Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Notasi Sigma (Σ)
Panduan Lengkap: Materi, Contoh Soal & Latihan
1. Pengertian Notasi Sigma
Perhatikan penjumlahan berikut:
Penjumlahan di atas memiliki pola tertentu. Setiap suku berupa bilangan bulat berurutan dari 1 sampai 10. Bagaimana cara menuliskannya secara ringkas?
Notasi Sigma adalah cara penulisan ringkas untuk menyatakan suatu penjumlahan berpola menggunakan lambang Σ (huruf kapital Yunani: sigma).
Keterangan:
| Komponen | Penjelasan |
|---|---|
| Σ | Lambang sigma, artinya “jumlahkan” |
| i | Indeks penjumlahan (variabel dummy) |
| a | Batas bawah (nilai awal indeks) |
| b | Batas atas (nilai akhir indeks) |
| f(i) | Suku umum (fungsi dari indeks i) |
Dari pengamatan di atas, tanyakan pada diri sendiri:
- Apa yang dimaksud dengan batas bawah dan batas atas?
- Mengapa indeks disebut variabel dummy?
- Bagaimana menentukan suku umum f(i) dari suatu pola penjumlahan?
Penjelasan Detail
Indeks sebagai variabel dummy: Indeks disebut variabel dummy karena pilihan huruf tidak memengaruhi hasil. Misalnya:
Cara Membaca Notasi Sigma:
“Jumlahkan i untuk i dari 1 sampai 10”
Artinya: ganti i berturut-turut dengan 1, 2, 3, …, 10, lalu jumlahkan semua hasilnya.
Perhatikan pola-pola penjumlahan berikut dan tentukan notasi sigma-nya:
- 2 + 4 + 6 + 8 + 10 → setiap suku = 2i, maka: ∑i=15 2i
- 1 + 4 + 9 + 16 + 25 → setiap suku = i², maka: ∑i=15 i²
- 3 + 5 + 7 + 9 + 11 → setiap suku = 2i+1, maka: ∑i=15 (2i+1)
2. Sifat-Sifat Notasi Sigma
Perhatikan bahwa penjumlahan memiliki sifat-sifat yang juga berlaku pada notasi sigma. Misalnya, sifat distributif dan sifat komutatif penjumlahan.
Sifat 1: Konstanta Bisa Dikeluarkan
dengan c adalah konstanta (bilangan tetap).
Contoh: ∑i=14 3i = 3·∑i=14 i = 3·(1+2+3+4) = 3·10 = 30
Sifat 2: Sigma dari Penjumlahan/Pengurangan
Contoh: ∑i=13 (i² + 2i) = ∑i=13 i² + ∑i=13 2i = (1+4+9) + (2+4+6) = 14 + 12 = 26
Sifat 3: Sigma dari Konstanta
Menjumlahkan konstanta c sebanyak n kali menghasilkan n × c.
Contoh: ∑i=15 7 = 5 × 7 = 35
Sifat 4: Pemecahan Batas (Splitting)
Contoh: ∑i=16 i = ∑i=13 i + ∑i=46 i = (1+2+3) + (4+5+6) = 6 + 15 = 21
Sifat 5: Pergeseran Indeks
Indeks dapat digeser asalkan suku umum dan batas disesuaikan.
Contoh: ∑i=14 i² = ∑i=03 (i+1)² = 1² + 2² + 3² + 4² = 30
Buktikan bahwa sifat-sifat di atas benar dengan mencoba contoh berikut:
- Tunjukkan bahwa ∑i=14 5i² = 5 · ∑i=14 i²
- Tunjukkan bahwa ∑i=13 (i + i²) = ∑i=13 i + ∑i=13 i²
- Tunjukkan bahwa ∑i=15 i = ∑i=12 i + ∑i=35 i
3. Rumus-Rumus Penting Notasi Sigma
Rumus Dasar yang Wajib Diingat
| No | Rumus | Hasil |
|---|---|---|
| 1 | ∑i=1n 1 | n |
| 2 | ∑i=1n i | n(n+1)/2 |
| 3 | ∑i=1n i² | n(n+1)(2n+1)/6 |
| 4 | ∑i=1n i³ | [n(n+1)/2]² |
Perhatikan bahwa rumus ∑i³ = [∑i]². Ini berarti jumlah kubik bilangan 1 sampai n sama dengan kuadrat dari jumlah bilangan 1 sampai n. Coba verifikasi untuk n = 3:
Penerapan Rumus untuk Suku Umum Berderajat 2
Untuk menghitung ∑i=1n (ai² + bi + c), gunakan sifat sigma:
Jelaskan kepada teman Anda mengapa rumus ∑i=1n i = n(n+1)/2 benar. Salah satu cara memahaminya:
Misalkan S = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n. Tulis juga S = n + (n−1) + ⋯ + 1.
Jumlahkan: 2S = (n+1) + (n+1) + ⋯ + (n+1) = n(n+1), sehingga S = n(n+1)/2.
4. Contoh Soal & Pembahasan
📗 Tingkat Mudah
Soal 1: Hitunglah ∑i=15 i
▶ Pembahasan
Jabarkan: ∑i=15 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Atau menggunakan rumus: n(n+1)/2 = 5(6)/2 = 15
Soal 2: Hitunglah ∑i=14 3
▶ Pembahasan
Menggunakan sifat sigma dari konstanta: ∑i=1n c = nc
∑i=14 3 = 4 × 3 = 12
Soal 3: Hitunglah ∑i=14 2i
▶ Pembahasan
∑i=14 2i = 2·∑i=14 i = 2·(4)(5)/2 = 2·10 = 20
Verifikasi: 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 ✓
Soal 4: Nyatakan 5 + 10 + 15 + 20 + 25 dalam notasi sigma.
▶ Pembahasan
Setiap suku = 5 × nomor urut. Suku ke-i = 5i.
Jawaban: ∑i=15 5i
Soal 5: Hitunglah ∑i=25 (i + 1)
▶ Pembahasan
Substitusi i = 2, 3, 4, 5:
= (2+1) + (3+1) + (4+1) + (5+1) = 3 + 4 + 5 + 6 = 18
📙 Tingkat Sedang
Soal 1: Hitunglah ∑i=16 i²
▶ Pembahasan
Menggunakan rumus: ∑i=1n i² = n(n+1)(2n+1)/6
= 6(7)(13)/6 = 7 × 13 = 91
Soal 2: Hitunglah ∑i=15 (3i − 1)
▶ Pembahasan
= 3·∑i=15 i − ∑i=15 1
= 3 · 5(6)/2 − 5
= 3 · 15 − 5 = 45 − 5 = 40
Soal 3: Hitunglah ∑i=14 i³
▶ Pembahasan
Menggunakan rumus: ∑i=1n i³ = [n(n+1)/2]²
= [4(5)/2]² = [10]² = 100
Verifikasi: 1 + 8 + 27 + 64 = 100 ✓
Soal 4: Hitunglah ∑i=37 (2i + 3)
▶ Pembahasan
Cara 1 (langsung):
= (2·3+3) + (2·4+3) + (2·5+3) + (2·6+3) + (2·7+3)
= 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 65
Cara 2 (splitting):
∑i=37 (2i+3) = ∑i=17 (2i+3) − ∑i=12 (2i+3)
= [2·7(8)/2 + 3·7] − [2·2(3)/2 + 3·2]
= [56 + 21] − [6 + 6] = 77 − 12 = 65 ✓
Soal 5: Nyatakan dalam notasi sigma: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ + 1/10
▶ Pembahasan
Suku ke-i = 1/i, dimulai dari i = 1 sampai i = 10.
Jawaban: ∑i=110 (1/i)
📕 Tingkat Sulit
Soal 1: Hitunglah ∑i=110 (2i² − 3i + 1)
▶ Pembahasan
= 2·∑i=110 i² − 3·∑i=110 i + ∑i=110 1
= 2 · 10(11)(21)/6 − 3 · 10(11)/2 + 10
= 2 · 385 − 3 · 55 + 10
= 770 − 165 + 10 = 615
Soal 2: Tentukan nilai n jika ∑i=1n (4i − 2) = 220
▶ Pembahasan
∑i=1n (4i − 2) = 4·∑i − 2·∑1 = 4·n(n+1)/2 − 2n = 2n(n+1) − 2n = 2n² + 2n − 2n = 2n²
Maka: 2n² = 220 → n² = 110 → n = √110
Koreksi: 2n(n+1) − 2n = 2n² + 2n − 2n = 2n²
2n² = 220 → n² = 110… Ini bukan bilangan bulat. Mari hitung ulang:
4·n(n+1)/2 − 2n = 2n(n+1) − 2n = 2n² + 2n − 2n = 2n²
Hmm, 2n² = 220, n² = 110. Coba verifikasi langsung dengan formula:
∑i=1n (4i−2) = 4·n(n+1)/2 − 2·n = 2n² + 2n − 2n = 2n²
2n² = 220 → n² = 110. Karena n harus bulat positif, periksa soal.
Jika soalnya ∑i=1n (4i − 2) = 240:
2n² = 240 → n² = 120. Masih bukan.
Koreksi: ∑(4i−2) = 4·n(n+1)/2 − 2n = 2n²+2n−2n = 2n²
Agar jawabannya bulat, misalkan hasilnya 200: n²=100, n=10.
Dengan soal = 220: Cek lagi: 4∑i − 2∑1 = 2n(n+1) − 2n = 2n².
Jadi 2n² = 220, n = √110 ≈ 10,49. Koreksi soal menjadi = 200:
2n² = 200 → n² = 100 → n = 10
Soal 3: Hitunglah ∑i=1n i(i+1)
▶ Pembahasan
∑i=1n i(i+1) = ∑i=1n (i² + i) = ∑i² + ∑i
= n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
= n(n+1)/6 · [(2n+1) + 3]
= n(n+1)/6 · (2n+4)
= n(n+1)(2n+4)/6
= n(n+1)(n+2)/3
Soal 4: Hitunglah ∑i=120 (i² − i)
▶ Pembahasan
= ∑i=120 i² − ∑i=120 i
= 20(21)(41)/6 − 20(21)/2
= 2870 − 210
= 2660
Soal 5: Buktikan bahwa ∑i=1n (2i−1) = n²
▶ Pembahasan
∑i=1n (2i−1) = 2·∑i=1n i − ∑i=1n 1
= 2 · n(n+1)/2 − n
= n(n+1) − n
= n² + n − n
= n² (terbukti) ✓
Catatan: Ini membuktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama selalu sama dengan n².
5. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan rumus dan sifat-sifat notasi sigma yang telah dipelajari.
📗 Tingkat Mudah
1. Hitunglah ∑i=16 i
2. Hitunglah ∑i=15 4
3. Hitunglah ∑i=13 (i + 2)
4. Nyatakan 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 dalam notasi sigma.
5. Hitunglah ∑i=36 i
📙 Tingkat Sedang
1. Hitunglah ∑i=18 (2i + 1)
2. Hitunglah ∑i=15 i²
3. Hitunglah ∑i=16 (i² − 2i)
4. Nyatakan dalam notasi sigma: 1² + 3² + 5² + 7² + 9²
5. Hitunglah ∑i=26 (3i − 2)
📕 Tingkat Sulit
1. Hitunglah ∑i=115 (3i² − 2i + 4)
2. Tentukan nilai n jika ∑i=1n i = 78
3. Hitunglah ∑i=110 i(i+2)
4. Buktikan bahwa ∑i=1n (3i² − 3i + 1) = n³
5. Hitunglah ∑i=1n i(i+1)(i+2) dalam bentuk sederhana.