Dari $y = x^2$ diperoleh $x^2 = y$, sehingga $x = \sqrt{y}$.

Gunakan metode cakram terhadap sumbu Y:

$$V = \pi \int_0^4 [\sqrt{y}]^2\, dy = \pi \int_0^4 y\, dy$$ $$= \pi \left[\frac{y^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot \frac{16}{2} = 8\pi$$

Jadi, $V = 8\pi$ satuan volume.

Daerah tersebut adalah persegi panjang dengan $x$ dari 0 sampai 2, $y$ dari 0 sampai 3. Jika diputar terhadap sumbu Y, terbentuk tabung (silinder) dengan $R = 2$ dan $t = 3$.

Dengan integral (metode cakram):

$$V = \pi \int_0^3 (2)^2\, dy = \pi \int_0^3 4\, dy = 4\pi [y]_0^3 = 12\pi$$

Jadi, $V = 12\pi$ satuan volume.

Dari $y = 2x$ diperoleh $x = \frac{y}{2}$.

$$V = \pi \int_0^6 \left(\frac{y}{2}\right)^2 dy = \pi \int_0^6 \frac{y^2}{4}\, dy$$ $$= \frac{\pi}{4}\left[\frac{y^3}{3}\right]_0^6 = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{216}{3} = \frac{\pi}{4} \cdot 72 = 18\pi$$

Jadi, $V = 18\pi$ satuan volume.

Dari $y = \sqrt{x}$ diperoleh $x = y^2$.

$$V = \pi \int_0^2 (y^2)^2\, dy = \pi \int_0^2 y^4\, dy$$ $$= \pi \left[\frac{y^5}{5}\right]_0^2 = \pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5}$$

Jadi, $V = \dfrac{32\pi}{5}$ satuan volume.

Dari $y = 3x$ diperoleh $x = \frac{y}{3}$.

$$V = \pi \int_0^9 \left(\frac{y}{3}\right)^2 dy = \pi \int_0^9 \frac{y^2}{9}\, dy$$ $$= \frac{\pi}{9}\left[\frac{y^3}{3}\right]_0^9 = \frac{\pi}{9} \cdot \frac{729}{3} = \frac{\pi}{9} \cdot 243 = 27\pi$$

Jadi, $V = 27\pi$ satuan volume.

Titik potong: $x^2 = 2x \Rightarrow x = 0$ atau $x = 2$. Pada sumbu Y: $y = 0$ dan $y = 4$.

Ubah ke bentuk $x = …$: dari $y = x^2 \Rightarrow x = \sqrt{y}$ (kurva luar); dari $y = 2x \Rightarrow x = \frac{y}{2}$ (kurva dalam).

Metode cincin:

$$V = \pi \int_0^4 \left[(\sqrt{y})^2 – \left(\frac{y}{2}\right)^2\right] dy = \pi \int_0^4 \left(y – \frac{y^2}{4}\right) dy$$ $$= \pi \left[\frac{y^2}{2} – \frac{y^3}{12}\right]_0^4 = \pi\left(8 – \frac{64}{12}\right) = \pi\left(8 – \frac{16}{3}\right) = \frac{8\pi}{3}$$

Jadi, $V = \dfrac{8\pi}{3}$ satuan volume.

Batas $x$: dari $x = 0$ sampai $x = 2$ (karena $y=4 \Rightarrow x=2$).

Tinggi kulit tabung = $4 – x^2$ (dari kurva ke garis $y = 4$).

$$V = 2\pi \int_0^2 x(4 – x^2)\, dx = 2\pi \int_0^2 (4x – x^3)\, dx$$ $$= 2\pi \left[2x^2 – \frac{x^4}{4}\right]_0^2 = 2\pi\left(8 – 4\right) = 8\pi$$

Jadi, $V = 8\pi$ satuan volume. (Sama dengan Contoh 1!)

Dari $y = x^3 \Rightarrow x = y^{1/3}$. Batas: $y = 0$ sampai $y = 8$.

$$V = \pi \int_0^8 (y^{1/3})^2\, dy = \pi \int_0^8 y^{2/3}\, dy$$ $$= \pi \left[\frac{y^{5/3}}{5/3}\right]_0^8 = \pi \cdot \frac{3}{5} \cdot 8^{5/3} = \pi \cdot \frac{3}{5} \cdot 32 = \frac{96\pi}{5}$$

Jadi, $V = \dfrac{96\pi}{5}$ satuan volume.

Titik potong dengan sumbu X: $4x – x^2 = 0 \Rightarrow x(4-x)=0 \Rightarrow x=0, x=4$.

$$V = 2\pi \int_0^4 x(4x – x^2)\, dx = 2\pi \int_0^4 (4x^2 – x^3)\, dx$$ $$= 2\pi \left[\frac{4x^3}{3} – \frac{x^4}{4}\right]_0^4 = 2\pi\left(\frac{256}{3} – 64\right) = 2\pi \cdot \frac{64}{3} = \frac{128\pi}{3}$$

Jadi, $V = \dfrac{128\pi}{3}$ satuan volume.

Titik potong: $y^2 = 4 \Rightarrow y = -2, 2$. Kurva luar: $x=4$, kurva dalam: $x = y^2$.

$$V = \pi \int_{-2}^{2} \left[4^2 – (y^2)^2\right] dy = \pi \int_{-2}^{2} (16 – y^4)\, dy$$

Karena fungsi genap:

$$= 2\pi \int_0^2 (16 – y^4)\, dy = 2\pi\left[16y – \frac{y^5}{5}\right]_0^2 = 2\pi\left(32 – \frac{32}{5}\right) = 2\pi \cdot \frac{128}{5} = \frac{256\pi}{5}$$

Jadi, $V = \dfrac{256\pi}{5}$ satuan volume.

Titik potong: $x^2 = x+2 \Rightarrow x^2 – x – 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1, 2$.

Gunakan metode shell. Tinggi shell = $(x+2) – x^2$. Perhatikan untuk $x$ negatif jari-jari $= |x|$, jadi pisahkan integral.

Alternatif: ubah ke bentuk $x = g(y)$.

Dari $y = x^2 \Rightarrow x = \sqrt{y}$ (kuadran I) dan $x = -\sqrt{y}$ (kuadran II).

Dari $y = x+2 \Rightarrow x = y-2$.

Batas $y$: saat $x=-1, y=1$; saat $x=2, y=4$.

Untuk metode cincin (washer) pada sumbu Y, kita perlu hati-hati. Gunakan shell method:

$$V = 2\pi \int_{-1}^{2} |x| \cdot [(x+2) – x^2]\, dx$$

Pisah: $\int_{-1}^0$ dan $\int_0^2$:

$$= 2\pi\left[\int_{-1}^0 (-x)(x+2-x^2)dx + \int_0^2 x(x+2-x^2)dx\right]$$ $$\int_{-1}^0 (-x)(x+2-x^2)dx = \int_{-1}^0 (-x^2-2x+x^3)dx = \left[-\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{x^4}{4}\right]_{-1}^0$$ $$= 0 – \left(\frac{1}{3}-1+\frac{1}{4}\right) = -\frac{4+3-12}{12} = \frac{5}{12}$$ $$\int_0^2 x(x+2-x^2)dx = \int_0^2 (x^2+2x-x^3)dx = \left[\frac{x^3}{3}+x^2-\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \frac{8}{3}+4-4 = \frac{8}{3}$$ $$V = 2\pi\left(\frac{5}{12} + \frac{8}{3}\right) = 2\pi \cdot \frac{5+32}{12} = 2\pi \cdot \frac{37}{12} = \frac{37\pi}{6}$$

Jadi, $V = \dfrac{37\pi}{6}$ satuan volume.

Metode shell: jari-jari $= x$, tinggi $= e^x$, batas $x = 0$ s.d. $x = 1$.

$$V = 2\pi \int_0^1 x \cdot e^x\, dx$$

Gunakan integral parsial: $u = x, dv = e^x dx \Rightarrow du = dx, v = e^x$.

$$\int x e^x dx = xe^x – \int e^x dx = xe^x – e^x + C = e^x(x-1) + C$$ $$V = 2\pi [e^x(x-1)]_0^1 = 2\pi[e^1(0) – e^0(-1)] = 2\pi[0+1] = 2\pi$$

Jadi, $V = 2\pi$ satuan volume.

Metode shell:

$$V = 2\pi \int_0^{\pi} x \sin x\, dx$$

Integral parsial: $u = x, dv = \sin x\, dx \Rightarrow du = dx, v = -\cos x$.

$$= 2\pi\left[-x\cos x + \int \cos x\, dx\right]_0^{\pi} = 2\pi[-x\cos x + \sin x]_0^{\pi}$$ $$= 2\pi[(-\pi\cos\pi + \sin\pi) – 0] = 2\pi[-\pi(-1) + 0] = 2\pi^2$$

Jadi, $V = 2\pi^2$ satuan volume.

Titik potong dengan sumbu Y ($x = 0$): $y^2 – 2y = 0 \Rightarrow y(y-2) = 0 \Rightarrow y = 0, 2$.

Pada interval $[0,2]$: $x = y^2 – 2y \le 0$ (kurva di sebelah kiri sumbu Y).

Jari-jari cakram $= |x| = |y^2 – 2y| = 2y – y^2$ (karena negatif pada interval ini).

$$V = \pi \int_0^2 (2y – y^2)^2\, dy = \pi \int_0^2 (4y^2 – 4y^3 + y^4)\, dy$$ $$= \pi\left[\frac{4y^3}{3} – y^4 + \frac{y^5}{5}\right]_0^2 = \pi\left(\frac{32}{3} – 16 + \frac{32}{5}\right)$$ $$= \pi \cdot \frac{160 – 240 + 96}{15} = \frac{16\pi}{15}$$

Jadi, $V = \dfrac{16\pi}{15}$ satuan volume.

Dari $y = \ln x \Rightarrow x = e^y$. Batas: $y = 0$ s.d. $y = 2$.

$$V = \pi \int_0^2 (e^y)^2\, dy = \pi \int_0^2 e^{2y}\, dy$$ $$= \pi\left[\frac{e^{2y}}{2}\right]_0^2 = \frac{\pi}{2}(e^4 – 1)$$

Jadi, $V = \dfrac{\pi(e^4 – 1)}{2}$ satuan volume.