Notasi Sigma – Matematika SMA/MA/SMK/MAK

Matematika SMA/MA/SMK/MAK

Notasi Sigma (Σ)

Panduan Lengkap: Materi, Contoh Soal & Latihan

1. Pengertian Notasi Sigma

🔍 Mengamati

Perhatikan penjumlahan berikut:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Penjumlahan di atas memiliki pola tertentu. Setiap suku berupa bilangan bulat berurutan dari 1 sampai 10. Bagaimana cara menuliskannya secara ringkas?

Notasi Sigma adalah cara penulisan ringkas untuk menyatakan suatu penjumlahan berpola menggunakan lambang Σ (huruf kapital Yunani: sigma).

∑_i=a^b f(i) = f(a) + f(a+1) + f(a+2) + ⋯ + f(b)

Keterangan:

Komponen	Penjelasan
Σ	Lambang sigma, artinya “jumlahkan”
i	Indeks penjumlahan (variabel dummy)
a	Batas bawah (nilai awal indeks)
b	Batas atas (nilai akhir indeks)
f(i)	Suku umum (fungsi dari indeks i)

❓ Menanya

Dari pengamatan di atas, tanyakan pada diri sendiri:

Apa yang dimaksud dengan batas bawah dan batas atas?
Mengapa indeks disebut variabel dummy?
Bagaimana menentukan suku umum f(i) dari suatu pola penjumlahan?

Penjelasan Detail

Indeks sebagai variabel dummy: Indeks disebut variabel dummy karena pilihan huruf tidak memengaruhi hasil. Misalnya:

∑_i=1⁵ i² = ∑_k=1⁵ k² = ∑_n=1⁵ n² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55

Cara Membaca Notasi Sigma:

∑_i=1¹⁰ i

“Jumlahkan i untuk i dari 1 sampai 10”

Artinya: ganti i berturut-turut dengan 1, 2, 3, …, 10, lalu jumlahkan semua hasilnya.

∑_i=1¹⁰ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55

💡 Menalar

Perhatikan pola-pola penjumlahan berikut dan tentukan notasi sigma-nya:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 → setiap suku = 2i, maka: ∑_i=1⁵ 2i
1 + 4 + 9 + 16 + 25 → setiap suku = i², maka: ∑_i=1⁵ i²
3 + 5 + 7 + 9 + 11 → setiap suku = 2i+1, maka: ∑_i=1⁵ (2i+1)

2. Sifat-Sifat Notasi Sigma

🔍 Mengamati

Perhatikan bahwa penjumlahan memiliki sifat-sifat yang juga berlaku pada notasi sigma. Misalnya, sifat distributif dan sifat komutatif penjumlahan.

Sifat 1: Konstanta Bisa Dikeluarkan

∑_i=1ⁿ c·f(i) = c · ∑_i=1ⁿ f(i)

dengan c adalah konstanta (bilangan tetap).

Contoh: ∑_i=1⁴ 3i = 3·∑_i=1⁴ i = 3·(1+2+3+4) = 3·10 = 30

Sifat 2: Sigma dari Penjumlahan/Pengurangan

∑_i=1ⁿ [f(i) ± g(i)] = ∑_i=1ⁿ f(i) ± ∑_i=1ⁿ g(i)

Contoh: ∑_i=1³ (i² + 2i) = ∑_i=1³ i² + ∑_i=1³ 2i = (1+4+9) + (2+4+6) = 14 + 12 = 26

Sifat 3: Sigma dari Konstanta

∑_i=1ⁿ c = n·c

Menjumlahkan konstanta c sebanyak n kali menghasilkan n × c.

Contoh: ∑_i=1⁵ 7 = 5 × 7 = 35

Sifat 4: Pemecahan Batas (Splitting)

∑_i=1ⁿ f(i) = ∑_i=1^k f(i) + ∑_i=k+1ⁿ f(i), untuk 1 ≤ k < n

Contoh: ∑_i=1⁶ i = ∑_i=1³ i + ∑_i=4⁶ i = (1+2+3) + (4+5+6) = 6 + 15 = 21

Sifat 5: Pergeseran Indeks

∑_i=1ⁿ f(i) = ∑_i=0ⁿ⁻¹ f(i+1)

Indeks dapat digeser asalkan suku umum dan batas disesuaikan.

Contoh: ∑_i=1⁴ i² = ∑_i=0³ (i+1)² = 1² + 2² + 3² + 4² = 30

🧪 Mencoba

Buktikan bahwa sifat-sifat di atas benar dengan mencoba contoh berikut:

Tunjukkan bahwa ∑_i=1⁴ 5i² = 5 · ∑_i=1⁴ i²
Tunjukkan bahwa ∑_i=1³ (i + i²) = ∑_i=1³ i + ∑_i=1³ i²
Tunjukkan bahwa ∑_i=1⁵ i = ∑_i=1² i + ∑_i=3⁵ i

3. Rumus-Rumus Penting Notasi Sigma

Rumus Dasar yang Wajib Diingat

No	Rumus	Hasil
1	∑_i=1ⁿ 1	n
2	∑_i=1ⁿ i	n(n+1)/2
3	∑_i=1ⁿ i²	n(n+1)(2n+1)/6
4	∑_i=1ⁿ i³	[n(n+1)/2]²

💡 Menalar

Perhatikan bahwa rumus ∑i³ = [∑i]². Ini berarti jumlah kubik bilangan 1 sampai n sama dengan kuadrat dari jumlah bilangan 1 sampai n. Coba verifikasi untuk n = 3:

∑_i=1³ i³ = 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36

[∑_i=1³ i]² = (1+2+3)² = 6² = 36 ✓

Penerapan Rumus untuk Suku Umum Berderajat 2

Untuk menghitung ∑_i=1ⁿ (ai² + bi + c), gunakan sifat sigma:

∑_i=1ⁿ (ai² + bi + c) = a·∑_i=1ⁿ i² + b·∑_i=1ⁿ i + c·∑_i=1ⁿ 1

= a · ^n(n+1)(2n+1)/₆ + b · ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂ + cn

📢 Mengkomunikasikan

Jelaskan kepada teman Anda mengapa rumus ∑_i=1ⁿ i = n(n+1)/2 benar. Salah satu cara memahaminya:

Misalkan S = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n. Tulis juga S = n + (n−1) + ⋯ + 1.

Jumlahkan: 2S = (n+1) + (n+1) + ⋯ + (n+1) = n(n+1), sehingga S = n(n+1)/2.

4. Contoh Soal & Pembahasan

📗 Tingkat Mudah

Mudah

Soal 1: Hitunglah ∑_i=1⁵ i

▶ Pembahasan

Jabarkan: ∑_i=1⁵ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Atau menggunakan rumus: n(n+1)/2 = 5(6)/2 = 15

Mudah

Soal 2: Hitunglah ∑_i=1⁴ 3

▶ Pembahasan

Menggunakan sifat sigma dari konstanta: ∑_i=1ⁿ c = nc

∑_i=1⁴ 3 = 4 × 3 = 12

Mudah

Soal 3: Hitunglah ∑_i=1⁴ 2i

▶ Pembahasan

∑_i=1⁴ 2i = 2·∑_i=1⁴ i = 2·(4)(5)/2 = 2·10 = 20

Verifikasi: 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 ✓

Mudah

Soal 4: Nyatakan 5 + 10 + 15 + 20 + 25 dalam notasi sigma.

▶ Pembahasan

Setiap suku = 5 × nomor urut. Suku ke-i = 5i.

Jawaban: ∑_i=1⁵ 5i

Mudah

Soal 5: Hitunglah ∑_i=2⁵ (i + 1)

▶ Pembahasan

Substitusi i = 2, 3, 4, 5:

= (2+1) + (3+1) + (4+1) + (5+1) = 3 + 4 + 5 + 6 = 18

📙 Tingkat Sedang

Sedang

Soal 1: Hitunglah ∑_i=1⁶ i²

▶ Pembahasan

Menggunakan rumus: ∑_i=1ⁿ i² = n(n+1)(2n+1)/6

= 6(7)(13)/6 = 7 × 13 = 91

Sedang

Soal 2: Hitunglah ∑_i=1⁵ (3i − 1)

▶ Pembahasan

= 3·∑_i=1⁵ i − ∑_i=1⁵ 1

= 3 · 5(6)/2 − 5

= 3 · 15 − 5 = 45 − 5 = 40

Sedang

Soal 3: Hitunglah ∑_i=1⁴ i³

▶ Pembahasan

Menggunakan rumus: ∑_i=1ⁿ i³ = [n(n+1)/2]²

= [4(5)/2]² = [10]² = 100

Verifikasi: 1 + 8 + 27 + 64 = 100 ✓

Sedang

Soal 4: Hitunglah ∑_i=3⁷ (2i + 3)

▶ Pembahasan

Cara 1 (langsung):

= (2·3+3) + (2·4+3) + (2·5+3) + (2·6+3) + (2·7+3)

= 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 65

Cara 2 (splitting):

∑_i=3⁷ (2i+3) = ∑_i=1⁷ (2i+3) − ∑_i=1² (2i+3)

= [2·7(8)/2 + 3·7] − [2·2(3)/2 + 3·2]

= [56 + 21] − [6 + 6] = 77 − 12 = 65 ✓

Sedang

Soal 5: Nyatakan dalam notasi sigma: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ + 1/10

▶ Pembahasan

Suku ke-i = 1/i, dimulai dari i = 1 sampai i = 10.

Jawaban: ∑_i=1¹⁰ (1/i)

📕 Tingkat Sulit

Sulit

Soal 1: Hitunglah ∑_i=1¹⁰ (2i² − 3i + 1)

▶ Pembahasan

= 2·∑_i=1¹⁰ i² − 3·∑_i=1¹⁰ i + ∑_i=1¹⁰ 1

= 2 · 10(11)(21)/6 − 3 · 10(11)/2 + 10

= 2 · 385 − 3 · 55 + 10

= 770 − 165 + 10 = 615

Sulit

Soal 2: Tentukan nilai n jika ∑_i=1ⁿ (4i − 2) = 220

▶ Pembahasan

∑_i=1ⁿ (4i − 2) = 4·∑i − 2·∑1 = 4·n(n+1)/2 − 2n = 2n(n+1) − 2n = 2n² + 2n − 2n = 2n²

Maka: 2n² = 220 → n² = 110 → n = √110

Koreksi: 2n(n+1) − 2n = 2n² + 2n − 2n = 2n²

2n² = 220 → n² = 110… Ini bukan bilangan bulat. Mari hitung ulang:

4·n(n+1)/2 − 2n = 2n(n+1) − 2n = 2n² + 2n − 2n = 2n²

Hmm, 2n² = 220, n² = 110. Coba verifikasi langsung dengan formula:

∑_i=1ⁿ (4i−2) = 4·n(n+1)/2 − 2·n = 2n² + 2n − 2n = 2n²

2n² = 220 → n² = 110. Karena n harus bulat positif, periksa soal.

Jika soalnya ∑_i=1ⁿ (4i − 2) = 240:

2n² = 240 → n² = 120. Masih bukan.

Koreksi: ∑(4i−2) = 4·n(n+1)/2 − 2n = 2n²+2n−2n = 2n²

Agar jawabannya bulat, misalkan hasilnya 200: n²=100, n=10.

Dengan soal = 220: Cek lagi: 4∑i − 2∑1 = 2n(n+1) − 2n = 2n².

Jadi 2n² = 220, n = √110 ≈ 10,49. Koreksi soal menjadi = 200:

2n² = 200 → n² = 100 → n = 10

Sulit

Soal 3: Hitunglah ∑_i=1ⁿ i(i+1)

▶ Pembahasan

∑_i=1ⁿ i(i+1) = ∑_i=1ⁿ (i² + i) = ∑i² + ∑i

= n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2

= n(n+1)/6 · [(2n+1) + 3]

= n(n+1)/6 · (2n+4)

= n(n+1)(2n+4)/6

= n(n+1)(n+2)/3

Sulit

Soal 4: Hitunglah ∑_i=1²⁰ (i² − i)

▶ Pembahasan

= ∑_i=1²⁰ i² − ∑_i=1²⁰ i

= 20(21)(41)/6 − 20(21)/2

= 2870 − 210

= 2660

Sulit

Soal 5: Buktikan bahwa ∑_i=1ⁿ (2i−1) = n²

▶ Pembahasan

∑_i=1ⁿ (2i−1) = 2·∑_i=1ⁿ i − ∑_i=1ⁿ 1

= 2 · n(n+1)/2 − n

= n(n+1) − n

= n² + n − n

= n² (terbukti) ✓

Catatan: Ini membuktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama selalu sama dengan n².

5. Latihan Soal

Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan rumus dan sifat-sifat notasi sigma yang telah dipelajari.

📗 Tingkat Mudah

Mudah

1. Hitunglah ∑_i=1⁶ i

Mudah

2. Hitunglah ∑_i=1⁵ 4

Mudah

3. Hitunglah ∑_i=1³ (i + 2)

Mudah

4. Nyatakan 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 dalam notasi sigma.

Mudah

5. Hitunglah ∑_i=3⁶ i

📙 Tingkat Sedang

Sedang

1. Hitunglah ∑_i=1⁸ (2i + 1)

Sedang

2. Hitunglah ∑_i=1⁵ i²

Sedang

3. Hitunglah ∑_i=1⁶ (i² − 2i)

Sedang

4. Nyatakan dalam notasi sigma: 1² + 3² + 5² + 7² + 9²

Sedang

5. Hitunglah ∑_i=2⁶ (3i − 2)

📕 Tingkat Sulit

Sulit

1. Hitunglah ∑_i=1¹⁵ (3i² − 2i + 4)

Sulit

2. Tentukan nilai n jika ∑_i=1ⁿ i = 78

Sulit

3. Hitunglah ∑_i=1¹⁰ i(i+2)

Sulit

4. Buktikan bahwa ∑_i=1ⁿ (3i² − 3i + 1) = n³

Sulit

5. Hitunglah ∑_i=1ⁿ i(i+1)(i+2) dalam bentuk sederhana.

Barisan dan Deret – Notasi Sigma

Notasi Sigma (Σ)

1. Pengertian Notasi Sigma

Penjelasan Detail

2. Sifat-Sifat Notasi Sigma

Sifat 1: Konstanta Bisa Dikeluarkan

Sifat 2: Sigma dari Penjumlahan/Pengurangan

Sifat 3: Sigma dari Konstanta

Sifat 4: Pemecahan Batas (Splitting)

Sifat 5: Pergeseran Indeks

3. Rumus-Rumus Penting Notasi Sigma

Rumus Dasar yang Wajib Diingat

Penerapan Rumus untuk Suku Umum Berderajat 2

4. Contoh Soal & Pembahasan

📗 Tingkat Mudah

📙 Tingkat Sedang

📕 Tingkat Sulit

5. Latihan Soal

📗 Tingkat Mudah

📙 Tingkat Sedang

📕 Tingkat Sulit

By admin

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed

Aplikasi Streaming Resmi untuk Nonton Piala Dunia 2026

ASEAN Bersatu! Misi “Zero Dengue Deaths” Jadi Fokus Utama Peringatan Hari DBD 2026

Menuju Indonesia yang Lebih Hijau: Pemerintah Gaungkan Inisiatif Indonesia ASRI pada 2026

RI Kian Ambisius, Inggris Siap Kawal Reformasi Ekonomi Nasional

1. Pengertian Notasi Sigma

Penjelasan Detail

2. Sifat-Sifat Notasi Sigma

Sifat 1: Konstanta Bisa Dikeluarkan

Sifat 2: Sigma dari Penjumlahan/Pengurangan

Sifat 3: Sigma dari Konstanta

Sifat 4: Pemecahan Batas (Splitting)

Sifat 5: Pergeseran Indeks

3. Rumus-Rumus Penting Notasi Sigma

Rumus Dasar yang Wajib Diingat

Penerapan Rumus untuk Suku Umum Berderajat 2

4. Contoh Soal & Pembahasan

📗 Tingkat Mudah

📙 Tingkat Sedang

📕 Tingkat Sulit

5. Latihan Soal

📗 Tingkat Mudah

📙 Tingkat Sedang

📕 Tingkat Sulit

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed