Barisan dan Deret – Deret

A. Pengertian Deret

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan barisan berikut: 2, 4, 6, 8, 10

Jika kita menjumlahkan suku-suku barisan tersebut, maka kita mendapatkan:

2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Penjumlahan suku-suku barisan inilah yang disebut Deret.

Definisi:

Deret adalah jumlah dari suku-suku suatu barisan. Jika barisan dilambangkan dengan U₁, U₂, U₃, …, U_n, maka deret adalah:

S_n = U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n

dengan S_n = jumlah n suku pertama

❓ Kegiatan: Menanya

Apa perbedaan barisan dan deret?
Bagaimana cara menentukan jumlah n suku pertama suatu deret?
Apa hubungan antara S_n dan U_n?

Hubungan S_n dan U_n:

U_n = S_n − S_n−1 , untuk n ≥ 2

U₁ = S₁

B. Deret Aritmetika

💡 Kegiatan: Menalar

Jika barisan aritmetika memiliki suku pertama a dan beda b, maka:

U₁ = a, U₂ = a + b, U₃ = a + 2b, …, U_n = a + (n−1)b

Deret aritmetika: S_n = U₁ + U₂ + … + U_n

Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Aritmetika:

S_n = n2 (2a + (n−1)b)

atau

S_n = n2 (U₁ + U_n)

Keterangan:

a = suku pertama (U₁)
b = beda
n = banyak suku
U_n = suku ke-n

🧪 Kegiatan: Mencoba

Coba hitung jumlah 10 suku pertama dari deret: 3 + 7 + 11 + 15 + …

Petunjuk: a = 3, b = 4, n = 10

S₁₀ = 102 (2(3) + (10−1)(4)) = 5(6 + 36) = 5 × 42 = 210

📝 Contoh Soal Deret Aritmetika

Tingkat Mudah

1. Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret 2 + 5 + 8 + 11 + …

Pembahasan:

a = 2, b = 3, n = 5

S₅ = 52(2(2) + (5−1)(3))

= 52(4 + 12) = 52 × 16 = 40

2. Hitung S₈ dari deret 1 + 3 + 5 + 7 + …

Pembahasan:

a = 1, b = 2, n = 8

S₈ = 82(2(1) + (7)(2)) = 4(2 + 14) = 4 × 16 = 64

3. Tentukan jumlah 6 suku pertama dari deret 4 + 7 + 10 + 13 + …

Pembahasan:

a = 4, b = 3, n = 6

S₆ = 62(2(4) + (5)(3)) = 3(8 + 15) = 3 × 23 = 69

4. Hitung jumlah deret 10 + 8 + 6 + 4 + 2

Pembahasan:

a = 10, b = −2, n = 5

S₅ = 52(10 + 2) = 52 × 12 = 30

5. Tentukan S₁₀ dari deret 5 + 10 + 15 + 20 + …

Pembahasan:

a = 5, b = 5, n = 10

S₁₀ = 102(2(5) + (9)(5)) = 5(10 + 45) = 5 × 55 = 275

Tingkat Sedang

1. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah S_n = 3n² + 2n. Tentukan U₅!

Pembahasan:

U_n = S_n − S_n−1

S₅ = 3(25) + 2(5) = 75 + 10 = 85

S₄ = 3(16) + 2(4) = 48 + 8 = 56

U₅ = 85 − 56 = 29

2. Diketahui deret aritmetika dengan U₃ = 12 dan S₆ = 57. Tentukan suku pertama dan beda!

Pembahasan:

U₃ = a + 2b = 12 … (1)

S₆ = 62(2a + 5b) = 57

3(2a + 5b) = 57 → 2a + 5b = 19 … (2)

Dari (1): a = 12 − 2b, substitusi ke (2):

2(12 − 2b) + 5b = 19 → 24 − 4b + 5b = 19 → b = −5

a = 12 − 2(−5) = 22

3. Tentukan jumlah semua bilangan genap antara 1 dan 101!

Pembahasan:

Bilangan genap: 2, 4, 6, …, 100

a = 2, b = 2, U_n = 100

100 = 2 + (n−1)2 → 98 = 2(n−1) → n = 50

S₅₀ = 502(2 + 100) = 25 × 102 = 2550

4. Jumlah 20 suku pertama deret aritmetika adalah 610. Jika suku pertama 4, tentukan beda!

Pembahasan:

S₂₀ = 202(2(4) + 19b) = 610

10(8 + 19b) = 610 → 8 + 19b = 61 → 19b = 53 → b = 5319

5. Diketahui S_n = n² + 5n. Tentukan rumus suku ke-n!

Pembahasan:

U_n = S_n − S_n−1 (untuk n ≥ 2)

= (n² + 5n) − ((n−1)² + 5(n−1))

= n² + 5n − (n² − 2n + 1 + 5n − 5)

= n² + 5n − n² + 2n − 1 − 5n + 5

= 2n + 4

Cek: U₁ = S₁ = 1 + 5 = 6 = 2(1) + 4 ✓

Jadi U_n = 2n + 4

Tingkat Sulit

1. Tiga bilangan membentuk deret aritmetika dengan jumlah 27 dan hasil kali 648. Tentukan bilangan-bilangan tersebut!

Pembahasan:

Misalkan tiga bilangan: (a−b), a, (a+b)

Jumlah: 3a = 27 → a = 9

Hasil kali: (9−b)(9)(9+b) = 648

9(81 − b²) = 648 → 81 − b² = 72 → b² = 9 → b = ±3

Bilangan: 6, 9, 12 atau 12, 9, 6

2. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika sama dengan n³ − n². Tentukan U₁₀ dan S₁₀!

Pembahasan:

S_n = n³ − n²

S₁₀ = 1000 − 100 = 900

U₁₀ = S₁₀ − S₉ = 900 − (729 − 81) = 900 − 648 = 252

3. Suatu deret aritmetika memiliki S₅ = 50 dan S₁₀ = 200. Tentukan S₁₅!

Pembahasan:

S₅ = 52(2a + 4b) = 50 → 2a + 4b = 20 … (1)

S₁₀ = 102(2a + 9b) = 200 → 2a + 9b = 40 … (2)

(2) − (1): 5b = 20 → b = 4

Dari (1): 2a + 16 = 20 → a = 2

S₁₅ = 152(2(2) + 14(4)) = 152(4 + 56) = 152 × 60 = 450

4. Tentukan jumlah semua bilangan kelipatan 7 antara 100 dan 500!

Pembahasan:

Kelipatan 7 pertama > 100: 105 (= 7 × 15)

Kelipatan 7 terakhir < 500: 497 (= 7 × 71)

n = 71 − 15 + 1 = 57

S₅₇ = 572(105 + 497) = 572 × 602 = 17.157

5. Diketahui deret aritmetika dengan S_p = q dan S_q = p (p ≠ q). Tentukan S_p+q!

Pembahasan:

S_p = p2(2a + (p−1)b) = q → p(2a + (p−1)b) = 2q … (1)

S_q = q2(2a + (q−1)b) = p → q(2a + (q−1)b) = 2p … (2)

(1) − (2): 2a(p−q) + b(p²−p−q²+q) = 2(q−p)

2a(p−q) + b(p−q)(p+q−1) = −2(p−q)

Karena p ≠ q, bagi dengan (p−q):

2a + b(p+q−1) = −2

S_p+q = p+q2(2a + (p+q−1)b) = p+q2(−2) = −(p+q)

✏️ Latihan Soal Deret Aritmetika

Mudah

Tentukan S₇ dari deret 3 + 6 + 9 + 12 + …
Hitung jumlah 10 suku pertama dari deret 1 + 4 + 7 + 10 + …
Tentukan jumlah deret 5 + 9 + 13 + 17 + 21 + 25
Hitung S₁₂ dari deret dengan a = 2 dan b = 3
Tentukan jumlah 8 suku pertama dari deret 10 + 7 + 4 + 1 + …

Sedang

Diketahui S_n = 2n² + 3n. Tentukan U₈!
Jumlah 15 suku pertama suatu deret aritmetika adalah 255. Jika beda = 2, tentukan suku pertama!
Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 10 dan 80!
Deret aritmetika memiliki U₅ = 17 dan U₁₂ = 38. Tentukan S₁₂!
Jumlah n suku pertama suatu deret adalah 240. Jika a = 3 dan b = 2, tentukan n!

Sulit

Empat bilangan membentuk deret aritmetika. Jumlahnya 44 dan hasil kali suku pertama dan terakhir adalah 85. Tentukan bilangan-bilangan tersebut!
Jika S_2n = 3S_n untuk setiap n, dan S₅ = 100, tentukan a dan b!
Tentukan jumlah semua bilangan tiga angka yang habis dibagi 11!
Diketahui S_m = S_n dengan m ≠ n. Buktikan bahwa S_m+n = 0!
Suatu deret aritmetika memiliki S₈ = 4S₄. Jika a = 3, tentukan S₂₀!

C. Deret Geometri

🔍 Kegiatan: Mengamati

Perhatikan barisan geometri: 2, 6, 18, 54, …

Deret geometri: 2 + 6 + 18 + 54 + …

Rasio (r) = 62 = 3

Rumus Jumlah n Suku Pertama Deret Geometri:

S_n = a(rⁿ − 1)r − 1 , untuk r > 1

S_n = a(1 − rⁿ)1 − r , untuk r < 1

Keterangan: a = suku pertama, r = rasio, n = banyak suku

💡 Kegiatan: Menalar

Untuk deret geometri dengan |r| < 1, jika n → ∞, maka deret tersebut konvergen dan memiliki jumlah tak hingga:

S_∞ = a1 − r , dengan |r| < 1

🧪 Kegiatan: Mencoba

Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret 3 + 6 + 12 + 24 + …

a = 3, r = 2, n = 5

S₅ = 3(2⁵ − 1)2 − 1 = 3(32 − 1)1 = 3 × 31 = 93

📝 Contoh Soal Deret Geometri

Tingkat Mudah

1. Tentukan S₄ dari deret 1 + 2 + 4 + 8 + …

Pembahasan:

a = 1, r = 2, n = 4

S₄ = 1(2⁴ − 1)2 − 1 = 16 − 11 = 15

2. Hitung jumlah 5 suku pertama dari deret 2 + 6 + 18 + …

Pembahasan:

a = 2, r = 3, n = 5

S₅ = 2(3⁵ − 1)3 − 1 = 2(243 − 1)2 = 242

3. Tentukan S₆ dari deret 5 + 10 + 20 + 40 + …

Pembahasan:

a = 5, r = 2, n = 6

S₆ = 5(2⁶ − 1)2 − 1 = 5(64 − 1) = 5 × 63 = 315

4. Hitung S_∞ dari deret 8 + 4 + 2 + 1 + …

Pembahasan:

a = 8, r = 12

S_∞ = 81 − 12 = 812 = 16

5. Tentukan jumlah 4 suku pertama dari deret 81 + 27 + 9 + 3 + …

Pembahasan:

a = 81, r = 13, n = 4

S₄ = 81(1 − (13)⁴)1 − 13 = 81(1 − 181)23 = 81 × 808123 = 8023 = 120

Tingkat Sedang

1. Diketahui deret geometri dengan S₃ = 26 dan r = 3. Tentukan suku pertama!

Pembahasan:

S₃ = a(3³ − 1)3 − 1 = 26

a(27 − 1)2 = 26 → 26a2 = 26 → 13a = 26 → a = 2

2. Deret geometri tak hingga memiliki jumlah 12 dan suku pertama 8. Tentukan rasio!

Pembahasan:

S_∞ = a1 − r = 12

81 − r = 12 → 8 = 12(1 − r) → 8 = 12 − 12r → 12r = 4 → r = 13

3. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga: 18 − 6 + 2 − 23 + …

Pembahasan:

a = 18, r = −618 = −13

|r| = 13 < 1, konvergen

S_∞ = 181 − (−13) = 1843 = 18 × 34 = 544 = 13,5

4. Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 4 kali suku pertamanya. Tentukan rasio!

Pembahasan:

S_∞ = 4a

a1 − r = 4a → 11 − r = 4 → 1 = 4(1 − r) → 1 = 4 − 4r → 4r = 3 → r = 34

5. Suku pertama deret geometri adalah 4. Jika S₃ = 52, tentukan rasio!

Pembahasan:

S₃ = 4(r³ − 1)r − 1 = 52

4(r² + r + 1) = 52 → r² + r + 1 = 13 → r² + r − 12 = 0

(r + 4)(r − 3) = 0 → r = 3 atau r = −4

Karena deret geometri, r = 3 (menghasilkan suku positif) atau r = −4

Tingkat Sulit

1. Tiga bilangan membentuk deret geometri. Jumlahnya 21 dan hasil kalinya 216. Tentukan bilangan tersebut!

Pembahasan:

Misalkan: ar, a, ar

Hasil kali: a³ = 216 → a = 6

Jumlah: 6r + 6 + 6r = 21

6r + 6r = 15 → 6 + 6r² = 15r → 6r² − 15r + 6 = 0 → 2r² − 5r + 2 = 0

(2r − 1)(r − 2) = 0 → r = 12 atau r = 2

Bilangan: 3, 6, 12 atau 12, 6, 3

2. Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 2 kali jumlah 3 suku pertamanya. Tentukan rasio!

Pembahasan:

S_∞ = 2 × S₃

a1 − r = 2 × a(1 − r³)1 − r

1 = 2(1 − r³) → 1 = 2 − 2r³ → 2r³ = 1 → r³ = 12

r = ∛(12) = 1∛2 = ∛42

3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m. Setiap memantul, bola mencapai 35 dari ketinggian sebelumnya. Tentukan total jarak yang ditempuh bola!

Pembahasan:

Jarak jatuh pertama = 10 m

Setelah itu, bola memantul naik-turun: 2 × (6 + 3,6 + 2,16 + …)

Total = 10 + 2 × 61 − 0,6 = 10 + 2 × 60,4 = 10 + 2 × 15 = 10 + 30 = 40 m

4. Tentukan nilai x agar x+1, x−1, dan x−5 membentuk deret geometri, lalu hitung S₆!

Pembahasan:

Syarat deret geometri: (U₂)² = U₁ × U₃

(x−1)² = (x+1)(x−5)

x² − 2x + 1 = x² − 4x − 5

2x = −6 → x = −3

Suku-suku: −2, −4, −8 → a = −2, r = 2

S₆ = −2(2⁶ − 1)2 − 1 = −2(63) = −126

5. Diketahui S_∞ = 81 dan S₃ = 76. Tentukan a dan r!

Pembahasan:

S_∞ = a1 − r = 81 → a = 81(1 − r) … (1)

S₃ = a(1 − r³)1 − r = 76

= a(1 + r + r²) = 76 … (dari faktorisasi)

Substitusi (1): 81(1 − r)(1 + r + r²) = 76

81(1 − r³) = 76 → 1 − r³ = 7681 → r³ = 581

Hmm, mari cek ulang. S₃ = a + ar + ar² = a(1+r+r²) = 76

Dari S_∞: a = 81(1−r)

81(1−r)(1+r+r²) = 76 → 81(1−r³) = 76 → r³ = 581

r = ∛(581) ≈ 13

Jika r = 13: a = 81(1 − 13) = 81 × 23 = 54

Cek: S₃ = 54 + 18 + 6 = 78 ≠ 76. Jadi r ≠ 13

r = ∛(581) dan a = 81(1 − ∛(581))

✏️ Latihan Soal Deret Geometri

Mudah

Tentukan S₅ dari deret 1 + 3 + 9 + 27 + …
Hitung jumlah 4 suku pertama dari deret 4 + 8 + 16 + 32 + …
Tentukan S_∞ dari deret 12 + 6 + 3 + 32 + …
Hitung S₆ dari deret 2 + 4 + 8 + 16 + …
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga: 9 + 3 + 1 + …

Sedang

Deret geometri memiliki a = 5 dan S₄ = 200. Tentukan rasio!
S_∞ suatu deret geometri adalah 20. Jika r = 14, tentukan U₃!
Tentukan nilai n jika S_n dari deret 3 + 6 + 12 + … sama dengan 381!
Deret geometri memiliki U₂ = 6 dan U₅ = 162. Tentukan S₅!
Jumlah tak hingga suatu deret geometri 3 kali suku pertamanya. Tentukan r dan S₄ jika a = 9!

Sulit

Bola dijatuhkan dari 16 m dan memantul 34 dari ketinggian sebelumnya. Tentukan jarak total!
Tiga bilangan deret geometri berjumlah 31 dan hasil kalinya 125. Tentukan bilangan tersebut!
Jika S_∞ = 3S₂, tentukan rasio!
Deret geometri dengan a = 1. Jika S₆ = 9S₃, tentukan r!
Tentukan jumlah tak hingga dari deret: 12 + 24 + 38 + 416 + …

D. Notasi Sigma pada Deret

🔍 Kegiatan: Mengamati

Notasi sigma (Σ) digunakan untuk menyatakan penjumlahan secara ringkas:

Σ_i=1ⁿ U_i = U₁ + U₂ + U₃ + … + U_n

Sifat-sifat Notasi Sigma:

Σ_i=1ⁿ c = nc (c = konstanta)
Σ_i=1ⁿ (aU_i) = a Σ_i=1ⁿ U_i
Σ_i=1ⁿ (U_i ± V_i) = Σ_i=1ⁿ U_i ± Σ_i=1ⁿ V_i

Rumus Penting:

Σ_i=1ⁿ i = n(n+1)2
Σ_i=1ⁿ i² = n(n+1)(2n+1)6
Σ_i=1ⁿ i³ = [n(n+1)2]²

📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan

Nyatakan deret berikut dalam notasi sigma:

2 + 4 + 6 + 8 + … + 20 = Σ_i=1¹⁰ 2i

1 + 4 + 9 + 16 + … + 100 = Σ_i=1¹⁰ i²

📝 Contoh Soal Notasi Sigma

Tingkat Mudah

1. Hitung Σ_i=1⁵ (2i + 1)

Pembahasan:

= (2(1)+1) + (2(2)+1) + (2(3)+1) + (2(4)+1) + (2(5)+1)

= 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35

Atau: 2Σ_i=1⁵i + Σ_i=1⁵1 = 2(5×62) + 5 = 30 + 5 = 35

2. Hitung Σ_i=1⁴ 3i

Pembahasan:

= 3(1) + 3(2) + 3(3) + 3(4) = 3 + 6 + 9 + 12 = 30

Atau: 3 × 4×52 = 3 × 10 = 30

3. Tentukan Σ_i=1⁶ 5

Pembahasan:

= 6 × 5 = 30 (konstanta dikali banyak suku)

4. Hitung Σ_i=1⁴ i²

Pembahasan:

= 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

Atau: 4(5)(9)6 = 1806 = 30

5. Nyatakan 1 + 2 + 3 + … + 50 dalam notasi sigma dan hitung hasilnya!

Pembahasan:

= Σ_i=1⁵⁰ i = 50(51)2 = 1275

Tingkat Sedang

1. Hitung Σ_i=1¹⁰ (3i² − 2i + 1)

Pembahasan:

= 3Σ_i=1¹⁰i² − 2Σ_i=1¹⁰i + Σ_i=1¹⁰1

= 3 × 10(11)(21)6 − 2 × 10(11)2 + 10

= 3 × 385 − 2 × 55 + 10

= 1155 − 110 + 10 = 1055

2. Hitung Σ_i=3⁷ (i² + 1)

Pembahasan:

= (9+1) + (16+1) + (25+1) + (36+1) + (49+1)

= 10 + 17 + 26 + 37 + 50 = 140

Atau: Σ_i=1⁷(i²+1) − Σ_i=1²(i²+1)

= (7(8)(15)6 + 7) − (2(3)(5)6 + 2) = (140 + 7) − (5 + 2) = 147 − 7 = 140

3. Tentukan Σ_i=1⁵ i³

Pembahasan:

= [5(6)2]² = 15² = 225

Cek: 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225 ✓

4. Nyatakan dalam notasi sigma: 12 + 23 + 34 + … + 910

Pembahasan:

Pola suku ke-i: ii+1

= Σ_i=1⁹ ii+1

5. Hitung Σ_k=1²⁰ (4k − 3)

Pembahasan:

= 4Σ_k=1²⁰k − 3(20)

= 4 × 20(21)2 − 60

= 4 × 210 − 60 = 840 − 60 = 780

Tingkat Sulit

1. Hitung Σ_i=1ⁿ (2i−1)² lalu tentukan nilainya untuk n = 10

Pembahasan:

(2i−1)² = 4i² − 4i + 1

Σ_i=1ⁿ(4i² − 4i + 1) = 4 × n(n+1)(2n+1)6 − 4 × n(n+1)2 + n

= 2n(n+1)(2n+1)3 − 2n(n+1) + n

= 2n(n+1)(2n+1) − 6n(n+1) + 3n3

= n(2(n+1)(2n+1) − 6(n+1) + 3)3

= n(4n² + 6n + 2 − 6n − 6 + 3)3 = n(4n² − 1)3 = n(2n−1)(2n+1)3

Untuk n = 10: 10 × 19 × 213 = 39903 = 1330

2. Buktikan bahwa Σ_i=1ⁿ 1i(i+1) = nn+1

Pembahasan:

Pecah parsial: 1i(i+1) = 1i − 1i+1

Σ_i=1ⁿ(1i − 1i+1) = (1 − 12) + (12 − 13) + … + (1n − 1n+1)

= 1 − 1n+1 = nn+1 (terbukti, deret teleskopik)

3. Hitung Σ_i=1¹⁰ i(i+1)(i+2)

Pembahasan:

i(i+1)(i+2) = i³ + 3i² + 2i

Σ_i=1¹⁰(i³ + 3i² + 2i) = Σi³ + 3Σi² + 2Σi

= [10×112]² + 3 × 10×11×216 + 2 × 10×112

= 3025 + 3(385) + 2(55)

= 3025 + 1155 + 110 = 4290

4. Tentukan Σ_k=1ⁿ k · 2^k untuk n = 6

Pembahasan:

Gunakan rumus: Σ_k=1ⁿ k · 2^k = (n−1) · 2ⁿ⁺¹ + 2

Untuk n = 6: = 5 × 2⁷ + 2 = 5 × 128 + 2 = 640 + 2 = 642

Verifikasi: 1(2) + 2(4) + 3(8) + 4(16) + 5(32) + 6(64)

= 2 + 8 + 24 + 64 + 160 + 384 = 642 ✓

5. Sederhanakan Σ_i=1ⁿ 1i(i+1)(i+2)

Pembahasan:

Pecah parsial: 1i(i+1)(i+2) = 12[1i(i+1) − 1(i+1)(i+2)]

= 12[(11·2 − 12·3) + (12·3 − 13·4) + … + (1n(n+1) − 1(n+1)(n+2))]

= 12[12 − 1(n+1)(n+2)]

= 14 − 12(n+1)(n+2) = n(n+3)4(n+1)(n+2)

✏️ Latihan Soal Notasi Sigma

Mudah

Hitung Σ_i=1⁶ (i + 3)
Tentukan Σ_i=1⁵ 2i²
Hitung Σ_k=1⁸ 4
Nyatakan 5 + 10 + 15 + … + 50 dalam notasi sigma
Hitung Σ_i=1¹⁰ i

Sedang

Hitung Σ_i=1⁸ (i² − 2i)
Tentukan Σ_i=2⁶ (3i + 2)
Hitung Σ_i=1⁵ i³
Nyatakan 11·3 + 13·5 + 15·7 + … + 119·21 dalam notasi sigma
Hitung Σ_i=1¹⁵ (2i − 1)

Sulit

Tentukan Σ_i=1ⁿ i(i+1) dalam bentuk n
Hitung Σ_i=1²⁰ i(i+1)(i+3)
Buktikan Σ_i=1ⁿ 1(2i−1)(2i+1) = n2n+1
Tentukan Σ_k=1¹⁰ k(k+1)(k+2)(k+3)
Sederhanakan Σ_i=1ⁿ (2i−1)³

E. Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika

🔍 Kegiatan: Mengamati

Induksi Matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan yang berlaku untuk semua bilangan asli n.

Langkah Induksi Matematika:

Basis (Langkah Awal): Buktikan pernyataan benar untuk n = 1
Hipotesis Induksi: Asumsikan pernyataan benar untuk n = k
Langkah Induktif: Buktikan pernyataan benar untuk n = k + 1 menggunakan hipotesis

💡 Kegiatan: Menalar & Mengkomunikasikan

Contoh: Buktikan 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)2

Langkah 1 (Basis): n = 1

Ruas kiri: 1. Ruas kanan: 1(2)2 = 1. Benar ✓

Langkah 2 (Hipotesis): Asumsikan benar untuk n = k:

1 + 2 + … + k = k(k+1)2

Langkah 3 (Induktif): Buktikan untuk n = k + 1:

1 + 2 + … + k + (k+1) = k(k+1)2 + (k+1)

= (k+1)[k2 + 1] = (k+1) × k+22 = (k+1)(k+2)2

Ini sesuai rumus untuk n = k+1. Terbukti ✓

📝 Contoh Soal Induksi Matematika pada Deret

Tingkat Mudah

1. Buktikan: 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n+1)

Pembahasan:

Basis (n=1): Kiri: 2. Kanan: 1(2) = 2. ✓

Hipotesis: 2 + 4 + … + 2k = k(k+1)

Induktif (n=k+1):

2 + 4 + … + 2k + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)(k+2) ✓

2. Buktikan: 1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n²

Pembahasan:

Basis (n=1): Kiri: 1. Kanan: 1² = 1. ✓

Hipotesis: 1 + 3 + … + (2k−1) = k²

Induktif (n=k+1):

k² + (2(k+1)−1) = k² + 2k + 1 = (k+1)² ✓

3. Buktikan: 1² + 2² + 3² + … + n² = n(n+1)(2n+1)6

Pembahasan:

Basis (n=1): Kiri: 1. Kanan: 1(2)(3)6 = 1. ✓

Hipotesis: 1² + … + k² = k(k+1)(2k+1)6

Induktif:

k(k+1)(2k+1)6 + (k+1)² = (k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]6

= (k+1)(2k² + 7k + 6)6 = (k+1)(k+2)(2k+3)6

= (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)6 ✓

4. Buktikan: 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ − 1

Pembahasan:

Basis (n=1): Kiri: 1 = 2⁰. Kanan: 2¹ − 1 = 1. ✓

Hipotesis: 1 + 2 + … + 2^k−1 = 2^k − 1

Induktif:

(2^k − 1) + 2^k = 2 × 2^k − 1 = 2^k+1 − 1 ✓

5. Buktikan: 3 + 6 + 9 + … + 3n = 3n(n+1)2

Pembahasan:

Basis (n=1): Kiri: 3. Kanan: 3(1)(2)2 = 3. ✓

Hipotesis: 3 + 6 + … + 3k = 3k(k+1)2

Induktif:

3k(k+1)2 + 3(k+1) = 3(k+1)(k+2)2 ✓

Tingkat Sedang

1. Buktikan: 1·2 + 2·3 + 3·4 + … + n(n+1) = n(n+1)(n+2)3

Pembahasan:

Basis (n=1): Kiri: 1×2 = 2. Kanan: 1(2)(3)3 = 2. ✓

Hipotesis: Asumsikan benar untuk n = k

Induktif:

k(k+1)(k+2)3 + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)[k + 3]3

= (k+1)(k+2)(k+3)3 ✓

2. Buktikan: 11·2 + 12·3 + … + 1n(n+1) = nn+1

Pembahasan:

Basis (n=1): Kiri: 12. Kanan: 12. ✓

Hipotesis: Jumlah sampai k = kk+1

Induktif:

kk+1 + 1(k+1)(k+2) = k(k+2) + 1(k+1)(k+2) = k² + 2k + 1(k+1)(k+2) = (k+1)²(k+1)(k+2) = k+1k+2 ✓

3. Buktikan: 1³ + 2³ + … + n³ = [n(n+1)2]²

Pembahasan:

Basis (n=1): Kiri: 1. Kanan: [1(2)2]² = 1. ✓

Hipotesis: 1³ + … + k³ = [k(k+1)2]²

Induktif:

[k(k+1)2]² + (k+1)³ = (k+1)²[k²4 + (k+1)]

= (k+1)² × k² + 4k + 44 = (k+1)² × (k+2)²4 = [(k+1)(k+2)2]² ✓

4. Buktikan: Σ_i=1ⁿ i · i! = (n+1)! − 1

Pembahasan:

Basis (n=1): Kiri: 1 × 1! = 1. Kanan: 2! − 1 = 1. ✓

Hipotesis: Σ_i=1^k i·i! = (k+1)! − 1

Induktif:

(k+1)! − 1 + (k+1)(k+1)! = (k+1)![1 + (k+1)] − 1 = (k+1)!(k+2) − 1 = (k+2)! − 1 ✓

5. Buktikan: 1² + 3² + 5² + … + (2n−1)² = n(2n−1)(2n+1)3

Pembahasan:

Basis (n=1): Kiri: 1. Kanan: 1(1)(3)3 = 1. ✓

Hipotesis: Asumsikan benar untuk n = k

Induktif:

k(2k−1)(2k+1)3 + (2k+1)²

= (2k+1)[k(2k−1) + 3(2k+1)]3

= (2k+1)(2k² + 5k + 3)3

= (2k+1)(k+1)(2k+3)3

= (k+1)(2(k+1)−1)(2(k+1)+1)3 ✓

Tingkat Sulit

1. Buktikan: Σ_i=1ⁿ 1(2i−1)(2i+1) = n2n+1

Pembahasan:

Basis (n=1): Kiri: 11×3 = 13. Kanan: 13. ✓

Hipotesis: Σ_i=1^k = k2k+1

Induktif:

k2k+1 + 1(2k+1)(2k+3) = k(2k+3) + 1(2k+1)(2k+3)

= 2k² + 3k + 1(2k+1)(2k+3) = (2k+1)(k+1)(2k+1)(2k+3) = k+12k+3 = k+12(k+1)+1 ✓

2. Buktikan: Σ_i=1ⁿ i² · 2ⁱ = 2 + (n² − 2n + 3)·2ⁿ⁺¹

Pembahasan:

Basis (n=1): Kiri: 1²×2 = 2. Kanan: 2 + (1−2+3)×4 = 2 + 8 = 10. Hmm.

Cek ulang: Kanan = 2 + (1−2+3)·2² = 2 + 2·4 = 10 ≠ 2.

Rumus yang benar: Σ_i=1ⁿ i²·2ⁱ = (n²−2n+3)·2ⁿ⁺¹ − 6

Basis: 1²×2 = 2. Kanan: (1−2+3)×4 − 6 = 8−6 = 2. ✓

Hipotesis: Asumsikan benar untuk n = k

Induktif: (k²−2k+3)·2^k+1 − 6 + (k+1)²·2^k+1

= 2^k+1[k²−2k+3 + k²+2k+1] − 6

= 2^k+1(2k²+4) − 6 = 2^k+2(k²+2) − 6

Perlu: ((k+1)²−2(k+1)+3)·2^k+2 − 6 = (k²+2)·2^k+2 − 6 ✓

3. Buktikan: Σ_i=1ⁿ i(i+1)! = 1 − 1(n+1)!

Pembahasan:

Basis (n=1): Kiri: 12! = 12. Kanan: 1 − 12! = 12. ✓

Hipotesis: Asumsikan benar untuk n = k

Induktif:

1 − 1(k+1)! + k+1(k+2)!

= 1 − 1(k+1)! + 1(k+1)! − 1(k+2)!

(karena k+1(k+2)! = k+1(k+2)(k+1)! = 1(k+1)! − 1(k+2)!)

= 1 − 1(k+2)! ✓

4. Buktikan: Σ_i=1ⁿ (2i−1)³ = n²(2n²−1)

Pembahasan:

Basis (n=1): Kiri: 1³ = 1. Kanan: 1(2−1) = 1. ✓

Hipotesis: Asumsikan benar untuk n = k

Induktif:

k²(2k²−1) + (2k+1)³

= 2k⁴ − k² + 8k³ + 12k² + 6k + 1

= 2k⁴ + 8k³ + 11k² + 6k + 1

Perlu: (k+1)²(2(k+1)²−1) = (k²+2k+1)(2k²+4k+1)

= 2k⁴ + 4k³ + k² + 4k³ + 8k² + 2k + 2k² + 4k + 1

= 2k⁴ + 8k³ + 11k² + 6k + 1 ✓

5. Buktikan: Σ_i=0ⁿ rⁱ = 1 − rⁿ⁺¹1 − r untuk r ≠ 1

Pembahasan:

Basis (n=0): Kiri: r⁰ = 1. Kanan: 1−r1−r = 1. ✓

Hipotesis: Σ_i=0^k rⁱ = 1−r^k+11−r

Induktif:

1−r^k+11−r + r^k+1 = 1−r^k+1 + r^k+1(1−r)1−r

= 1−r^k+1 + r^k+1 − r^k+21−r = 1 − r^k+21−r ✓

✏️ Latihan Soal Induksi Matematika pada Deret

Mudah

Buktikan: 4 + 8 + 12 + … + 4n = 2n(n+1)
Buktikan: 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ − 1
Buktikan: 5 + 10 + 15 + … + 5n = 5n(n+1)2
Buktikan: 2 + 6 + 10 + … + (4n−2) = 2n²
Buktikan: 1 + 4 + 7 + … + (3n−2) = n(3n−1)2

Sedang

Buktikan: 1·3 + 2·4 + 3·5 + … + n(n+2) = n(n+1)(2n+7)6
Buktikan: Σ_i=1ⁿ 1i(i+2) = n(3n+5)4(n+1)(n+2)
Buktikan: 1·2·3 + 2·3·4 + … + n(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)4
Buktikan: Σ_i=1ⁿ 2ⁱ⁻¹ = 2ⁿ − 1
Buktikan: Σ_i=1ⁿ i(i+1) = n(n+1)(n+2)3

Sulit

Buktikan: Σ_i=1ⁿ 1i(i+1)(i+2) = n(n+3)4(n+1)(n+2)
Buktikan: Σ_i=1ⁿ i·2ⁱ = (n−1)·2ⁿ⁺¹ + 2
Buktikan: Σ_i=1ⁿ i2ⁱ = 2 − n+22ⁿ
Buktikan: Σ_i=1ⁿ i⁴ = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n−1)30
Buktikan: Σ_i=1ⁿ 1i(i+1)(i+2)(i+3) = 13[16 − 1(n+1)(n+2)(n+3)]

F. Ringkasan Rumus Deret

Jenis Deret	Rumus S_n	Keterangan
Aritmetika	S_n = n2(2a+(n−1)b)	a = suku pertama, b = beda
Aritmetika	S_n = n2(U₁+U_n)	Jika suku terakhir diketahui
Geometri (r>1)	S_n = a(rⁿ−1)r−1	a = suku pertama, r = rasio
Geometri (r<1)	S_n = a(1−rⁿ)1−r	\|r\| < 1
Geometri tak hingga	S_∞ = a1−r	\|r\| < 1, konvergen
Hubungan S_n & U_n	U_n = S_n − S_n−1	Untuk n ≥ 2

A. Pengertian Deret

B. Deret Aritmetika

📝 Contoh Soal Deret Aritmetika

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal Deret Aritmetika

Mudah

Sedang

Sulit

C. Deret Geometri

📝 Contoh Soal Deret Geometri

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal Deret Geometri

Mudah

Sedang

Sulit

D. Notasi Sigma pada Deret

📝 Contoh Soal Notasi Sigma

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal Notasi Sigma

Mudah

Sedang

Sulit

E. Pembuktian Deret dengan Induksi Matematika

📝 Contoh Soal Induksi Matematika pada Deret

Tingkat Mudah

Tingkat Sedang

Tingkat Sulit

✏️ Latihan Soal Induksi Matematika pada Deret

Mudah

Sedang

Sulit

F. Ringkasan Rumus Deret

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed