Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X
Metode Cakram (Disk Method)
📘 Materi
A. Pendahuluan
Volume benda putar adalah volume suatu benda tiga dimensi yang terbentuk ketika suatu daerah pada bidang datar diputar mengelilingi suatu sumbu tertentu. Pada pembahasan ini, kita akan fokus pada volume benda putar yang terbentuk ketika suatu daerah diputar mengelilingi sumbu X.
Bayangkan sebuah kurva $y = f(x)$ pada interval $[a, b]$. Jika daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut, sumbu X, garis $x = a$, dan garis $x = b$ diputar 360° mengelilingi sumbu X, maka akan terbentuk sebuah benda putar (solid of revolution).
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan ilustrasi berikut:
Amati bahwa daerah yang diarsir (berwarna biru muda) jika diputar 360° mengelilingi sumbu X akan membentuk benda putar tiga dimensi. Bentuk penampang melintang benda putar tersebut berupa lingkaran dengan jari-jari $r = f(x)$.
❓ Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati ilustrasi di atas, timbul pertanyaan:
- Bagaimana cara menghitung volume benda putar tersebut?
- Mengapa jari-jari penampang lingkaran sama dengan $f(x)$?
- Bagaimana hubungan antara integral dan volume benda putar?
B. Penurunan Rumus Volume Benda Putar
💡 Kegiatan: Menalar
Mari kita turunkan rumus volume benda putar dengan pendekatan berikut:
Langkah 1: Bagi interval $[a, b]$ menjadi $n$ bagian sama panjang, masing-masing selebar $\Delta x$.
Langkah 2: Pada setiap sub-interval, penampang melintang benda putar berbentuk lingkaran dengan jari-jari $r = f(x_i)$.
Langkah 3: Volume setiap irisan tipis (cakram/disk) adalah:
Langkah 4: Volume total diperoleh dengan menjumlahkan seluruh irisan:
Langkah 5: Jika $n \to \infty$ (atau $\Delta x \to 0$), jumlahan Riemann berubah menjadi integral tentu:
📐 Rumus Volume Benda Putar Mengelilingi Sumbu X
Keterangan:
- $V$ = volume benda putar (satuan volume)
- $f(x)$ = fungsi yang membatasi daerah (kurva pembatas atas)
- $a$ dan $b$ = batas bawah dan batas atas integrasi pada sumbu X
- $\pi \approx 3{,}14159…$
C. Volume Benda Putar dari Daerah antara Dua Kurva
Jika daerah yang diputar dibatasi oleh dua kurva $y = f(x)$ (kurva atas) dan $y = g(x)$ (kurva bawah) dengan $f(x) \geq g(x) \geq 0$ pada interval $[a, b]$, maka:
Rumus ini diperoleh dengan mengurangi volume benda putar kurva luar dengan volume benda putar kurva dalam (metode washer/cincin).
🧪 Kegiatan: Mencoba
Cobalah langkah-langkah berikut:
- Ambil selembar kertas dan gambar kurva $y = x$ pada interval $[0, 2]$.
- Arsir daerah antara kurva, sumbu X, dan garis $x = 2$.
- Bayangkan daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X. Bentuk apa yang terbentuk? (Jawab: kerucut)
- Hitung volumenya menggunakan rumus: $V = \pi \int_0^2 x^2\,dx$.
- Bandingkan hasilnya dengan rumus volume kerucut $V = \frac{1}{3}\pi r^2 t$ dengan $r = 2$ dan $t = 2$.
📣 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman sekelasmu:
- Jelaskan mengapa penampang melintang benda putar mengelilingi sumbu X selalu berbentuk lingkaran.
- Jelaskan perbedaan antara metode cakram (satu kurva) dan metode cincin (dua kurva).
- Presentasikan hasil perhitungan volume kerucut menggunakan integral dan bandingkan dengan rumus geometri.
D. Langkah-Langkah Menghitung Volume Benda Putar
- Identifikasi fungsi $y = f(x)$ yang membatasi daerah.
- Tentukan batas integrasi $a$ dan $b$ (pada sumbu X).
- Kuadratkan fungsi: hitung $[f(x)]^2$.
- Integrasikan: hitung $\int_a^b [f(x)]^2 \, dx$.
- Kalikan dengan $\pi$: hasil akhir $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Contoh 1:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = 2$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = 3$ diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Diketahui: $f(x) = 2$, $a = 0$, $b = 3$
$$V = \pi \int_0^3 (2)^2 \, dx = \pi \int_0^3 4 \, dx$$
$$= \pi \left[ 4x \right]_0^3 = \pi (12 – 0) = 12\pi$$
Jadi, volume benda putar = $12\pi$ satuan volume.
Catatan: Benda putar yang terbentuk adalah silinder dengan jari-jari 2 dan tinggi 3. Cek: $V = \pi r^2 t = \pi(4)(3) = 12\pi$ ✓
Contoh 2:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x$, sumbu X, dan garis $x = 3$ diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Diketahui: $f(x) = x$, $a = 0$, $b = 3$
$$V = \pi \int_0^3 x^2 \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3$$
$$= \pi \left( \frac{27}{3} – 0 \right) = 9\pi$$
Jadi, volume benda putar = $9\pi$ satuan volume.
Contoh 3:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = 3x$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = 2$ diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Diketahui: $f(x) = 3x$, $a = 0$, $b = 2$
$$V = \pi \int_0^2 (3x)^2 \, dx = \pi \int_0^2 9x^2 \, dx$$
$$= 9\pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 9\pi \cdot \frac{8}{3} = 24\pi$$
Jadi, volume benda putar = $24\pi$ satuan volume.
Contoh 4:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = \sqrt{x}$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = 4$ diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Diketahui: $f(x) = \sqrt{x}$, $a = 0$, $b = 4$
$$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx$$
$$= \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi$$
Jadi, volume benda putar = $8\pi$ satuan volume.
Contoh 5:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x + 1$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = 2$ diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Diketahui: $f(x) = x + 1$, $a = 0$, $b = 2$
$$V = \pi \int_0^2 (x+1)^2 \, dx = \pi \int_0^2 (x^2 + 2x + 1) \, dx$$
$$= \pi \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^2$$
$$= \pi \left( \frac{8}{3} + 4 + 2 \right) = \pi \cdot \frac{26}{3} = \frac{26\pi}{3}$$
Jadi, volume benda putar = $\dfrac{26\pi}{3}$ satuan volume.
🟡 Tingkat Sedang
Contoh 6:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2$, sumbu X, $x = 1$, dan $x = 3$ diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Diketahui: $f(x) = x^2$, $a = 1$, $b = 3$
$$V = \pi \int_1^3 (x^2)^2 \, dx = \pi \int_1^3 x^4 \, dx$$
$$= \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_1^3 = \pi \left( \frac{243}{5} – \frac{1}{5} \right) = \frac{242\pi}{5}$$
Jadi, volume benda putar = $\dfrac{242\pi}{5}$ satuan volume.
Contoh 7:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2$ dan $y = x$ (untuk $x \geq 0$) diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Cari titik potong: $x^2 = x \Rightarrow x^2 – x = 0 \Rightarrow x(x-1) = 0$
Jadi $x = 0$ atau $x = 1$. Batas integrasi: $a = 0$, $b = 1$.
Langkah 2: Pada $[0, 1]$: $x \geq x^2$, maka $f(x) = x$ (atas), $g(x) = x^2$ (bawah).
$$V = \pi \int_0^1 \left[ x^2 – (x^2)^2 \right] dx = \pi \int_0^1 (x^2 – x^4) \, dx$$
$$= \pi \left[ \frac{x^3}{3} – \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right) = \pi \cdot \frac{2}{15} = \frac{2\pi}{15}$$
Jadi, volume benda putar = $\dfrac{2\pi}{15}$ satuan volume.
Contoh 8:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = \sqrt{4 – x^2}$ (setengah lingkaran atas) diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Diketahui: $f(x) = \sqrt{4 – x^2}$, kurva memotong sumbu X di $x = -2$ dan $x = 2$.
$$V = \pi \int_{-2}^{2} (\sqrt{4-x^2})^2 \, dx = \pi \int_{-2}^{2} (4-x^2) \, dx$$
$$= \pi \left[ 4x – \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2}$$
$$= \pi \left[ \left(8 – \frac{8}{3}\right) – \left(-8 + \frac{8}{3}\right) \right]$$
$$= \pi \left( \frac{16}{3} + \frac{16}{3} \right) = \frac{32\pi}{3}$$
Jadi, volume benda putar = $\dfrac{32\pi}{3}$ satuan volume.
Catatan: Ini adalah volume bola dengan jari-jari 2. Cek: $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi(8) = \frac{32\pi}{3}$ ✓
Contoh 9:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = 4 – x^2$ dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Cari titik potong dengan sumbu X: $4 – x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$.
$$V = \pi \int_{-2}^{2} (4-x^2)^2 \, dx = \pi \int_{-2}^{2} (16 – 8x^2 + x^4) \, dx$$
Karena fungsinya genap, kita bisa tulis:
$$= 2\pi \int_{0}^{2} (16 – 8x^2 + x^4) \, dx$$
$$= 2\pi \left[ 16x – \frac{8x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_0^2$$
$$= 2\pi \left( 32 – \frac{64}{3} + \frac{32}{5} \right) = 2\pi \cdot \frac{480 – 320 + 96}{15} = 2\pi \cdot \frac{256}{15} = \frac{512\pi}{15}$$
Jadi, volume benda putar = $\dfrac{512\pi}{15}$ satuan volume.
Contoh 10:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2 + 1$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = 2$ diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Diketahui: $f(x) = x^2 + 1$, $a = 0$, $b = 2$
$$V = \pi \int_0^2 (x^2+1)^2 \, dx = \pi \int_0^2 (x^4 + 2x^2 + 1) \, dx$$
$$= \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} + x \right]_0^2$$
$$= \pi \left( \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 \right) = \pi \cdot \frac{96 + 80 + 30}{15} = \frac{206\pi}{15}$$
Jadi, volume benda putar = $\dfrac{206\pi}{15}$ satuan volume.
🔴 Tingkat Sulit
Contoh 11:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2$ dan $y = 2x$ diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Titik potong: $x^2 = 2x \Rightarrow x^2 – 2x = 0 \Rightarrow x(x-2) = 0$. Jadi $x = 0$ atau $x = 2$.
Langkah 2: Pada $[0, 2]$: $2x \geq x^2$, maka $f(x) = 2x$ (atas), $g(x) = x^2$ (bawah).
$$V = \pi \int_0^2 \left[ (2x)^2 – (x^2)^2 \right] dx = \pi \int_0^2 (4x^2 – x^4) \, dx$$
$$= \pi \left[ \frac{4x^3}{3} – \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{32}{3} – \frac{32}{5} \right)$$
$$= \pi \cdot \frac{160 – 96}{15} = \frac{64\pi}{15}$$
Jadi, volume benda putar = $\dfrac{64\pi}{15}$ satuan volume.
Contoh 12:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = \sin x$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = \pi$ diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Diketahui: $f(x) = \sin x$, $a = 0$, $b = \pi$
$$V = \pi \int_0^{\pi} \sin^2 x \, dx$$
Gunakan identitas: $\sin^2 x = \dfrac{1 – \cos 2x}{2}$
$$= \pi \int_0^{\pi} \frac{1 – \cos 2x}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} (1 – \cos 2x) \, dx$$
$$= \frac{\pi}{2} \left[ x – \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2} \left[ (\pi – 0) – (0 – 0) \right]$$
$$= \frac{\pi}{2} \cdot \pi = \frac{\pi^2}{2}$$
Jadi, volume benda putar = $\dfrac{\pi^2}{2}$ satuan volume.
Contoh 13:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = e^x$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = 1$ diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Diketahui: $f(x) = e^x$, $a = 0$, $b = 1$
$$V = \pi \int_0^1 (e^x)^2 \, dx = \pi \int_0^1 e^{2x} \, dx$$
$$= \pi \left[ \frac{e^{2x}}{2} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{e^2}{2} – \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi(e^2 – 1)}{2}$$
Jadi, volume benda putar = $\dfrac{\pi(e^2 – 1)}{2}$ satuan volume.
Contoh 14:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2 – 4x + 5$ dan $y = x + 1$ diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Titik potong: $x^2 – 4x + 5 = x + 1$
$x^2 – 5x + 4 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-4) = 0 \Rightarrow x = 1$ atau $x = 4$
Langkah 2: Cek pada $[1, 4]$, misal $x = 2$: $f(2) = 1$, $g(2) = 3$. Jadi $g(x) = x + 1$ di atas.
$$V = \pi \int_1^4 \left[ (x+1)^2 – (x^2-4x+5)^2 \right] dx$$
Hitung $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$
Hitung $(x^2-4x+5)^2 = x^4 – 8x^3 + 26x^2 – 40x + 25$
$$V = \pi \int_1^4 \left[ (x^2+2x+1) – (x^4-8x^3+26x^2-40x+25) \right] dx$$
$$= \pi \int_1^4 (-x^4 + 8x^3 – 25x^2 + 42x – 24) \, dx$$
$$= \pi \left[ -\frac{x^5}{5} + 2x^4 – \frac{25x^3}{3} + 21x^2 – 24x \right]_1^4$$
Untuk $x = 4$: $-\frac{1024}{5} + 512 – \frac{1600}{3} + 336 – 96 = -\frac{1024}{5} – \frac{1600}{3} + 752$
$= \frac{-3072 – 8000 + 11280}{15} = \frac{208}{15}$
Untuk $x = 1$: $-\frac{1}{5} + 2 – \frac{25}{3} + 21 – 24 = -\frac{1}{5} – \frac{25}{3} – 1 = \frac{-3 – 125 – 15}{15} = \frac{-143}{15}$
$$V = \pi \left( \frac{208}{15} – \frac{-143}{15} \right) = \frac{351\pi}{15} = \frac{117\pi}{5}$$
Jadi, volume benda putar = $\dfrac{117\pi}{5}$ satuan volume.
Contoh 15:
Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva $y = \dfrac{1}{x}$, sumbu X, $x = 1$, dan $x = 4$ diputar mengelilingi sumbu X.
Lihat Pembahasan
Diketahui: $f(x) = \dfrac{1}{x}$, $a = 1$, $b = 4$
$$V = \pi \int_1^4 \left(\frac{1}{x}\right)^2 dx = \pi \int_1^4 \frac{1}{x^2} \, dx = \pi \int_1^4 x^{-2} \, dx$$
$$= \pi \left[ \frac{x^{-1}}{-1} \right]_1^4 = \pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^4$$
$$= \pi \left( -\frac{1}{4} + 1 \right) = \frac{3\pi}{4}$$
Jadi, volume benda putar = $\dfrac{3\pi}{4}$ satuan volume.
✍️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri!
🟢 Tingkat Mudah
1. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = 5$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = 4$ diputar mengelilingi sumbu X.
2. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = 2x$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = 3$ diputar mengelilingi sumbu X.
3. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = \sqrt{x}$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = 9$ diputar mengelilingi sumbu X.
4. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = x + 2$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = 1$ diputar mengelilingi sumbu X.
5. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = 3$, sumbu X, $x = 1$, dan $x = 5$ diputar mengelilingi sumbu X.
🟡 Tingkat Sedang
6. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = x^2$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = 2$ diputar mengelilingi sumbu X.
7. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = x^2$ dan $y = 4$ diputar mengelilingi sumbu X.
8. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = \sqrt{9 – x^2}$ (setengah lingkaran) diputar mengelilingi sumbu X.
9. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = x^2 + 2$, sumbu X, $x = -1$, dan $x = 1$ diputar mengelilingi sumbu X.
10. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = 6 – x^2$ dan sumbu X (bagian $y \geq 0$) diputar mengelilingi sumbu X.
🔴 Tingkat Sulit
11. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = x^2$ dan $y = 4x – x^2$ diputar mengelilingi sumbu X.
12. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = \cos x$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = \dfrac{\pi}{2}$ diputar mengelilingi sumbu X.
13. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = e^{-x}$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = 2$ diputar mengelilingi sumbu X.
14. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = x^3$, sumbu X, $x = 0$, dan $x = 2$ diputar mengelilingi sumbu X.
15. Hitung volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh $y = \ln x$, sumbu X, $x = 1$, dan $x = e$ diputar mengelilingi sumbu X.