Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Deret Aritmetika-Geometri
Materi lengkap, contoh soal, dan latihan
A. Pengertian Deret Aritmetika-Geometri
Perhatikan deret berikut:
Suku-suku deret di atas terdiri dari hasil kali dua bagian:
- Bagian pertama: 1, 2, 3, 4, … → membentuk barisan aritmetika (beda = 1)
- Bagian kedua: 2, 4, 8, 16, … → membentuk barisan geometri (rasio = 2)
Deret yang suku-sukunya merupakan perkalian suku barisan aritmetika dengan suku barisan geometri disebut Deret Aritmetika-Geometri.
Pertanyaan kunci yang muncul:
- Bagaimana bentuk umum suku ke-n dari deret aritmetika-geometri?
- Bagaimana cara menentukan jumlah n suku pertama deret ini?
- Apakah deret aritmetika-geometri memiliki jumlah tak hingga?
Definisi Formal
Deret aritmetika-geometri adalah deret yang suku umumnya berbentuk:
dengan:
- \(a\) = suku pertama barisan aritmetika
- \(b\) = beda barisan aritmetika
- \(r\) = rasio barisan geometri
Sehingga deret aritmetika-geometri dapat ditulis:
Untuk mencari rumus jumlah \(n\) suku pertama, kita gunakan teknik pengurangan deret (metode selisih). Caranya:
- Tuliskan \(S_n\)
- Kalikan kedua ruas dengan \(r\), sehingga diperoleh \(r \cdot S_n\)
- Kurangkan: \(S_n – r \cdot S_n\)
- Sederhanakan hasilnya
Penurunan Rumus Jumlah n Suku Pertama
Misalkan:
\[ S_n = a + (a+b)r + (a+2b)r^2 + \cdots + (a+(n-1)b)r^{n-1} \]Kalikan dengan \(r\):
\[ rS_n = ar + (a+b)r^2 + (a+2b)r^3 + \cdots + (a+(n-1)b)r^{n} \]Kurangkan:
\[ S_n – rS_n = a + br + br^2 + br^3 + \cdots + br^{n-1} – (a+(n-1)b)r^n \] \[ (1-r)S_n = a + b \cdot r \cdot \frac{1 – r^{n-1}}{1-r} – (a+(n-1)b)r^n \]untuk \(r \neq 1\)
Jumlah Deret Tak Hingga
Jika \(|r| < 1\), maka \(r^n \to 0\) saat \(n \to \infty\), sehingga:
Cobalah identifikasi komponen deret aritmetika-geometri berikut:
Jawab:
- Barisan aritmetika: 2, 5, 8, 11, … → \(a = 2\), \(b = 3\)
- Barisan geometri: 3, 9, 27, 81, … → rasio \(r = 3\)
- Suku umum: \(U_n = (2 + 3(n-1)) \cdot 3^n = (3n-1) \cdot 3^n\)
Ringkasan penting:
| Komponen | Keterangan | Contoh |
|---|---|---|
| Suku umum | \(U_n = (a+(n-1)b) \cdot r^{n-1}\) | \(U_3 = (a+2b) \cdot r^2\) |
| Jumlah hingga | Metode pengurangan deret | \(S_n\) untuk \(r \neq 1\) |
| Jumlah tak hingga | \(\frac{a}{1-r} + \frac{br}{(1-r)^2}\) | Berlaku jika \(|r|<1\) |
B. Contoh Soal
Mudah
Contoh 1. Tentukan suku ke-4 dari deret aritmetika-geometri dengan \(a=1\), \(b=1\), \(r=2\).
Pembahasan
\(U_n = (a+(n-1)b) \cdot r^{n-1}\)
\(U_4 = (1+(4-1)\cdot1) \cdot 2^{4-1} = 4 \cdot 8 = 32\)
Jawaban: 32
Contoh 2. Tentukan 3 suku pertama deret aritmetika-geometri dengan \(a=2\), \(b=3\), \(r=\frac{1}{2}\).
Pembahasan
\(U_1 = 2 \cdot 1 = 2\)
\(U_2 = (2+3) \cdot \frac{1}{2} = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)
\(U_3 = (2+6) \cdot \frac{1}{4} = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2\)
Jawaban: \(2, \frac{5}{2}, 2\)
Contoh 3. Tentukan jumlah deret tak hingga: \(1 + 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{9} + 4 \cdot \frac{1}{27} + \cdots\)
Pembahasan
Di sini \(a=1\), \(b=1\), \(r=\frac{1}{3}\), dan \(|r|<1\).
\(S_\infty = \frac{a}{1-r} + \frac{br}{(1-r)^2} = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} + \frac{1 \cdot \frac{1}{3}}{(1-\frac{1}{3})^2}\)
\(= \frac{1}{\frac{2}{3}} + \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{3}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}\)
Jawaban: \(\frac{9}{4}\)
Contoh 4. Identifikasi nilai \(a\), \(b\), dan \(r\) dari deret: \(3 + 10 \cdot 2 + 17 \cdot 4 + 24 \cdot 8 + \cdots\)
Pembahasan
Barisan aritmetika: 3, 10, 17, 24, … → \(a = 3\), \(b = 7\)
Barisan geometri: 1, 2, 4, 8, … → \(r = 2\)
Jawaban: \(a=3\), \(b=7\), \(r=2\)
Contoh 5. Tentukan \(U_5\) dari deret dengan \(a=2\), \(b=2\), \(r=3\).
Pembahasan
\(U_5 = (2 + 4 \cdot 2) \cdot 3^4 = 10 \cdot 81 = 810\)
Jawaban: 810
Sedang
Contoh 6. Tentukan jumlah 4 suku pertama deret: \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 16\).
Pembahasan
Langsung jumlahkan: \(S_4 = 2 + 8 + 24 + 64 = 98\)
Verifikasi dengan rumus: \(a=1, b=1, r=2\)
\(S_n – rS_n\): tulis dan kurangkan.
\(S_4 = 1\cdot2 + 2\cdot4 + 3\cdot8 + 4\cdot16 = 2+8+24+64 = 98\)
Jawaban: 98
Contoh 7. Tentukan jumlah tak hingga: \(2 + 3 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{1}{8} + \cdots\)
Pembahasan
\(a=2, b=1, r=\frac{1}{2}\)
\(S_\infty = \frac{2}{1-\frac{1}{2}} + \frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^2} = \frac{2}{\frac{1}{2}} + \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 4 + 2 = 6\)
Jawaban: 6
Contoh 8. Tentukan jumlah tak hingga: \(3 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{1}{4} + 7 \cdot \frac{1}{8} + 9 \cdot \frac{1}{16} + \cdots\)
Pembahasan
Barisan aritmetika: 3, 5, 7, 9, … → \(a=3, b=2\)
Barisan geometri: \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots\) → \(r=\frac{1}{2}\)
Perhatikan suku pertama deret = \(a \cdot r^0\)? Tidak, suku pertama = \(3 \cdot \frac{1}{2}\).
Kita tulis ulang: suku umum \(U_n = (3+2(n-1)) \cdot (\frac{1}{2})^n = (2n+1) \cdot (\frac{1}{2})^n\)
Ini setara dengan \(a’=3, b’=2, r=\frac{1}{2}\) dimana suku pertama sudah dikalikan \(r^1\).
Gunakan: \(S = \frac{a’ \cdot r}{1-r} + \frac{b’ \cdot r^2}{(1-r)^2} = \frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{4}} = 3 + 2 = 5\)
Jawaban: 5
Contoh 9. Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret: \(2 + 6 \cdot 3 + 10 \cdot 9 + 14 \cdot 27 + 18 \cdot 81\).
Pembahasan
\(a=2, b=4, r=3\). Hitung langsung:
\(U_1 = 2 \cdot 1 = 2\)
\(U_2 = 6 \cdot 3 = 18\)
\(U_3 = 10 \cdot 9 = 90\)
\(U_4 = 14 \cdot 27 = 378\)
\(U_5 = 18 \cdot 81 = 1458\)
\(S_5 = 2 + 18 + 90 + 378 + 1458 = 1946\)
Jawaban: 1946
Contoh 10. Jika \(S_\infty\) deret aritmetika-geometri dengan \(a=4\), \(r=\frac{1}{3}\) adalah \(\frac{33}{2}\), tentukan nilai \(b\).
Pembahasan
\(S_\infty = \frac{a}{1-r} + \frac{br}{(1-r)^2}\)
\(\frac{33}{2} = \frac{4}{\frac{2}{3}} + \frac{b \cdot \frac{1}{3}}{(\frac{2}{3})^2}\)
\(\frac{33}{2} = 6 + \frac{\frac{b}{3}}{\frac{4}{9}} = 6 + \frac{b}{3} \cdot \frac{9}{4} = 6 + \frac{3b}{4}\)
\(\frac{33}{2} – 6 = \frac{3b}{4}\)
\(\frac{21}{2} = \frac{3b}{4}\)
\(b = \frac{21}{2} \cdot \frac{4}{3} = 14\)
Jawaban: \(b = 14\)
Sulit
Contoh 11. Tentukan jumlah n suku pertama dari deret \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k\) menggunakan metode pengurangan deret.
Pembahasan
\(S_n = 1\cdot2 + 2\cdot4 + 3\cdot8 + \cdots + n\cdot2^n\)
\(2S_n = 1\cdot4 + 2\cdot8 + 3\cdot16 + \cdots + n\cdot2^{n+1}\)
Kurangkan: \(S_n – 2S_n = 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^n – n\cdot2^{n+1}\)
\(-S_n = \frac{2(2^n – 1)}{2-1} – n\cdot2^{n+1} = 2^{n+1} – 2 – n\cdot2^{n+1}\)
\(-S_n = 2^{n+1}(1-n) – 2\)
\(S_n = (n-1)\cdot2^{n+1} + 2\)
Jawaban: \(S_n = (n-1) \cdot 2^{n+1} + 2\)
Contoh 12. Tentukan \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{3^k}\).
Pembahasan
Di sini \(a=1, b=1, r=\frac{1}{3}\). Suku umum: \(U_k = k \cdot (\frac{1}{3})^k\).
Ini bukan tepat bentuk standar (karena pangkat dimulai dari \(r^1\), bukan \(r^0\)).
Gunakan rumus: \(\sum_{k=1}^{\infty} kx^k = \frac{x}{(1-x)^2}\) untuk \(|x|<1\).
\(= \frac{\frac{1}{3}}{(1-\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}\)
Jawaban: \(\frac{3}{4}\)
Contoh 13. Tentukan \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (2k+1) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^k\).
Pembahasan
Pecah: \(\sum (2k+1) \cdot (\frac{1}{2})^k = 2\sum k \cdot (\frac{1}{2})^k + \sum (\frac{1}{2})^k\)
\(\sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (\frac{1}{2})^k = \frac{\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2})^2} = 2\)
\(\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^k = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = 1\)
Jadi: \(2(2) + 1 = 5\)
Jawaban: 5
Contoh 14. Tentukan jumlah n suku pertama: \(\displaystyle S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k-1) \cdot 2^{k-1}\).
Pembahasan
\(a=2, b=3, r=2\) (suku pertama = \((3(1)-1)\cdot2^0 = 2\)).
\(S_n = 2 + 5\cdot2 + 8\cdot4 + 11\cdot8 + \cdots + (3n-1)\cdot2^{n-1}\)
\(2S_n = 2\cdot2 + 5\cdot4 + 8\cdot8 + \cdots + (3n-4)\cdot2^{n-1} + (3n-1)\cdot2^n\)
\(S_n – 2S_n = 2 + 3\cdot2 + 3\cdot4 + 3\cdot8 + \cdots + 3\cdot2^{n-1} – (3n-1)\cdot2^n\)
\(-S_n = 2 + 3(2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{n-1}) – (3n-1)\cdot2^n\)
\(-S_n = 2 + 3 \cdot \frac{2(2^{n-1}-1)}{1} – (3n-1)\cdot2^n\)
\(-S_n = 2 + 3(2^n – 2) – (3n-1)\cdot2^n\)
\(-S_n = 2 + 3\cdot2^n – 6 – (3n-1)\cdot2^n\)
\(-S_n = -4 + 2^n(3 – 3n + 1) = -4 + (4-3n)\cdot2^n\)
\(S_n = 4 + (3n-4)\cdot2^n\)
Jawaban: \(S_n = (3n-4)\cdot2^n + 4\)
Contoh 15. Buktikan bahwa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot x^k = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} – \frac{n^2 x^{n+1}}{1-x}\) untuk \(|x|<1\) saat \(n \to \infty\), lalu hitung \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2}{2^k}\).
Pembahasan
Kita tahu \(\sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1-x}\). Differensiasi terhadap \(x\):
\(\sum_{k=1}^{\infty} kx^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}\)
Kalikan \(x\): \(\sum_{k=1}^{\infty} kx^{k} = \frac{x}{(1-x)^2}\)
Differensiasi lagi: \(\sum_{k=1}^{\infty} k^2 x^{k-1} = \frac{d}{dx}\left[\frac{x}{(1-x)^2}\right] = \frac{(1-x)^2 + 2x(1-x)}{(1-x)^4} = \frac{1+x}{(1-x)^3}\)
Kalikan \(x\): \(\sum_{k=1}^{\infty} k^2 x^{k} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\)
Substitusi \(x = \frac{1}{2}\):
\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2}{2^k} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{(\frac{1}{2})^3} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}} = 6\)
Jawaban: 6
C. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
Mudah
1. Tentukan suku ke-3 dari deret aritmetika-geometri dengan \(a=1\), \(b=2\), \(r=3\).
2. Tentukan 4 suku pertama deret dengan \(a=3\), \(b=1\), \(r=\frac{1}{2}\).
3. Identifikasi \(a\), \(b\), dan \(r\) dari deret: \(4 \cdot 1 + 7 \cdot 5 + 10 \cdot 25 + 13 \cdot 125 + \cdots\)
4. Tentukan \(U_6\) dari deret dengan \(a=1\), \(b=1\), \(r=2\).
5. Tentukan jumlah tak hingga: \(1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \cdots\)
Sedang
6. Tentukan jumlah 5 suku pertama dari deret: \(1\cdot3 + 3\cdot9 + 5\cdot27 + 7\cdot81 + 9\cdot243\).
7. Tentukan \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (3k-2) \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^k\).
8. Jika jumlah tak hingga deret AG dengan \(a=5\), \(r=\frac{1}{2}\) adalah 14, tentukan \(b\).
9. Tentukan jumlah 4 suku pertama: \(2\cdot1 + 5\cdot\frac{1}{3} + 8\cdot\frac{1}{9} + 11\cdot\frac{1}{27}\).
10. Tentukan \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2k+3}{5^k}\).
Sulit
11. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (2k+1) \cdot 3^{k-1}\).
12. Tentukan \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(k+1)}{3^k}\).
13. Tentukan jumlah n suku pertama: \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k(k+1) \cdot 2^k\).
14. Jika \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} (ak+b) \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^k = 2\), dan \(a+b=3\), tentukan nilai \(a\) dan \(b\).
15. Buktikan bahwa \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^k = \frac{(2n-1)\cdot3^{n+1}+3}{4}\) menggunakan metode pengurangan deret.