Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Rumus Pengintegralan Parsial Tak Tentu
Integral Tak Tentu dengan Teknik Parsial (Integration by Parts)
Materi
Mengamati
Perhatikan integral berikut:
\(\displaystyle \int x \cdot e^x \, dx\)
Integral di atas tidak dapat diselesaikan langsung dengan rumus dasar integral. Fungsi integran merupakan perkalian dua fungsi yang berbeda jenis. Untuk menyelesaikannya, kita memerlukan teknik khusus yang disebut Integral Parsial (Integration by Parts).
Menanya
- Bagaimana cara menyelesaikan integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi berbeda jenis?
- Bagaimana menentukan mana yang menjadi \(u\) dan mana yang menjadi \(dv\)?
- Kapan teknik integral parsial digunakan?
Menalar
Rumus integral parsial diturunkan dari aturan turunan hasil kali (product rule):
\[\frac{d}{dx}[u \cdot v] = u \cdot \frac{dv}{dx} + v \cdot \frac{du}{dx}\]
Integralkan kedua ruas:
\[u \cdot v = \int u \, dv + \int v \, du\]
Sehingga diperoleh:
RUMUS INTEGRAL PARSIAL
\[\boxed{\int u \, dv = u \cdot v – \int v \, du}\]
Keterangan:
- \(u\) = fungsi yang akan diturunkan
- \(dv\) = bagian yang akan diintegralkan
- \(du\) = turunan dari \(u\)
- \(v\) = hasil integral dari \(dv\)
Pedoman Memilih \(u\) — Aturan LIATE
Untuk menentukan fungsi mana yang dijadikan \(u\), gunakan urutan prioritas LIATE:
| Prioritas | Jenis Fungsi | Contoh |
|---|---|---|
| 1 (paling diprioritaskan) | Logaritma | \(\ln x, \log x\) |
| 2 | Invers Trigonometri | \(\arctan x, \arcsin x\) |
| 3 | Aljabar (Polinom) | \(x, x^2, 3x+1\) |
| 4 | Trigonometri | \(\sin x, \cos x\) |
| 5 | Eksponensial | \(e^x, 2^x\) |
Fungsi yang lebih tinggi dalam daftar LIATE dipilih sebagai \(u\), sisanya sebagai \(dv\).
Mencoba
Mari kita coba selesaikan \(\displaystyle \int x \cdot e^x \, dx\) menggunakan rumus integral parsial:
Langkah 1: Pilih \(u\) dan \(dv\) berdasarkan LIATE.
\(u = x\) (Aljabar, prioritas lebih tinggi) → \(du = dx\)
\(dv = e^x \, dx\) (Eksponensial) → \(v = e^x\)
Langkah 2: Substitusi ke rumus.
\[\int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x – \int e^x \, dx\]
Langkah 3: Selesaikan integral sisa.
\[= x \cdot e^x – e^x + C\]
\[= e^x(x – 1) + C\]
Mengkomunikasikan
Dari pembelajaran di atas, dapat disimpulkan:
- Integral parsial digunakan ketika integran merupakan perkalian dua fungsi berbeda jenis.
- Rumus: \(\int u \, dv = u \cdot v – \int v \, du\)
- Gunakan aturan LIATE untuk menentukan \(u\) dan \(dv\).
- Kadang diperlukan integral parsial berulang (lebih dari satu kali).
- Jangan lupa menambahkan konstanta integrasi \(C\) pada hasil akhir.
Integral Parsial Berulang
Terkadang setelah menerapkan integral parsial sekali, integral sisa yang diperoleh masih memerlukan integral parsial lagi. Ini disebut integral parsial berulang.
Metode Tabel (Tabular Method) untuk integral parsial berulang:
Buat tabel dengan kolom turunan \(u\) dan kolom integral \(dv\), beri tanda selang-seling \(+\) dan \(-\).
Contoh Soal dan Pembahasan
Mudah
Contoh 1. Tentukan \(\displaystyle \int x \cos x \, dx\)
Misal: \(u = x \Rightarrow du = dx\); \(dv = \cos x \, dx \Rightarrow v = \sin x\)
\[\int x \cos x \, dx = x \sin x – \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C\]
Contoh 2. Tentukan \(\displaystyle \int x e^{2x} \, dx\)
Misal: \(u = x \Rightarrow du = dx\); \(dv = e^{2x} dx \Rightarrow v = \frac{1}{2}e^{2x}\)
\[\int x e^{2x} dx = \frac{x}{2}e^{2x} – \int \frac{1}{2}e^{2x} dx = \frac{x}{2}e^{2x} – \frac{1}{4}e^{2x} + C\]
\[= \frac{e^{2x}}{4}(2x – 1) + C\]
Contoh 3. Tentukan \(\displaystyle \int x \sin x \, dx\)
Misal: \(u = x \Rightarrow du = dx\); \(dv = \sin x \, dx \Rightarrow v = -\cos x\)
\[\int x \sin x \, dx = -x \cos x – \int (-\cos x) dx = -x \cos x + \sin x + C\]
Contoh 4. Tentukan \(\displaystyle \int \ln x \, dx\)
Misal: \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\); \(dv = dx \Rightarrow v = x\)
\[\int \ln x \, dx = x \ln x – \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x – \int dx = x \ln x – x + C\]
Contoh 5. Tentukan \(\displaystyle \int x e^{-x} \, dx\)
Misal: \(u = x \Rightarrow du = dx\); \(dv = e^{-x} dx \Rightarrow v = -e^{-x}\)
\[\int x e^{-x} dx = -xe^{-x} – \int (-e^{-x}) dx = -xe^{-x} + \int e^{-x} dx\]
\[= -xe^{-x} – e^{-x} + C = -e^{-x}(x+1) + C\]
Sedang
Contoh 6. Tentukan \(\displaystyle \int x^2 e^x \, dx\)
Integral parsial berulang (2 kali).
Tahap 1: \(u = x^2, du = 2x\,dx, dv = e^x dx, v = e^x\)
\[\int x^2 e^x dx = x^2 e^x – 2\int x e^x dx\]
Tahap 2: Selesaikan \(\int x e^x dx\) (sudah kita ketahui \(= e^x(x-1)\))
\[= x^2 e^x – 2[e^x(x-1)] + C = x^2 e^x – 2xe^x + 2e^x + C\]
\[= e^x(x^2 – 2x + 2) + C\]
Contoh 7. Tentukan \(\displaystyle \int x^2 \cos x \, dx\)
Tahap 1: \(u=x^2, du=2x\,dx, dv=\cos x\,dx, v=\sin x\)
\[= x^2 \sin x – 2\int x \sin x \, dx\]
Tahap 2: \(\int x \sin x\,dx = -x\cos x + \sin x\)
\[= x^2 \sin x – 2(-x\cos x + \sin x) + C\]
\[= x^2 \sin x + 2x\cos x – 2\sin x + C\]
Contoh 8. Tentukan \(\displaystyle \int e^x \sin x \, dx\)
Misal \(I = \int e^x \sin x \, dx\)
Tahap 1: \(u=\sin x, du=\cos x\,dx, dv=e^x dx, v=e^x\)
\[I = e^x \sin x – \int e^x \cos x \, dx\]
Tahap 2: Untuk \(\int e^x \cos x\,dx\): \(u=\cos x, du=-\sin x\,dx, dv=e^x dx, v=e^x\)
\[\int e^x \cos x\,dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x\,dx = e^x \cos x + I\]
Substitusi: \(I = e^x \sin x – (e^x \cos x + I)\)
\(2I = e^x(\sin x – \cos x)\)
\[\boxed{I = \frac{e^x(\sin x – \cos x)}{2} + C}\]
Contoh 9. Tentukan \(\displaystyle \int x \ln x \, dx\)
Misal: \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\); \(dv = x\,dx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2}\)
\[\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2}\ln x – \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}dx = \frac{x^2}{2}\ln x – \frac{1}{2}\int x\,dx\]
\[= \frac{x^2}{2}\ln x – \frac{x^2}{4} + C = \frac{x^2}{4}(2\ln x – 1) + C\]
Contoh 10. Tentukan \(\displaystyle \int e^x \cos x \, dx\)
Misal \(I = \int e^x \cos x\,dx\)
Tahap 1: \(u=\cos x, du=-\sin x\,dx, dv=e^x dx, v=e^x\)
\[I = e^x\cos x + \int e^x \sin x\,dx\]
Tahap 2: \(\int e^x \sin x\,dx = e^x\sin x – \int e^x\cos x\,dx = e^x\sin x – I\)
Substitusi: \(I = e^x\cos x + e^x\sin x – I\)
\(2I = e^x(\cos x + \sin x)\)
\[\boxed{I = \frac{e^x(\cos x + \sin x)}{2} + C}\]
Sulit
Contoh 11. Tentukan \(\displaystyle \int x^3 e^x \, dx\)
Gunakan metode tabel (integral parsial 3 kali berturut-turut):
| Tanda | Turunan \(u\) | Integral \(dv\) |
|---|---|---|
| \(+\) | \(x^3\) | \(e^x\) |
| \(-\) | \(3x^2\) | \(e^x\) |
| \(+\) | \(6x\) | \(e^x\) |
| \(-\) | \(6\) | \(e^x\) |
| \(+\) | \(0\) | \(e^x\) |
\[\int x^3 e^x dx = x^3 e^x – 3x^2 e^x + 6x e^x – 6e^x + C\]
\[= e^x(x^3 – 3x^2 + 6x – 6) + C\]
Contoh 12. Tentukan \(\displaystyle \int x^2 \sin 2x \, dx\)
Tahap 1: \(u=x^2, du=2x\,dx, dv=\sin 2x\,dx, v=-\frac{1}{2}\cos 2x\)
\[= -\frac{x^2}{2}\cos 2x + \int x\cos 2x\,dx\]
Tahap 2: \(u=x, du=dx, dv=\cos 2x\,dx, v=\frac{1}{2}\sin 2x\)
\[\int x\cos 2x\,dx = \frac{x}{2}\sin 2x – \int \frac{1}{2}\sin 2x\,dx = \frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x\]
Gabungkan:
\[= -\frac{x^2}{2}\cos 2x + \frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C\]
Contoh 13. Tentukan \(\displaystyle \int (\ln x)^2 \, dx\)
Tahap 1: \(u=(\ln x)^2, du=\frac{2\ln x}{x}dx, dv=dx, v=x\)
\[= x(\ln x)^2 – 2\int \ln x\,dx\]
Tahap 2: Kita tahu \(\int \ln x\,dx = x\ln x – x\)
\[= x(\ln x)^2 – 2(x\ln x – x) + C\]
\[= x(\ln x)^2 – 2x\ln x + 2x + C = x[(\ln x)^2 – 2\ln x + 2] + C\]
Contoh 14. Tentukan \(\displaystyle \int x^2 \ln x \, dx\)
Misal: \(u=\ln x, du=\frac{1}{x}dx, dv=x^2 dx, v=\frac{x^3}{3}\)
\[\int x^2 \ln x\,dx = \frac{x^3}{3}\ln x – \int \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}dx = \frac{x^3}{3}\ln x – \frac{1}{3}\int x^2 dx\]
\[= \frac{x^3}{3}\ln x – \frac{x^3}{9} + C = \frac{x^3}{9}(3\ln x – 1) + C\]
Contoh 15. Tentukan \(\displaystyle \int e^{2x}\sin 3x \, dx\)
Misal \(I = \int e^{2x}\sin 3x\,dx\)
Tahap 1: \(u=\sin 3x, du=3\cos 3x\,dx, dv=e^{2x}dx, v=\frac{1}{2}e^{2x}\)
\[I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin 3x – \frac{3}{2}\int e^{2x}\cos 3x\,dx\]
Tahap 2: \(u=\cos 3x, du=-3\sin 3x\,dx, dv=e^{2x}dx, v=\frac{1}{2}e^{2x}\)
\[\int e^{2x}\cos 3x\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}\cos 3x + \frac{3}{2}\int e^{2x}\sin 3x\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}\cos 3x + \frac{3}{2}I\]
Substitusi:
\[I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin 3x – \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}e^{2x}\cos 3x + \frac{3}{2}I\right)\]
\[I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin 3x – \frac{3}{4}e^{2x}\cos 3x – \frac{9}{4}I\]
\[\frac{13}{4}I = \frac{e^{2x}}{4}(2\sin 3x – 3\cos 3x)\]
\[\boxed{I = \frac{e^{2x}(2\sin 3x – 3\cos 3x)}{13} + C}\]
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan rumus integral parsial!
Mudah
- Tentukan \(\displaystyle \int x e^{3x}\,dx\)
- Tentukan \(\displaystyle \int x \cos 2x\,dx\)
- Tentukan \(\displaystyle \int x \sin 3x\,dx\)
- Tentukan \(\displaystyle \int (2x+1)e^x\,dx\)
- Tentukan \(\displaystyle \int x e^{-2x}\,dx\)
Sedang
- Tentukan \(\displaystyle \int x^2 \sin x\,dx\)
- Tentukan \(\displaystyle \int x^2 e^{-x}\,dx\)
- Tentukan \(\displaystyle \int x^2 \cos 2x\,dx\)
- Tentukan \(\displaystyle \int (x^2+1)\ln x\,dx\)
- Tentukan \(\displaystyle \int e^{-x}\cos x\,dx\)
Sulit
- Tentukan \(\displaystyle \int x^3 \cos x\,dx\)
- Tentukan \(\displaystyle \int x^3 \ln x\,dx\)
- Tentukan \(\displaystyle \int e^{3x}\cos 2x\,dx\)
- Tentukan \(\displaystyle \int (\ln x)^3\,dx\)
- Tentukan \(\displaystyle \int x^2 e^{2x}\sin x\,dx\)