Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Ingkaran, Implikasi, Biimplikasi, Konvers, Invers & Kontrapositif
1. Ingkaran (Negasi)
Perhatikan pernyataan berikut:
- p : “5 adalah bilangan prima” β pernyataan benar (B)
- Ingkaran p : “5 bukan bilangan prima” β pernyataan salah (S)
Dari pengamatan di atas, ingkaran mengubah nilai kebenaran suatu pernyataan menjadi kebalikannya.
- Apa yang dimaksud dengan ingkaran (negasi)?
- Bagaimana cara menentukan nilai kebenaran ingkaran?
- Apa simbol yang digunakan untuk ingkaran?
Definisi
Ingkaran (negasi) dari pernyataan p adalah pernyataan yang bernilai benar jika p salah, dan bernilai salah jika p benar.
Notasi
Ingkaran dari p ditulis: ~p (dibaca “tidak p” atau “bukan p” atau “negasi p”)
Tabel Kebenaran Ingkaran
| p | ~p |
|---|---|
| B | S |
| S | B |
Aturan Penting
- Ingkaran dari “semua” adalah “ada (beberapa) yang tidak”
- Ingkaran dari “ada (beberapa)” adalah “semua tidak”
- Ingkaran dari “tidak ada” adalah “ada (beberapa)”
- ~(~p) = p (ingkaran ganda = pernyataan asli)
Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut:
- “Semua siswa rajin belajar”
- “7 adalah bilangan genap”
- “Ada siswa yang tidak lulus ujian”
Jawaban:
- “Ada siswa yang tidak rajin belajar”
- “7 bukan bilangan genap” (bernilai B)
- “Semua siswa lulus ujian”
Kesimpulan: Ingkaran (negasi) adalah operasi logika yang membalik nilai kebenaran suatu pernyataan. Jika p benar maka ~p salah, dan sebaliknya. Perhatikan aturan khusus untuk pernyataan berkuantor (semua, ada, tidak ada).
Contoh Soal Ingkaran
βΈ Tingkat Mudah
1. Tentukan ingkaran dari: “10 adalah bilangan genap”
Pembahasan: Ingkaran dari pernyataan positif adalah menambahkan kata “bukan/tidak”.
~p : “10 bukan bilangan genap”
Nilai kebenaran: p bernilai B, maka ~p bernilai S.
2. Tentukan ingkaran dari: “Jakarta adalah ibu kota Thailand”
Pembahasan:
p : “Jakarta adalah ibu kota Thailand” β bernilai S
~p : “Jakarta bukan ibu kota Thailand” β bernilai B
3. Jika p bernilai B, tentukan nilai kebenaran ~p.
Pembahasan: Berdasarkan tabel kebenaran negasi, jika p = B maka ~p = S.
4. Tentukan ingkaran dari: “3 + 4 = 7”
Pembahasan:
p : “3 + 4 = 7” β B
~p : “3 + 4 β 7” β S
5. Tentukan nilai kebenaran ~(~p) jika p bernilai S.
Pembahasan:
p = S β ~p = B β ~(~p) = S
Atau langsung: ~(~p) = p = S
βΈ Tingkat Sedang
1. Tentukan ingkaran dari: “Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil”
Pembahasan: Ingkaran “semua … adalah …” β “ada … yang bukan …”
~p : “Ada bilangan prima yang bukan bilangan ganjil”
Nilai: ~p bernilai B (karena 2 adalah prima genap, jadi pernyataan asli S).
2. Tentukan ingkaran dari: “Ada siswa yang tingginya lebih dari 180 cm”
Pembahasan: Ingkaran “ada … yang …” β “semua … tidak …”
~p : “Semua siswa tingginya tidak lebih dari 180 cm”
3. Tentukan ingkaran dari: “Tidak ada bilangan real yang kuadratnya negatif”
Pembahasan: Ingkaran “tidak ada … yang …” β “ada … yang …”
~p : “Ada bilangan real yang kuadratnya negatif”
Pernyataan asli bernilai B, maka ~p bernilai S.
4. Tentukan nilai kebenaran ~p β§ ~q jika p = B dan q = S.
Pembahasan:
p = B β ~p = S
q = S β ~q = B
~p β§ ~q = S β§ B = S
5. Tentukan ingkaran dari: “Beberapa siswa suka matematika dan fisika”
Pembahasan: “Beberapa” = “ada”, ingkaran “ada” β “semua tidak”
~p : “Semua siswa tidak suka matematika dan fisika”
(atau: “Tidak ada siswa yang suka matematika dan fisika”)
βΈ Tingkat Sulit
1. Tentukan ingkaran dari: ~(p β¨ q) dan sederhanakan menggunakan Hukum De Morgan.
Pembahasan:
Ingkaran dari ~(p β¨ q) adalah ~[~(p β¨ q)] = p β¨ q
Catatan: ~(p β¨ q) sendiri berdasarkan De Morgan = ~p β§ ~q
Maka ~(~p β§ ~q) = p β¨ q β
2. Buktikan bahwa ~(p β§ q) β‘ ~p β¨ ~q menggunakan tabel kebenaran.
Pembahasan:
| p | q | p β§ q | ~(p β§ q) | ~p | ~q | ~p β¨ ~q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | S | S |
| B | S | S | B | S | B | B |
| S | B | S | B | B | S | B |
| S | S | S | B | B | B | B |
Kolom ~(p β§ q) dan ~p β¨ ~q identik β terbukti ekuivalen.
3. Tentukan ingkaran dari: “Untuk setiap bilangan real x, jika xΒ² β₯ 0 maka x β₯ 0”
Pembahasan:
Bentuk: βx, (p β q). Ingkaran: βx, ~(p β q) = βx, (p β§ ~q)
~: “Ada bilangan real x sehingga xΒ² β₯ 0 dan x < 0”
Nilai: ingkaran bernilai B (contoh: x = -1).
4. Sederhanakan: ~(~p β¨ (q β§ ~r))
Pembahasan: Gunakan De Morgan bertahap:
= ~(~p) β§ ~(q β§ ~r) [De Morgan untuk β¨]
= p β§ (~q β¨ ~(~r)) [De Morgan untuk β§]
= p β§ (~q β¨ r)
= p β§ (~q β¨ r)
5. Tentukan ingkaran dari: “Jika semua siswa lulus, maka tidak ada yang mengulang”
Pembahasan:
Bentuk: p β q, dimana p = “semua siswa lulus”, q = “tidak ada yang mengulang”
~(p β q) = p β§ ~q
= “Semua siswa lulus” β§ “ada yang mengulang”
~: “Semua siswa lulus dan ada yang mengulang”
Latihan Soal Ingkaran
βΈ Mudah
1. Tentukan ingkaran dari: “12 adalah bilangan ganjil”
2. Tentukan ingkaran dari: “Matahari terbit dari timur”
3. Jika p bernilai S, tentukan nilai ~p.
4. Tentukan ingkaran dari: “2 + 3 = 6”
5. Tentukan nilai kebenaran ~p jika p: “Ο adalah bilangan rasional”
βΈ Sedang
1. Tentukan ingkaran dari: “Semua bilangan bulat positif lebih besar dari nol”
2. Tentukan ingkaran dari: “Ada hewan yang bisa terbang”
3. Tentukan nilai ~p β¨ ~q jika p = B dan q = B.
4. Tentukan ingkaran dari: “Tidak ada bilangan genap yang prima”
5. Tentukan ingkaran dari: “Beberapa persegi panjang adalah persegi”
βΈ Sulit
1. Sederhanakan: ~(p β§ (~q β¨ r))
2. Buktikan ~(p β¨ q) β‘ ~p β§ ~q dengan tabel kebenaran.
3. Tentukan ingkaran dari: “Untuk setiap x β β, xΒ² + 1 > 0”
4. Sederhanakan: ~(~(p β§ q) β¨ ~r)
5. Tentukan ingkaran dari: “Jika ada siswa yang rajin, maka semua guru senang”
2. Implikasi (Kondisional)
Perhatikan pernyataan:
“Jika hujan turun, maka jalan basah.“
Pernyataan ini menghubungkan dua pernyataan dengan kata “jika … maka …”. Kapan pernyataan ini dianggap salah? Hanya ketika hujan turun (benar) tetapi jalan tidak basah (salah).
- Apa yang dimaksud implikasi?
- Kapan implikasi bernilai salah?
- Bagaimana tabel kebenaran implikasi?
Definisi
Implikasi adalah pernyataan majemuk berbentuk “Jika p maka q” yang bernilai salah hanya jika p benar dan q salah.
Notasi
Ditulis: p β q atau p β q
Dibaca: “jika p maka q” atau “p mengakibatkan q” atau “p syarat cukup untuk q” atau “q syarat perlu untuk p”
Tabel Kebenaran Implikasi
| p | q | p β q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Kunci: Implikasi p β q bernilai salah HANYA jika p benar dan q salah (baris kedua). Dalam semua kasus lain, implikasi bernilai benar.
Ingkaran Implikasi
~(p β q) β‘ p β§ ~q
Tentukan nilai kebenaran dari: “Jika 4 > 2 maka 4 adalah bilangan genap”
p: “4 > 2” β B
q: “4 adalah bilangan genap” β B
p β q = B β B = B
Kesimpulan: Implikasi p β q hanya bernilai salah ketika hipotesis (p) benar tetapi kesimpulan (q) salah. Ini seperti janji: janji hanya dilanggar jika kondisi terpenuhi tapi hasilnya tidak terjadi.
Contoh Soal Implikasi
βΈ Tingkat Mudah
1. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 6 bilangan genap maka 6 habis dibagi 2”
Pembahasan: p = B, q = B. p β q = B β B = B
2. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 3 > 5 maka 3 adalah bilangan prima”
Pembahasan: p = S, q = B. p β q = S β B = B
3. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 2 + 2 = 4 maka 5 < 3”
Pembahasan: p = B, q = S. p β q = B β S = S
4. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 1 > 10 maka bumi datar”
Pembahasan: p = S, q = S. p β q = S β S = B
5. Tuliskan implikasi dari: p = “x = 3” dan q = “xΒ² = 9”
Pembahasan: p β q: “Jika x = 3 maka xΒ² = 9” β bernilai B
βΈ Tingkat Sedang
1. Tentukan nilai x agar implikasi berikut bernilai S: “Jika x + 1 = 4 maka x = 5”
Pembahasan: p β q = S berarti p = B dan q = S.
p benar: x + 1 = 4 β x = 3
q salah: x = 5 β x β 5
x = 3 memenuhi keduanya. Jadi x = 3.
2. Tentukan ingkaran dari: “Jika ia rajin belajar maka ia lulus ujian”
Pembahasan: ~(p β q) β‘ p β§ ~q
= “Ia rajin belajar dan ia tidak lulus ujian”
3. Jika p β q bernilai B dan q bernilai S, tentukan nilai p.
Pembahasan: Lihat tabel: p β q = B dan q = S terjadi hanya pada baris keempat (p = S, q = S). Jadi p = S.
4. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 2Β² = 4 maka β4 = 3”
Pembahasan: p: “2Β² = 4” β B. q: “β4 = 3” β S (karena β4 = 2).
p β q = B β S = S
5. Tunjukkan bahwa p β q β‘ ~p β¨ q.
Pembahasan:
| p | q | p β q | ~p | ~p β¨ q |
|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | B |
| B | S | S | S | S |
| S | B | B | B | B |
| S | S | B | B | B |
Kolom p β q dan ~p β¨ q identik β terbukti ekuivalen.
βΈ Tingkat Sulit
1. Tentukan semua nilai x bilangan bulat agar “Jika xΒ² = 16 maka x > 0” bernilai S.
Pembahasan: p β q = S berarti p = B dan q = S.
p benar: xΒ² = 16 β x = 4 atau x = -4
q salah: x > 0 tidak terpenuhi β x β€ 0
Irisan: x = -4. Jadi x = -4.
2. Buktikan bahwa ~(p β q) β‘ p β§ ~q menggunakan tabel kebenaran.
Pembahasan:
| p | q | pβq | ~(pβq) | ~q | pβ§~q |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | S |
| B | S | S | B | B | B |
| S | B | B | S | S | S |
| S | S | B | S | B | S |
Kolom ~(pβq) dan pβ§~q identik β terbukti.
3. Tentukan nilai kebenaran: (p β q) β§ (q β r) β (p β r) untuk semua kemungkinan (silogisme hipotetis).
Pembahasan: Ini adalah tautologi (selalu benar). Dapat dibuktikan: jika p β q benar dan q β r benar, maka p β r pasti benar. Ini dikenal sebagai hukum silogisme.
Jika p benar β q benar (dari pβq) β r benar (dari qβr). Jadi pβr benar.
Maka keseluruhan bernilai B (tautologi).
4. Tentukan nilai x β β€ agar “Jika xΒ² – 5x + 6 = 0 maka x > 3” bernilai S.
Pembahasan: p β q = S β p = B dan q = S.
p benar: xΒ² – 5x + 6 = 0 β (x-2)(x-3) = 0 β x = 2 atau x = 3
q salah: x > 3 tidak terpenuhi β x β€ 3
Irisan: x = 2 dan x = 3 (keduanya β€ 3)
Jawaban: x = 2 atau x = 3
5. Jika (p β q) β¨ r bernilai S, tentukan nilai p, q, dan r.
Pembahasan: Disjungsi bernilai S hanya jika kedua komponen S.
p β q = S β p = B dan q = S
r = S
Jadi: p = B, q = S, r = S
Latihan Soal Implikasi
βΈ Mudah
1. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 8 genap maka 8 habis dibagi 4”
2. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 5 > 10 maka 5 prima”
3. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 9 prima maka 9 ganjil”
4. Tuliskan dalam bentuk simbol: “Jika hari hujan maka jalanan licin”
5. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 2 Γ 3 = 6 maka 6 > 10”
βΈ Sedang
1. Tentukan ingkaran dari: “Jika x > 5 maka xΒ² > 25”
2. Jika p β q bernilai B dan p bernilai B, apa nilai q?
3. Tentukan nilai x agar “Jika 2x = 10 maka x = 3” bernilai S.
4. Tentukan nilai kebenaran (p β q) β§ p β q (modus ponens).
5. Tentukan ingkaran dari: “Jika semua sisi sama maka bangun itu persegi”
βΈ Sulit
1. Tentukan semua x β β€ agar “Jika |x| = 5 maka x < 0” bernilai S.
2. Buktikan p β (q β p) adalah tautologi.
3. Jika (p β§ q) β r bernilai S, tentukan nilai p, q, r.
4. Tentukan nilai kebenaran: [(p β q) β§ ~q] β ~p untuk semua kemungkinan.
5. Tentukan x β β agar “Jika xΒ² – x – 6 = 0 maka x > 5” bernilai S.
3. Biimplikasi (Bikondisional)
Perhatikan pernyataan:
“Sebuah bilangan genap jika dan hanya jika bilangan tersebut habis dibagi 2.”
Pernyataan ini menghubungkan dua pernyataan yang saling setara β keduanya benar bersama atau salah bersama.
- Apa perbedaan implikasi dan biimplikasi?
- Kapan biimplikasi bernilai benar?
Definisi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk “p jika dan hanya jika q” yang bernilai benar jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama.
Notasi
Ditulis: p β q atau p β q
Dibaca: “p jika dan hanya jika q” atau “p syarat perlu dan cukup untuk q”
Tabel Kebenaran Biimplikasi
| p | q | p β q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | B |
Kunci: p β q bernilai benar jika p dan q sama-sama benar atau sama-sama salah.
Hubungan dengan Implikasi
p β q β‘ (p β q) β§ (q β p)
Ingkaran Biimplikasi
~(p β q) β‘ (p β§ ~q) β¨ (~p β§ q)
(Bernilai benar jika p dan q berbeda nilai kebenarannya)
Tentukan nilai kebenaran: “xΒ² = 9 jika dan hanya jika x = 3”
p: “xΒ² = 9” (benar untuk x = 3 dan x = -3)
q: “x = 3”
p tidak selalu mengakibatkan q (karena x bisa = -3). Jadi p β q bernilai S secara umum.
Kesimpulan: Biimplikasi p β q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan memiliki nilai kebenaran yang sama. Ini merupakan gabungan dari implikasi dua arah: p β q dan q β p.
Contoh Soal Biimplikasi
βΈ Tingkat Mudah
1. Tentukan nilai kebenaran: “4 genap jika dan hanya jika 4 habis dibagi 2”
Pembahasan: p = B, q = B. p β q = B β B = B
2. Tentukan nilai kebenaran: “3 > 5 jika dan hanya jika 2 > 7”
Pembahasan: p = S, q = S. p β q = S β S = B
3. Tentukan nilai kebenaran: “6 prima jika dan hanya jika 6 ganjil”
Pembahasan: p = S, q = S. p β q = S β S = B
4. Tentukan nilai kebenaran: “2 + 3 = 5 jika dan hanya jika 3 Γ 2 = 8”
Pembahasan: p = B, q = S. p β q = B β S = S
5. Jika p = B dan p β q = B, tentukan nilai q.
Pembahasan: p β q = B dan p = B β q harus = B (agar sama).
βΈ Tingkat Sedang
1. Tentukan ingkaran dari: “x > 0 jika dan hanya jika x positif”
Pembahasan: ~(p β q) β‘ (p β§ ~q) β¨ (~p β§ q)
= “x > 0 dan x tidak positif” atau “x β€ 0 dan x positif”
(Karena “x > 0” dan “x positif” sama, biimplikasi ini benar, ingkarannya salah.)
2. Tentukan nilai kebenaran: (p β q) β (q β p)
Pembahasan: p β q selalu sama dengan q β p (biimplikasi komutatif). Maka (p β q) β (q β p) selalu B (tautologi).
3. Jika p β q bernilai S dan p bernilai B, tentukan nilai q.
Pembahasan: p β q = S berarti p dan q berbeda nilai. p = B β q = S.
4. Tunjukkan bahwa p β q β‘ (p β q) β§ (q β p).
Pembahasan:
| p | q | pβq | qβp | (pβq)β§(qβp) | pβq |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B | B |
| B | S | S | B | S | S |
| S | B | B | S | S | S |
| S | S | B | B | B | B |
Identik β terbukti.
5. Tentukan nilai kebenaran: “xΒ² = 25 jika dan hanya jika x = 5” (x β β€)
Pembahasan:
p: “xΒ² = 25” β benar untuk x = 5 dan x = -5
q: “x = 5” β hanya benar untuk x = 5
Ketika x = -5: p = B tapi q = S β p β q = S
βΈ Tingkat Sulit
1. Buktikan bahwa (p β q) β‘ (p β§ q) β¨ (~p β§ ~q).
Pembahasan:
| p | q | pβ§q | ~pβ§~q | (pβ§q)β¨(~pβ§~q) | pβq |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | B | B |
| B | S | S | S | S | S |
| S | B | S | S | S | S |
| S | S | S | B | B | B |
Terbukti ekuivalen.
2. Tentukan nilai kebenaran: [(p β q) β§ (q β p)] β (p β q)
Pembahasan: Karena p β q β‘ (pβq)β§(qβp), maka kedua sisi sama. Biimplikasi dari dua hal yang ekuivalen selalu bernilai B (tautologi).
3. Tentukan semua nilai x β β€ agar “xΒ² – 4 = 0 β x = 2” bernilai B.
Pembahasan: p β q = B jika p dan q sama nilainya.
p: xΒ² – 4 = 0 β x = 2 atau x = -2
q: x = 2
Untuk x = 2: p = B, q = B β B β B = B β
Untuk x = -2: p = B, q = S β B β S = S β
Untuk x lainnya: p = S, q = S β S β S = B β
Jawaban: semua x β β€ kecuali x = -2
4. Sederhanakan ~(p β q) menggunakan operator dasar.
Pembahasan:
~(p β q) β‘ ~[(pβq) β§ (qβp)]
β‘ ~(pβq) β¨ ~(qβp) [De Morgan]
β‘ (p β§ ~q) β¨ (q β§ ~p)
= (p β§ ~q) β¨ (~p β§ q) (disebut juga XOR)
5. Tentukan nilai (p β q) β r jika p = B, q = S, r = S.
Pembahasan:
p β q = B β S = S
(p β q) β r = S β S = B
Latihan Soal Biimplikasi
βΈ Mudah
1. Tentukan nilai kebenaran: “9 ganjil jika dan hanya jika 9 tidak habis dibagi 2”
2. Tentukan nilai kebenaran: “1 > 5 jika dan hanya jika 2 > 8”
3. Jika p = S dan q = B, tentukan nilai p β q.
4. Tentukan nilai kebenaran: “4 + 5 = 9 jika dan hanya jika 9 – 4 = 5”
5. Jika p β q = S dan p = S, tentukan nilai q.
βΈ Sedang
1. Tentukan ingkaran dari: “x genap jika dan hanya jika x habis dibagi 2”
2. Tentukan nilai kebenaran: “|x| = 3 jika dan hanya jika x = 3” (x β β€)
3. Jika (p β q) β§ p bernilai B, tentukan nilai q.
4. Tentukan nilai kebenaran: “xΒ² = x jika dan hanya jika x = 1” (x β β)
5. Tunjukkan bahwa ~(p β q) β‘ (p β ~q).
βΈ Sulit
1. Buktikan (p β q) β (q β p) adalah tautologi.
2. Tentukan semua x β β€ agar “xΒ² = 9 β x > 0” bernilai B.
3. Sederhanakan: (p β q) β§ (p β ~q).
4. Tentukan nilai kebenaran (p β q) β [(p β§ q) β¨ (~p β§ ~q)] untuk semua kemungkinan.
5. Tentukan x β β agar “(x-1)(x-2)=0 β x=1” bernilai S.
4. Konvers
Perhatikan implikasi berikut:
p β q : “Jika hari hujan maka jalan basah”
Bagaimana jika kita balik?
q β p : “Jika jalan basah maka hari hujan”
Kedua pernyataan ini tidak selalu memiliki nilai kebenaran yang sama! (Jalan bisa basah karena disiram)
- Apa yang dimaksud konvers?
- Apakah konvers selalu ekuivalen dengan implikasi aslinya?
Definisi
Konvers dari implikasi p β q adalah q β p.
Tabel Perbandingan
| p | q | p β q | q β p (konvers) |
|---|---|---|---|
| B | B | B | B |
| B | S | S | B |
| S | B | B | S |
| S | S | B | B |
Penting: Konvers TIDAK selalu ekuivalen dengan implikasi asli (lihat baris 2 dan 3 berbeda).
Tentukan konvers dari: “Jika x = 4 maka xΒ² = 16”
Konvers: “Jika xΒ² = 16 maka x = 4”
Implikasi asli bernilai B. Konvers bernilai S (karena x bisa = -4).
Kesimpulan: Konvers dari p β q adalah q β p, yaitu membalik hipotesis dan kesimpulan. Konvers tidak selalu memiliki nilai kebenaran yang sama dengan implikasi aslinya.
Contoh Soal Konvers
βΈ Tingkat Mudah
1. Tentukan konvers dari: “Jika 6 genap maka 6 habis dibagi 2”
Pembahasan: Konvers: “Jika 6 habis dibagi 2 maka 6 genap” β B
2. Tentukan konvers dari: “Jika x = 5 maka x + 3 = 8”
Pembahasan: Konvers: “Jika x + 3 = 8 maka x = 5” β B
3. Tentukan konvers dari: “Jika segitiga sama sisi maka ketiga sisinya sama”
Pembahasan: Konvers: “Jika ketiga sisi sama maka segitiga sama sisi” β B
4. Tentukan konvers dari: “Jika hari Minggu maka libur sekolah”
Pembahasan: Konvers: “Jika libur sekolah maka hari Minggu” β S (bisa libur hari lain)
5. Jika implikasi p β q bernilai B, apakah konversnya pasti B?
Pembahasan: Tidak. Konvers (q β p) bisa bernilai berbeda dari implikasi asli.
βΈ Tingkat Sedang
1. Tentukan konvers dan nilai kebenarannya: “Jika xΒ² = 9 maka x = 3”
Pembahasan:
Implikasi asli: p β q. p: xΒ²=9, q: x=3.
Asli bernilai S (x bisa = -3 β p=B, q=S)
Konvers: “Jika x = 3 maka xΒ² = 9” β B
2. Tentukan konvers dan nilai kebenarannya: “Jika suatu bilangan habis dibagi 4 maka habis dibagi 2”
Pembahasan:
Asli: B (semua kelipatan 4 pasti kelipatan 2)
Konvers: “Jika habis dibagi 2 maka habis dibagi 4” β S (contoh: 6 habis dibagi 2 tapi tidak habis dibagi 4)
3. Kapan p β q dan konversnya q β p keduanya benar?
Pembahasan: Keduanya benar jika p β q benar (biimplikasi). Ini terjadi ketika p dan q ekuivalen (memiliki nilai kebenaran yang selalu sama).
4. Tentukan konvers: “Jika ABCD persegi maka ABCD belah ketupat”
Pembahasan:
Asli: B (persegi adalah belah ketupat khusus)
Konvers: “Jika ABCD belah ketupat maka ABCD persegi” β S (belah ketupat tidak harus persegi)
5. Berikan contoh implikasi yang benar tetapi konversnya salah.
Pembahasan:
“Jika x = 2 maka xΒ² = 4” β B
Konvers: “Jika xΒ² = 4 maka x = 2” β S (x bisa = -2)
βΈ Tingkat Sulit
1. Buktikan bahwa konvers dari p β q ekuivalen dengan invers dari p β q (yaitu q β p β‘ ~p β ~q).
Pembahasan:
Konvers: q β p
Invers: ~p β ~q β‘ (kontrapositif dari q β p) … kita buktikan dengan tabel:
| p | q | qβp | ~p | ~q | ~pβ~q |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | B |
| B | S | B | S | B | B |
| S | B | S | B | S | S |
| S | S | B | B | B | B |
Kolom qβp dan ~pβ~q identik β terbukti ekuivalen.
2. Tentukan semua x β β€ agar konvers dari “Jika xΒ² = 4 maka x > 0” bernilai S.
Pembahasan:
Konvers: “Jika x > 0 maka xΒ² = 4”
Bernilai S jika: x > 0 (B) dan xΒ² = 4 (S) β x > 0 dan x β 2 dan x β -2
Karena x > 0 dan x β 2: x β {1, 3, 4, 5, 6, …} (semua bilangan bulat positif selain 2)
3. Jika p β q bernilai B dan q β p bernilai S, tentukan nilai p dan q.
Pembahasan:
q β p = S berarti q = B dan p = S.
Verifikasi: p β q = S β B = B β
Jadi: p = S, q = B
4. Tentukan konvers dari “Jika semua siswa lulus maka tidak ada remidi” dan bandingkan nilai kebenarannya.
Pembahasan:
Asli: “Jika semua siswa lulus maka tidak ada remidi” β B (logis)
Konvers: “Jika tidak ada remidi maka semua siswa lulus” β B (tidak ada remidi berarti semua lulus)
Dalam kasus ini, asli dan konvers keduanya benar β pernyataan ini biimplikasi.
5. Tunjukkan bahwa (p β q) β§ (q β p) β‘ p β q.
Pembahasan: Ini sudah dibuktikan di bagian biimplikasi. Implikasi DAN konversnya yang keduanya benar setara dengan biimplikasi benar.
Artinya: p β q (asli) bernilai B DAN q β p (konvers) bernilai B β p β q bernilai B.
Latihan Soal Konvers
βΈ Mudah
1. Tentukan konvers dari: “Jika 10 genap maka 10 habis dibagi 5”
2. Tentukan konvers dari: “Jika hewan itu kucing maka hewan itu berkaki empat”
3. Tentukan konvers dari: “Jika x = 7 maka x + 1 = 8”
4. Tentukan konvers dari: “Jika segitiga siku-siku maka ada sudut 90Β°”
5. Tentukan konvers dari: “Jika ia rajin maka ia pintar”
βΈ Sedang
1. Tentukan konvers dan nilai kebenarannya: “Jika x habis dibagi 6 maka x habis dibagi 3”
2. Tentukan konvers dan nilai kebenarannya: “Jika |x| = 4 maka x = 4”
3. Berikan contoh implikasi yang benar dan konversnya juga benar.
4. Tentukan konvers: “Jika ABCD jajar genjang maka sisi berhadapan sejajar”
5. Kapan konvers dari suatu implikasi pasti benar?
βΈ Sulit
1. Tentukan x β β€ agar konvers dari “Jika xΒ² = 16 maka x > 0” bernilai S.
2. Buktikan konvers dari tautologi tidak selalu tautologi.
3. Jika p β q = B, q β p = B, dan p = B, tentukan nilai q.
4. Tentukan konvers dari “Jika nΒ² genap maka n genap” dan buktikan keduanya benar.
5. Tunjukkan bahwa konvers dari kontrapositif p β q sama dengan implikasi asli.
5. Invers
Dari implikasi: “Jika hujan turun maka jalan basah” (p β q)
Invers: “Jika hujan tidak turun maka jalan tidak basah” (~p β ~q)
Apakah invers selalu benar jika implikasi asli benar? Tidak! (Jalan bisa basah karena sebab lain)
- Apa yang dimaksud invers?
- Apa hubungan invers dengan konvers dan kontrapositif?
Definisi
Invers dari implikasi p β q adalah ~p β ~q.
Hubungan Penting
- Invers dari p β q: ~p β ~q
- Invers ekuivalen dengan konvers: ~p β ~q β‘ q β p
- Invers TIDAK ekuivalen dengan implikasi asli
Tabel Perbandingan
| p | q | pβq | ~pβ~q (invers) | qβp (konvers) |
|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B |
| B | S | S | B | B |
| S | B | B | S | S |
| S | S | B | B | B |
Perhatikan: kolom invers dan konvers identik (keduanya ekuivalen).
Tentukan invers dari: “Jika x > 5 maka x > 3”
Invers: “Jika x β€ 5 maka x β€ 3” β S (contoh: x = 4, maka x β€ 5 benar tapi x β€ 3 salah)
Kesimpulan: Invers (~p β ~q) diperoleh dengan menegasikan hipotesis dan kesimpulan dari implikasi asli. Invers ekuivalen dengan konvers, tetapi tidak ekuivalen dengan implikasi asli maupun kontrapositif.
Contoh Soal Invers
βΈ Tingkat Mudah
1. Tentukan invers dari: “Jika 8 genap maka 8 habis dibagi 2”
Pembahasan: Invers: “Jika 8 tidak genap maka 8 tidak habis dibagi 2” β B
2. Tentukan invers dari: “Jika x = 3 maka xΒ² = 9”
Pembahasan: Invers: “Jika x β 3 maka xΒ² β 9” β S (x=-3 memberikan xΒ²=9)
3. Tentukan invers dari: “Jika ia belajar maka ia pintar”
Pembahasan: Invers: “Jika ia tidak belajar maka ia tidak pintar”
4. Tentukan invers dari: “Jika hari hujan maka ia membawa payung”
Pembahasan: Invers: “Jika hari tidak hujan maka ia tidak membawa payung”
5. Apakah invers selalu bernilai sama dengan implikasi aslinya?
Pembahasan: Tidak. Invers tidak selalu ekuivalen dengan implikasi asli.
βΈ Tingkat Sedang
1. Tentukan invers dan bandingkan nilai kebenaran dengan implikasi asli: “Jika x habis dibagi 4 maka x genap”
Pembahasan:
Asli: B (habis dibagi 4 β pasti genap)
Invers: “Jika x tidak habis dibagi 4 maka x tidak genap” β S (contoh: x=6)
2. Tunjukkan bahwa invers dari p β q ekuivalen dengan konvers.
Pembahasan:
Invers: ~p β ~q
Kontrapositif dari ~p β ~q: ~~q β ~~p = q β p = konvers
Karena suatu implikasi ekuivalen dengan kontrapositifnya, maka ~p β ~q β‘ q β p β
3. Jika implikasi asli p β q bernilai B dan inversnya ~p β ~q bernilai B, apa yang bisa disimpulkan?
Pembahasan: Jika p β q dan ~p β ~q (= q β p) keduanya B, maka p β q bernilai B. Artinya p dan q ekuivalen.
4. Tentukan invers dari: “Jika segitiga sama sisi maka semua sudutnya 60Β°”
Pembahasan:
Invers: “Jika segitiga bukan sama sisi maka tidak semua sudutnya 60Β°” β B
(Implikasi asli dan inversnya keduanya benar β biimplikasi.)
5. Tentukan nilai kebenaran invers dari: “Jika |x| = 5 maka x = 5”
Pembahasan:
Asli bernilai S (x bisa = -5)
Invers: “Jika |x| β 5 maka x β 5” β B (jika |x|β 5 maka pasti xβ 5 dan xβ -5)
βΈ Tingkat Sulit
1. Tentukan x β β€ agar invers dari “Jika xΒ² = 25 maka x > 0” bernilai S.
Pembahasan:
Invers: “Jika xΒ² β 25 maka x β€ 0”
Bernilai S jika: xΒ² β 25 (B) dan x β€ 0 (S) β xΒ² β 25 dan x > 0
x > 0 dan x β 5: x β {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, …}
2. Buktikan: jika p β q tautologi, maka inversnya (~p β ~q) belum tentu tautologi.
Pembahasan:
Contoh: “Jika x > 5 maka x > 3” (selalu benar)
Inversnya: “Jika x β€ 5 maka x β€ 3” (salah untuk x = 4)
Jadi invers dari implikasi yang selalu benar belum tentu selalu benar.
3. Tentukan invers dari: “Jika βx β β, xΒ² β₯ 0 maka x β β”
Pembahasan:
p: “βx β β, xΒ² β₯ 0” β B
q: “x β β” β B
Invers: “Jika βx β β sedemikian sehingga xΒ² < 0, maka x β β”
~p = S, ~q tergantung konteks. Invers: S β apa saja = B
4. Tunjukkan hubungan: invers β‘ konvers β’ implikasi asli β‘ kontrapositif.
Pembahasan:
Dari tabel di atas kita sudah buktikan:
β’ p β q β‘ ~q β ~p (kontrapositif) β ekuivalen
β’ ~p β ~q β‘ q β p (invers β‘ konvers) β ekuivalen
β’ p β q β’ ~p β ~q (asli β’ invers) β tidak ekuivalen
Jadi ada dua pasang yang saling ekuivalen: {asli, kontrapositif} dan {konvers, invers}.
5. Tentukan kapan invers dan implikasi asli bernilai sama.
Pembahasan:
p β q dan ~p β ~q sama nilainya ketika:
β’ p = B, q = B: asli = B, invers = B β
β’ p = S, q = S: asli = B, invers = B β
β’ p = B, q = S: asli = S, invers = B β
β’ p = S, q = B: asli = B, invers = S β
Jadi sama nilainya hanya jika p dan q bernilai sama (p β q benar).
Latihan Soal Invers
βΈ Mudah
1. Tentukan invers dari: “Jika 15 ganjil maka 15 tidak habis dibagi 2”
2. Tentukan invers dari: “Jika ia sakit maka ia tidak masuk sekolah”
3. Tentukan invers dari: “Jika x = 10 maka 2x = 20”
4. Tentukan invers dari: “Jika hari cerah maka ia pergi”
5. Tuliskan simbol invers dari p β q.
βΈ Sedang
1. Tentukan invers dan bandingkan nilainya: “Jika x > 10 maka x > 5”
2. Tentukan invers dari: “Jika segitiga siku-siku maka berlaku aΒ² + bΒ² = cΒ²”
3. Jika inversnya benar dan implikasi asli benar, apa kesimpulannya?
4. Tentukan invers: “Jika n genap maka nΒ² genap” dan tentukan nilai kebenarannya.
5. Berikan contoh implikasi yang benar tetapi inversnya salah.
βΈ Sulit
1. Tentukan x β β€ agar invers dari “Jika xΒ² = 36 maka x > 0” bernilai S.
2. Buktikan ~p β ~q β‘ q β p menggunakan tabel kebenaran.
3. Kapan implikasi, konvers, invers, dan kontrapositif semuanya bernilai sama?
4. Tentukan invers dari: “Jika βn β β, n β₯ 1 maka n + 1 β₯ 2”
5. Jika p β q = S, tentukan nilai invers, konvers, dan kontrapositifnya.
6. Kontrapositif
Perhatikan:
Asli: “Jika hujan turun maka jalan basah” (p β q)
Kontrapositif: “Jika jalan tidak basah maka hujan tidak turun” (~q β ~p)
Kedua pernyataan ini selalu memiliki nilai kebenaran yang sama!
- Apa yang dimaksud kontrapositif?
- Mengapa kontrapositif selalu ekuivalen dengan implikasi asli?
Definisi
Kontrapositif dari implikasi p β q adalah ~q β ~p.
Sifat Utama
p β q β‘ ~q β ~p
Kontrapositif SELALU ekuivalen dengan implikasi asli.
Tabel Kebenaran (Pembuktian)
| p | q | pβq | ~q | ~p | ~qβ~p |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | B |
| B | S | S | B | S | S |
| S | B | B | S | B | B |
| S | S | B | B | B | B |
Kolom p β q dan ~q β ~p identik β terbukti ekuivalen.
Ringkasan Hubungan
| Nama | Bentuk | Ekuivalen dengan |
|---|---|---|
| Implikasi (Asli) | p β q | Kontrapositif |
| Konvers | q β p | Invers |
| Invers | ~p β ~q | Konvers |
| Kontrapositif | ~q β ~p | Implikasi asli |
Tentukan kontrapositif dari: “Jika x > 5 maka x > 3”
Kontrapositif: “Jika x β€ 3 maka x β€ 5” β B (sama dengan asli yang juga B)
Kesimpulan: Kontrapositif (~q β ~p) selalu ekuivalen dengan implikasi asli (p β q). Ini sangat berguna dalam pembuktian matematika β membuktikan kontrapositif sama dengan membuktikan pernyataan asli.
Contoh Soal Kontrapositif
βΈ Tingkat Mudah
1. Tentukan kontrapositif dari: “Jika 6 genap maka 6 habis dibagi 2”
Pembahasan: Kontrapositif: “Jika 6 tidak habis dibagi 2 maka 6 tidak genap” β B
2. Tentukan kontrapositif dari: “Jika ia rajin maka ia lulus”
Pembahasan: Kontrapositif: “Jika ia tidak lulus maka ia tidak rajin”
3. Tentukan kontrapositif dari: “Jika x = 4 maka x + 2 = 6”
Pembahasan: Kontrapositif: “Jika x + 2 β 6 maka x β 4” β B
4. Jika p β q bernilai B, apa nilai kontrapositifnya?
Pembahasan: Kontrapositif selalu ekuivalen dengan asli, jadi juga B.
5. Tentukan kontrapositif dari: “Jika hari panas maka AC dinyalakan”
Pembahasan: Kontrapositif: “Jika AC tidak dinyalakan maka hari tidak panas”
βΈ Tingkat Sedang
1. Tentukan kontrapositif dan bandingkan: “Jika xΒ² = 9 maka x = 3”
Pembahasan:
Asli: S (x bisa = -3)
Kontrapositif: “Jika x β 3 maka xΒ² β 9” β S (x=-3 memberikan xΒ²=9)
Keduanya bernilai sama (S) β
2. Gunakan kontrapositif untuk menunjukkan: “Jika nΒ² ganjil maka n ganjil”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika n genap maka nΒ² genap”
Bukti: n genap β n = 2k β nΒ² = 4kΒ² = 2(2kΒ²) β nΒ² genap β
Karena kontrapositif benar, pernyataan asli juga benar.
3. Tentukan kontrapositif dari: “Jika ABCD persegi maka ABCD persegi panjang”
Pembahasan:
Asli: B (persegi adalah persegi panjang khusus)
Kontrapositif: “Jika ABCD bukan persegi panjang maka ABCD bukan persegi” β B
4. Tentukan kontrapositif: “Jika a Γ b = 0 maka a = 0 atau b = 0”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika a β 0 dan b β 0 maka a Γ b β 0” β B
(Ingat: ~(a=0 β¨ b=0) = aβ 0 β§ bβ 0)
5. Dari implikasi “Jika x habis dibagi 6 maka x habis dibagi 2”, tentukan asli, konvers, invers, dan kontrapositifnya.
Pembahasan:
Asli (pβq): “Jika x habis dibagi 6 maka x habis dibagi 2” β B
Konvers (qβp): “Jika x habis dibagi 2 maka x habis dibagi 6” β S (contoh: x=4)
Invers (~pβ~q): “Jika x tidak habis dibagi 6 maka x tidak habis dibagi 2” β S (contoh: x=4)
Kontrapositif (~qβ~p): “Jika x tidak habis dibagi 2 maka x tidak habis dibagi 6” β B
βΈ Tingkat Sulit
1. Buktikan dengan kontrapositif: “Jika nΒ² genap maka n genap”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika n ganjil maka nΒ² ganjil”
Bukti: n ganjil β n = 2k+1 β nΒ² = (2k+1)Β² = 4kΒ²+4k+1 = 2(2kΒ²+2k)+1 β ganjil β
Karena kontrapositif terbukti benar, pernyataan asli terbukti benar.
2. Buktikan: “Jika x + y β₯ 20 maka x β₯ 10 atau y β₯ 10” menggunakan kontrapositif.
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika x < 10 dan y < 10 maka x + y < 20”
Bukti: x < 10 dan y < 10 β x + y < 10 + 10 = 20 β
Kontrapositif benar β asli terbukti.
3. Tentukan semua x β β€ agar kontrapositif dari “Jika xΒ² = 4 maka x = 2” bernilai S.
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika x β 2 maka xΒ² β 4”
Bernilai S jika: x β 2 (B) dan xΒ² β 4 (S) β x β 2 dan xΒ² = 4 β x = -2
Jawaban: x = -2
(Verifikasi: asli juga S untuk x=-2: xΒ²=4 benar tapi x=2 salah β)
4. Buktikan: “Jika 3n + 2 genap maka n genap” menggunakan kontrapositif.
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika n ganjil maka 3n + 2 ganjil”
Bukti: n ganjil β n = 2k+1 β 3n+2 = 3(2k+1)+2 = 6k+3+2 = 6k+5 = 2(3k+2)+1 β ganjil β
Kontrapositif benar β asli terbukti.
5. Dari suatu implikasi, jika konvers dan kontrapositifnya bernilai sama (keduanya B), tentukan hubungan p dan q.
Pembahasan:
Kontrapositif (= asli) bernilai B β p β q = B
Konvers bernilai B β q β p = B
Keduanya B β (p β q) β§ (q β p) = B β p β q bernilai B
Jadi p dan q ekuivalen (bernilai sama).
Latihan Soal Kontrapositif
βΈ Mudah
1. Tentukan kontrapositif dari: “Jika 9 ganjil maka 9 tidak habis dibagi 2”
2. Tentukan kontrapositif dari: “Jika ia sakit maka ia tidak masuk”
3. Tentukan kontrapositif dari: “Jika x = 7 maka x + 3 = 10”
4. Jika p β q bernilai S, apa nilai kontrapositifnya?
5. Tentukan kontrapositif dari: “Jika hewan itu ikan maka hidup di air”
βΈ Sedang
1. Tentukan implikasi asli, konvers, invers, dan kontrapositif dari: “Jika x > 7 maka x > 4”
2. Gunakan kontrapositif untuk menunjukkan: “Jika nΒ³ ganjil maka n ganjil”
3. Tentukan kontrapositif dari: “Jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0”
4. Dari “Jika xΒ² > 4 maka |x| > 2”, tentukan kontrapositif dan bandingkan nilainya.
5. Jika kontrapositif bernilai S, tentukan nilai implikasi asli, konvers, dan invers.
βΈ Sulit
1. Buktikan dengan kontrapositif: “Jika nΒ² habis dibagi 3 maka n habis dibagi 3”
2. Buktikan: “Jika xΒ² + yΒ² = 0 maka x = 0 dan y = 0” menggunakan kontrapositif.
3. Tentukan x β β€ agar kontrapositif dari “Jika xΒ² = 25 maka x = 5” bernilai S.
4. Buktikan: “Jika a + b β₯ 10 maka a β₯ 5 atau b β₯ 5” menggunakan kontrapositif.
5. Tentukan hubungan implikasi, konvers, invers, dan kontrapositif jika implikasi asli adalah tautologi.
Ringkasan
| Nama | Simbol | Keterangan |
|---|---|---|
| Ingkaran | ~p | Membalik nilai kebenaran p |
| Implikasi | p β q | Salah hanya jika p=B, q=S |
| Biimplikasi | p β q | Benar jika p dan q sama nilainya |
| Konvers | q β p | Membalik hipotesis & kesimpulan |
| Invers | ~p β ~q | Menegasikan keduanya |
| Kontrapositif | ~q β ~p | Ekuivalen dengan asli (pβq) |
Pasangan Ekuivalen:
- Implikasi β‘ Kontrapositif: p β q β‘ ~q β ~p
- Konvers β‘ Invers: q β p β‘ ~p β ~q