Bahan Ajar Matematika

Barisan dan Deret – Aplikasi Barisan dan Deret

By admin #Aplikasi Barisan dan Deret, #barisan dan deret
Aplikasi Barisan dan Deret dalam Kehidupan Sehari-hari

Matematika SMA/MA/SMK/MAK

Aplikasi Barisan dan Deret dalam Kehidupan Sehari-hari

Pendahuluan

Barisan dan deret bukan hanya konsep matematika abstrak, tetapi memiliki banyak aplikasi nyata dalam kehidupan sehari-hari. Mulai dari pertumbuhan populasi, tabungan di bank, pola pertumbuhan tanaman, hingga perhitungan cicilan kredit — semuanya dapat dimodelkan menggunakan barisan dan deret.

Pada materi ini, kita akan fokus membahas bagaimana konsep barisan dan deret aritmetika serta geometri diterapkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari.

Kegiatan: Mengamati

Perhatikan situasi berikut:

  • Seorang penabung menyetor Rp500.000 setiap bulan ke bank.
  • Jumlah bakteri berlipat ganda setiap jam.
  • Harga tanah naik 10% setiap tahun.
  • Cicilan kendaraan bermotor yang tetap setiap bulan.

Apakah pola-pola di atas membentuk barisan aritmetika atau geometri?

Kegiatan: Menanya

  • Bagaimana cara menentukan total tabungan setelah n bulan?
  • Bagaimana menghitung jumlah bakteri setelah n jam?
  • Bagaimana menghitung total cicilan yang sudah dibayar?
  • Rumus apa yang digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut?

A. Aplikasi Barisan Aritmetika dalam Kehidupan Sehari-hari

Barisan aritmetika muncul ketika suatu besaran bertambah atau berkurang dengan selisih tetap (beda). Rumus umum:

Suku ke-n barisan aritmetika:

Un = a + (n − 1)b

Keterangan: a = suku pertama, b = beda, n = nomor suku

Contoh penerapan:

  • Tabungan tetap bulanan: Jika seseorang menabung Rp200.000 di bulan pertama dan menambah Rp50.000 setiap bulan, maka tabungan bulan ke-n adalah Un = 200.000 + (n−1) × 50.000.
  • Kenaikan gaji: Seorang karyawan mendapat kenaikan gaji Rp500.000 setiap tahun.
  • Produksi pabrik: Sebuah pabrik meningkatkan produksi 100 unit setiap bulan.
  • Penyusutan stok: Persediaan barang berkurang 20 unit per hari.

Kegiatan: Menalar

Jika gaji awal seorang karyawan Rp4.000.000 dan naik Rp300.000 per tahun, maka:

  • a = 4.000.000 (gaji tahun pertama)
  • b = 300.000 (kenaikan per tahun)
  • Gaji tahun ke-10: U10 = 4.000.000 + (10−1) × 300.000 = 4.000.000 + 2.700.000 = Rp6.700.000

📝 Contoh Soal — Aplikasi Barisan Aritmetika

● Tingkat Mudah

1. Seorang anak menabung Rp10.000 di minggu pertama, Rp15.000 di minggu kedua, Rp20.000 di minggu ketiga, dan seterusnya. Berapa tabungan di minggu ke-8?

▶ Lihat Pembahasan

Diketahui: a = 10.000, b = 5.000, n = 8

U8 = 10.000 + (8−1) × 5.000 = 10.000 + 35.000 = Rp45.000

2. Produksi sebuah toko kue di hari pertama 50 kue, hari kedua 55 kue, hari ketiga 60 kue. Berapa produksi di hari ke-10?

▶ Lihat Pembahasan

a = 50, b = 5, n = 10

U10 = 50 + (10−1) × 5 = 50 + 45 = 95 kue

3. Budi berlari 1 km di hari pertama dan menambah 0,5 km setiap hari. Berapa jarak lari di hari ke-12?

▶ Lihat Pembahasan

a = 1, b = 0,5, n = 12

U12 = 1 + (12−1) × 0,5 = 1 + 5,5 = 6,5 km

4. Suatu gedung bioskop memiliki 20 kursi di baris pertama, 23 di baris kedua, 26 di baris ketiga. Berapa kursi di baris ke-15?

▶ Lihat Pembahasan

a = 20, b = 3, n = 15

U15 = 20 + (15−1) × 3 = 20 + 42 = 62 kursi

5. Harga sewa rumah Rp1.500.000/bulan dan naik Rp100.000 setiap tahun. Berapa sewa di tahun ke-6?

▶ Lihat Pembahasan

a = 1.500.000, b = 100.000, n = 6

U6 = 1.500.000 + (6−1) × 100.000 = 1.500.000 + 500.000 = Rp2.000.000

● Tingkat Sedang

6. Seorang pengusaha memproduksi 200 unit di bulan pertama dan menambah 25 unit tiap bulan. Tentukan bulan ke berapa produksi mencapai 500 unit.

▶ Lihat Pembahasan

Un = 200 + (n−1) × 25 = 500

(n−1) × 25 = 300

n − 1 = 12

n = 13 (bulan ke-13)

7. Gaji awal karyawan Rp3.500.000 dengan kenaikan Rp250.000/tahun. Total gaji yang diterima selama 5 tahun pertama?

▶ Lihat Pembahasan

a = 3.500.000, b = 250.000, n = 5

S5 = 52 × (2 × 3.500.000 + (5−1) × 250.000)

= 2,5 × (7.000.000 + 1.000.000) = 2,5 × 8.000.000 = Rp20.000.000

8. Sebuah tangga memiliki 12 anak tangga. Anak tangga pertama setinggi 20 cm dari lantai, dan setiap anak tangga berikutnya lebih tinggi 18 cm. Berapa tinggi anak tangga teratas dari lantai?

▶ Lihat Pembahasan

a = 20, b = 18, n = 12

U12 = 20 + (12−1) × 18 = 20 + 198 = 218 cm

9. Seorang pedagang menjual 30 porsi di hari pertama. Setiap hari penjualan naik 4 porsi. Berapa total penjualan selama 2 minggu (14 hari)?

▶ Lihat Pembahasan

a = 30, b = 4, n = 14

S14 = 142 × (2×30 + (14−1)×4) = 7 × (60 + 52) = 7 × 112 = 784 porsi

10. Suatu stadion memiliki 30 baris kursi. Baris pertama berisi 15 kursi dan bertambah 2 kursi per baris. Berapa total kursi di stadion?

▶ Lihat Pembahasan

a = 15, b = 2, n = 30

S30 = 302 × (2×15 + (30−1)×2) = 15 × (30 + 58) = 15 × 88 = 1.320 kursi

● Tingkat Sulit

11. Sebuah perusahaan memberi bonus karyawan. Tahun pertama Rp2.000.000, naik Rp500.000/tahun. Jika total bonus yang diterima Rp35.000.000, sudah berapa tahun karyawan bekerja?

▶ Lihat Pembahasan

Sn = n2(2a + (n−1)b) = 35.000.000

n2(2×2.000.000 + (n−1)×500.000) = 35.000.000

n2(4.000.000 + 500.000n − 500.000) = 35.000.000

n2(3.500.000 + 500.000n) = 35.000.000

n(3.500.000 + 500.000n) = 70.000.000

500.000n² + 3.500.000n − 70.000.000 = 0

n² + 7n − 140 = 0

(n + 14)(n − 10) = 0 → n = 10 tahun

12. Seorang atlet berlatih lari. Hari pertama 2 km, bertambah 0,3 km/hari. Ia berencana berhenti saat jarak lari harian mencapai 8 km. Berapa total jarak yang sudah ditempuh hingga hari tersebut?

▶ Lihat Pembahasan

Cari n: Un = 2 + (n−1)×0,3 = 8 → n−1 = 20 → n = 21

S21 = 212 × (2 + 8) = 10,5 × 10 = 105 km

13. Dua kota A dan B dihubungkan tiang listrik. Tiang pertama tinggi 8 m, tiang terakhir 20 m. Selisih tinggi antar tiang berdekatan sama. Jika ada 25 tiang, berapa selisih tinggi antar tiang?

▶ Lihat Pembahasan

a = 8, U25 = 20, n = 25

20 = 8 + (25−1)×b

12 = 24b → b = 0,5 m

14. Sebuah pabrik memproduksi barang. Bulan 1: 1.000 unit, naik 75 unit/bulan. Jika kapasitas gudang 15.000 unit dan gudang awalnya kosong, di bulan ke berapa gudang penuh (total produksi ≥ 15.000)?

▶ Lihat Pembahasan

Sn = n2(2×1000 + (n−1)×75) ≥ 15.000

n(2000 + 75n − 75) ≥ 30.000

75n² + 1925n − 30.000 ≥ 0

3n² + 77n − 1200 ≥ 0

Dengan rumus abc: n ≈ 12,3 → bulan ke-13

15. Seorang kontraktor membangun tembok. Hari 1 memasang 80 batu bata, bertambah 12 per hari. Tembok membutuhkan 2.000 batu bata. Di hari ke berapa tembok selesai?

▶ Lihat Pembahasan

Sn = n2(2×80 + (n−1)×12) ≥ 2000

n(160 + 12n − 12) ≥ 4000

12n² + 148n − 4000 ≥ 0

3n² + 37n − 1000 ≥ 0

n = −37 + √(1369 + 12000)6 = −37 + √133696 ≈ −37 + 115,66 ≈ 13,1

Jadi tembok selesai di hari ke-14

✏️ Latihan Soal — Aplikasi Barisan Aritmetika

● Mudah

  1. Ani menabung Rp25.000 di minggu pertama dan menambah Rp5.000 setiap minggu. Berapa tabungan di minggu ke-10?
  2. Sebuah toko menjual 40 bungkus roti di hari pertama, bertambah 3 bungkus tiap hari. Berapa penjualan di hari ke-7?
  3. Suhu air dipanaskan dari 25°C dan naik 4°C setiap menit. Berapa suhu di menit ke-9?
  4. Seorang perenang berlatih 10 putaran di hari pertama dan menambah 2 putaran/hari. Berapa putaran di hari ke-6?
  5. Tinggi tanaman 5 cm dan bertambah 3 cm setiap minggu. Berapa tinggi di minggu ke-8?

● Sedang

  1. Pendapatan toko bulan pertama Rp5.000.000, naik Rp750.000/bulan. Total pendapatan 6 bulan pertama?
  2. Sebuah perusahaan mempekerjakan 10 orang di bulan 1 dan menambah 3 orang/bulan. Di bulan berapa jumlah karyawan mencapai 40 orang?
  3. Seorang pelari berlatih 3 km di hari 1 dan menambah 0,4 km/hari. Total jarak 10 hari pertama?
  4. Harga tiket naik Rp2.000 per bulan dari harga awal Rp15.000. Berapa rata-rata harga tiket selama setahun?
  5. Jumlah pengunjung hari pertama 120, bertambah 8/hari. Hari ke berapa pengunjung mencapai 200?

● Sulit

  1. Cicilan rumah bulan pertama Rp3.000.000, naik Rp200.000/bulan. Jika total yang sudah dibayar Rp78.000.000, sudah berapa bulan berjalan?
  2. Seorang petani menanam 50 pohon di tahun 1, bertambah 15/tahun. Kapan total pohon yang ditanam mencapai 1.000 pohon?
  3. Dua orang menabung. A: awal Rp100.000, tambah Rp20.000/bulan. B: awal Rp300.000, tambah Rp5.000/bulan. Di bulan berapa tabungan A sama dengan B?
  4. Panjang pipa disusun: 2m, 2,5m, 3m, … Jika total panjang yang diperlukan 100 m, berapa banyak pipa yang dibutuhkan?
  5. Suatu auditorium: baris 1 ada 18 kursi, baris terakhir 52 kursi, total 595 kursi. Berapa jumlah baris dan beda antar baris?

B. Aplikasi Deret Aritmetika dalam Kehidupan Sehari-hari

Deret aritmetika digunakan ketika kita ingin menghitung jumlah total dari suatu barisan aritmetika. Rumus deret:

Jumlah n suku pertama deret aritmetika:

Sn = n2 × (2a + (n−1)b)

atau

Sn = n2 × (a + Un)

Kegiatan: Mencoba

Coba hitung total tabungan jika kamu menabung dengan pola berikut:

Minggu 1 2 3 4 5 6
Tabungan Rp10.000 Rp15.000 Rp20.000 Rp25.000 Rp30.000 Rp35.000

Total = S6 = 62 × (10.000 + 35.000) = 3 × 45.000 = Rp135.000

Penerapan deret aritmetika:

  • Menghitung total produksi selama beberapa periode
  • Menghitung total gaji yang diterima selama beberapa tahun
  • Menghitung total jarak tempuh latihan
  • Menghitung total penumpang selama beberapa hari

📝 Contoh Soal — Aplikasi Deret Aritmetika

● Tingkat Mudah

1. Total tabungan 10 minggu jika minggu pertama Rp20.000 dan bertambah Rp5.000/minggu?

▶ Lihat Pembahasan

a = 20.000, b = 5.000, n = 10

S10 = 102(2×20.000 + 9×5.000) = 5(40.000 + 45.000) = 5 × 85.000 = Rp425.000

2. Seorang pekerja menghasilkan 10 produk di jam 1, 12 di jam 2, 14 di jam 3. Total produk dalam 8 jam?

▶ Lihat Pembahasan

a = 10, b = 2, n = 8

S8 = 82(2×10 + 7×2) = 4(20 + 14) = 4 × 34 = 136 produk

3. Pengunjung taman hari 1: 100 orang, bertambah 10/hari. Total pengunjung 7 hari?

▶ Lihat Pembahasan

S7 = 72(2×100 + 6×10) = 3,5 × (200+60) = 3,5 × 260 = 910 orang

4. Andi belajar 30 menit di hari 1, bertambah 5 menit/hari. Total waktu belajar 6 hari?

▶ Lihat Pembahasan

S6 = 62(2×30 + 5×5) = 3(60+25) = 3×85 = 255 menit

5. Sebuah warung menjual 25 gelas kopi hari 1, bertambah 3 gelas/hari. Total penjualan 5 hari?

▶ Lihat Pembahasan

S5 = 52(2×25 + 4×3) = 2,5(50+12) = 2,5×62 = 155 gelas

● Tingkat Sedang

6. Seorang karyawan menerima gaji Rp4.000.000/bulan di bulan pertama, naik Rp150.000/bulan. Berapa total gaji selama setahun?

▶ Lihat Pembahasan

a = 4.000.000, b = 150.000, n = 12

S12 = 122(2×4.000.000 + 11×150.000) = 6(8.000.000 + 1.650.000) = 6 × 9.650.000 = Rp57.900.000

7. Sebuah pabrik memproduksi 500 unit di bulan 1, naik 40 unit/bulan. Total produksi 2 tahun (24 bulan)?

▶ Lihat Pembahasan

S24 = 242(2×500 + 23×40) = 12(1000 + 920) = 12 × 1920 = 23.040 unit

8. Total jarak latihan seorang atlet selama n hari adalah 450 km. Hari 1 lari 5 km, bertambah 2 km/hari. Berapa hari ia berlatih?

▶ Lihat Pembahasan

n2(2×5 + (n−1)×2) = 450

n2(10 + 2n − 2) = 450

n(8 + 2n) = 900 → 2n² + 8n − 900 = 0 → n² + 4n − 450 = 0

n = −4 + √(16+1800)2 = −4 + √18162 ≈ −4 + 42,62 ≈ 19,3

Jadi n = 19 hari (belum cukup 450), perlu 20 hari untuk melampaui 450 km.

9. Sebuah perpustakaan mendapat donasi buku. Bulan 1: 50 buku, bulan 2: 65, bulan 3: 80. Total donasi selama 8 bulan?

▶ Lihat Pembahasan

a = 50, b = 15, n = 8

S8 = 82(2×50 + 7×15) = 4(100 + 105) = 4 × 205 = 820 buku

10. Biaya operasional bulan 1: Rp2.000.000, naik Rp100.000/bulan. Berapa rata-rata biaya bulanan selama setahun?

▶ Lihat Pembahasan

S12 = 122(2×2.000.000 + 11×100.000) = 6(4.000.000 + 1.100.000) = 6 × 5.100.000 = 30.600.000

Rata-rata = 30.600.000 ÷ 12 = Rp2.550.000

● Tingkat Sulit

11. Sebuah perusahaan membayar total gaji Rp180.000.000 selama 10 bulan dengan kenaikan tetap. Gaji bulan terakhir Rp22.000.000. Tentukan gaji bulan pertama dan besar kenaikan.

▶ Lihat Pembahasan

S10 = 102(a + U10) = 180.000.000

5(a + 22.000.000) = 180.000.000

a + 22.000.000 = 36.000.000 → a = Rp14.000.000

U10 = a + 9b → 22.000.000 = 14.000.000 + 9b → b = 8.000.0009 ≈ Rp888.889/bulan

12. Dua kota membangun jalan. Kota A: 5 km di bulan 1, tambah 1,5 km/bulan. Kota B: 3 km di bulan 1, tambah 2 km/bulan. Di bulan ke berapa total jalan yang dibangun kedua kota sama?

▶ Lihat Pembahasan

SA = n2(10 + 1,5(n−1)) = n2(8,5 + 1,5n)

SB = n2(6 + 2(n−1)) = n2(4 + 2n)

SA = SB: 8,5 + 1,5n = 4 + 2n

4,5 = 0,5n → n = 9 bulan

13. Seorang investor mendapat keuntungan bulanan yang membentuk deret aritmetika. Keuntungan bulan ke-3 = Rp8.000.000, bulan ke-8 = Rp18.000.000. Total keuntungan 12 bulan pertama?

▶ Lihat Pembahasan

U3 = a + 2b = 8.000.000 … (1)

U8 = a + 7b = 18.000.000 … (2)

(2)−(1): 5b = 10.000.000 → b = 2.000.000

a = 8.000.000 − 4.000.000 = 4.000.000

S12 = 122(2×4.000.000 + 11×2.000.000) = 6(8.000.000 + 22.000.000) = 6 × 30.000.000 = Rp180.000.000

14. Sebuah perusahaan menyusutkan nilai aset secara linear. Nilai tahun 1: Rp50 juta, tahun 5: Rp30 juta. Tentukan total nilai penyusutan selama 10 tahun.

▶ Lihat Pembahasan

a = 50.000.000, U5 = 30.000.000

30 = 50 + 4b → b = −5 (juta/tahun)

S10 = 102(2×50 + 9×(−5)) = 5(100 − 45) = 5 × 55 = Rp275.000.000

15. Seorang pengusaha menjual barang dengan harga menurun Rp500 setiap minggu dari harga awal Rp25.000. Ia akan berhenti menjual saat harga menjadi Rp10.000. Berapa total pendapatan jika setiap minggu terjual 1 barang?

▶ Lihat Pembahasan

a = 25.000, b = −500, Un = 10.000

10.000 = 25.000 + (n−1)(−500) → n−1 = 30 → n = 31

S31 = 312(25.000 + 10.000) = 15,5 × 35.000 = Rp542.500

✏️ Latihan Soal — Aplikasi Deret Aritmetika

● Mudah

  1. Total penghasilan 5 hari jika hari 1 menghasilkan Rp50.000 dan bertambah Rp10.000/hari?
  2. Berapa total buku dibaca 7 minggu jika minggu 1 baca 2 buku, bertambah 1/minggu?
  3. Total langkah berjalan 5 hari: hari 1 = 3.000 langkah, tambah 500/hari?
  4. Jumlah kursi 5 baris: baris 1 = 10, bertambah 4/baris?
  5. Total penjualan 4 hari jika hari 1 = 20 item, tambah 5/hari?

● Sedang

  1. Total biaya sewa 12 bulan, bulan 1: Rp1.000.000, naik Rp50.000/bulan?
  2. Total produksi 15 hari: hari 1 = 80 unit, bertambah 6/hari?
  3. Berapa hari dibutuhkan agar total latihan push-up = 200 kali (hari 1 = 5, tambah 3/hari)?
  4. Rata-rata pengeluaran 8 bulan jika bulan 1 = Rp2.500.000, naik Rp200.000/bulan?
  5. Total poin loyalty 10 bulan: bulan 1 = 100 poin, tambah 25/bulan?

● Sulit

  1. Total gaji 2 tahun (24 bulan) = Rp120.000.000. Gaji bulan 1 = Rp3.500.000. Berapa kenaikan per bulan?
  2. Dua pekerja. A: produksi hari 1 = 20, tambah 3/hari. B: hari 1 = 40, tambah 1/hari. Kapan total produksi A = total B?
  3. Sebuah kolam diisi air. Menit 1 = 5 liter, bertambah 2 liter/menit. Kapasitas kolam 500 liter. Berapa menit untuk penuh?
  4. Suku ke-5 = 23, suku ke-12 = 51. Total 20 suku pertama?
  5. Jumlah diagonal poligon beraturan membentuk pola: segitiga (0), segiempat (2), segilima (5), segienam (9). Berapa total diagonal dari segitiga sampai segi-15?

C. Aplikasi Barisan Geometri dalam Kehidupan Sehari-hari

Barisan geometri muncul ketika suatu besaran berubah dengan rasio tetap (perkalian tetap) setiap periode. Ini sering ditemui dalam pertumbuhan eksponensial dan peluruhan.

Suku ke-n barisan geometri:

Un = a × rn−1

Keterangan: a = suku pertama, r = rasio, n = nomor suku

Contoh penerapan barisan geometri:

  • Pertumbuhan bakteri: Bakteri membelah diri menjadi 2 kali lipat setiap jam (r = 2)
  • Bunga bank (compound interest): Tabungan bertumbuh dengan persentase tetap per tahun
  • Penyusutan nilai kendaraan: Nilai mobil turun 20% per tahun (r = 0,8)
  • Peluruhan radioaktif: Zat radioaktif berkurang setengah setiap periode paruh
  • Pertumbuhan penduduk: Populasi naik dengan persentase tetap per tahun

Kegiatan: Menalar

Perbandingan pertumbuhan linear vs eksponensial:

Tahun Aritmetika (+1.000) Geometri (×2)
1 1.000 1.000
2 2.000 2.000
3 3.000 4.000
4 4.000 8.000
5 5.000 16.000
10 10.000 512.000

Perhatikan bagaimana pertumbuhan geometri jauh lebih cepat!

📝 Contoh Soal — Aplikasi Barisan Geometri

● Tingkat Mudah

1. Sebuah koloni bakteri berjumlah 100 dan berlipat ganda setiap jam. Berapa bakteri setelah 5 jam?

▶ Lihat Pembahasan

a = 100, r = 2, n = 6 (karena awal = suku ke-1, setelah 5 jam = suku ke-6)

U6 = 100 × 25 = 100 × 32 = 3.200 bakteri

2. Harga tanah Rp100.000.000 naik 10% per tahun. Berapa harga setelah 3 tahun?

▶ Lihat Pembahasan

a = 100.000.000, r = 1,1, n = 4

U4 = 100.000.000 × 1,13 = 100.000.000 × 1,331 = Rp133.100.000

3. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 2 m dan setiap pantulan mencapai ½ tinggi sebelumnya. Berapa tinggi pantulan ke-4?

▶ Lihat Pembahasan

a = 2, r = 0,5 (tinggi pantulan ke-1 = 1 m)

Pantulan ke-4: 2 × (0,5)4 = 2 × 0,0625 = 0,125 m = 12,5 cm

4. Populasi desa 5.000 jiwa, pertumbuhan 5% per tahun. Berapa penduduk setelah 2 tahun?

▶ Lihat Pembahasan

a = 5.000, r = 1,05, n = 3

U3 = 5.000 × 1,052 = 5.000 × 1,1025 = 5.512 jiwa (dibulatkan)

5. Nilai mobil Rp200.000.000, turun 15% per tahun. Berapa nilai setelah 2 tahun?

▶ Lihat Pembahasan

a = 200.000.000, r = 0,85, n = 3

U3 = 200.000.000 × 0,852 = 200.000.000 × 0,7225 = Rp144.500.000

● Tingkat Sedang

6. Tabungan Rp10.000.000 di bank dengan bunga 8% per tahun (bunga majemuk). Berapa saldo setelah 5 tahun?

▶ Lihat Pembahasan

a = 10.000.000, r = 1,08, n = 6

U6 = 10.000.000 × 1,085 = 10.000.000 × 1,469 = Rp14.693.281

7. Jumlah bakteri menjadi 3 kali lipat setiap 2 jam. Awalnya ada 500 bakteri. Berapa setelah 10 jam?

▶ Lihat Pembahasan

Setiap 2 jam lipat 3. Dalam 10 jam = 5 kali pelipatan.

Jumlah = 500 × 35 = 500 × 243 = 121.500 bakteri

8. Harga emas Rp800.000/gram naik rata-rata 12% per tahun. Di tahun ke berapa harga melampaui Rp1.500.000/gram?

▶ Lihat Pembahasan

800.000 × 1,12n−1 > 1.500.000

1,12n−1 > 1,875

(n−1) × log 1,12 > log 1,875

(n−1) × 0,0492 > 0,2730

n−1 > 5,55 → n > 6,55

Jadi harga melampaui Rp1.500.000 di tahun ke-7

9. Sebuah mesin kehilangan efisiensi 5% setiap tahun. Efisiensi awal 100%. Berapa efisiensi setelah 8 tahun?

▶ Lihat Pembahasan

a = 100%, r = 0,95, n = 9

U9 = 100 × 0,958 = 100 × 0,6634 = 66,34%

10. Virus menyebar: 1 orang menularkan ke 3 orang per hari. Dari 1 orang awal, berapa orang terinfeksi baru di hari ke-6?

▶ Lihat Pembahasan

a = 1 (penular awal), r = 3

Hari ke-6: U6 = 1 × 35 = 243 orang baru terinfeksi

● Tingkat Sulit

11. Penduduk kota 500.000 tumbuh 3% per tahun. Di tahun ke berapa penduduk mencapai 1 juta?

▶ Lihat Pembahasan

500.000 × 1,03n−1 ≥ 1.000.000

1,03n−1 ≥ 2

(n−1) log 1,03 ≥ log 2

(n−1) × 0,01284 ≥ 0,30103

n−1 ≥ 23,45 → n ≥ 24,45

Jadi penduduk mencapai 1 juta di tahun ke-25

12. Sebuah investasi menjanjikan keuntungan 15% per tahun (bunga majemuk). Modal awal Rp50.000.000. Berapa lama agar modal menjadi 3 kali lipat?

▶ Lihat Pembahasan

50.000.000 × 1,15n−1 ≥ 150.000.000

1,15n−1 ≥ 3

(n−1) log 1,15 ≥ log 3

(n−1) × 0,0607 ≥ 0,4771

n−1 ≥ 7,86 → n ≥ 8,86

Diperlukan sekitar 9 tahun

13. Nilai tukar rupiah melemah 2% per bulan terhadap dolar. Jika kurs awal Rp15.000/$, berapa kurs setelah 1 tahun? Berapa persen total pelemahan?

▶ Lihat Pembahasan

Melemah 2% berarti butuh lebih banyak rupiah: r = 1,02

Setelah 12 bulan: 15.000 × 1,0212 = 15.000 × 1,2682 = Rp19.023/$

Total pelemahan: (19.023 − 15.000)/15.000 × 100% = 26,82%

14. Sebuah zat radioaktif memiliki waktu paruh 4 jam. Jika awalnya 640 gram, kapan massa tersisa kurang dari 5 gram?

▶ Lihat Pembahasan

Setiap 4 jam: massa × ½. Setelah n kali paruh: 640 × (½)n < 5

(½)n < 5/640 = 1/128

2n > 128 → n > 7

Waktu = 7 × 4 = 28 jam. Tapi perlu n > 7, jadi setelah 32 jam (8 kali paruh) massa = 2,5 g < 5 g ✓

Cek n=7: 640×(½)7 = 5 (tepat 5, belum kurang dari 5). Jadi setelah 32 jam.

15. Sebuah pohon tumbuh 80 cm di tahun pertama. Pertumbuhan berkurang 10% setiap tahun. Berapa total pertumbuhan setelah sangat lama (tak hingga)?

▶ Lihat Pembahasan

Ini deret geometri tak hingga: a = 80, r = 0,9 (|r| < 1)

S∞ = a1 − r = 801 − 0,9 = 800,1 = 800 cm = 8 m

✏️ Latihan Soal — Aplikasi Barisan Geometri

● Mudah

  1. Amuba membelah menjadi 2 setiap 30 menit. Dari 1 amuba, berapa setelah 3 jam?
  2. Harga rumah Rp300.000.000, naik 8% per tahun. Berapa harga setelah 2 tahun?
  3. Penduduk 10.000 jiwa, tumbuh 4% per tahun. Berapa setelah 3 tahun?
  4. Sebuah tali dipotong menjadi ½ setiap kali. Panjang awal 128 cm. Berapa panjang setelah potongan ke-5?
  5. Nilai laptop Rp12.000.000 turun 25% per tahun. Berapa setelah 3 tahun?

● Sedang

  1. Investasi Rp20.000.000 dengan bunga 6% per tahun (majemuk). Berapa setelah 10 tahun?
  2. Jumlah pengikut media sosial: bulan 1 = 200, naik 50%/bulan. Berapa di bulan ke-6?
  3. Konsentrasi obat dalam darah 400 mg, berkurang 30% per jam. Berapa setelah 4 jam?
  4. Harga saham Rp1.000, naik 5% per kuartal. Di kuartal ke berapa harga melampaui Rp1.500?
  5. Populasi ikan 2.000 ekor, berkurang 8% per bulan karena pencemaran. Kapan tersisa kurang dari 1.000?

● Sulit

  1. Modal Rp100.000.000 dengan bunga majemuk. Setelah 3 tahun menjadi Rp133.100.000. Berapa suku bunga per tahun?
  2. Penduduk kota A: 200.000 (tumbuh 5%/tahun). Kota B: 350.000 (tumbuh 2%/tahun). Kapan penduduk A menyalip B?
  3. Harga tanah naik 15%/tahun, harga emas naik 10%/tahun. Harga tanah awal Rp500 juta, emas Rp800 juta. Kapan harga tanah melebihi emas?
  4. Mobil dibeli Rp250.000.000, turun 20%/tahun. Kapan nilainya kurang dari 10% harga awal?
  5. Sebuah bola dijatuhkan dari 10 m, setiap pantulan = ¾ tinggi sebelumnya. Berapa total jarak tempuh bola hingga berhenti?

D. Aplikasi Deret Geometri dalam Kehidupan Sehari-hari

Deret geometri digunakan untuk menghitung jumlah total dari barisan geometri, misalnya total tabungan dengan bunga majemuk, total penyebaran virus, atau total jarak bola pantul.

Jumlah n suku pertama deret geometri:

Jika r ≠ 1: Sn = a(rn − 1)r − 1   (untuk r > 1)

atau: Sn = a(1 − rn)1 − r   (untuk r < 1)

Deret geometri tak hingga (|r| < 1):

S∞ = a1 − r

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Diskusikan dengan teman:

Seorang pengusaha menyetor Rp1.000.000 setiap awal tahun ke rekening berbunga 10%/tahun. Setelah 5 tahun, jelaskan mengapa total tabungannya BUKAN 5 × Rp1.000.000 = Rp5.000.000. Bagaimana cara menghitung total yang benar?

(Petunjuk: Setoran pertama sudah berbunga 5 tahun, setoran kedua berbunga 4 tahun, dst.)

📝 Contoh Soal — Aplikasi Deret Geometri

● Tingkat Mudah

1. Total bakteri dari jam 0 sampai jam 4, jika awal 50 bakteri dan berlipat ganda tiap jam?

▶ Lihat Pembahasan

a = 50, r = 2, n = 5 (jam 0, 1, 2, 3, 4)

S5 = 50(25 − 1)2 − 1 = 50 × 31 = 1.550 bakteri

2. Bola dijatuhkan dari 4 m, setiap pantulan = ½ tinggi sebelumnya. Total jarak pantulan naik (sampai pantulan ke-4)?

▶ Lihat Pembahasan

Pantulan: 2, 1, 0,5, 0,25 (a = 2, r = 0,5, n = 4)

S4 = 2(1 − 0,54)1 − 0,5 = 2(1 − 0,0625)0,5 = 2 × 0,93750,5 = 3,75 m

3. Seorang penabung menyetor Rp100.000 di bulan 1, Rp200.000 bulan 2, Rp400.000 bulan 3, dst. Total setoran 6 bulan?

▶ Lihat Pembahasan

a = 100.000, r = 2, n = 6

S6 = 100.000(26 − 1)2 − 1 = 100.000 × 63 = Rp6.300.000

4. Sebuah pabrik memproduksi 1000 unit di bulan 1 dan naik 10% tiap bulan. Total produksi 4 bulan?

▶ Lihat Pembahasan

a = 1000, r = 1,1, n = 4

S4 = 1000(1,14 − 1)1,1 − 1 = 1000(1,4641 − 1)0,1 = 1000 × 0,46410,1 = 4.641 unit

5. Sebuah kertas dilipat menjadi 2 bagian. Berapa total lapisan setelah 6 kali lipatan? (dimulai dari 1 lapisan)

▶ Lihat Pembahasan

Setelah 6 lipatan: 26 = 64 lapisan

(Ini barisan geometri: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64)

● Tingkat Sedang

6. Anuitas: Seseorang menyetor Rp5.000.000 setiap awal tahun di bank berbunga 6%/tahun. Total tabungan setelah 4 tahun (setelah setoran ke-4)?

▶ Lihat Pembahasan

Setoran 1 berbunga 4 tahun: 5.000.000 × 1,064

Setoran 2 berbunga 3 tahun: 5.000.000 × 1,063

Setoran 3 berbunga 2 tahun: 5.000.000 × 1,062

Setoran 4 berbunga 1 tahun: 5.000.000 × 1,061

Total = 5.000.000 × 1,06 × 1,064 − 11,06 − 1

= 5.300.000 × 1,2625 − 10,06 = 5.300.000 × 4,375 = Rp23.187.500

7. Total orang terinfeksi selama 7 hari jika hari 1 = 5 orang dan setiap hari bertambah 3 kali lipat?

▶ Lihat Pembahasan

a = 5, r = 3, n = 7

S7 = 5(37 − 1)3 − 1 = 5(2187 − 1)2 = 5 × 21862 = 5.465 orang

8. Sebuah bola dijatuhkan dari 10 m. Setiap pantulan = 3/5 tinggi sebelumnya. Berapa total jarak tempuh bola sampai berhenti?

▶ Lihat Pembahasan

Jarak turun pertama = 10 m

Pantulan naik-turun membentuk deret geometri: a = 2 × 10 × (3/5) = 12, r = 3/5

Total jarak = 10 + 121 − 3/5 = 10 + 122/5 = 10 + 30 = 40 m

9. Pendapatan iklan bulan 1: Rp500.000, turun 20% per bulan. Total pendapatan hingga tak terbatas?

▶ Lihat Pembahasan

a = 500.000, r = 0,8 (|r| < 1)

S∞ = 500.0001 − 0,8 = 500.0000,2 = Rp2.500.000

10. Penjualan obat dimulai 10.000 botol dan turun 15% per bulan. Total penjualan selama 8 bulan?

▶ Lihat Pembahasan

a = 10.000, r = 0,85, n = 8

S8 = 10.000(1 − 0,858)1 − 0,85 = 10.000(1 − 0,2725)0,15 = 10.000 × 0,72750,15 = 48.500 botol

● Tingkat Sulit

11. Cicilan rumah: Rp2.000.000/bulan selama 15 tahun (180 bulan) dengan bunga 1% per bulan. Berapa total uang yang dibayar dan berapa harga rumah yang bisa dibeli (present value)?

▶ Lihat Pembahasan

Total dibayar = 2.000.000 × 180 = Rp360.000.000

Present Value (harga rumah) = A × 1 − (1+i)−ni

= 2.000.000 × 1 − 1,01−1800,01

= 2.000.000 × 1 − 0,16530,01 = 2.000.000 × 83,47 = Rp166.940.000

12. Penyebaran berita hoax: 1 orang menyebarkan ke 4 orang di hari 1, setiap penerima menyebarkan ke 4 orang lain keesokannya. Berapa total orang yang menerima hoax dalam 1 minggu?

▶ Lihat Pembahasan

Hari 1: 4, Hari 2: 16, Hari 3: 64, … (a = 4, r = 4, n = 7)

S7 = 4(47 − 1)4 − 1 = 4(16384 − 1)3 = 4 × 163833 = 21.844 orang

13. Sebuah perusahaan asuransi membayar klaim. Tahun 1: Rp10 juta, naik 20%/tahun. Berapa cadangan minimum yang harus disiapkan untuk 10 tahun ke depan?

▶ Lihat Pembahasan

a = 10.000.000, r = 1,2, n = 10

S10 = 10.000.000(1,210 − 1)1,2 − 1 = 10.000.000(6,1917 − 1)0,2

= 10.000.000 × 5,19170,2 = Rp259.585.000

14. Seorang pekerja diberi pilihan gaji: (A) Rp10.000.000/bulan tetap, atau (B) Rp1.000 di hari 1, dua kali lipat tiap hari selama 25 hari. Mana yang lebih menguntungkan?

▶ Lihat Pembahasan

Opsi A: Rp10.000.000

Opsi B: a = 1.000, r = 2, n = 25

S25 = 1.000(225 − 1)2 − 1 = 1.000 × (33.554.432 − 1) = Rp33.554.431

Opsi B jauh lebih menguntungkan! (lebih dari 3× lipat opsi A)

15. Sebuah danau tercemar. Hari 1 tercemari 100 liter limbah. Setiap hari bertambah 80% dari hari sebelumnya, tapi alam membersihkan 50 liter/hari. Setelah berapa hari total limbah bersih di danau = 0 (ekuilibrium)?

▶ Lihat Pembahasan

Limbah masuk membentuk deret geometri menurun:

Hari 1: 100, Hari 2: 80, Hari 3: 64, … (a = 100, r = 0,8)

Total limbah masuk jangka panjang: S∞ = 1001−0,8 = 500 liter

Pembersihan: 50 liter/hari (deret aritmetika)

Setelah n hari: limbah masuk (kumulatif) = pembersihan kumulatif

100(1−0,8n)0,2 = 50n

500(1−0,8n) = 50n

10(1−0,8n) = n

Dengan trial: n=5 → 10(1−0,328) = 6,72 ≠ 5; n=7 → 10(1−0,21) = 7,9 ≈ cukup dekat

Ekuilibrium tercapai sekitar hari ke-8 (di mana laju pencemaran ≈ laju pembersihan)

✏️ Latihan Soal — Aplikasi Deret Geometri

● Mudah

  1. Total bakteri dari jam 0 sampai jam 5 jika awal 200 dan berlipat ganda tiap jam?
  2. Total setoran 5 bulan: bulan 1 = Rp50.000, bulan 2 = Rp100.000, bulan 3 = Rp200.000, …?
  3. Total lipatan kertas: berapa jumlah total bagian setelah 8 kali lipatan?
  4. Bola jatuh dari 6 m, pantulan = ½ sebelumnya. Total jarak pantulan naik (3 pantulan)?
  5. Total produksi 5 hari: hari 1 = 100, naik 10%/hari?

● Sedang

  1. Total penjualan 10 bulan jika bulan 1 = 5000 unit dan turun 10%/bulan?
  2. Total followers setelah 8 bulan jika bulan 1 = 100 dan naik 40%/bulan?
  3. Bola jatuh dari 8 m, pantulan = 2/3. Total jarak sampai berhenti?
  4. Tabungan awal Rp0. Setiap bulan setor Rp1.000.000 di bank bunga 0,5%/bulan. Total setelah 12 bulan?
  5. Vaksin mengurangi infeksi baru 40% per minggu. Minggu 1 = 10.000 kasus baru. Total kasus baru dalam 6 minggu?

● Sulit

  1. Cicilan Rp3.000.000/bulan, bunga 0,8%/bulan, 20 tahun. Berapa harga properti (present value)?
  2. MLM: 1 orang merekrut 3. Setiap anggota merekrut 3 lagi. Berapa total anggota hingga level ke-8?
  3. Perusahaan target untung Rp500.000.000 kumulatif. Tahun 1 untung Rp20.000.000, naik 25%/tahun. Di tahun berapa target tercapai?
  4. Dua bank: A bunga 8%/tahun majemuk, B bunga 0,65%/bulan majemuk. Modal sama Rp100 juta. Mana lebih besar setelah 5 tahun?
  5. Total gaji opsi: Rp1 di hari 1, ×3 tiap hari, selama 20 hari. Bandingkan dengan gaji tetap Rp50.000.000/bulan!

E. Notasi Sigma dalam Aplikasi Kehidupan Sehari-hari

Notasi sigma (Σ) digunakan untuk menuliskan jumlah/deret secara ringkas. Dalam konteks kehidupan nyata, notasi sigma membantu meringkas perhitungan total dari pola yang berulang.

Notasi Sigma:

n Σ k=1 f(k) = f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n)

Keterangan: k = indeks, batas bawah = 1, batas atas = n, f(k) = fungsi/rumus suku

Contoh penerapan notasi sigma:

  • Total gaji n bulan: nΣk=1 (a + (k−1)b)
  • Total produksi: nΣk=1 a·rk−1
  • Total biaya: 12Σk=1 (2.000.000 + 100.000(k−1))

Kegiatan: Mencoba

Nyatakan dalam notasi sigma dan hitung:

“Total penghasilan ojol selama 5 hari jika hari ke-k menghasilkan (50.000 + 10.000k) rupiah”

= 5Σk=1 (50.000 + 10.000k)

= (60.000) + (70.000) + (80.000) + (90.000) + (100.000) = Rp400.000

📝 Contoh Soal — Notasi Sigma dalam Aplikasi

● Tingkat Mudah

1. Nyatakan dengan notasi sigma: total tabungan 8 minggu jika minggu ke-k menabung Rp(5.000k).

▶ Lihat Pembahasan

8Σk=1 5.000k = 5.000(1+2+3+…+8) = 5.000 × 36 = Rp180.000

2. Hitung: 5Σk=1 (20 + 3k) yang menyatakan jumlah kursi per baris di bioskop.

▶ Lihat Pembahasan

= (23) + (26) + (29) + (32) + (35) = 145 kursi

3. Total langkah harian selama seminggu: hari ke-k = 3000 + 500(k−1). Nyatakan dengan sigma dan hitung.

▶ Lihat Pembahasan

7Σk=1 (3000 + 500(k−1)) = 7Σk=1 (2500 + 500k)

= 7×2500 + 500(1+2+…+7) = 17.500 + 500×28 = 17.500 + 14.000 = 31.500 langkah

4. Hitung total biaya listrik 6 bulan jika bulan ke-k biayanya Rp(200.000 + 25.000k).

▶ Lihat Pembahasan

6Σk=1 (200.000 + 25.000k)

= 6×200.000 + 25.000(1+2+3+4+5+6) = 1.200.000 + 25.000×21 = 1.200.000 + 525.000 = Rp1.725.000

5. Seorang penjual menjual 2k porsi di hari ke-k. Total penjualan 5 hari?

▶ Lihat Pembahasan

5Σk=1 2k = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62 porsi

● Tingkat Sedang

6. Total pendapatan toko 12 bulan: bulan ke-k = Rp(3.000.000 + 200.000(k−1)). Nyatakan dengan sigma dan hitung.

▶ Lihat Pembahasan

12Σk=1 (3.000.000 + 200.000(k−1)) = 12Σk=1 (2.800.000 + 200.000k)

= 12×2.800.000 + 200.000×(1+2+…+12) = 33.600.000 + 200.000×78 = 33.600.000 + 15.600.000 = Rp49.200.000

7. Populasi bakteri: 6Σk=0 100·2k. Hitung total bakteri.

▶ Lihat Pembahasan

= 100(20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26)

= 100(1+2+4+8+16+32+64) = 100 × 127 = 12.700

8. Biaya produksi naik 5% per bulan. Bulan 1: Rp10 juta. Nyatakan total 8 bulan dengan sigma.

▶ Lihat Pembahasan

8Σk=1 10.000.000 × 1,05k−1

= 10.000.000 × 1,058 − 11,05 − 1 = 10.000.000 × 1,4775 − 10,05

= 10.000.000 × 9,549 = Rp95.490.000

9. Tentukan nilai n jika nΣk=1 (10.000 + 2.000k) = 180.000. (Konteks: total tabungan mencapai Rp180.000)

▶ Lihat Pembahasan

Σ = 10.000n + 2.000 × n(n+1)2 = 180.000

10.000n + 1.000n(n+1) = 180.000

1.000n² + 11.000n = 180.000

n² + 11n − 180 = 0

(n+20)(n−9) = 0 → n = 9

10. Total jarak tempuh mobil yang melambat: jam ke-k = 80 × (0,9)k−1 km. Hitung 6Σk=1.

▶ Lihat Pembahasan

= 80 × 1 − 0,961 − 0,9 = 80 × 1 − 0,53140,1 = 80 × 4,686 = 374,9 km

● Tingkat Sulit

11. Nyatakan dan hitung: gaji karyawan bulan ke-k = Rp(4.000.000 + 300.000⌊(k−1)/3⌋), artinya naik Rp300.000 setiap 3 bulan. Total gaji setahun?

▶ Lihat Pembahasan

Bulan 1-3: Rp4.000.000, Bulan 4-6: Rp4.300.000, Bulan 7-9: Rp4.600.000, Bulan 10-12: Rp4.900.000

Total = 3(4.000.000 + 4.300.000 + 4.600.000 + 4.900.000)

= 3 × 17.800.000 = Rp53.400.000

12. ∞Σk=1 1.000.000 × (0,7)k menyatakan total pendapatan iklan yang menurun 30%/bulan. Hitung.

▶ Lihat Pembahasan

= 1.000.000 × 0,71 − 0,7 = 1.000.000 × 0,70,3 = 1.000.000 × 2,333 = Rp2.333.333

13. Buktikan bahwa nΣk=1 k = n(n+1)2 cocok untuk menghitung total pemasangan paving blok segitiga (baris 1: 1 blok, baris 2: 2 blok, dst).

▶ Lihat Pembahasan

Total blok untuk n baris = 1 + 2 + 3 + … + n

Ini adalah deret aritmetika: a=1, b=1, sehingga:

Sn = n2(1 + n) = n(n+1)2 ✓

Contoh: 10 baris → 10×112 = 55 blok

14. Hitung 10Σk=1 k² yang menyatakan total luas kotak bertingkat (kotak ke-k berukuran k×k cm²).

▶ Lihat Pembahasan

Rumus: nΣk=1 k² = n(n+1)(2n+1)6

= 10 × 11 × 216 = 23106 = 385 cm²

15. Tentukan n agar total keuntungan nΣk=1 5.000.000 × 1,1k−1 pertama kali melebihi Rp100.000.000.

▶ Lihat Pembahasan

5.000.000 × 1,1n − 10,1 > 100.000.000

50.000.000 × (1,1n − 1) > 100.000.000

1,1n − 1 > 2

1,1n > 3

n > log 3log 1,1 = 0,47710,0414 ≈ 11,5

Jadi n = 12 bulan

✏️ Latihan Soal — Notasi Sigma dalam Aplikasi

● Mudah

  1. Hitung 6Σk=1 (10.000k) (konteks: tabungan minggu ke-k = Rp10.000k)
  2. Nyatakan total produksi 7 hari dengan sigma jika hari ke-k = 50 + 5k unit.
  3. Hitung 4Σk=1 3k (total penyebaran virus)
  4. Nyatakan dan hitung: total halaman dibaca 5 hari, hari ke-k = 20 + 10(k−1)
  5. Hitung 5Σk=1 1000×(0,5)k−1 (penurunan dosis obat)

● Sedang

  1. Hitung 10Σk=1 (2.000.000 + 150.000k) total pendapatan 10 bulan.
  2. Nyatakan total populasi bakteri 8 jam dengan sigma (awal 300, lipat 2 tiap jam).
  3. Tentukan n jika nΣk=1 (15 + 4k) = 500
  4. Hitung 8Σk=1 2.000.000 × (1,08)k−1 (total investasi)
  5. Nyatakan total biaya sewa 2 tahun dengan sigma jika naik 5% per bulan dari Rp1 juta awal.

● Sulit

  1. Hitung ∞Σk=0 500.000 × (0,6)k (total pendapatan jangka panjang)
  2. Tentukan n minimum agar nΣk=1 2.000.000 × (1,05)k−1 > 30.000.000
  3. Hitung 20Σk=1 k(k+1) dan jelaskan konteksnya dalam perhitungan jumlah handshake.
  4. Buktikan nΣk=1 (2k−1) = n² dengan menghubungkannya ke pola ubin persegi.
  5. Tentukan batas atas n agar nΣk=1 (100 − 3k) masih bernilai positif.

Ringkasan

Konsep Rumus Kunci Contoh Aplikasi
Barisan Aritmetika Un = a + (n−1)b Kenaikan gaji tetap, tambahan produksi
Deret Aritmetika Sn = n2(2a+(n−1)b) Total tabungan, total gaji, total kursi
Barisan Geometri Un = a·rn−1 Bunga bank, pertumbuhan bakteri, penyusutan
Deret Geometri Sn = a(rn−1)r−1 Total investasi, total penyebaran, anuitas
Deret Geometri ∞ S∞ = a1−r Jarak bola pantul, pendapatan menurun
Notasi Sigma nΣk=1 f(k) Meringkas penjumlahan berpola

Kegiatan: Mengkomunikasikan

Buatlah satu contoh masalah kehidupan sehari-hari di lingkungan sekitarmu yang dapat dimodelkan dengan:

  1. Barisan aritmetika
  2. Deret aritmetika
  3. Barisan geometri
  4. Deret geometri

Presentasikan di depan kelas lengkap dengan rumus dan penyelesaiannya!

Materi Matematika – Epres.web.id & Ngelumath.com

By admin

Related Post

Bahan Ajar Matematika

Logika Matematika – Bukti Tidak Langsung

admin
Bahan Ajar Matematika

Logika Matematika – Induksi Matematika

admin
Bahan Ajar Matematika

Logika Matematika – Bukti Langsung

admin

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

You Missed

Diet, olahraga, dan gaya hidup sehat Edukasi & Tutorial Konten edukasi ringan tapi informatif

Aplikasi Streaming Resmi untuk Nonton Piala Dunia 2026

Berita Terkini & Politik Isu kesehatan masyarakat Isu nasional/internasional Kesehatan & Kebugaran

ASEAN Bersatu! Misi “Zero Dengue Deaths” Jadi Fokus Utama Peringatan Hari DBD 2026

Berita Terkini & Politik Isu kesehatan masyarakat Isu nasional/internasional

Menuju Indonesia yang Lebih Hijau: Pemerintah Gaungkan Inisiatif Indonesia ASRI pada 2026

Berita Terkini & Politik Isu nasional/internasional

RI Kian Ambisius, Inggris Siap Kawal Reformasi Ekonomi Nasional

You cannot copy content of this page