

C₃₁ = +(2·3 − 1·0) = 6

C₃₂ = −(1·3 − 0·0) = −3

C₃₃ = +(1·1 − 2·0) = 1

Langkah 4: adj(A) = transpose kofaktor

adj(A) = 1−26 01−3 001

Langkah 5:

A⁻¹ = 1−26 01−3 001

Contoh Soal 7 (Sedang)

Tentukan invers dari matriks B:

B = 210 121 012

Pembahasan:

Langkah 1: det(B) = 2(2·2 − 1·1) − 1(1·2 − 1·0) + 0 = 2(3) − 1(2) = 4

Langkah 2-3: Kofaktor

C₁₁ = +(4−1) = 3

C₁₂ = −(2−0) = −2

C₁₃ = +(1−0) = 1

C₂₁ = −(2−0) = −2

C₂₂ = +(4−0) = 4

C₂₃ = −(2−0) = −2

C₃₁ = +(1−0) = 1

C₃₂ = −(2−0) = −2

C₃₃ = +(4−1) = 3

Langkah 4:

adj(B) = 3−21 −24−2 1−23

Langkah 5:

B⁻¹ = (1/4) 3−21 −24−2 1−23 = 3/4−1/21/4 −1/21−1/2 1/4−1/23/4

Contoh Soal 8 (Sedang)

Tentukan invers dari matriks C:

C = 123 014 002

Pembahasan:

Langkah 1: det(C) = 1·1·2 = 2 (matriks segitiga atas, det = perkalian diagonal)

Langkah 2-3: Kofaktor

C₁₁ = +(1·2 − 4·0) = 2

C₁₂ = −(0·2 − 4·0) = 0

C₁₃ = +(0·0 − 1·0) = 0

C₂₁ = −(2·2 − 3·0) = −4

C₂₂ = +(1·2 − 3·0) = 2

C₂₃ = −(1·0 − 2·0) = 0

C₃₁ = +(2·4 − 1·3) = 5

C₃₂ = −(1·4 − 0·3) = −4

C₃₃ = +(1·1 − 2·0) = 1

Langkah 4:

adj(C) = 2−45 02−4 001

Langkah 5:

C⁻¹ = (1/2) 2−45 02−4 001 = 1−25/2 01−2 001/2

Contoh Soal 9 (Sedang)

Tentukan invers dari matriks D:

D = 102 010 301

Pembahasan:

Langkah 1: det(D) = 1(1·1 − 0·0) − 0 + 2(0·0 − 1·3) = 1 + 2(−3) = 1 − 6 = −5

Langkah 2-3: Kofaktor

C₁₁ = +(1−0) = 1

C₁₂ = −(0−0) = 0

C₁₃ = +(0−3) = −3

C₂₁ = −(0−0) = 0

C₂₂ = +(1−6) = −5

C₂₃ = −(0−0) = 0

C₃₁ = +(0−2) = −2

C₃₂ = −(0−0) = 0

C₃₃ = +(1−0) = 1

Langkah 4:

adj(D) = 10−2 0−50 −301

Langkah 5:

D⁻¹ = (1/(−5)) 10−2 0−50 −301 = −1/502/5 010 3/50−1/5

Contoh Soal 10 (Sedang)

Tentukan invers dari matriks E:

E = 111 011 001

Pembahasan:

Langkah 1: det(E) = 1·1·1 = 1 (segitiga atas)

Langkah 2-3: Kofaktor

C₁₁ = +(1−0) = 1, C₁₂ = −(0−0) = 0, C₁₃ = +(0−0) = 0

C₂₁ = −(1−0) = −1, C₂₂ = +(1−0) = 1, C₂₃ = −(0−0) = 0

C₃₁ = +(1−1) = 0, C₃₂ = −(1−0) = −1, C₃₃ = +(1−0) = 1

Langkah 4-5:

E⁻¹ = 1−10 01−1 001

📕 Tingkat Sulit

Contoh Soal 11 (Sulit)

Tentukan invers dari matriks A:

A = 213 102 314

Pembahasan:

Langkah 1: det(A) = 2(0·4 − 2·1) − 1(1·4 − 2·3) + 3(1·1 − 0·3)

= 2(0−2) − 1(4−6) + 3(1−0)

= 2(−2) − 1(−2) + 3(1) = −4 + 2 + 3 = 1

Langkah 2-3: Kofaktor

C₁₁ = +(0·4 − 2·1) = −2

C₁₂ = −(1·4 − 2·3) = −(−2) = 2

C₁₃ = +(1·1 − 0·3) = 1

C₂₁ = −(1·4 − 3·1) = −(1) = −1

C₂₂ = +(2·4 − 3·3) = 8−9 = −1

C₂₃ = −(2·1 − 1·3) = −(−1) = 1

C₃₁ = +(1·2 − 0·3) = 2

C₃₂ = −(2·2 − 1·3) = −(1) = −1

C₃₃ = +(2·0 − 1·1) = −1

Langkah 4:

adj(A) = −2−12 2−1−1 11−1

Langkah 5: Karena det(A) = 1:

A⁻¹ = −2−12 2−1−1 11−1

Contoh Soal 12 (Sulit)

Tentukan invers dari matriks B:

B = 123 253 108

Pembahasan:

Langkah 1: det(B) = 1(5·8 − 3·0) − 2(2·8 − 3·1) + 3(2·0 − 5·1)

= 1(40) − 2(16−3) + 3(0−5)

= 40 − 2(13) + 3(−5) = 40 − 26 − 15 = −1

Langkah 2-3: Kofaktor

C₁₁ = +(40−0) = 40

C₁₂ = −(16−3) = −13

C₁₃ = +(0−5) = −5

C₂₁ = −(16−0) = −16

C₂₂ = +(8−3) = 5

C₂₃ = −(0−2) = 2

C₃₁ = +(6−15) = −9

C₃₂ = −(3−6) = 3

C₃₃ = +(5−4) = 1

Langkah 4:

adj(B) = 40−16−9 −1353 −521

Langkah 5: A⁻¹ = (1/(−1)) × adj(B)

B⁻¹ = −40169 13−5−3 5−2−1

Contoh Soal 13 (Sulit)

Tentukan invers dari matriks C:

C = 321 142 213

Pembahasan:

Langkah 1: det(C) = 3(12−2) − 2(3−4) + 1(1−8)

= 3(10) − 2(−1) + 1(−7) = 30 + 2 − 7 = 25

Langkah 2-3: Kofaktor

C₁₁ = +(12−2) = 10

C₁₂ = −(3−4) = 1

C₁₃ = +(1−8) = −7

C₂₁ = −(6−1) = −5

C₂₂ = +(9−2) = 7

C₂₃ = −(3−4) = 1

C₃₁ = +(4−4) = 0

C₃₂ = −(6−1) = −5

C₃₃ = +(12−2) = 10

Langkah 4:

adj(C) = 10−50 17−5 −7110

Langkah 5:

C⁻¹ = (1/25) 10−50 17−5 −7110 = 2/5−1/50 1/257/25−1/5 −7/251/252/5

Contoh Soal 14 (Sulit)

Diketahui matriks A dan B. Jika A × X = B, tentukan X.

A = 110 011 101 , B = 300 030 003

Pembahasan:

Dari A × X = B, maka X = A⁻¹ × B

Langkah 1: det(A) = 1(1−0) − 1(0−1) + 0 = 1+1 = 2

Kofaktor:

C₁₁=1, C₁₂=1, C₁₃=−1

C₂₁=−1, C₂₂=1, C₂₃=1

C₃₁=1, C₃₂=−1, C₃₃=1

adj(A):

adj(A) = 1−11 11−1 −111

A⁻¹ = (1/2) × adj(A)

X = A⁻¹ × B = (1/2) × adj(A) × 3I = (3/2) × adj(A)

X = 3/2−3/23/2 3/23/2−3/2 −3/23/23/2

Contoh Soal 15 (Sulit)

Tentukan invers dari matriks F:

F = 2−13 12−1 312

Pembahasan:

Langkah 1: det(F) = 2(4+1) − (−1)(2+3) + 3(1−6)

= 2(5) + 1(5) + 3(−5) = 10 + 5 − 15 = 0

⚠️ det(F) = 0, sehingga matriks F TIDAK memiliki invers (matriks singular).

Kesimpulan: F⁻¹ tidak ada.

Mengkomunikasikan

5. Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut untuk menguji pemahaman Anda tentang invers matriks berordo 3×3.

📗 Tingkat Mudah

Latihan 1

Tentukan invers dari matriks:

500 020 001

Latihan 2

Tentukan invers dari matriks:

130 010 001

Latihan 3

Tentukan invers dari matriks:

400 040 004

Latihan 4

Tentukan invers dari matriks:

100 210 001

Latihan 5

Tentukan invers dari matriks:

101 010 001

📙 Tingkat Sedang

Latihan 6

Tentukan invers dari matriks:

121 012 003

Latihan 7

Tentukan invers dari matriks:

310 131 013

Latihan 8

Tentukan invers dari matriks:

201 120 012

Latihan 9

Diketahui A × X = B dengan:

A = 110 021 001 , B = 2 3 1

Tentukan X!

Latihan 10

Tentukan invers dari matriks:

1−12 01−1 002

📕 Tingkat Sulit

Latihan 11

Tentukan invers dari matriks:

123 456 780

Latihan 12

Tentukan invers dari matriks:

231 1−12 32−1

Latihan 13

Diketahui matriks A dan B. Jika X × A = B, tentukan X.

A = 102 210 011 , B = 100 010 001

Latihan 14

Buktikan bahwa matriks berikut tidak memiliki invers:

123 456 789

Latihan 15

Diketahui:

A = 21−1 321 1−12

Tentukan (A⁻¹)^T!

📌 Ringkasan

Invers matriks A⁻¹ ada jika dan hanya jika det(A) ≠ 0.
Rumus: A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A)
Langkah: Hitung det → Minor → Kofaktor → Adjoin (transpose kofaktor) → Invers
Verifikasi: A × A⁻¹ = I
Aplikasi: Menyelesaikan persamaan matriks AX = B → X = A⁻¹B

Matriks – Invers Matriks Persegi Berordo 3

Invers Matriks Persegi Berordo 3

1. Pengertian Invers Matriks Berordo 3×3

2. Langkah-Langkah Mencari Invers Matriks 3×3

Langkah 1: Hitung Determinan (det A)

Langkah 2: Hitung Minor setiap elemen

Langkah 3: Hitung Kofaktor setiap elemen

Langkah 4: Susun Matriks Kofaktor

Langkah 5: Hitung Adjoin (Transpose Kofaktor)

Langkah 6: Hitung Invers

3. Sifat-Sifat Invers Matriks

4. Contoh Soal dan Pembahasan

5. Latihan Soal

📌 Ringkasan

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Aplikasi Streaming Resmi untuk Nonton Piala Dunia 2026

ASEAN Bersatu! Misi “Zero Dengue Deaths” Jadi Fokus Utama Peringatan Hari DBD 2026

Menuju Indonesia yang Lebih Hijau: Pemerintah Gaungkan Inisiatif Indonesia ASRI pada 2026

RI Kian Ambisius, Inggris Siap Kawal Reformasi Ekonomi Nasional

1. Pengertian Invers Matriks Berordo 3×3

2. Langkah-Langkah Mencari Invers Matriks 3×3

Langkah 1: Hitung Determinan (det A)

Langkah 2: Hitung Minor setiap elemen

Langkah 3: Hitung Kofaktor setiap elemen

Langkah 4: Susun Matriks Kofaktor

Langkah 5: Hitung Adjoin (Transpose Kofaktor)

Langkah 6: Hitung Invers

3. Sifat-Sifat Invers Matriks

4. Contoh Soal dan Pembahasan

5. Latihan Soal

📌 Ringkasan

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed