Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Ingkaran, Implikasi, Biimplikasi, Konvers, Invers & Kontrapositif
1. Ingkaran (Negasi)
Perhatikan pernyataan berikut:
- p : “5 adalah bilangan prima” → pernyataan benar (B)
- Ingkaran p : “5 bukan bilangan prima” → pernyataan salah (S)
Dari pengamatan di atas, ingkaran mengubah nilai kebenaran suatu pernyataan menjadi kebalikannya.
- Apa yang dimaksud dengan ingkaran (negasi)?
- Bagaimana cara menentukan nilai kebenaran ingkaran?
- Apa simbol yang digunakan untuk ingkaran?
Definisi
Ingkaran (negasi) dari pernyataan p adalah pernyataan yang bernilai benar jika p salah, dan bernilai salah jika p benar.
Notasi
Ingkaran dari p ditulis: ~p (dibaca “tidak p” atau “bukan p” atau “negasi p”)
Tabel Kebenaran Ingkaran
| p | ~p |
|---|---|
| B | S |
| S | B |
Aturan Penting
- Ingkaran dari “semua” adalah “ada (beberapa) yang tidak”
- Ingkaran dari “ada (beberapa)” adalah “semua tidak”
- Ingkaran dari “tidak ada” adalah “ada (beberapa)”
- ~(~p) = p (ingkaran ganda = pernyataan asli)
Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut:
- “Semua siswa rajin belajar”
- “7 adalah bilangan genap”
- “Ada siswa yang tidak lulus ujian”
Jawaban:
- “Ada siswa yang tidak rajin belajar”
- “7 bukan bilangan genap” (bernilai B)
- “Semua siswa lulus ujian”
Kesimpulan: Ingkaran (negasi) adalah operasi logika yang membalik nilai kebenaran suatu pernyataan. Jika p benar maka ~p salah, dan sebaliknya. Perhatikan aturan khusus untuk pernyataan berkuantor (semua, ada, tidak ada).
Contoh Soal Ingkaran
▸ Tingkat Mudah
1. Tentukan ingkaran dari: “10 adalah bilangan genap”
Pembahasan: Ingkaran dari pernyataan positif adalah menambahkan kata “bukan/tidak”.
~p : “10 bukan bilangan genap”
Nilai kebenaran: p bernilai B, maka ~p bernilai S.
2. Tentukan ingkaran dari: “Jakarta adalah ibu kota Thailand”
Pembahasan:
p : “Jakarta adalah ibu kota Thailand” → bernilai S
~p : “Jakarta bukan ibu kota Thailand” → bernilai B
3. Jika p bernilai B, tentukan nilai kebenaran ~p.
Pembahasan: Berdasarkan tabel kebenaran negasi, jika p = B maka ~p = S.
4. Tentukan ingkaran dari: “3 + 4 = 7”
Pembahasan:
p : “3 + 4 = 7” → B
~p : “3 + 4 ≠ 7” → S
5. Tentukan nilai kebenaran ~(~p) jika p bernilai S.
Pembahasan:
p = S → ~p = B → ~(~p) = S
Atau langsung: ~(~p) = p = S
▸ Tingkat Sedang
1. Tentukan ingkaran dari: “Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil”
Pembahasan: Ingkaran “semua … adalah …” → “ada … yang bukan …”
~p : “Ada bilangan prima yang bukan bilangan ganjil”
Nilai: ~p bernilai B (karena 2 adalah prima genap, jadi pernyataan asli S).
2. Tentukan ingkaran dari: “Ada siswa yang tingginya lebih dari 180 cm”
Pembahasan: Ingkaran “ada … yang …” → “semua … tidak …”
~p : “Semua siswa tingginya tidak lebih dari 180 cm”
3. Tentukan ingkaran dari: “Tidak ada bilangan real yang kuadratnya negatif”
Pembahasan: Ingkaran “tidak ada … yang …” → “ada … yang …”
~p : “Ada bilangan real yang kuadratnya negatif”
Pernyataan asli bernilai B, maka ~p bernilai S.
4. Tentukan nilai kebenaran ~p ∧ ~q jika p = B dan q = S.
Pembahasan:
p = B → ~p = S
q = S → ~q = B
~p ∧ ~q = S ∧ B = S
5. Tentukan ingkaran dari: “Beberapa siswa suka matematika dan fisika”
Pembahasan: “Beberapa” = “ada”, ingkaran “ada” → “semua tidak”
~p : “Semua siswa tidak suka matematika dan fisika”
(atau: “Tidak ada siswa yang suka matematika dan fisika”)
▸ Tingkat Sulit
1. Tentukan ingkaran dari: ~(p ∨ q) dan sederhanakan menggunakan Hukum De Morgan.
Pembahasan:
Ingkaran dari ~(p ∨ q) adalah ~[~(p ∨ q)] = p ∨ q
Catatan: ~(p ∨ q) sendiri berdasarkan De Morgan = ~p ∧ ~q
Maka ~(~p ∧ ~q) = p ∨ q ✓
2. Buktikan bahwa ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q menggunakan tabel kebenaran.
Pembahasan:
| p | q | p ∧ q | ~(p ∧ q) | ~p | ~q | ~p ∨ ~q |
|---|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | S | S |
| B | S | S | B | S | B | B |
| S | B | S | B | B | S | B |
| S | S | S | B | B | B | B |
Kolom ~(p ∧ q) dan ~p ∨ ~q identik → terbukti ekuivalen.
3. Tentukan ingkaran dari: “Untuk setiap bilangan real x, jika x² ≥ 0 maka x ≥ 0”
Pembahasan:
Bentuk: ∀x, (p → q). Ingkaran: ∃x, ~(p → q) = ∃x, (p ∧ ~q)
~: “Ada bilangan real x sehingga x² ≥ 0 dan x < 0”
Nilai: ingkaran bernilai B (contoh: x = -1).
4. Sederhanakan: ~(~p ∨ (q ∧ ~r))
Pembahasan: Gunakan De Morgan bertahap:
= ~(~p) ∧ ~(q ∧ ~r) [De Morgan untuk ∨]
= p ∧ (~q ∨ ~(~r)) [De Morgan untuk ∧]
= p ∧ (~q ∨ r)
= p ∧ (~q ∨ r)
5. Tentukan ingkaran dari: “Jika semua siswa lulus, maka tidak ada yang mengulang”
Pembahasan:
Bentuk: p → q, dimana p = “semua siswa lulus”, q = “tidak ada yang mengulang”
~(p → q) = p ∧ ~q
= “Semua siswa lulus” ∧ “ada yang mengulang”
~: “Semua siswa lulus dan ada yang mengulang”
Latihan Soal Ingkaran
▸ Mudah
1. Tentukan ingkaran dari: “12 adalah bilangan ganjil”
2. Tentukan ingkaran dari: “Matahari terbit dari timur”
3. Jika p bernilai S, tentukan nilai ~p.
4. Tentukan ingkaran dari: “2 + 3 = 6”
5. Tentukan nilai kebenaran ~p jika p: “π adalah bilangan rasional”
▸ Sedang
1. Tentukan ingkaran dari: “Semua bilangan bulat positif lebih besar dari nol”
2. Tentukan ingkaran dari: “Ada hewan yang bisa terbang”
3. Tentukan nilai ~p ∨ ~q jika p = B dan q = B.
4. Tentukan ingkaran dari: “Tidak ada bilangan genap yang prima”
5. Tentukan ingkaran dari: “Beberapa persegi panjang adalah persegi”
▸ Sulit
1. Sederhanakan: ~(p ∧ (~q ∨ r))
2. Buktikan ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q dengan tabel kebenaran.
3. Tentukan ingkaran dari: “Untuk setiap x ∈ ℝ, x² + 1 > 0”
4. Sederhanakan: ~(~(p ∧ q) ∨ ~r)
5. Tentukan ingkaran dari: “Jika ada siswa yang rajin, maka semua guru senang”
2. Implikasi (Kondisional)
Perhatikan pernyataan:
“Jika hujan turun, maka jalan basah.“
Pernyataan ini menghubungkan dua pernyataan dengan kata “jika … maka …”. Kapan pernyataan ini dianggap salah? Hanya ketika hujan turun (benar) tetapi jalan tidak basah (salah).
- Apa yang dimaksud implikasi?
- Kapan implikasi bernilai salah?
- Bagaimana tabel kebenaran implikasi?
Definisi
Implikasi adalah pernyataan majemuk berbentuk “Jika p maka q” yang bernilai salah hanya jika p benar dan q salah.
Notasi
Ditulis: p → q atau p ⇒ q
Dibaca: “jika p maka q” atau “p mengakibatkan q” atau “p syarat cukup untuk q” atau “q syarat perlu untuk p”
Tabel Kebenaran Implikasi
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Kunci: Implikasi p → q bernilai salah HANYA jika p benar dan q salah (baris kedua). Dalam semua kasus lain, implikasi bernilai benar.
Ingkaran Implikasi
~(p → q) ≡ p ∧ ~q
Tentukan nilai kebenaran dari: “Jika 4 > 2 maka 4 adalah bilangan genap”
p: “4 > 2” → B
q: “4 adalah bilangan genap” → B
p → q = B → B = B
Kesimpulan: Implikasi p → q hanya bernilai salah ketika hipotesis (p) benar tetapi kesimpulan (q) salah. Ini seperti janji: janji hanya dilanggar jika kondisi terpenuhi tapi hasilnya tidak terjadi.
Contoh Soal Implikasi
▸ Tingkat Mudah
1. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 6 bilangan genap maka 6 habis dibagi 2”
Pembahasan: p = B, q = B. p → q = B → B = B
2. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 3 > 5 maka 3 adalah bilangan prima”
Pembahasan: p = S, q = B. p → q = S → B = B
3. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 2 + 2 = 4 maka 5 < 3”
Pembahasan: p = B, q = S. p → q = B → S = S
4. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 1 > 10 maka bumi datar”
Pembahasan: p = S, q = S. p → q = S → S = B
5. Tuliskan implikasi dari: p = “x = 3” dan q = “x² = 9”
Pembahasan: p → q: “Jika x = 3 maka x² = 9” → bernilai B
▸ Tingkat Sedang
1. Tentukan nilai x agar implikasi berikut bernilai S: “Jika x + 1 = 4 maka x = 5”
Pembahasan: p → q = S berarti p = B dan q = S.
p benar: x + 1 = 4 → x = 3
q salah: x = 5 → x ≠ 5
x = 3 memenuhi keduanya. Jadi x = 3.
2. Tentukan ingkaran dari: “Jika ia rajin belajar maka ia lulus ujian”
Pembahasan: ~(p → q) ≡ p ∧ ~q
= “Ia rajin belajar dan ia tidak lulus ujian”
3. Jika p → q bernilai B dan q bernilai S, tentukan nilai p.
Pembahasan: Lihat tabel: p → q = B dan q = S terjadi hanya pada baris keempat (p = S, q = S). Jadi p = S.
4. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 2² = 4 maka √4 = 3”
Pembahasan: p: “2² = 4” → B. q: “√4 = 3” → S (karena √4 = 2).
p → q = B → S = S
5. Tunjukkan bahwa p → q ≡ ~p ∨ q.
Pembahasan:
| p | q | p → q | ~p | ~p ∨ q |
|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | B |
| B | S | S | S | S |
| S | B | B | B | B |
| S | S | B | B | B |
Kolom p → q dan ~p ∨ q identik → terbukti ekuivalen.
▸ Tingkat Sulit
1. Tentukan semua nilai x bilangan bulat agar “Jika x² = 16 maka x > 0” bernilai S.
Pembahasan: p → q = S berarti p = B dan q = S.
p benar: x² = 16 → x = 4 atau x = -4
q salah: x > 0 tidak terpenuhi → x ≤ 0
Irisan: x = -4. Jadi x = -4.
2. Buktikan bahwa ~(p → q) ≡ p ∧ ~q menggunakan tabel kebenaran.
Pembahasan:
| p | q | p→q | ~(p→q) | ~q | p∧~q |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | S |
| B | S | S | B | B | B |
| S | B | B | S | S | S |
| S | S | B | S | B | S |
Kolom ~(p→q) dan p∧~q identik → terbukti.
3. Tentukan nilai kebenaran: (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) untuk semua kemungkinan (silogisme hipotetis).
Pembahasan: Ini adalah tautologi (selalu benar). Dapat dibuktikan: jika p → q benar dan q → r benar, maka p → r pasti benar. Ini dikenal sebagai hukum silogisme.
Jika p benar → q benar (dari p→q) → r benar (dari q→r). Jadi p→r benar.
Maka keseluruhan bernilai B (tautologi).
4. Tentukan nilai x ∈ ℤ agar “Jika x² – 5x + 6 = 0 maka x > 3” bernilai S.
Pembahasan: p → q = S → p = B dan q = S.
p benar: x² – 5x + 6 = 0 → (x-2)(x-3) = 0 → x = 2 atau x = 3
q salah: x > 3 tidak terpenuhi → x ≤ 3
Irisan: x = 2 dan x = 3 (keduanya ≤ 3)
Jawaban: x = 2 atau x = 3
5. Jika (p → q) ∨ r bernilai S, tentukan nilai p, q, dan r.
Pembahasan: Disjungsi bernilai S hanya jika kedua komponen S.
p → q = S → p = B dan q = S
r = S
Jadi: p = B, q = S, r = S
Latihan Soal Implikasi
▸ Mudah
1. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 8 genap maka 8 habis dibagi 4”
2. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 5 > 10 maka 5 prima”
3. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 9 prima maka 9 ganjil”
4. Tuliskan dalam bentuk simbol: “Jika hari hujan maka jalanan licin”
5. Tentukan nilai kebenaran: “Jika 2 × 3 = 6 maka 6 > 10”
▸ Sedang
1. Tentukan ingkaran dari: “Jika x > 5 maka x² > 25”
2. Jika p → q bernilai B dan p bernilai B, apa nilai q?
3. Tentukan nilai x agar “Jika 2x = 10 maka x = 3” bernilai S.
4. Tentukan nilai kebenaran (p → q) ∧ p → q (modus ponens).
5. Tentukan ingkaran dari: “Jika semua sisi sama maka bangun itu persegi”
▸ Sulit
1. Tentukan semua x ∈ ℤ agar “Jika |x| = 5 maka x < 0” bernilai S.
2. Buktikan p → (q → p) adalah tautologi.
3. Jika (p ∧ q) → r bernilai S, tentukan nilai p, q, r.
4. Tentukan nilai kebenaran: [(p → q) ∧ ~q] → ~p untuk semua kemungkinan.
5. Tentukan x ∈ ℝ agar “Jika x² – x – 6 = 0 maka x > 5” bernilai S.
3. Biimplikasi (Bikondisional)
Perhatikan pernyataan:
“Sebuah bilangan genap jika dan hanya jika bilangan tersebut habis dibagi 2.”
Pernyataan ini menghubungkan dua pernyataan yang saling setara — keduanya benar bersama atau salah bersama.
- Apa perbedaan implikasi dan biimplikasi?
- Kapan biimplikasi bernilai benar?
Definisi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk “p jika dan hanya jika q” yang bernilai benar jika p dan q memiliki nilai kebenaran yang sama.
Notasi
Ditulis: p ↔ q atau p ⇔ q
Dibaca: “p jika dan hanya jika q” atau “p syarat perlu dan cukup untuk q”
Tabel Kebenaran Biimplikasi
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | B |
Kunci: p ↔ q bernilai benar jika p dan q sama-sama benar atau sama-sama salah.
Hubungan dengan Implikasi
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
Ingkaran Biimplikasi
~(p ↔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q)
(Bernilai benar jika p dan q berbeda nilai kebenarannya)
Tentukan nilai kebenaran: “x² = 9 jika dan hanya jika x = 3”
p: “x² = 9” (benar untuk x = 3 dan x = -3)
q: “x = 3”
p tidak selalu mengakibatkan q (karena x bisa = -3). Jadi p ↔ q bernilai S secara umum.
Kesimpulan: Biimplikasi p ↔ q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan memiliki nilai kebenaran yang sama. Ini merupakan gabungan dari implikasi dua arah: p → q dan q → p.
Contoh Soal Biimplikasi
▸ Tingkat Mudah
1. Tentukan nilai kebenaran: “4 genap jika dan hanya jika 4 habis dibagi 2”
Pembahasan: p = B, q = B. p ↔ q = B ↔ B = B
2. Tentukan nilai kebenaran: “3 > 5 jika dan hanya jika 2 > 7”
Pembahasan: p = S, q = S. p ↔ q = S ↔ S = B
3. Tentukan nilai kebenaran: “6 prima jika dan hanya jika 6 ganjil”
Pembahasan: p = S, q = S. p ↔ q = S ↔ S = B
4. Tentukan nilai kebenaran: “2 + 3 = 5 jika dan hanya jika 3 × 2 = 8”
Pembahasan: p = B, q = S. p ↔ q = B ↔ S = S
5. Jika p = B dan p ↔ q = B, tentukan nilai q.
Pembahasan: p ↔ q = B dan p = B → q harus = B (agar sama).
▸ Tingkat Sedang
1. Tentukan ingkaran dari: “x > 0 jika dan hanya jika x positif”
Pembahasan: ~(p ↔ q) ≡ (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q)
= “x > 0 dan x tidak positif” atau “x ≤ 0 dan x positif”
(Karena “x > 0” dan “x positif” sama, biimplikasi ini benar, ingkarannya salah.)
2. Tentukan nilai kebenaran: (p ↔ q) ↔ (q ↔ p)
Pembahasan: p ↔ q selalu sama dengan q ↔ p (biimplikasi komutatif). Maka (p ↔ q) ↔ (q ↔ p) selalu B (tautologi).
3. Jika p ↔ q bernilai S dan p bernilai B, tentukan nilai q.
Pembahasan: p ↔ q = S berarti p dan q berbeda nilai. p = B → q = S.
4. Tunjukkan bahwa p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p).
Pembahasan:
| p | q | p→q | q→p | (p→q)∧(q→p) | p↔q |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B | B |
| B | S | S | B | S | S |
| S | B | B | S | S | S |
| S | S | B | B | B | B |
Identik → terbukti.
5. Tentukan nilai kebenaran: “x² = 25 jika dan hanya jika x = 5” (x ∈ ℤ)
Pembahasan:
p: “x² = 25” → benar untuk x = 5 dan x = -5
q: “x = 5” → hanya benar untuk x = 5
Ketika x = -5: p = B tapi q = S → p ↔ q = S
▸ Tingkat Sulit
1. Buktikan bahwa (p ↔ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q).
Pembahasan:
| p | q | p∧q | ~p∧~q | (p∧q)∨(~p∧~q) | p↔q |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | B | B |
| B | S | S | S | S | S |
| S | B | S | S | S | S |
| S | S | S | B | B | B |
Terbukti ekuivalen.
2. Tentukan nilai kebenaran: [(p → q) ∧ (q → p)] ↔ (p ↔ q)
Pembahasan: Karena p ↔ q ≡ (p→q)∧(q→p), maka kedua sisi sama. Biimplikasi dari dua hal yang ekuivalen selalu bernilai B (tautologi).
3. Tentukan semua nilai x ∈ ℤ agar “x² – 4 = 0 ↔ x = 2” bernilai B.
Pembahasan: p ↔ q = B jika p dan q sama nilainya.
p: x² – 4 = 0 → x = 2 atau x = -2
q: x = 2
Untuk x = 2: p = B, q = B → B ↔ B = B ✓
Untuk x = -2: p = B, q = S → B ↔ S = S ✗
Untuk x lainnya: p = S, q = S → S ↔ S = B ✓
Jawaban: semua x ∈ ℤ kecuali x = -2
4. Sederhanakan ~(p ↔ q) menggunakan operator dasar.
Pembahasan:
~(p ↔ q) ≡ ~[(p→q) ∧ (q→p)]
≡ ~(p→q) ∨ ~(q→p) [De Morgan]
≡ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
= (p ∧ ~q) ∨ (~p ∧ q) (disebut juga XOR)
5. Tentukan nilai (p ↔ q) ↔ r jika p = B, q = S, r = S.
Pembahasan:
p ↔ q = B ↔ S = S
(p ↔ q) ↔ r = S ↔ S = B
Latihan Soal Biimplikasi
▸ Mudah
1. Tentukan nilai kebenaran: “9 ganjil jika dan hanya jika 9 tidak habis dibagi 2”
2. Tentukan nilai kebenaran: “1 > 5 jika dan hanya jika 2 > 8”
3. Jika p = S dan q = B, tentukan nilai p ↔ q.
4. Tentukan nilai kebenaran: “4 + 5 = 9 jika dan hanya jika 9 – 4 = 5”
5. Jika p ↔ q = S dan p = S, tentukan nilai q.
▸ Sedang
1. Tentukan ingkaran dari: “x genap jika dan hanya jika x habis dibagi 2”
2. Tentukan nilai kebenaran: “|x| = 3 jika dan hanya jika x = 3” (x ∈ ℤ)
3. Jika (p ↔ q) ∧ p bernilai B, tentukan nilai q.
4. Tentukan nilai kebenaran: “x² = x jika dan hanya jika x = 1” (x ∈ ℝ)
5. Tunjukkan bahwa ~(p ↔ q) ≡ (p ↔ ~q).
▸ Sulit
1. Buktikan (p ↔ q) ↔ (q ↔ p) adalah tautologi.
2. Tentukan semua x ∈ ℤ agar “x² = 9 ↔ x > 0” bernilai B.
3. Sederhanakan: (p ↔ q) ∧ (p ↔ ~q).
4. Tentukan nilai kebenaran (p ↔ q) ↔ [(p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)] untuk semua kemungkinan.
5. Tentukan x ∈ ℝ agar “(x-1)(x-2)=0 ↔ x=1” bernilai S.
4. Konvers
Perhatikan implikasi berikut:
p → q : “Jika hari hujan maka jalan basah”
Bagaimana jika kita balik?
q → p : “Jika jalan basah maka hari hujan”
Kedua pernyataan ini tidak selalu memiliki nilai kebenaran yang sama! (Jalan bisa basah karena disiram)
- Apa yang dimaksud konvers?
- Apakah konvers selalu ekuivalen dengan implikasi aslinya?
Definisi
Konvers dari implikasi p → q adalah q → p.
Tabel Perbandingan
| p | q | p → q | q → p (konvers) |
|---|---|---|---|
| B | B | B | B |
| B | S | S | B |
| S | B | B | S |
| S | S | B | B |
Penting: Konvers TIDAK selalu ekuivalen dengan implikasi asli (lihat baris 2 dan 3 berbeda).
Tentukan konvers dari: “Jika x = 4 maka x² = 16”
Konvers: “Jika x² = 16 maka x = 4”
Implikasi asli bernilai B. Konvers bernilai S (karena x bisa = -4).
Kesimpulan: Konvers dari p → q adalah q → p, yaitu membalik hipotesis dan kesimpulan. Konvers tidak selalu memiliki nilai kebenaran yang sama dengan implikasi aslinya.
Contoh Soal Konvers
▸ Tingkat Mudah
1. Tentukan konvers dari: “Jika 6 genap maka 6 habis dibagi 2”
Pembahasan: Konvers: “Jika 6 habis dibagi 2 maka 6 genap” → B
2. Tentukan konvers dari: “Jika x = 5 maka x + 3 = 8”
Pembahasan: Konvers: “Jika x + 3 = 8 maka x = 5” → B
3. Tentukan konvers dari: “Jika segitiga sama sisi maka ketiga sisinya sama”
Pembahasan: Konvers: “Jika ketiga sisi sama maka segitiga sama sisi” → B
4. Tentukan konvers dari: “Jika hari Minggu maka libur sekolah”
Pembahasan: Konvers: “Jika libur sekolah maka hari Minggu” → S (bisa libur hari lain)
5. Jika implikasi p → q bernilai B, apakah konversnya pasti B?
Pembahasan: Tidak. Konvers (q → p) bisa bernilai berbeda dari implikasi asli.
▸ Tingkat Sedang
1. Tentukan konvers dan nilai kebenarannya: “Jika x² = 9 maka x = 3”
Pembahasan:
Implikasi asli: p → q. p: x²=9, q: x=3.
Asli bernilai S (x bisa = -3 → p=B, q=S)
Konvers: “Jika x = 3 maka x² = 9” → B
2. Tentukan konvers dan nilai kebenarannya: “Jika suatu bilangan habis dibagi 4 maka habis dibagi 2”
Pembahasan:
Asli: B (semua kelipatan 4 pasti kelipatan 2)
Konvers: “Jika habis dibagi 2 maka habis dibagi 4” → S (contoh: 6 habis dibagi 2 tapi tidak habis dibagi 4)
3. Kapan p → q dan konversnya q → p keduanya benar?
Pembahasan: Keduanya benar jika p ↔ q benar (biimplikasi). Ini terjadi ketika p dan q ekuivalen (memiliki nilai kebenaran yang selalu sama).
4. Tentukan konvers: “Jika ABCD persegi maka ABCD belah ketupat”
Pembahasan:
Asli: B (persegi adalah belah ketupat khusus)
Konvers: “Jika ABCD belah ketupat maka ABCD persegi” → S (belah ketupat tidak harus persegi)
5. Berikan contoh implikasi yang benar tetapi konversnya salah.
Pembahasan:
“Jika x = 2 maka x² = 4” → B
Konvers: “Jika x² = 4 maka x = 2” → S (x bisa = -2)
▸ Tingkat Sulit
1. Buktikan bahwa konvers dari p → q ekuivalen dengan invers dari p → q (yaitu q → p ≡ ~p → ~q).
Pembahasan:
Konvers: q → p
Invers: ~p → ~q ≡ (kontrapositif dari q → p) … kita buktikan dengan tabel:
| p | q | q→p | ~p | ~q | ~p→~q |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | B |
| B | S | B | S | B | B |
| S | B | S | B | S | S |
| S | S | B | B | B | B |
Kolom q→p dan ~p→~q identik → terbukti ekuivalen.
2. Tentukan semua x ∈ ℤ agar konvers dari “Jika x² = 4 maka x > 0” bernilai S.
Pembahasan:
Konvers: “Jika x > 0 maka x² = 4”
Bernilai S jika: x > 0 (B) dan x² = 4 (S) → x > 0 dan x ≠ 2 dan x ≠ -2
Karena x > 0 dan x ≠ 2: x ∈ {1, 3, 4, 5, 6, …} (semua bilangan bulat positif selain 2)
3. Jika p → q bernilai B dan q → p bernilai S, tentukan nilai p dan q.
Pembahasan:
q → p = S berarti q = B dan p = S.
Verifikasi: p → q = S → B = B ✓
Jadi: p = S, q = B
4. Tentukan konvers dari “Jika semua siswa lulus maka tidak ada remidi” dan bandingkan nilai kebenarannya.
Pembahasan:
Asli: “Jika semua siswa lulus maka tidak ada remidi” → B (logis)
Konvers: “Jika tidak ada remidi maka semua siswa lulus” → B (tidak ada remidi berarti semua lulus)
Dalam kasus ini, asli dan konvers keduanya benar → pernyataan ini biimplikasi.
5. Tunjukkan bahwa (p → q) ∧ (q → p) ≡ p ↔ q.
Pembahasan: Ini sudah dibuktikan di bagian biimplikasi. Implikasi DAN konversnya yang keduanya benar setara dengan biimplikasi benar.
Artinya: p → q (asli) bernilai B DAN q → p (konvers) bernilai B ⇔ p ↔ q bernilai B.
Latihan Soal Konvers
▸ Mudah
1. Tentukan konvers dari: “Jika 10 genap maka 10 habis dibagi 5”
2. Tentukan konvers dari: “Jika hewan itu kucing maka hewan itu berkaki empat”
3. Tentukan konvers dari: “Jika x = 7 maka x + 1 = 8”
4. Tentukan konvers dari: “Jika segitiga siku-siku maka ada sudut 90°”
5. Tentukan konvers dari: “Jika ia rajin maka ia pintar”
▸ Sedang
1. Tentukan konvers dan nilai kebenarannya: “Jika x habis dibagi 6 maka x habis dibagi 3”
2. Tentukan konvers dan nilai kebenarannya: “Jika |x| = 4 maka x = 4”
3. Berikan contoh implikasi yang benar dan konversnya juga benar.
4. Tentukan konvers: “Jika ABCD jajar genjang maka sisi berhadapan sejajar”
5. Kapan konvers dari suatu implikasi pasti benar?
▸ Sulit
1. Tentukan x ∈ ℤ agar konvers dari “Jika x² = 16 maka x > 0” bernilai S.
2. Buktikan konvers dari tautologi tidak selalu tautologi.
3. Jika p → q = B, q → p = B, dan p = B, tentukan nilai q.
4. Tentukan konvers dari “Jika n² genap maka n genap” dan buktikan keduanya benar.
5. Tunjukkan bahwa konvers dari kontrapositif p → q sama dengan implikasi asli.
5. Invers
Dari implikasi: “Jika hujan turun maka jalan basah” (p → q)
Invers: “Jika hujan tidak turun maka jalan tidak basah” (~p → ~q)
Apakah invers selalu benar jika implikasi asli benar? Tidak! (Jalan bisa basah karena sebab lain)
- Apa yang dimaksud invers?
- Apa hubungan invers dengan konvers dan kontrapositif?
Definisi
Invers dari implikasi p → q adalah ~p → ~q.
Hubungan Penting
- Invers dari p → q: ~p → ~q
- Invers ekuivalen dengan konvers: ~p → ~q ≡ q → p
- Invers TIDAK ekuivalen dengan implikasi asli
Tabel Perbandingan
| p | q | p→q | ~p→~q (invers) | q→p (konvers) |
|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B |
| B | S | S | B | B |
| S | B | B | S | S |
| S | S | B | B | B |
Perhatikan: kolom invers dan konvers identik (keduanya ekuivalen).
Tentukan invers dari: “Jika x > 5 maka x > 3”
Invers: “Jika x ≤ 5 maka x ≤ 3” → S (contoh: x = 4, maka x ≤ 5 benar tapi x ≤ 3 salah)
Kesimpulan: Invers (~p → ~q) diperoleh dengan menegasikan hipotesis dan kesimpulan dari implikasi asli. Invers ekuivalen dengan konvers, tetapi tidak ekuivalen dengan implikasi asli maupun kontrapositif.
Contoh Soal Invers
▸ Tingkat Mudah
1. Tentukan invers dari: “Jika 8 genap maka 8 habis dibagi 2”
Pembahasan: Invers: “Jika 8 tidak genap maka 8 tidak habis dibagi 2” → B
2. Tentukan invers dari: “Jika x = 3 maka x² = 9”
Pembahasan: Invers: “Jika x ≠ 3 maka x² ≠ 9” → S (x=-3 memberikan x²=9)
3. Tentukan invers dari: “Jika ia belajar maka ia pintar”
Pembahasan: Invers: “Jika ia tidak belajar maka ia tidak pintar”
4. Tentukan invers dari: “Jika hari hujan maka ia membawa payung”
Pembahasan: Invers: “Jika hari tidak hujan maka ia tidak membawa payung”
5. Apakah invers selalu bernilai sama dengan implikasi aslinya?
Pembahasan: Tidak. Invers tidak selalu ekuivalen dengan implikasi asli.
▸ Tingkat Sedang
1. Tentukan invers dan bandingkan nilai kebenaran dengan implikasi asli: “Jika x habis dibagi 4 maka x genap”
Pembahasan:
Asli: B (habis dibagi 4 → pasti genap)
Invers: “Jika x tidak habis dibagi 4 maka x tidak genap” → S (contoh: x=6)
2. Tunjukkan bahwa invers dari p → q ekuivalen dengan konvers.
Pembahasan:
Invers: ~p → ~q
Kontrapositif dari ~p → ~q: ~~q → ~~p = q → p = konvers
Karena suatu implikasi ekuivalen dengan kontrapositifnya, maka ~p → ~q ≡ q → p ✓
3. Jika implikasi asli p → q bernilai B dan inversnya ~p → ~q bernilai B, apa yang bisa disimpulkan?
Pembahasan: Jika p → q dan ~p → ~q (= q → p) keduanya B, maka p ↔ q bernilai B. Artinya p dan q ekuivalen.
4. Tentukan invers dari: “Jika segitiga sama sisi maka semua sudutnya 60°”
Pembahasan:
Invers: “Jika segitiga bukan sama sisi maka tidak semua sudutnya 60°” → B
(Implikasi asli dan inversnya keduanya benar → biimplikasi.)
5. Tentukan nilai kebenaran invers dari: “Jika |x| = 5 maka x = 5”
Pembahasan:
Asli bernilai S (x bisa = -5)
Invers: “Jika |x| ≠ 5 maka x ≠ 5” → B (jika |x|≠5 maka pasti x≠5 dan x≠-5)
▸ Tingkat Sulit
1. Tentukan x ∈ ℤ agar invers dari “Jika x² = 25 maka x > 0” bernilai S.
Pembahasan:
Invers: “Jika x² ≠ 25 maka x ≤ 0”
Bernilai S jika: x² ≠ 25 (B) dan x ≤ 0 (S) → x² ≠ 25 dan x > 0
x > 0 dan x ≠ 5: x ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, …}
2. Buktikan: jika p → q tautologi, maka inversnya (~p → ~q) belum tentu tautologi.
Pembahasan:
Contoh: “Jika x > 5 maka x > 3” (selalu benar)
Inversnya: “Jika x ≤ 5 maka x ≤ 3” (salah untuk x = 4)
Jadi invers dari implikasi yang selalu benar belum tentu selalu benar.
3. Tentukan invers dari: “Jika ∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0 maka x ∈ ℝ”
Pembahasan:
p: “∀x ∈ ℝ, x² ≥ 0” → B
q: “x ∈ ℝ” → B
Invers: “Jika ∃x ∈ ℝ sedemikian sehingga x² < 0, maka x ∉ ℝ”
~p = S, ~q tergantung konteks. Invers: S → apa saja = B
4. Tunjukkan hubungan: invers ≡ konvers ≢ implikasi asli ≡ kontrapositif.
Pembahasan:
Dari tabel di atas kita sudah buktikan:
• p → q ≡ ~q → ~p (kontrapositif) ← ekuivalen
• ~p → ~q ≡ q → p (invers ≡ konvers) ← ekuivalen
• p → q ≢ ~p → ~q (asli ≢ invers) ← tidak ekuivalen
Jadi ada dua pasang yang saling ekuivalen: {asli, kontrapositif} dan {konvers, invers}.
5. Tentukan kapan invers dan implikasi asli bernilai sama.
Pembahasan:
p → q dan ~p → ~q sama nilainya ketika:
• p = B, q = B: asli = B, invers = B ✓
• p = S, q = S: asli = B, invers = B ✓
• p = B, q = S: asli = S, invers = B ✗
• p = S, q = B: asli = B, invers = S ✗
Jadi sama nilainya hanya jika p dan q bernilai sama (p ↔ q benar).
Latihan Soal Invers
▸ Mudah
1. Tentukan invers dari: “Jika 15 ganjil maka 15 tidak habis dibagi 2”
2. Tentukan invers dari: “Jika ia sakit maka ia tidak masuk sekolah”
3. Tentukan invers dari: “Jika x = 10 maka 2x = 20”
4. Tentukan invers dari: “Jika hari cerah maka ia pergi”
5. Tuliskan simbol invers dari p → q.
▸ Sedang
1. Tentukan invers dan bandingkan nilainya: “Jika x > 10 maka x > 5”
2. Tentukan invers dari: “Jika segitiga siku-siku maka berlaku a² + b² = c²”
3. Jika inversnya benar dan implikasi asli benar, apa kesimpulannya?
4. Tentukan invers: “Jika n genap maka n² genap” dan tentukan nilai kebenarannya.
5. Berikan contoh implikasi yang benar tetapi inversnya salah.
▸ Sulit
1. Tentukan x ∈ ℤ agar invers dari “Jika x² = 36 maka x > 0” bernilai S.
2. Buktikan ~p → ~q ≡ q → p menggunakan tabel kebenaran.
3. Kapan implikasi, konvers, invers, dan kontrapositif semuanya bernilai sama?
4. Tentukan invers dari: “Jika ∀n ∈ ℕ, n ≥ 1 maka n + 1 ≥ 2”
5. Jika p → q = S, tentukan nilai invers, konvers, dan kontrapositifnya.
6. Kontrapositif
Perhatikan:
Asli: “Jika hujan turun maka jalan basah” (p → q)
Kontrapositif: “Jika jalan tidak basah maka hujan tidak turun” (~q → ~p)
Kedua pernyataan ini selalu memiliki nilai kebenaran yang sama!
- Apa yang dimaksud kontrapositif?
- Mengapa kontrapositif selalu ekuivalen dengan implikasi asli?
Definisi
Kontrapositif dari implikasi p → q adalah ~q → ~p.
Sifat Utama
p → q ≡ ~q → ~p
Kontrapositif SELALU ekuivalen dengan implikasi asli.
Tabel Kebenaran (Pembuktian)
| p | q | p→q | ~q | ~p | ~q→~p |
|---|---|---|---|---|---|
| B | B | B | S | S | B |
| B | S | S | B | S | S |
| S | B | B | S | B | B |
| S | S | B | B | B | B |
Kolom p → q dan ~q → ~p identik → terbukti ekuivalen.
Ringkasan Hubungan
| Nama | Bentuk | Ekuivalen dengan |
|---|---|---|
| Implikasi (Asli) | p → q | Kontrapositif |
| Konvers | q → p | Invers |
| Invers | ~p → ~q | Konvers |
| Kontrapositif | ~q → ~p | Implikasi asli |
Tentukan kontrapositif dari: “Jika x > 5 maka x > 3”
Kontrapositif: “Jika x ≤ 3 maka x ≤ 5” → B (sama dengan asli yang juga B)
Kesimpulan: Kontrapositif (~q → ~p) selalu ekuivalen dengan implikasi asli (p → q). Ini sangat berguna dalam pembuktian matematika — membuktikan kontrapositif sama dengan membuktikan pernyataan asli.
Contoh Soal Kontrapositif
▸ Tingkat Mudah
1. Tentukan kontrapositif dari: “Jika 6 genap maka 6 habis dibagi 2”
Pembahasan: Kontrapositif: “Jika 6 tidak habis dibagi 2 maka 6 tidak genap” → B
2. Tentukan kontrapositif dari: “Jika ia rajin maka ia lulus”
Pembahasan: Kontrapositif: “Jika ia tidak lulus maka ia tidak rajin”
3. Tentukan kontrapositif dari: “Jika x = 4 maka x + 2 = 6”
Pembahasan: Kontrapositif: “Jika x + 2 ≠ 6 maka x ≠ 4” → B
4. Jika p → q bernilai B, apa nilai kontrapositifnya?
Pembahasan: Kontrapositif selalu ekuivalen dengan asli, jadi juga B.
5. Tentukan kontrapositif dari: “Jika hari panas maka AC dinyalakan”
Pembahasan: Kontrapositif: “Jika AC tidak dinyalakan maka hari tidak panas”
▸ Tingkat Sedang
1. Tentukan kontrapositif dan bandingkan: “Jika x² = 9 maka x = 3”
Pembahasan:
Asli: S (x bisa = -3)
Kontrapositif: “Jika x ≠ 3 maka x² ≠ 9” → S (x=-3 memberikan x²=9)
Keduanya bernilai sama (S) ✓
2. Gunakan kontrapositif untuk menunjukkan: “Jika n² ganjil maka n ganjil”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika n genap maka n² genap”
Bukti: n genap → n = 2k → n² = 4k² = 2(2k²) → n² genap ✓
Karena kontrapositif benar, pernyataan asli juga benar.
3. Tentukan kontrapositif dari: “Jika ABCD persegi maka ABCD persegi panjang”
Pembahasan:
Asli: B (persegi adalah persegi panjang khusus)
Kontrapositif: “Jika ABCD bukan persegi panjang maka ABCD bukan persegi” → B
4. Tentukan kontrapositif: “Jika a × b = 0 maka a = 0 atau b = 0”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika a ≠ 0 dan b ≠ 0 maka a × b ≠ 0” → B
(Ingat: ~(a=0 ∨ b=0) = a≠0 ∧ b≠0)
5. Dari implikasi “Jika x habis dibagi 6 maka x habis dibagi 2”, tentukan asli, konvers, invers, dan kontrapositifnya.
Pembahasan:
Asli (p→q): “Jika x habis dibagi 6 maka x habis dibagi 2” → B
Konvers (q→p): “Jika x habis dibagi 2 maka x habis dibagi 6” → S (contoh: x=4)
Invers (~p→~q): “Jika x tidak habis dibagi 6 maka x tidak habis dibagi 2” → S (contoh: x=4)
Kontrapositif (~q→~p): “Jika x tidak habis dibagi 2 maka x tidak habis dibagi 6” → B
▸ Tingkat Sulit
1. Buktikan dengan kontrapositif: “Jika n² genap maka n genap”
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika n ganjil maka n² ganjil”
Bukti: n ganjil → n = 2k+1 → n² = (2k+1)² = 4k²+4k+1 = 2(2k²+2k)+1 → ganjil ✓
Karena kontrapositif terbukti benar, pernyataan asli terbukti benar.
2. Buktikan: “Jika x + y ≥ 20 maka x ≥ 10 atau y ≥ 10” menggunakan kontrapositif.
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika x < 10 dan y < 10 maka x + y < 20”
Bukti: x < 10 dan y < 10 → x + y < 10 + 10 = 20 ✓
Kontrapositif benar → asli terbukti.
3. Tentukan semua x ∈ ℤ agar kontrapositif dari “Jika x² = 4 maka x = 2” bernilai S.
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika x ≠ 2 maka x² ≠ 4”
Bernilai S jika: x ≠ 2 (B) dan x² ≠ 4 (S) → x ≠ 2 dan x² = 4 → x = -2
Jawaban: x = -2
(Verifikasi: asli juga S untuk x=-2: x²=4 benar tapi x=2 salah ✓)
4. Buktikan: “Jika 3n + 2 genap maka n genap” menggunakan kontrapositif.
Pembahasan:
Kontrapositif: “Jika n ganjil maka 3n + 2 ganjil”
Bukti: n ganjil → n = 2k+1 → 3n+2 = 3(2k+1)+2 = 6k+3+2 = 6k+5 = 2(3k+2)+1 → ganjil ✓
Kontrapositif benar → asli terbukti.
5. Dari suatu implikasi, jika konvers dan kontrapositifnya bernilai sama (keduanya B), tentukan hubungan p dan q.
Pembahasan:
Kontrapositif (= asli) bernilai B → p → q = B
Konvers bernilai B → q → p = B
Keduanya B → (p → q) ∧ (q → p) = B → p ↔ q bernilai B
Jadi p dan q ekuivalen (bernilai sama).
Latihan Soal Kontrapositif
▸ Mudah
1. Tentukan kontrapositif dari: “Jika 9 ganjil maka 9 tidak habis dibagi 2”
2. Tentukan kontrapositif dari: “Jika ia sakit maka ia tidak masuk”
3. Tentukan kontrapositif dari: “Jika x = 7 maka x + 3 = 10”
4. Jika p → q bernilai S, apa nilai kontrapositifnya?
5. Tentukan kontrapositif dari: “Jika hewan itu ikan maka hidup di air”
▸ Sedang
1. Tentukan implikasi asli, konvers, invers, dan kontrapositif dari: “Jika x > 7 maka x > 4”
2. Gunakan kontrapositif untuk menunjukkan: “Jika n³ ganjil maka n ganjil”
3. Tentukan kontrapositif dari: “Jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0”
4. Dari “Jika x² > 4 maka |x| > 2”, tentukan kontrapositif dan bandingkan nilainya.
5. Jika kontrapositif bernilai S, tentukan nilai implikasi asli, konvers, dan invers.
▸ Sulit
1. Buktikan dengan kontrapositif: “Jika n² habis dibagi 3 maka n habis dibagi 3”
2. Buktikan: “Jika x² + y² = 0 maka x = 0 dan y = 0” menggunakan kontrapositif.
3. Tentukan x ∈ ℤ agar kontrapositif dari “Jika x² = 25 maka x = 5” bernilai S.
4. Buktikan: “Jika a + b ≥ 10 maka a ≥ 5 atau b ≥ 5” menggunakan kontrapositif.
5. Tentukan hubungan implikasi, konvers, invers, dan kontrapositif jika implikasi asli adalah tautologi.
Ringkasan
| Nama | Simbol | Keterangan |
|---|---|---|
| Ingkaran | ~p | Membalik nilai kebenaran p |
| Implikasi | p → q | Salah hanya jika p=B, q=S |
| Biimplikasi | p ↔ q | Benar jika p dan q sama nilainya |
| Konvers | q → p | Membalik hipotesis & kesimpulan |
| Invers | ~p → ~q | Menegasikan keduanya |
| Kontrapositif | ~q → ~p | Ekuivalen dengan asli (p→q) |
Pasangan Ekuivalen:
- Implikasi ≡ Kontrapositif: p → q ≡ ~q → ~p
- Konvers ≡ Invers: q → p ≡ ~p → ~q