Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Rumus Pengintegralan Parsial Tentu
Integral Tentu dengan Metode Parsial (Definite Integration by Parts)
A. Materi Pengintegralan Parsial Tentu
1. Pengertian
Pengintegralan parsial tentu adalah teknik menghitung integral tentu dari perkalian dua fungsi yang tidak dapat diselesaikan secara langsung. Metode ini merupakan penerapan integral parsial pada integral dengan batas atas dan batas bawah tertentu.
Jika integral parsial tak tentu memiliki rumus:
\[\int u \, dv = uv – \int v \, du\]
Maka untuk integral parsial tentu dengan batas bawah \(a\) dan batas atas \(b\), rumusnya adalah:
Rumus Pengintegralan Parsial Tentu:
\[\int_a^b u \, dv = \Big[uv\Big]_a^b – \int_a^b v \, du\]
2. Langkah-Langkah Penyelesaian
- Pilih \(u\) dan \(dv\) dari integran \(f(x) \cdot g(x)\,dx\).
- Tentukan \(du\) dengan menurunkan \(u\).
- Tentukan \(v\) dengan mengintegralkan \(dv\).
- Substitusikan ke rumus \(\Big[uv\Big]_a^b – \int_a^b v\,du\).
- Hitung nilai dengan memasukkan batas atas dan batas bawah.
3. Pedoman Pemilihan \(u\) (Aturan LIATE)
Prioritas pemilihan \(u\) berdasarkan urutan:
| Prioritas | Jenis Fungsi | Contoh |
|---|---|---|
| 1 | Logaritma | \(\ln x\) |
| 2 | Invers Trigonometri | \(\arctan x\) |
| 3 | Aljabar | \(x, x^2\) |
| 4 | Trigonometri | \(\sin x, \cos x\) |
| 5 | Eksponensial | \(e^x\) |
4. Kegiatan Pembelajaran
🔍 Mengamati
Perhatikan integral berikut:
\[\int_0^1 x \, e^x \, dx\]
Amati bahwa integran merupakan perkalian fungsi aljabar \(x\) dan fungsi eksponensial \(e^x\). Integral ini tidak bisa diselesaikan langsung, sehingga diperlukan metode parsial.
❓ Menanya
- Bagaimana cara memilih \(u\) dan \(dv\) yang tepat?
- Apakah batas integral mempengaruhi proses pemilihan \(u\) dan \(dv\)?
- Bagaimana jika integral parsial perlu dilakukan lebih dari satu kali?
💡 Menalar
Dari rumus \(\int_a^b u\,dv = [uv]_a^b – \int_a^b v\,du\), kita dapat menyimpulkan:
- Memilih \(u\) sebagai fungsi yang menjadi lebih sederhana saat diturunkan.
- Memilih \(dv\) sebagai fungsi yang mudah diintegralkan.
- Batas integral diterapkan pada bagian \([uv]_a^b\) dan juga pada \(\int_a^b v\,du\).
✍️ Mencoba
Mari selesaikan \(\int_0^1 x\,e^x\,dx\):
Misal: \(u = x \Rightarrow du = dx\)
\(dv = e^x\,dx \Rightarrow v = e^x\)
\[\int_0^1 x\,e^x\,dx = \Big[x\,e^x\Big]_0^1 – \int_0^1 e^x\,dx\]
\[= (1 \cdot e^1 – 0 \cdot e^0) – \Big[e^x\Big]_0^1\]
\[= e – (e – 1) = 1\]
📢 Mengkomunikasikan
Hasil: \(\int_0^1 x\,e^x\,dx = 1\)
Kesimpulan: Dengan memilih \(u = x\) (aljabar, prioritas LIATE lebih tinggi dari eksponensial) dan \(dv = e^x\,dx\), integral parsial tentu menghasilkan integral yang lebih sederhana \(\int_0^1 e^x\,dx\) yang dapat dihitung langsung.
5. Integral Parsial Tentu Berulang (Tabular)
Untuk integral yang memerlukan pengintegralan parsial berulang, gunakan metode tabel:
\[\int_a^b x^n \, e^x \, dx\]
Memerlukan \(n\) kali pengintegralan parsial hingga turunan \(x^n\) menjadi 0.
Contoh metode tabel untuk \(\int_0^1 x^2 e^x\,dx\):
| Tanda | Turunan \(u\) | Integral \(dv\) |
|---|---|---|
| + | \(x^2\) | \(e^x\) |
| − | \(2x\) | \(e^x\) |
| + | \(2\) | \(e^x\) |
| − | \(0\) | \(e^x\) |
Hasil: \(\Big[x^2 e^x – 2x e^x + 2e^x\Big]_0^1 = (e – 2e + 2e) – (0 – 0 + 2) = e – 2\)
B. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Tingkat Mudah
Contoh 1:
Hitunglah \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx\)
Lihat Pembahasan
Misal \(u = x \Rightarrow du = dx\)
\(dv = e^x\,dx \Rightarrow v = e^x\)
\[\int_0^1 x\,e^x\,dx = [xe^x]_0^1 – \int_0^1 e^x\,dx\]
\[= (1\cdot e – 0) – [e^x]_0^1 = e – (e-1) = \boxed{1}\]
Contoh 2:
Hitunglah \(\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx\)
Lihat Pembahasan
Misal \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}\,dx\)
\(dv = dx \Rightarrow v = x\)
\[\int_1^e \ln x\,dx = [x\ln x]_1^e – \int_1^e x\cdot\frac{1}{x}\,dx\]
\[= (e\ln e – 1\cdot\ln 1) – \int_1^e dx\]
\[= (e\cdot 1 – 0) – [x]_1^e = e – (e-1) = \boxed{1}\]
Contoh 3:
Hitunglah \(\displaystyle\int_0^{\pi} x\,\sin x\,dx\)
Lihat Pembahasan
Misal \(u = x \Rightarrow du = dx\)
\(dv = \sin x\,dx \Rightarrow v = -\cos x\)
\[\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = [-x\cos x]_0^{\pi} – \int_0^{\pi} (-\cos x)\,dx\]
\[= (-\pi\cos\pi + 0) + [\sin x]_0^{\pi}\]
\[= (-\pi(-1)) + (0-0) = \boxed{\pi}\]
Contoh 4:
Hitunglah \(\displaystyle\int_0^1 x\cdot 2^x\,dx\)
Lihat Pembahasan
Misal \(u = x \Rightarrow du = dx\)
\(dv = 2^x\,dx \Rightarrow v = \frac{2^x}{\ln 2}\)
\[\int_0^1 x\cdot 2^x\,dx = \left[\frac{x\cdot 2^x}{\ln 2}\right]_0^1 – \int_0^1 \frac{2^x}{\ln 2}\,dx\]
\[= \frac{2}{\ln 2} – \frac{1}{(\ln 2)^2}[2^x]_0^1 = \frac{2}{\ln 2} – \frac{2-1}{(\ln 2)^2}\]
\[= \boxed{\frac{2}{\ln 2} – \frac{1}{(\ln 2)^2}}\]
Contoh 5:
Hitunglah \(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\,\cos x\,dx\)
Lihat Pembahasan
Misal \(u = x \Rightarrow du = dx\)
\(dv = \cos x\,dx \Rightarrow v = \sin x\)
\[\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx = [x\sin x]_0^{\pi/2} – \int_0^{\pi/2} \sin x\,dx\]
\[= \left(\frac{\pi}{2}\cdot 1 – 0\right) – [-\cos x]_0^{\pi/2}\]
\[= \frac{\pi}{2} – (0 – (-1)) = \frac{\pi}{2} – 1 = \boxed{\frac{\pi}{2} – 1}\]
📙 Tingkat Sedang
Contoh 6:
Hitunglah \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,e^x\,dx\)
Lihat Pembahasan
Parsial pertama: \(u = x^2,\; dv = e^x\,dx\)
\(du = 2x\,dx,\; v = e^x\)
\[\int_0^1 x^2 e^x\,dx = [x^2 e^x]_0^1 – 2\int_0^1 xe^x\,dx\]
Parsial kedua: \(\int_0^1 xe^x\,dx = 1\) (dari Contoh 1)
\[= (e – 0) – 2(1) = \boxed{e – 2}\]
Contoh 7:
Hitunglah \(\displaystyle\int_1^e x\,\ln x\,dx\)
Lihat Pembahasan
Misal \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}\,dx\)
\(dv = x\,dx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2}\)
\[\int_1^e x\ln x\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e – \int_1^e \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx\]
\[= \left(\frac{e^2}{2}\cdot 1 – 0\right) – \frac{1}{2}\int_1^e x\,dx\]
\[= \frac{e^2}{2} – \frac{1}{2}\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^e = \frac{e^2}{2} – \frac{1}{4}(e^2 – 1)\]
\[= \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \boxed{\frac{e^2 + 1}{4}}\]
Contoh 8:
Hitunglah \(\displaystyle\int_0^{\pi} x^2\,\sin x\,dx\)
Lihat Pembahasan
Parsial I: \(u=x^2,\; dv=\sin x\,dx \Rightarrow du=2x\,dx,\; v=-\cos x\)
\[= [-x^2\cos x]_0^{\pi} + 2\int_0^{\pi} x\cos x\,dx\]
\[= (\pi^2) + 2\int_0^{\pi} x\cos x\,dx\]
Parsial II: \(u=x,\; dv=\cos x\,dx \Rightarrow v=\sin x\)
\[\int_0^{\pi} x\cos x\,dx = [x\sin x]_0^{\pi} – \int_0^{\pi}\sin x\,dx = 0 – [-\cos x]_0^{\pi} = -(1+1) = -2\]
\[= \pi^2 + 2(-2) = \boxed{\pi^2 – 4}\]
Contoh 9:
Hitunglah \(\displaystyle\int_1^e (\ln x)^2\,dx\)
Lihat Pembahasan
Misal \(u = (\ln x)^2 \Rightarrow du = \frac{2\ln x}{x}\,dx\)
\(dv = dx \Rightarrow v = x\)
\[\int_1^e (\ln x)^2\,dx = [x(\ln x)^2]_1^e – 2\int_1^e \ln x\,dx\]
Dari Contoh 2: \(\int_1^e \ln x\,dx = 1\)
\[= (e\cdot 1 – 0) – 2(1) = \boxed{e – 2}\]
Contoh 10:
Hitunglah \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{2x}\,dx\)
Lihat Pembahasan
Misal \(u = x \Rightarrow du = dx\)
\(dv = e^{2x}\,dx \Rightarrow v = \frac{1}{2}e^{2x}\)
\[\int_0^1 xe^{2x}\,dx = \left[\frac{x}{2}e^{2x}\right]_0^1 – \frac{1}{2}\int_0^1 e^{2x}\,dx\]
\[= \frac{e^2}{2} – \frac{1}{2}\cdot\left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_0^1\]
\[= \frac{e^2}{2} – \frac{1}{4}(e^2 – 1) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \boxed{\frac{e^2+1}{4}}\]
📕 Tingkat Sulit
Contoh 11:
Hitunglah \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} e^x\,\sin x\,dx\)
Lihat Pembahasan
Misal \(I = \int_0^{\pi/2} e^x\sin x\,dx\)
Parsial I: \(u=\sin x,\; dv=e^x\,dx\)
\[I = [e^x\sin x]_0^{\pi/2} – \int_0^{\pi/2} e^x\cos x\,dx\]
Parsial II pada integral kedua: \(u=\cos x,\; dv=e^x\,dx\)
\[\int_0^{\pi/2} e^x\cos x\,dx = [e^x\cos x]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} e^x\sin x\,dx\]
\[= (0 – 1) + I = I – 1\]
Substitusi: \(I = e^{\pi/2} – (I – 1)\)
\(2I = e^{\pi/2} + 1\)
\[\boxed{I = \frac{e^{\pi/2} + 1}{2}}\]
Contoh 12:
Hitunglah \(\displaystyle\int_0^1 x^3\,e^x\,dx\)
Lihat Pembahasan
Metode tabel (parsial berulang):
\[\int_0^1 x^3 e^x\,dx = [x^3 e^x – 3x^2 e^x + 6xe^x – 6e^x]_0^1\]
Pada \(x=1\): \(e – 3e + 6e – 6e = -2e\)
Pada \(x=0\): \(0 – 0 + 0 – 6 = -6\)
\[= -2e – (-6) = \boxed{6 – 2e}\]
Contoh 13:
Hitunglah \(\displaystyle\int_0^{\pi} e^x\,\cos x\,dx\)
Lihat Pembahasan
Misal \(I = \int_0^{\pi} e^x\cos x\,dx\)
Parsial I: \(u=\cos x,\; dv=e^x dx \Rightarrow I = [e^x\cos x]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} e^x\sin x\,dx\)
\[= (-e^{\pi} – 1) + \int_0^{\pi} e^x\sin x\,dx\]
Parsial II: \(u=\sin x,\; dv=e^x dx\)
\[\int_0^{\pi} e^x\sin x\,dx = [e^x\sin x]_0^{\pi} – \int_0^{\pi} e^x\cos x\,dx = 0 – I\]
Maka: \(I = -e^{\pi} – 1 – I \Rightarrow 2I = -(e^{\pi}+1)\)
\[\boxed{I = -\frac{e^{\pi}+1}{2}}\]
Contoh 14:
Hitunglah \(\displaystyle\int_1^e x^2(\ln x)^2\,dx\)
Lihat Pembahasan
Misal \(u = (\ln x)^2 \Rightarrow du = \frac{2\ln x}{x}\,dx\)
\(dv = x^2\,dx \Rightarrow v = \frac{x^3}{3}\)
\[\int_1^e x^2(\ln x)^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}(\ln x)^2\right]_1^e – \frac{2}{3}\int_1^e x^2\ln x\,dx\]
Untuk \(\int_1^e x^2\ln x\,dx\): \(u=\ln x,\; dv=x^2 dx\)
\[= \left[\frac{x^3}{3}\ln x\right]_1^e – \frac{1}{3}\int_1^e x^2\,dx = \frac{e^3}{3} – \frac{1}{9}(e^3-1)\]
\[= \frac{2e^3+1}{9}\]
Kembali: \(= \frac{e^3}{3} – \frac{2}{3}\cdot\frac{2e^3+1}{9} = \frac{e^3}{3} – \frac{4e^3+2}{27} = \frac{9e^3 – 4e^3 – 2}{27}\)
\[= \boxed{\frac{5e^3 – 2}{27}}\]
Contoh 15:
Hitunglah \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} x^2\,\cos x\,dx\)
Lihat Pembahasan
Parsial I: \(u=x^2,\; dv=\cos x\,dx \Rightarrow v=\sin x\)
\[= [x^2\sin x]_0^{\pi/2} – 2\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx\]
\[= \frac{\pi^2}{4} – 2\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx\]
Parsial II: \(u=x,\; dv=\sin x\,dx \Rightarrow v=-\cos x\)
\[\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx = [-x\cos x]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = 0 + [\sin x]_0^{\pi/2} = 1\]
\[= \frac{\pi^2}{4} – 2(1) = \boxed{\frac{\pi^2}{4} – 2}\]
C. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
📗 Tingkat Mudah
1. \(\displaystyle\int_0^2 x\,e^x\,dx\)
2. \(\displaystyle\int_1^{e^2} \ln x\,dx\)
3. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} x\,\sin x\,dx\)
4. \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{3x}\,dx\)
5. \(\displaystyle\int_0^{\pi} x\,\cos x\,dx\)
📙 Tingkat Sedang
6. \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,e^{2x}\,dx\)
7. \(\displaystyle\int_1^e x^2\,\ln x\,dx\)
8. \(\displaystyle\int_0^{\pi/2} x^2\,\sin x\,dx\)
9. \(\displaystyle\int_1^e \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx\)
10. \(\displaystyle\int_0^1 (2x+1)\,e^x\,dx\)
📕 Tingkat Sulit
11. \(\displaystyle\int_0^{\pi} e^{2x}\,\sin x\,dx\)
12. \(\displaystyle\int_0^1 x^3\,e^{2x}\,dx\)
13. \(\displaystyle\int_1^e x(\ln x)^3\,dx\)
14. \(\displaystyle\int_0^{\pi/4} x^2\,\sec^2 x\,dx\)
15. \(\displaystyle\int_0^{1} x\,\arctan x\,dx\)