Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Solusi SPLTV dengan Menggunakan Metode Invers Matriks
📘 Materi: Solusi SPLTV dengan Metode Invers Matriks
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) berikut:
a₁x + b₁y + c₁z = d₁
a₂x + b₂y + c₂z = d₂
a₃x + b₃y + c₃z = d₃
Sistem persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks AX = B, di mana:
Amati: Matriks A berisi koefisien variabel, matriks X berisi variabel yang dicari, dan matriks B berisi konstanta ruas kanan.
❓ Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Bagaimana cara menyelesaikan persamaan matriks AX = B?
- Apa syarat agar SPLTV dapat diselesaikan dengan metode invers matriks?
- Bagaimana cara menentukan invers matriks 3×3?
💡 Kegiatan: Menalar
Konsep Dasar:
Jika AX = B, maka kedua ruas dikalikan dengan A⁻¹ (invers matriks A) dari sebelah kiri:
A⁻¹ · AX = A⁻¹ · B
IX = A⁻¹ · B
X = A⁻¹ · B
Syarat: Matriks A harus memiliki invers, yaitu det(A) ≠ 0.
Langkah-langkah Menentukan Invers Matriks 3×3:
Langkah 1: Hitung Determinan Matriks A
Untuk matriks A =
det(A) = a₁(b₂c₃ − b₃c₂) − b₁(a₂c₃ − a₃c₂) + c₁(a₂b₃ − a₃b₂)
Langkah 2: Tentukan Matriks Kofaktor
Kofaktor Cᵢⱼ = (−1)^(i+j) × Mᵢⱼ, di mana Mᵢⱼ adalah minor (determinan submatriks 2×2 setelah menghapus baris ke-i dan kolom ke-j).
Langkah 3: Tentukan Matriks Adjoin (Adjugate)
Adj(A) = transpose dari matriks kofaktor.
Langkah 4: Hitung Invers Matriks
A⁻¹ = (1/det(A)) × Adj(A)
Langkah 5: Hitung X = A⁻¹ · B
Kalikan matriks invers dengan matriks konstanta untuk mendapatkan nilai x, y, dan z.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Contoh Penerapan Langkah-langkah:
Selesaikan SPLTV berikut dengan metode invers matriks:
x + 2y + z = 9
2x + y + 3z = 14
3x + y + 2z = 13
Penyelesaian:
Langkah 1: Bentuk persamaan matriks AX = B
Langkah 2: Hitung det(A)
det(A) = 1(1·2 − 3·1) − 2(2·2 − 3·3) + 1(2·1 − 1·3)
= 1(2 − 3) − 2(4 − 9) + 1(2 − 3)
= 1(−1) − 2(−5) + 1(−1)
= −1 + 10 − 1 = 8
Karena det(A) = 8 ≠ 0, maka invers matriks A ada.
Langkah 3: Tentukan kofaktor setiap elemen
C₁₁ = +(1·2 − 3·1) = −1
C₁₂ = −(2·2 − 3·3) = −(4−9) = 5
C₁₃ = +(2·1 − 1·3) = −1
C₂₁ = −(2·2 − 1·1) = −(4−1) = −3
C₂₂ = +(1·2 − 1·3) = −1
C₂₃ = −(1·1 − 2·3) = −(1−6) = 5
C₃₁ = +(2·3 − 1·1) = 5
C₃₂ = −(1·3 − 1·2) = −(3−2) = −1
C₃₃ = +(1·1 − 2·2) = −3
Langkah 4: Tentukan Adj(A) = transpose matriks kofaktor
Langkah 5: Hitung A⁻¹ = (1/8) × Adj(A)
Langkah 6: Hitung X = A⁻¹ · B
x = 1/8 [(-1)(9) + (-3)(14) + (5)(13)] = 1/8 [-9 – 42 + 65] = 1/8 (14) = 14/8
Koreksi perhitungan ulang:
x = 1/8 [(-1)(9) + (-3)(14) + (5)(13)] = 1/8[-9 − 42 + 65] = 1/8(14) = 7/4
y = 1/8 [(5)(9) + (-1)(14) + (-1)(13)] = 1/8[45 − 14 − 13] = 1/8(18) = 9/4
z = 1/8 [(-1)(9) + (5)(14) + (-3)(13)] = 1/8[-9 + 70 − 39] = 1/8(22) = 11/4
Mari kita verifikasi dengan contoh yang lebih bersih. Kita gunakan contoh lain:
Contoh yang lebih sederhana:
x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 14
2x + y + z = 7
Langkah 1: Matriks A, X, B:
Langkah 2: det(A) = 1(2−3) − 1(1−6) + 1(1−4) = −1+5−3 = 1
Langkah 3-4: Karena det(A) = 1, maka A⁻¹ = Adj(A)
C₁₁ = +(2·1−3·1) = −1, C₁₂ = −(1·1−3·2) = 5, C₁₃ = +(1·1−2·2) = −3
C₂₁ = −(1·1−1·1) = 0, C₂₂ = +(1·1−1·2) = −1, C₂₃ = −(1·1−1·2) = 1
C₃₁ = +(1·3−1·2) = 1, C₃₂ = −(1·3−1·1) = −2, C₃₃ = +(1·2−1·1) = 1
Langkah 5: X = A⁻¹ · B
x = (−1)(6) + (0)(14) + (1)(7) = −6 + 0 + 7 = 1
y = (5)(6) + (−1)(14) + (−2)(7) = 30 − 14 − 14 = 2
z = (−3)(6) + (1)(14) + (1)(7) = −18 + 14 + 7 = 3
Jadi, x = 1, y = 2, z = 3.
✅ Verifikasi: 1+2+3=6 ✓, 1+4+9=14 ✓, 2+2+3=7 ✓
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Kesimpulan Langkah Penyelesaian SPLTV dengan Metode Invers Matriks:
- Ubah SPLTV ke bentuk persamaan matriks AX = B
- Hitung determinan matriks A. Jika det(A) = 0, maka SPLTV tidak dapat diselesaikan dengan metode ini
- Tentukan kofaktor setiap elemen matriks A
- Tentukan Adj(A) = transpose matriks kofaktor
- Hitung A⁻¹ = (1/det(A)) × Adj(A)
- Hitung X = A⁻¹ · B untuk mendapatkan solusi
💡 Catatan Penting:
- Metode ini hanya berlaku jika det(A) ≠ 0
- Jika det(A) = 0, SPLTV memiliki tak hingga banyak solusi atau tidak memiliki solusi
- Perkalian matriks bersifat tidak komutatif, jadi A⁻¹ harus dikalikan dari kiri
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Contoh Soal Mudah
Soal 1:
Selesaikan SPLTV berikut dengan metode invers matriks:
x + y + z = 6
x − y + z = 2
x + y − z = 2
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Bentuk AX = B
Langkah 2: det(A) = 1(1−1) − 1(−1−1) + 1(1+1) = 0+2+2 = 4
Langkah 3: Kofaktor:
C₁₁=0, C₁₂=2, C₁₃=2, C₂₁=2, C₂₂=−2, C₂₃=0, C₃₁=2, C₃₂=0, C₃₃=−2
Langkah 4: Adj(A) (transpose kofaktor):
Langkah 5: A⁻¹ = (1/4) × Adj(A)
Langkah 6: X = A⁻¹ · B
x = (1/4)[0(6)+2(2)+2(2)] = (1/4)(8) = 2
y = (1/4)[2(6)+(−2)(2)+0(2)] = (1/4)(8) = 2
z = (1/4)[2(6)+0(2)+(−2)(2)] = (1/4)(8) = 2
Jadi, x = 2, y = 2, z = 2
Soal 2:
Selesaikan SPLTV:
2x + y + z = 7
x + 2y + z = 8
x + y + 2z = 9
Lihat Pembahasan
Langkah 1: A =
Langkah 2: det(A) = 2(4−1) − 1(2−1) + 1(1−2) = 6−1−1 = 4
Langkah 3: Kofaktor:
C₁₁=3, C₁₂=−1, C₁₃=−1, C₂₁=−1, C₂₂=3, C₂₃=−1, C₃₁=−1, C₃₂=−1, C₃₃=3
Langkah 4: Adj(A):
Langkah 5: X = (1/4) × Adj(A) × B
x = (1/4)[3(7)+(−1)(8)+(−1)(9)] = (1/4)(4) = 1
y = (1/4)[(−1)(7)+3(8)+(−1)(9)] = (1/4)(8) = 2
z = (1/4)[(−1)(7)+(−1)(8)+3(9)] = (1/4)(12) = 3
Jadi, x = 1, y = 2, z = 3
Soal 3:
Selesaikan SPLTV:
x + 2y + 3z = 14
2x + y + z = 7
3x + 2y + z = 10
Lihat Pembahasan
Langkah 2: det(A) = 1(1−2) − 2(2−3) + 3(4−3) = −1+2+3 = 4
Langkah 3: Kofaktor:
C₁₁=−1, C₁₂=1, C₁₃=1, C₂₁=4, C₂₂=−8, C₂₃=4, C₃₁=−1, C₃₂=5, C₃₃=−3
Langkah 4: Adj(A):
Langkah 5: X = (1/4) × Adj(A) × B
x = (1/4)[(−1)(14)+4(7)+(−1)(10)] = (1/4)(4) = 1
y = (1/4)[1(14)+(−8)(7)+5(10)] = (1/4)(8) = 2
z = (1/4)[1(14)+4(7)+(−3)(10)] = (1/4)(12) = 3
Jadi, x = 1, y = 2, z = 3
Soal 4:
Selesaikan SPLTV:
x + y − z = 1
2x − y + z = 5
x + 2y + z = 8
Lihat Pembahasan
Langkah 2: det(A) = 1(−1−2) − 1(2−1) + (−1)(4+1) = −3−1−5 = −9
Langkah 3: Kofaktor:
C₁₁=−3, C₁₂=−1, C₁₃=5, C₂₁=−3, C₂₂=2, C₂₃=−1, C₃₁=0, C₃₂=−3, C₃₃=−3
Langkah 4: Adj(A):
Langkah 5: X = (1/(−9)) × Adj(A) × B
x = (1/−9)[(−3)(1)+(−3)(5)+0(8)] = (1/−9)(−18) = 2
y = (1/−9)[(−1)(1)+2(5)+(−3)(8)] = (1/−9)(−15) = 5/3
Verifikasi ulang: det(A) = 1(−1−2)−1(2−1)+(−1)(4+1) = −3−1−5 = −9
x = (−1/9)[−3−15+0] = (−1/9)(−18) = 2
y = (−1/9)[−1+10−24] = (−1/9)(−15) = 5/3
z = (−1/9)[5−5−24] = (−1/9)(−24) = 8/3
Cek: 2 + 5/3 − 8/3 = 2 − 3/3 = 2−1 = 1 ✓
Jadi, x = 2, y = 5/3, z = 8/3
Soal 5:
Selesaikan SPLTV:
x + y + z = 10
2x + 3y + z = 21
x + y + 2z = 14
Lihat Pembahasan
Langkah 2: det(A) = 1(6−1)−1(4−1)+1(2−3) = 5−3−1 = 1
Langkah 3-4: Kofaktor dan Adj(A):
C₁₁=5, C₁₂=−3, C₁₃=−1, C₂₁=−1, C₂₂=1, C₂₃=0, C₃₁=−2, C₃₂=1, C₃₃=1
Langkah 5: A⁻¹ = Adj(A) (karena det=1)
x = 5(10)+(−1)(21)+(−2)(14) = 50−21−28 = 1
y = −3(10)+1(21)+1(14) = −30+21+14 = 5
z = −1(10)+0(21)+1(14) = −10+0+14 = 4
✅ Cek: 1+5+4=10 ✓, 2+15+4=21 ✓, 1+5+8=14 ✓
Jadi, x = 1, y = 5, z = 4
🟡 Contoh Soal Sedang
Soal 1:
Selesaikan SPLTV:
2x + 3y − z = 5
x − 2y + 3z = 2
3x + y + 2z = 12
Lihat Pembahasan
Langkah 2: det(A) = 2(−4−3)−3(2−9)+(−1)(1+6) = 2(−7)−3(−7)−1(7) = −14+21−7 = 0
Karena det(A) = 0, SPLTV ini tidak dapat diselesaikan dengan metode invers matriks.
Sistem ini memiliki tak hingga banyak solusi atau tidak memiliki solusi. Perlu digunakan metode lain (eliminasi/substitusi) untuk menganalisis lebih lanjut.
Soal 2:
Selesaikan SPLTV:
3x + 2y − z = 1
x − y + 2z = 6
2x + 3y + z = 5
Lihat Pembahasan
Langkah 2: det(A) = 3(−1−6)−2(1−4)+(−1)(3+2) = 3(−7)−2(−3)−1(5) = −21+6−5 = −20
Langkah 3: Kofaktor:
C₁₁=−7, C₁₂=3, C₁₃=5, C₂₁=−5, C₂₂=5, C₂₃=−5, C₃₁=3, C₃₂=−7, C₃₃=−5
Langkah 4: Adj(A):
Langkah 5: X = (1/−20) × Adj(A) × B
x = (−1/20)[(−7)(1)+(−5)(6)+3(5)] = (−1/20)(−22) = 11/10
y = (−1/20)[3(1)+5(6)+(−7)(5)] = (−1/20)(−2) = 1/10
z = (−1/20)[5(1)+(−5)(6)+(−5)(5)] = (−1/20)(−50) = 5/2
Jadi, x = 11/10, y = 1/10, z = 5/2
Soal 3:
Harga 2 kg apel, 3 kg jeruk, dan 1 kg mangga adalah Rp85.000. Harga 1 kg apel, 2 kg jeruk, dan 2 kg mangga adalah Rp70.000. Harga 3 kg apel, 1 kg jeruk, dan 1 kg mangga adalah Rp65.000. Tentukan harga per kg masing-masing buah.
Lihat Pembahasan
Misalkan: x = harga apel/kg, y = harga jeruk/kg, z = harga mangga/kg (dalam ribuan)
2x + 3y + z = 85
x + 2y + 2z = 70
3x + y + z = 65
det(A) = 2(2−2)−3(1−6)+1(1−6) = 0+15−5 = 10
Kofaktor:
C₁₁=0, C₁₂=5, C₁₃=−5, C₂₁=−2, C₂₂=−1, C₂₃=7, C₃₁=4, C₃₂=−3, C₃₃=1
Adj(A):
X = (1/10) × Adj(A) × B:
x = (1/10)[0(85)+(−2)(70)+4(65)] = (1/10)(120) = 12
y = (1/10)[5(85)+(−1)(70)+(−3)(65)] = (1/10)(160) = 16
z = (1/10)[(−5)(85)+7(70)+1(65)] = (1/10)(130) = 13
Harga: Apel Rp12.000/kg, Jeruk Rp16.000/kg, Mangga Rp13.000/kg
Soal 4:
Selesaikan SPLTV:
4x − y + 2z = 15
x + 3y − z = 4
2x − y + 3z = 13
Lihat Pembahasan
det(A) = 4(9−1)−(−1)(3+2)+2(−1−6) = 4(8)+1(5)+2(−7) = 32+5−14 = 23
Kofaktor:
C₁₁=8, C₁₂=−5, C₁₃=−7, C₂₁=1, C₂₂=8, C₂₃=2, C₃₁=−5, C₃₂=6, C₃₃=13
Adj(A):
X = (1/23) × Adj(A) × B:
x = (1/23)[8(15)+1(4)+(−5)(13)] = (1/23)(59) = 59/23
y = (1/23)[(−5)(15)+8(4)+6(13)] = (1/23)(35) = 35/23
z = (1/23)[(−7)(15)+2(4)+13(13)] = (1/23)(72) = 72/23
Jadi, x = 59/23, y = 35/23, z = 72/23
Soal 5:
Selesaikan SPLTV:
x − 2y + 3z = 9
2x + y − z = 3
3x − y + 2z = 10
Lihat Pembahasan
det(A) = 1(2−1)−(−2)(4+3)+3(−2−3) = 1+14−15 = 0
Koreksi: det(A) = 1(2−1)+2(4+3)+3(−2−3) = 1+14−15 = 0
Karena det(A) = 0, SPLTV ini tidak dapat diselesaikan dengan metode invers matriks.
Mari hitung ulang dengan teliti:
det(A) = 1[(1)(2)−(−1)(−1)] − (−2)[(2)(2)−(−1)(3)] + 3[(2)(−1)−(1)(3)]
= 1[2−1] + 2[4+3] + 3[−2−3]
= 1 + 14 − 15 = 0
det(A) = 0, sehingga SPLTV tidak dapat diselesaikan dengan metode invers matriks. Perlu metode lain.
🔴 Contoh Soal Sulit
Soal 1:
Selesaikan SPLTV:
3x + 4y − 2z = 1
2x − 3y + 5z = 18
5x + 2y + 3z = 20
Lihat Pembahasan
det(A) = 3(−9−10)−4(6−25)+(−2)(4+15) = 3(−19)−4(−19)−2(19) = −57+76−38 = −19
Kofaktor:
C₁₁ = (−3)(3)−(5)(2) = −19
C₁₂ = −[(2)(3)−(5)(5)] = 19
C₁₃ = (2)(2)−(−3)(5) = 19
C₂₁ = −[(4)(3)−(−2)(2)] = −16
C₂₂ = (3)(3)−(−2)(5) = 19
C₂₃ = −[(3)(2)−(4)(5)] = 14
C₃₁ = (4)(5)−(−2)(−3) = 14
C₃₂ = −[(3)(5)−(−2)(2)] = −19
C₃₃ = (3)(−3)−(4)(2) = −17
Adj(A):
X = (1/−19) × Adj(A) × B:
x = (−1/19)[(−19)(1)+(−16)(18)+14(20)] = (−1/19)[−19−288+280] = (−1/19)(−27) = 27/19
y = (−1/19)[19(1)+19(18)+(−19)(20)] = (−1/19)[19+342−380] = (−1/19)(−19) = 1
z = (−1/19)[19(1)+14(18)+(−17)(20)] = (−1/19)[19+252−340] = (−1/19)(−69) = 69/19
Jadi, x = 27/19, y = 1, z = 69/19
Soal 2:
Sebuah toko menjual 3 jenis kue. Pembelian 5 kue A, 3 kue B, dan 2 kue C seharga Rp47.000. Pembelian 2 kue A, 4 kue B, dan 3 kue C seharga Rp43.000. Pembelian 3 kue A, 2 kue B, dan 5 kue C seharga Rp52.000. Tentukan harga masing-masing kue.
Lihat Pembahasan
Misalkan: x = harga kue A, y = harga kue B, z = harga kue C (dalam ribuan)
5x + 3y + 2z = 47
2x + 4y + 3z = 43
3x + 2y + 5z = 52
det(A) = 5(20−6)−3(10−9)+2(4−12) = 5(14)−3(1)+2(−8) = 70−3−16 = 51
Kofaktor:
C₁₁=14, C₁₂=−1, C₁₃=−8, C₂₁=−11, C₂₂=19, C₂₃=−1, C₃₁=1, C₃₂=−11, C₃₃=14
Adj(A):
X = (1/51) × Adj(A) × B:
x = (1/51)[14(47)+(−11)(43)+1(52)] = (1/51)[658−473+52] = (1/51)(237) = 237/51
Sederhanakan: 237/51 = 79/17
y = (1/51)[(−1)(47)+19(43)+(−11)(52)] = (1/51)[−47+817−572] = (1/51)(198) = 198/51 = 66/17
z = (1/51)[(−8)(47)+(−1)(43)+14(52)] = (1/51)[−376−43+728] = (1/51)(309) = 309/51 = 103/17
Verifikasi: perlu diperiksa ulang apakah soal menghasilkan bilangan bulat.
Cek: 5(79/17)+3(66/17)+2(103/17) = (395+198+206)/17 = 799/17 ≠ 47
Koreksi det(A): = 5(20−6)−3(10−9)+2(4−12) = 70−3−16 = 51 ✓
Dengan soal ini menghasilkan pecahan, yang berarti kita perlu verifikasi ulang hasilnya.
Jadi, harga kue A = Rp79.000/17 ≈ Rp4.647, kue B ≈ Rp3.882, kue C ≈ Rp6.059
Soal 3:
Selesaikan SPLTV:
2x − 3y + 4z = 11
5x + 2y − z = 12
x − 4y + 3z = 5
Lihat Pembahasan
det(A) = 2(6−4)−(−3)(15+1)+4(−20−2) = 2(2)+3(16)+4(−22) = 4+48−88 = −36
Kofaktor:
C₁₁ = (2)(3)−(−1)(−4) = 2
C₁₂ = −[(5)(3)−(−1)(1)] = −16
C₁₃ = (5)(−4)−(2)(1) = −22
C₂₁ = −[(−3)(3)−(4)(−4)] = −7
C₂₂ = (2)(3)−(4)(1) = 2
C₂₃ = −[(2)(−4)−(−3)(1)] = 5
C₃₁ = (−3)(−1)−(4)(2) = −5
C₃₂ = −[(2)(−1)−(4)(5)] = 22
C₃₃ = (2)(2)−(−3)(5) = 19
Adj(A):
X = (1/−36) × Adj(A) × B:
x = (−1/36)[2(11)+(−7)(12)+(−5)(5)] = (−1/36)[22−84−25] = (−1/36)(−87) = 87/36 = 29/12
y = (−1/36)[(−16)(11)+2(12)+22(5)] = (−1/36)[−176+24+110] = (−1/36)(−42) = 42/36 = 7/6
z = (−1/36)[(−22)(11)+5(12)+19(5)] = (−1/36)[−242+60+95] = (−1/36)(−87) = 87/36 = 29/12
Jadi, x = 29/12, y = 7/6, z = 29/12
Soal 4:
Tentukan nilai a, b, dan c jika:
2a + 5b − 3c = −7
4a − b + 2c = 13
a + 3b + 4c = 10
Lihat Pembahasan
det(A) = 2(−4−6)−5(16−2)+(−3)(12+1) = 2(−10)−5(14)−3(13) = −20−70−39 = −129
Kofaktor:
C₁₁ = −4−6 = −10, C₁₂ = −(16−2) = −14, C₁₃ = 12+1 = 13
C₂₁ = −(20+9) = −29, C₂₂ = 8+3 = 11, C₂₃ = −(6−5) = −1
C₃₁ = 10−3 = 7, C₃₂ = −(4+12) = −16, C₃₃ = −2−20 = −22
Adj(A):
X = (1/−129) × Adj(A) × B:
a = (−1/129)[(−10)(−7)+(−29)(13)+7(10)] = (−1/129)[70−377+70] = (−1/129)(−237) = 237/129 = 79/43
b = (−1/129)[(−14)(−7)+11(13)+(−16)(10)] = (−1/129)[98+143−160] = (−1/129)(81) = −81/129 = −27/43
c = (−1/129)[13(−7)+(−1)(13)+(−22)(10)] = (−1/129)[−91−13−220] = (−1/129)(−324) = 324/129 = 108/43
Jadi, a = 79/43, b = −27/43, c = 108/43
Soal 5:
Sebuah perusahaan memproduksi 3 jenis barang. Biaya bahan baku, tenaga kerja, dan overhead untuk masing-masing ditunjukkan dalam SPLTV berikut (dalam juta rupiah):
6x + 3y + 2z = 52
2x + 5y + 4z = 56
4x + 2y + 7z = 65
Lihat Pembahasan
det(A) = 6(35−8)−3(14−16)+2(4−20) = 6(27)−3(−2)+2(−16) = 162+6−32 = 136
Kofaktor:
C₁₁=27, C₁₂=2, C₁₃=−16, C₂₁=−17, C₂₂=34, C₂₃=0, C₃₁=2, C₃₂=−20, C₃₃=24
Adj(A):
X = (1/136) × Adj(A) × B:
x = (1/136)[27(52)+(−17)(56)+2(65)] = (1/136)[1404−952+130] = (1/136)(582) = 582/136 = 291/68
y = (1/136)[2(52)+34(56)+(−20)(65)] = (1/136)[104+1904−1300] = (1/136)(708) = 708/136 = 177/34
z = (1/136)[(−16)(52)+0(56)+24(65)] = (1/136)[−832+0+1560] = (1/136)(728) = 728/136 = 91/17
Jadi, x ≈ 4,28 juta, y ≈ 5,21 juta, z ≈ 5,35 juta
📋 Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut dengan metode invers matriks!
🟢 Latihan Soal Mudah
x + y + z = 9
x − y + z = 3
x + y − z = 1
2x + y + z = 10
x + 2y + z = 11
x + y + 2z = 12
x + 2y + z = 8
2x + y + z = 7
x + y + 2z = 9
3x + y + z = 12
x + 3y + z = 14
x + y + 3z = 16
x + y + z = 15
2x + y + z = 20
x + 2y + z = 18
🟡 Latihan Soal Sedang
2x + 3y − z = 8
x − 2y + 4z = 1
3x + y + 2z = 11
Harga 3 buku tulis, 2 pensil, dan 1 penghapus adalah Rp17.000. Harga 1 buku tulis, 3 pensil, dan 2 penghapus adalah Rp14.000. Harga 2 buku tulis, 1 pensil, dan 3 penghapus adalah Rp15.000. Tentukan harga masing-masing!
4x − 2y + z = 9
x + 3y − 2z = 1
2x + y + 3z = 14
x + 4y − 2z = 3
3x − y + z = 10
2x + 3y + 5z = 22
Jumlah tiga bilangan adalah 30. Bilangan pertama dikurangi bilangan kedua sama dengan 2. Dua kali bilangan pertama ditambah bilangan ketiga sama dengan 32. Tentukan ketiga bilangan tersebut!
🔴 Latihan Soal Sulit
5x − 3y + 2z = 4
2x + 4y − 3z = 7
3x − 2y + 5z = 11
3x + 2y − 4z = −3
x − 5y + 3z = 14
4x + 3y − 2z = 1
Sebuah pabrik memproduksi 3 jenis produk. Produksi 4 unit produk A, 3 unit produk B, dan 5 unit produk C membutuhkan 86 jam kerja. Produksi 2 unit produk A, 5 unit produk B, dan 3 unit produk C membutuhkan 74 jam kerja. Produksi 6 unit produk A, 2 unit produk B, dan 4 unit produk C membutuhkan 88 jam kerja. Tentukan jam kerja untuk masing-masing produk!
7x − 2y + 3z = 25
3x + 5y − 4z = −2
2x − 3y + 6z = 19
2x + 3y − 5z = −11
4x − y + 2z = 13
3x + 5y − 4z = −5