Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Volume Benda Putar
Suatu Daerah antara Dua Kurva
Pendahuluan
Pada materi ini, kita akan mempelajari cara menghitung volume benda putar yang terbentuk ketika suatu daerah yang dibatasi oleh dua kurva diputar mengelilingi suatu sumbu (sumbu-x atau sumbu-y). Konsep ini merupakan pengembangan dari volume benda putar satu kurva yang telah dipelajari sebelumnya.
Volume benda putar antara dua kurva sangat berguna dalam berbagai aplikasi teknik, fisika, dan desain industri, misalnya menghitung volume pipa, cincin, wadah berlubang, dan lainnya.
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan ilustrasi berikut. Bayangkan daerah yang dibatasi oleh kurva $f(x) = x^2$ dan $g(x) = x$ pada interval $[0, 1]$.
Ketika daerah yang diarsir (antara kurva $g(x) = x$ dan $f(x) = x^2$) diputar mengelilingi sumbu-x, maka terbentuk benda putar berbentuk seperti cincin (washer/annulus). Perhatikan bahwa benda putar ini memiliki rongga di dalamnya karena ada dua kurva yang membatasi.
📘 Materi: Rumus Volume Benda Putar Daerah Antara Dua Kurva
A. Metode Cakram Berongga (Washer) — Rotasi terhadap Sumbu-X
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = f(x)$ (kurva atas) dan $y = g(x)$ (kurva bawah), dimana $f(x) \geq g(x) \geq 0$ pada interval $[a, b]$, diputar mengelilingi sumbu-x, maka volume benda putar yang terbentuk adalah:
Rumus Volume Rotasi terhadap Sumbu-X:
$$V = \pi \int_{a}^{b} \left[ f(x) \right]^2 – \left[ g(x) \right]^2 \, dx$$Keterangan:
- $f(x)$ = fungsi yang jaraknya lebih jauh dari sumbu putar (jari-jari luar / R)
- $g(x)$ = fungsi yang jaraknya lebih dekat ke sumbu putar (jari-jari dalam / r)
- $a$ dan $b$ = batas integrasi (titik potong kedua kurva atau batas yang diberikan)
B. Metode Cakram Berongga (Washer) — Rotasi terhadap Sumbu-Y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva $x = f(y)$ (kurva kanan) dan $x = g(y)$ (kurva kiri), dimana $f(y) \geq g(y) \geq 0$ pada interval $[c, d]$, diputar mengelilingi sumbu-y, maka:
Rumus Volume Rotasi terhadap Sumbu-Y:
$$V = \pi \int_{c}^{d} \left[ f(y) \right]^2 – \left[ g(y) \right]^2 \, dy$$Keterangan:
- $f(y)$ = fungsi yang jaraknya lebih jauh dari sumbu-y (jari-jari luar)
- $g(y)$ = fungsi yang jaraknya lebih dekat ke sumbu-y (jari-jari dalam)
- $c$ dan $d$ = batas integrasi pada sumbu-y
C. Rotasi terhadap Garis $y = k$ (Garis Horizontal selain Sumbu-X)
Jika sumbu putar adalah garis horizontal $y = k$, maka jari-jari luar dan dalam dihitung berdasarkan jarak masing-masing kurva terhadap garis $y = k$:
Catatan penting: Tentukan mana yang menjadi jari-jari luar (R) dan jari-jari dalam (r) berdasarkan jarak terjauh dan terdekat dari sumbu putar. Jika garis $y = k$ berada di bawah kedua kurva, maka $R = f(x) – k$ dan $r = g(x) – k$. Jika garis berada di atas, sesuaikan tanda (gunakan $k – f(x)$).
D. Rotasi terhadap Garis $x = h$ (Garis Vertikal selain Sumbu-Y)
Jika sumbu putar adalah garis vertikal $x = h$, maka:
Prinsipnya sama: hitung jarak masing-masing kurva ke garis sumbu putar untuk mendapatkan R dan r.
📋 Langkah-Langkah Menghitung Volume Benda Putar Antara Dua Kurva
- Gambar sketsa kedua kurva dan tentukan daerah yang dibatasi.
- Tentukan titik potong kedua kurva (untuk batas integrasi).
- Identifikasi sumbu putar dan tentukan mana fungsi yang menjadi jari-jari luar (R) dan jari-jari dalam (r).
- Susun integral menggunakan rumus yang sesuai.
- Hitung integral dan sederhanakan hasilnya.
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati konsep di atas, timbul beberapa pertanyaan penting:
- Bagaimana cara menentukan mana kurva yang menjadi jari-jari luar dan mana yang menjadi jari-jari dalam?
- Apa yang terjadi jika kedua kurva berpotongan di lebih dari dua titik? Apakah kita perlu membagi integral?
- Bagaimana jika sumbu putar bukan sumbu-x atau sumbu-y, melainkan garis lain seperti $y = 3$ atau $x = -1$?
- Apakah perbedaan antara metode cakram (disk) dan metode cakram berongga (washer)?
- Mengapa rumusnya menggunakan selisih kuadrat $[f(x)]^2 – [g(x)]^2$, bukan kuadrat dari selisih $[f(x) – g(x)]^2$?
💡 Jawaban Pertanyaan 5:
Karena volume washer = volume cakram besar − volume cakram kecil. Volume cakram besar = $\pi R^2 \cdot dx$ dan volume cakram kecil = $\pi r^2 \cdot dx$. Maka $dV = \pi(R^2 – r^2)\,dx$, BUKAN $\pi(R-r)^2\,dx$.
🧠 Kegiatan: Menalar
Mari kita buktikan mengapa rumus volume benda putar antara dua kurva menggunakan selisih kuadrat:
Penalaran:
Misalkan pada posisi $x$ tertentu, jarak kurva luar ke sumbu putar = $R$ dan jarak kurva dalam = $r$.
Irisan tipis (washer) pada posisi $x$ memiliki:
- Luas penampang washer = Luas lingkaran besar − Luas lingkaran kecil
- $A = \pi R^2 – \pi r^2 = \pi(R^2 – r^2)$
Volume elemen tipis: $dV = A \cdot dx = \pi(R^2 – r^2)\,dx$
Total volume: $V = \int_a^b \pi(R^2 – r^2)\,dx = \pi\int_a^b [f(x)]^2 – [g(x)]^2\,dx$
Analogi: Bayangkan mengiris roti donat. Setiap irisan tipis memiliki bentuk cincin (annulus). Luas cincin = luas lingkaran luar − luas lingkaran dalam. Menjumlahkan semua irisan tipis = integral.
✏️ Kegiatan: Mencoba
Cobalah kerjakan langkah-langkah berikut untuk menemukan volume benda putar dari daerah antara $y = x^2$ dan $y = x$ yang diputar mengelilingi sumbu-x:
Langkah 1: Tentukan titik potong $x^2 = x$ → $x^2 – x = 0$ → $x(x-1) = 0$ → $x = 0$ atau $x = 1$.
Langkah 2: Pada $[0,1]$, manakah yang lebih besar? Cek $x = 0{,}5$: $f(0{,}5) = 0{,}5$ dan $g(0{,}5) = 0{,}25$. Jadi $f(x) = x$ (atas), $g(x) = x^2$ (bawah).
Langkah 3: Sumbu putar = sumbu-x. R = $x$ (lebih jauh), r = $x^2$ (lebih dekat).
Langkah 4: $V = \pi\int_0^1 x^2 – x^4\,dx$
Langkah 5: $V = \pi\left[\frac{x^3}{3} – \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{3} – \frac{1}{5}\right) = \pi\cdot\frac{2}{15} = \frac{2\pi}{15}$
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh Soal 1
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = x$ dan $y = x^2$ diputar mengelilingi sumbu-x.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Titik potong: $x = x^2 \Rightarrow x^2 – x = 0 \Rightarrow x(x-1)=0$, sehingga $x=0$ dan $x=1$.
Langkah 2: Pada $[0,1]$: $x \geq x^2$, maka $f(x)=x$ (luar), $g(x)=x^2$ (dalam).
Langkah 3: $$V = \pi\int_0^1 (x)^2 – (x^2)^2\,dx = \pi\int_0^1 x^2 – x^4\,dx$$
Langkah 4: $$V = \pi\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) = \pi\cdot\frac{2}{15}$$
$$V = \frac{2\pi}{15} \text{ satuan volume}$$
Contoh Soal 2
Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah antara $y = \sqrt{x}$ dan $y = x$ diputar mengelilingi sumbu-x.
Lihat Pembahasan
Titik potong: $\sqrt{x} = x \Rightarrow x = x^2 \Rightarrow x^2-x=0 \Rightarrow x=0, x=1$
Pada $[0,1]$: $\sqrt{x} \geq x$, maka $f(x)=\sqrt{x}$, $g(x)=x$.
$$V = \pi\int_0^1 (\sqrt{x})^2 – (x)^2\,dx = \pi\int_0^1 x – x^2\,dx$$
$$V = \pi\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) = \frac{\pi}{6}$$
$$V = \frac{\pi}{6} \text{ satuan volume}$$
Contoh Soal 3
Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = 2x$ dan $y = x^2$ yang diputar mengelilingi sumbu-x.
Lihat Pembahasan
Titik potong: $2x = x^2 \Rightarrow x^2 – 2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0$, jadi $x=0, x=2$.
Pada $[0,2]$: $2x \geq x^2$, maka $f(x)=2x$, $g(x)=x^2$.
$$V = \pi\int_0^2 (2x)^2 – (x^2)^2\,dx = \pi\int_0^2 4x^2 – x^4\,dx$$
$$V = \pi\left[\frac{4x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \pi\left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)$$
$$V = \pi\cdot\frac{160-96}{15} = \frac{64\pi}{15}$$
$$V = \frac{64\pi}{15} \text{ satuan volume}$$
Contoh Soal 4
Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = 4 – x^2$ dan $y = 0$ (sumbu-x) pada $[-2, 2]$ yang diputar mengelilingi sumbu-x.
Lihat Pembahasan
Di sini $f(x) = 4-x^2$ (atas) dan $g(x) = 0$ (bawah/sumbu-x).
Karena $g(x)=0$, rumus menjadi: $V = \pi\int_{-2}^{2}(4-x^2)^2\,dx$
Karena fungsi genap, gunakan simetri: $V = 2\pi\int_0^2(4-x^2)^2\,dx$
$(4-x^2)^2 = 16 – 8x^2 + x^4$
$$V = 2\pi\int_0^2 16-8x^2+x^4\,dx = 2\pi\left[16x – \frac{8x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\right]_0^2$$
$$V = 2\pi\left(32-\frac{64}{3}+\frac{32}{5}\right) = 2\pi\cdot\frac{480-320+96}{15} = 2\pi\cdot\frac{256}{15}$$
$$V = \frac{512\pi}{15} \text{ satuan volume}$$
Contoh Soal 5
Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $x = y$ dan $x = y^2$ yang diputar mengelilingi sumbu-y.
Lihat Pembahasan
Titik potong: $y = y^2 \Rightarrow y^2-y=0 \Rightarrow y(y-1)=0$, jadi $y=0, y=1$.
Pada $[0,1]$: $y \geq y^2$, maka $f(y)=y$ (luar), $g(y)=y^2$ (dalam).
$$V = \pi\int_0^1 (y)^2-(y^2)^2\,dy = \pi\int_0^1 y^2-y^4\,dy$$
$$V = \pi\left[\frac{y^3}{3}-\frac{y^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) = \frac{2\pi}{15}$$
$$V = \frac{2\pi}{15} \text{ satuan volume}$$
Tingkat Sedang
Contoh Soal 6
Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = x^2$ dan $y = 2x + 3$ yang diputar mengelilingi sumbu-x.
Lihat Pembahasan
Titik potong: $x^2 = 2x+3 \Rightarrow x^2-2x-3=0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0$, jadi $x=-1, x=3$.
Pada $[-1,3]$: $2x+3 \geq x^2$, maka $f(x)=2x+3$, $g(x)=x^2$.
$$V = \pi\int_{-1}^{3}(2x+3)^2-(x^2)^2\,dx$$
$$= \pi\int_{-1}^{3}(4x^2+12x+9-x^4)\,dx$$
$$= \pi\left[\frac{4x^3}{3}+6x^2+9x-\frac{x^5}{5}\right]_{-1}^{3}$$
Untuk $x=3$: $\frac{108}{3}+54+27-\frac{243}{5} = 36+54+27-\frac{243}{5} = 117-\frac{243}{5}=\frac{585-243}{5}=\frac{342}{5}$
Untuk $x=-1$: $\frac{-4}{3}+6-9-\frac{-1}{5} = -\frac{4}{3}-3+\frac{1}{5} = \frac{-20-45+3}{15}=\frac{-62}{15}$
$$V = \pi\left(\frac{342}{5}+\frac{62}{15}\right) = \pi\cdot\frac{1026+62}{15} = \frac{1088\pi}{15}$$
$$V = \frac{1088\pi}{15} \text{ satuan volume}$$
Contoh Soal 7
Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = x^2$ dan $y = 4$ yang diputar mengelilingi garis $y = 4$.
Lihat Pembahasan
Titik potong: $x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$
Sumbu putar: $y=4$. Kurva $y=x^2$ berada di bawah $y=4$.
Jari-jari = jarak dari $y=4$ ke kurva $y=x^2$ = $4-x^2$.
Karena hanya satu jari-jari (tidak ada rongga, daerah langsung menyentuh sumbu putar melalui $y=4$):
$$V = \pi\int_{-2}^{2}(4-x^2)^2\,dx = 2\pi\int_0^2(16-8x^2+x^4)\,dx$$
$$= 2\pi\left[16x-\frac{8x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = 2\pi\left(32-\frac{64}{3}+\frac{32}{5}\right)$$
$$= 2\pi\cdot\frac{480-320+96}{15} = \frac{512\pi}{15}$$
$$V = \frac{512\pi}{15} \text{ satuan volume}$$
Contoh Soal 8
Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = x^2$ dan $y = x + 2$ yang diputar mengelilingi sumbu-x.
Lihat Pembahasan
Titik potong: $x^2 = x+2 \Rightarrow x^2-x-2=0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0$, jadi $x=-1, x=2$.
Pada $[-1,2]$: $x+2 \geq x^2$, maka $f(x)=x+2$, $g(x)=x^2$.
$$V = \pi\int_{-1}^{2}(x+2)^2-(x^2)^2\,dx = \pi\int_{-1}^{2}(x^2+4x+4-x^4)\,dx$$
$$= \pi\left[\frac{x^3}{3}+2x^2+4x-\frac{x^5}{5}\right]_{-1}^{2}$$
Untuk $x=2$: $\frac{8}{3}+8+8-\frac{32}{5} = \frac{8}{3}+16-\frac{32}{5} = \frac{40+240-96}{15}=\frac{184}{15}$
Untuk $x=-1$: $-\frac{1}{3}+2-4+\frac{1}{5} = -\frac{1}{3}-2+\frac{1}{5} = \frac{-5-30+3}{15}=\frac{-32}{15}$
$$V = \pi\left(\frac{184}{15}+\frac{32}{15}\right) = \frac{216\pi}{15} = \frac{72\pi}{5}$$
$$V = \frac{72\pi}{5} \text{ satuan volume}$$
Contoh Soal 9
Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $x = y^2$ dan $x = 2y$ yang diputar mengelilingi sumbu-y.
Lihat Pembahasan
Titik potong: $y^2 = 2y \Rightarrow y^2-2y=0 \Rightarrow y(y-2)=0$, jadi $y=0, y=2$.
Pada $[0,2]$: $2y \geq y^2$, maka $f(y)=2y$ (luar), $g(y)=y^2$ (dalam).
$$V = \pi\int_0^2 (2y)^2-(y^2)^2\,dy = \pi\int_0^2 4y^2-y^4\,dy$$
$$= \pi\left[\frac{4y^3}{3}-\frac{y^5}{5}\right]_0^2 = \pi\left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)$$
$$= \pi\cdot\frac{160-96}{15} = \frac{64\pi}{15}$$
$$V = \frac{64\pi}{15} \text{ satuan volume}$$
Contoh Soal 10
Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = x$ dan $y = x^2$ yang diputar mengelilingi garis $y = -1$.
Lihat Pembahasan
Titik potong: $x = x^2 \Rightarrow x=0, x=1$.
Sumbu putar: $y=-1$ (di bawah kedua kurva pada $[0,1]$).
Jari-jari luar: $R = f(x)-(-1) = x+1$ (jarak dari $y=x$ ke $y=-1$)
Jari-jari dalam: $r = g(x)-(-1) = x^2+1$ (jarak dari $y=x^2$ ke $y=-1$)
$$V = \pi\int_0^1 (x+1)^2-(x^2+1)^2\,dx$$
$$= \pi\int_0^1 (x^2+2x+1)-(x^4+2x^2+1)\,dx$$
$$= \pi\int_0^1 (-x^4-x^2+2x)\,dx$$
$$= \pi\left[-\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}+x^2\right]_0^1 = \pi\left(-\frac{1}{5}-\frac{1}{3}+1\right)$$
$$= \pi\cdot\frac{-3-5+15}{15} = \frac{7\pi}{15}$$
$$V = \frac{7\pi}{15} \text{ satuan volume}$$
Tingkat Sulit
Contoh Soal 11
Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = x^2$ dan $y = 2x$ yang diputar mengelilingi garis $x = 3$.
Lihat Pembahasan
Titik potong: $x^2=2x \Rightarrow x=0, x=2$.
Ubah ke fungsi $x$ terhadap $y$: dari $y=x^2 \Rightarrow x=\sqrt{y}$ dan $y=2x \Rightarrow x=\frac{y}{2}$.
Batas $y$: $y=0$ sampai $y=4$.
Sumbu putar: $x=3$ (di kanan kedua kurva pada daerah tsb).
Jari-jari luar: $R = 3-\frac{y}{2}$ (jarak dari $x=\frac{y}{2}$ ke $x=3$, lebih jauh)
Jari-jari dalam: $r = 3-\sqrt{y}$ (jarak dari $x=\sqrt{y}$ ke $x=3$, lebih dekat)
$$V = \pi\int_0^4 \left(3-\frac{y}{2}\right)^2-\left(3-\sqrt{y}\right)^2\,dy$$
$$= \pi\int_0^4 \left(9-3y+\frac{y^2}{4}\right)-\left(9-6\sqrt{y}+y\right)\,dy$$
$$= \pi\int_0^4 \left(-3y+\frac{y^2}{4}+6\sqrt{y}-y\right)\,dy$$
$$= \pi\int_0^4 \left(\frac{y^2}{4}-4y+6y^{1/2}\right)\,dy$$
$$= \pi\left[\frac{y^3}{12}-2y^2+4y^{3/2}\right]_0^4$$
$$= \pi\left(\frac{64}{12}-32+4\cdot 8\right) = \pi\left(\frac{16}{3}-32+32\right) = \frac{16\pi}{3}$$
$$V = \frac{16\pi}{3} \text{ satuan volume}$$
Contoh Soal 12
Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = x^2 – 1$ dan $y = 3 – x^2$ yang diputar mengelilingi garis $y = 5$.
Lihat Pembahasan
Titik potong: $x^2-1 = 3-x^2 \Rightarrow 2x^2=4 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$
Pada daerah tsb: $3-x^2 \geq x^2-1$ (kurva atas = $3-x^2$).
Sumbu putar: $y=5$ (di atas kedua kurva).
Jari-jari luar: $R = 5-(x^2-1) = 6-x^2$ (jarak ke kurva bawah, lebih jauh)
Jari-jari dalam: $r = 5-(3-x^2) = 2+x^2$ (jarak ke kurva atas, lebih dekat)
$$V = \pi\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}(6-x^2)^2-(2+x^2)^2\,dx$$
Simetri: $= 2\pi\int_0^{\sqrt{2}}(36-12x^2+x^4)-(4+4x^2+x^4)\,dx$
$$= 2\pi\int_0^{\sqrt{2}}(32-16x^2)\,dx = 2\pi\left[32x-\frac{16x^3}{3}\right]_0^{\sqrt{2}}$$
$$= 2\pi\left(32\sqrt{2}-\frac{16\cdot 2\sqrt{2}}{3}\right) = 2\pi\left(32\sqrt{2}-\frac{32\sqrt{2}}{3}\right)$$
$$= 2\pi\cdot\frac{96\sqrt{2}-32\sqrt{2}}{3} = 2\pi\cdot\frac{64\sqrt{2}}{3} = \frac{128\sqrt{2}\,\pi}{3}$$
$$V = \frac{128\sqrt{2}\,\pi}{3} \text{ satuan volume}$$
Contoh Soal 13
Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = x^3$ dan $y = x$ (untuk $x \geq 0$) yang diputar mengelilingi garis $y = -2$.
Lihat Pembahasan
Titik potong (untuk $x\geq 0$): $x^3=x \Rightarrow x^3-x=0 \Rightarrow x(x^2-1)=0$, jadi $x=0, x=1$.
Pada $[0,1]$: $x \geq x^3$, maka kurva atas = $x$, kurva bawah = $x^3$.
Sumbu putar: $y=-2$ (di bawah kedua kurva).
$R = x-(-2) = x+2$, $r = x^3-(-2) = x^3+2$
$$V = \pi\int_0^1 (x+2)^2-(x^3+2)^2\,dx$$
$$= \pi\int_0^1 (x^2+4x+4)-(x^6+4x^3+4)\,dx$$
$$= \pi\int_0^1 (x^2+4x-x^6-4x^3)\,dx$$
$$= \pi\left[\frac{x^3}{3}+2x^2-\frac{x^7}{7}-x^4\right]_0^1$$
$$= \pi\left(\frac{1}{3}+2-\frac{1}{7}-1\right) = \pi\left(\frac{1}{3}+1-\frac{1}{7}\right)$$
$$= \pi\cdot\frac{7+21-3}{21} = \frac{25\pi}{21}$$
$$V = \frac{25\pi}{21} \text{ satuan volume}$$
Contoh Soal 14
Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $x = y^2 – 2$ dan $x = y$ yang diputar mengelilingi garis $x = -3$.
Lihat Pembahasan
Titik potong: $y^2-2 = y \Rightarrow y^2-y-2=0 \Rightarrow (y-2)(y+1)=0$, jadi $y=-1, y=2$.
Pada $[-1,2]$: $y \geq y^2-2$, maka $x=y$ (kanan/luar), $x=y^2-2$ (kiri/dalam).
Sumbu putar: $x=-3$ (di kiri kedua kurva).
$R = y-(-3) = y+3$ (jarak kurva kanan ke sumbu putar)
$r = (y^2-2)-(-3) = y^2+1$ (jarak kurva kiri ke sumbu putar)
$$V = \pi\int_{-1}^{2}(y+3)^2-(y^2+1)^2\,dy$$
$$= \pi\int_{-1}^{2}(y^2+6y+9)-(y^4+2y^2+1)\,dy$$
$$= \pi\int_{-1}^{2}(-y^4-y^2+6y+8)\,dy$$
$$= \pi\left[-\frac{y^5}{5}-\frac{y^3}{3}+3y^2+8y\right]_{-1}^{2}$$
Untuk $y=2$: $-\frac{32}{5}-\frac{8}{3}+12+16 = -\frac{32}{5}-\frac{8}{3}+28 = \frac{-96-40+420}{15}=\frac{284}{15}$
Untuk $y=-1$: $\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+3-8 = \frac{1}{5}+\frac{1}{3}-5 = \frac{3+5-75}{15}=\frac{-67}{15}$
$$V = \pi\left(\frac{284}{15}+\frac{67}{15}\right) = \frac{351\pi}{15} = \frac{117\pi}{5}$$
$$V = \frac{117\pi}{5} \text{ satuan volume}$$
Contoh Soal 15
Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = \sqrt{x}$ dan $y = x – 2$ serta $y = 0$ yang diputar mengelilingi sumbu-x.
Lihat Pembahasan
Titik potong $y=\sqrt{x}$ dan $y=x-2$:
$\sqrt{x} = x-2 \Rightarrow x = (x-2)^2 = x^2-4x+4 \Rightarrow x^2-5x+4=0 \Rightarrow (x-4)(x-1)=0$
$x=4$ (valid karena $\sqrt{4}=2=4-2$) dan $x=1$ (tidak valid karena $\sqrt{1}=1 \neq 1-2=-1$).
Jadi titik potong di $x=4$. Kurva $y=x-2$ memotong sumbu-x di $x=2$.
Daerah dibagi dua bagian:
Bagian 1: $x \in [0,2]$: Daerah antara $y=\sqrt{x}$ dan $y=0$.
$$V_1 = \pi\int_0^2 (\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^2 x\,dx = \pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 2\pi$$
Bagian 2: $x \in [2,4]$: Daerah antara $y=\sqrt{x}$ (atas) dan $y=x-2$ (bawah).
$$V_2 = \pi\int_2^4 (\sqrt{x})^2-(x-2)^2\,dx = \pi\int_2^4 x-(x^2-4x+4)\,dx$$
$$= \pi\int_2^4 (-x^2+5x-4)\,dx = \pi\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x\right]_2^4$$
Untuk $x=4$: $-\frac{64}{3}+40-16 = -\frac{64}{3}+24 = \frac{-64+72}{3}=\frac{8}{3}$
Untuk $x=2$: $-\frac{8}{3}+10-8 = -\frac{8}{3}+2 = \frac{-8+6}{3}=\frac{-2}{3}$
$$V_2 = \pi\left(\frac{8}{3}+\frac{2}{3}\right) = \frac{10\pi}{3}$$
$$V = V_1 + V_2 = 2\pi + \frac{10\pi}{3} = \frac{6\pi+10\pi}{3} = \frac{16\pi}{3}$$
$$V = \frac{16\pi}{3} \text{ satuan volume}$$
📣 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Setelah mempelajari materi dan contoh soal, komunikasikan pemahaman Anda dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Jelaskan dengan kata-kata sendiri perbedaan antara volume benda putar satu kurva dan dua kurva.
- Buatlah langkah-langkah sistematis untuk menyelesaikan soal volume benda putar antara dua kurva.
- Jelaskan mengapa penting menentukan mana fungsi yang menjadi jari-jari luar dan jari-jari dalam.
- Berikan contoh penerapan volume benda putar dua kurva dalam kehidupan sehari-hari.
💡 Tips Mengkomunikasikan:
Gunakan sketsa/gambar saat menjelaskan ke teman. Visualisasi sangat membantu dalam memahami konsep ini.
📌 Ringkasan Rumus
| Sumbu Putar | Rumus Volume |
|---|---|
| Sumbu-x | $V = \pi\int_a^b [f(x)]^2 – [g(x)]^2\,dx$ |
| Sumbu-y | $V = \pi\int_c^d [f(y)]^2 – [g(y)]^2\,dy$ |
| Garis $y = k$ | $V = \pi\int_a^b [f(x)-k]^2 – [g(x)-k]^2\,dx$ |
| Garis $x = h$ | $V = \pi\int_c^d [f(y)-h]^2 – [g(y)-h]^2\,dy$ |
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri tanpa melihat pembahasan.
Tingkat Mudah
1. Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = 3x$ dan $y = x^2$ yang diputar mengelilingi sumbu-x.
2. Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = \sqrt{x}$ dan $y = x^2$ yang diputar mengelilingi sumbu-x.
3. Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = 4x$ dan $y = x^2$ (untuk $x \geq 0$) yang diputar mengelilingi sumbu-x.
4. Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $x = y$ dan $x = y^3$ (untuk $y \in [0,1]$) yang diputar mengelilingi sumbu-y.
5. Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = 2\sqrt{x}$ dan $y = x$ yang diputar mengelilingi sumbu-x.
Tingkat Sedang
6. Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = x^2$ dan $y = x + 6$ yang diputar mengelilingi sumbu-x.
7. Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = x^2$ dan $y = 2x$ yang diputar mengelilingi garis $y = -1$.
8. Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $x = y^2$ dan $x = 4$ yang diputar mengelilingi garis $x = 4$.
9. Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = 6-x^2$ dan $y = x^2$ yang diputar mengelilingi sumbu-x.
10. Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = x^2$ dan $y = \sqrt{x}$ yang diputar mengelilingi garis $y = 2$.
Tingkat Sulit
11. Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = x^2$ dan $y = 4x – x^2$ yang diputar mengelilingi garis $y = 6$.
12. Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = x^2+1$ dan $y = 5-x^2$ yang diputar mengelilingi garis $y = -1$.
13. Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $x = y^2$ dan $x = 2y+3$ yang diputar mengelilingi garis $x = -2$.
14. Hitunglah volume benda putar dari daerah antara $y = x^3$ dan $y = 4x$ (kuadran I) yang diputar mengelilingi garis $x = -1$.
15. Hitunglah volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh $y = \sin x$ dan $y = \cos x$ pada interval $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$ yang diputar mengelilingi garis $y = -1$.