Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Matriks Dilatasi
Transformasi Geometri
A. Pendahuluan
Dilatasi (perkalian) adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran suatu bangun tanpa mengubah bentuknya. Dilatasi ditentukan oleh pusat dilatasi dan faktor skala (k). Dalam representasi matriks, dilatasi dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks dengan vektor posisi titik.
Definisi Dilatasi
Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k ditulis:
D[O, k]
Jika titik A(x, y) didilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k, maka bayangan titik A adalah A'(kx, ky).
Dalam bentuk matriks:
Matriks Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k:
Dilatasi dengan Pusat P(a, b)
Jika pusat dilatasi bukan di titik O, melainkan di P(a, b) dengan faktor skala k, maka rumusnya:
Atau dapat ditulis:
x’ = k(x − a) + a
y’ = k(y − b) + b
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan ilustrasi dilatasi berikut. Titik A(2, 3) didilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k = 2.
Pengamatan:
- Titik A(2, 3) menjadi A'(4, 6) setelah dilatasi dengan k = 2
- Koordinat x dan y masing-masing dikalikan dengan faktor skala k = 2
- Jarak OA’ = 2 × Jarak OA (jarak dari pusat menjadi 2 kali lipat)
- Titik A, A’, dan O segaris (kolinear)
Kegiatan: Menanya
Setelah mengamati ilustrasi di atas, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bagaimana hubungan antara koordinat titik asal dan koordinat bayangan pada dilatasi dengan pusat O?
- Apa yang terjadi jika faktor skala k bernilai negatif?
- Apa yang terjadi jika faktor skala k = 1? Bagaimana jika k antara 0 dan 1?
- Bagaimana cara menentukan bayangan jika pusat dilatasi bukan di titik O(0,0)?
- Mengapa representasi matriks berguna dalam menghitung dilatasi?
B. Materi Inti: Matriks Dilatasi
1. Matriks Dilatasi dengan Pusat O(0, 0)
Dilatasi dengan pusat O(0,0) dan faktor skala k dapat direpresentasikan dengan matriks transformasi berukuran 2×2:
Matriks Dilatasi [O, k]
Bayangan titik (x, y):
Sehingga: x’ = kx dan y’ = ky
Sifat-sifat Dilatasi:
- Jika |k| > 1: bangun diperbesar
- Jika 0 < |k| < 1: bangun diperkecil
- Jika k = 1: bangun tetap (identitas)
- Jika k = −1: bangun dirotasi 180° terhadap pusat
- Jika k < 0: bangun diperbesar/diperkecil dan dibalik (melewati pusat)
- Luas bayangan = k² × luas asli
2. Matriks Dilatasi dengan Pusat P(a, b)
Ketika pusat dilatasi bukan di titik asal, kita perlu melakukan langkah-langkah translasi terlebih dahulu:
Langkah Menentukan Bayangan D[P(a,b), k]
- Translasikan titik sehingga pusat dilatasi menjadi O:
Titik baru: (x − a, y − b) - Lakukan dilatasi dengan matriks:
k 0 0 k x − a y − b = k(x − a) k(y − b)
- Translasikan kembali ke posisi semula:
x’ = k(x − a) + a
y’ = k(y − b) + b
3. Bayangan Garis oleh Dilatasi
Untuk menentukan bayangan garis y = mx + c oleh dilatasi D[O, k]:
Dari matriks dilatasi, kita punya:
x’ = kx → x = x’/k
y’ = ky → y = y’/k
Substitusi ke persamaan garis y = mx + c:
y’/k = m(x’/k) + c
y’ = mx’ + kc
Jadi bayangan garis y = mx + c oleh D[O, k] adalah y = mx + kc
Catatan: Gradien tetap, hanya konstanta yang berubah menjadi kc
4. Bayangan Kurva oleh Dilatasi
Untuk menentukan bayangan kurva f(x, y) = 0 oleh dilatasi D[O, k]:
Langkah:
- Dari x’ = kx, dapatkan x = x’/k
- Dari y’ = ky, dapatkan y = y’/k
- Substitusikan x = x’/k dan y = y’/k ke persamaan kurva
- Sederhanakan untuk mendapatkan persamaan bayangan
5. Komposisi Dua Dilatasi
Jika dilakukan dua dilatasi berturut-turut D[O, k₁] dilanjutkan D[O, k₂], maka:
Komposisi D[O, k₁] dilanjut D[O, k₂] = D[O, k₁·k₂]
Kegiatan: Menalar
Berdasarkan materi di atas, jawablah:
- Jika segitiga dengan luas 12 cm² didilatasi dengan faktor skala k = 3, berapakah luas bayangannya? Jelaskan mengapa demikian menggunakan konsep matriks.
- Buktikan bahwa komposisi dua dilatasi D[O, 2] dan D[O, 3] sama dengan D[O, 6] menggunakan perkalian matriks.
- Mengapa matriks dilatasi selalu berbentuk diagonal (elemen non-diagonal = 0)?
C. Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH Contoh Soal Tingkat Mudah
Contoh 1
Tentukan bayangan titik A(3, 5) oleh dilatasi D[O, 2] menggunakan matriks!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Tulis matriks dilatasi D[O, 2]
Langkah 2: Kalikan matriks dengan vektor posisi titik A
Jawaban: Bayangan titik A adalah A'(6, 10)
Contoh 2
Tentukan bayangan titik B(−4, 2) oleh dilatasi D[O, 3] menggunakan matriks!
Lihat Pembahasan
Jawaban: B'(−12, 6)
Contoh 3
Tentukan bayangan titik C(6, −8) oleh dilatasi D[O, ½] menggunakan matriks!
Lihat Pembahasan
Jawaban: C'(3, −4)
Contoh 4
Tentukan bayangan titik D(0, 7) oleh dilatasi D[O, −2] menggunakan matriks!
Lihat Pembahasan
Jawaban: D'(0, −14)
Catatan: Karena k negatif, bayangan berada di sisi berlawanan dari pusat O.
Contoh 5
Tuliskan matriks dilatasi untuk D[O, 4] dan tentukan bayangan titik E(1, −3)!
Lihat Pembahasan
Matriks dilatasi D[O, 4]:
Bayangan titik E:
Jawaban: E'(4, −12)
SEDANG Contoh Soal Tingkat Sedang
Contoh 6
Tentukan bayangan titik A(4, −1) oleh dilatasi D[P(1, 2), 3] menggunakan matriks!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Translasikan titik (kurangi pusat)
x − a = 4 − 1 = 3
y − b = −1 − 2 = −3
Langkah 2: Kalikan dengan matriks dilatasi
Langkah 3: Translasikan kembali (tambah pusat)
x’ = 9 + 1 = 10
y’ = −9 + 2 = −7
Jawaban: A'(10, −7)
Contoh 7
Tentukan bayangan garis y = 2x + 3 oleh dilatasi D[O, 4]!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Dari matriks dilatasi D[O, 4]:
x’ = 4x → x = x’/4
y’ = 4y → y = y’/4
Langkah 2: Substitusi ke persamaan garis y = 2x + 3
y’/4 = 2(x’/4) + 3
y’/4 = x’/2 + 3
y’ = 2x’ + 12
Jawaban: Bayangan garis adalah y = 2x + 12
Catatan: Gradien tetap = 2, konstanta menjadi 4 × 3 = 12 (sesuai rumus y = mx + kc)
Contoh 8
Segitiga dengan titik-titik sudut P(1, 1), Q(3, 1), R(2, 4) didilatasi oleh D[O, 2]. Tentukan koordinat bayangan dan luas bayangan segitiga!
Lihat Pembahasan
Bayangan masing-masing titik:
P'(2, 2), Q'(6, 2), R'(4, 8)
Luas segitiga asli:
L = ½|x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
L = ½|1(1−4) + 3(4−1) + 2(1−1)|
L = ½|−3 + 9 + 0| = ½ × 6 = 3 satuan luas
Luas bayangan:
L’ = k² × L = 2² × 3 = 4 × 3 = 12 satuan luas
Contoh 9
Tentukan bayangan titik (2, −3) oleh dilatasi D[P(−1, 1), 2] menggunakan matriks!
Lihat Pembahasan
Pusat P(−1, 1), k = 2, titik (2, −3)
Langkah 1: x − a = 2 − (−1) = 3; y − b = −3 − 1 = −4
Langkah 2: Kalikan matriks:
Langkah 3: Tambah pusat:
x’ = 6 + (−1) = 5
y’ = −8 + 1 = −7
Jawaban: Bayangan adalah (5, −7)
Contoh 10
Tentukan hasil komposisi dilatasi D[O, 2] dilanjutkan D[O, 3] pada titik (1, −2) menggunakan perkalian matriks!
Lihat Pembahasan
Matriks komposisi:
Terapkan pada titik (1, −2):
Jawaban: Bayangan adalah (6, −12)
SULIT Contoh Soal Tingkat Sulit
Contoh 11
Tentukan bayangan kurva y = x² + 2x − 1 oleh dilatasi D[O, 2]!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Dari matriks dilatasi D[O, 2]:
x’ = 2x → x = x’/2
y’ = 2y → y = y’/2
Langkah 2: Substitusi ke y = x² + 2x − 1
y’/2 = (x’/2)² + 2(x’/2) − 1
y’/2 = x’²/4 + x’ − 1
y’ = x’²/2 + 2x’ − 2
Jawaban: y = ½x² + 2x − 2
Contoh 12
Tentukan bayangan lingkaran x² + y² = 9 oleh dilatasi D[O, 3]!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Dari D[O, 3]: x = x’/3, y = y’/3
Langkah 2: Substitusi ke x² + y² = 9
(x’/3)² + (y’/3)² = 9
x’²/9 + y’²/9 = 9
x’² + y’² = 81
Jawaban: x² + y² = 81
Catatan: Jari-jari asli = 3, jari-jari bayangan = 3 × 3 = 9. Ini konsisten karena jari-jari dikalikan faktor skala k.
Contoh 13
Bayangan garis 2x − 3y + 6 = 0 oleh dilatasi D[P(1, −1), 2] adalah…
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Gunakan rumus dilatasi pusat P(1, −1), k = 2:
x’ = k(x − a) + a = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1
y’ = k(y − b) + b = 2(y + 1) − 1 = 2y + 1
Langkah 2: Nyatakan x dan y dalam x’ dan y’:
x’ = 2x − 1 → x = (x’ + 1)/2
y’ = 2y + 1 → y = (y’ − 1)/2
Langkah 3: Substitusi ke 2x − 3y + 6 = 0
2·(x’+1)/2 − 3·(y’−1)/2 + 6 = 0
(x’ + 1) − 3(y’ − 1)/2 + 6 = 0
Kalikan semua dengan 2:
2(x’ + 1) − 3(y’ − 1) + 12 = 0
2x’ + 2 − 3y’ + 3 + 12 = 0
2x’ − 3y’ + 17 = 0
Jawaban: 2x − 3y + 17 = 0
Contoh 14
Titik A(a, b) didilatasi oleh D[O, 2] menghasilkan A'(6, −4). Kemudian A’ didilatasi oleh D[O, −½]. Tentukan bayangan akhir!
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Cari titik A dari A'(6, −4) = D[O, 2] × A
6 = 2a → a = 3
−4 = 2b → b = −2
Jadi A(3, −2) ✓
Langkah 2: Dilatasi A'(6, −4) oleh D[O, −½]:
Jawaban: Bayangan akhir adalah (−3, 2)
Catatan: Komposisi D[O, 2] lalu D[O, −½] = D[O, 2 × (−½)] = D[O, −1], sehingga bayangan akhir = (−3, 2) = −1 × (3, −2) ✓
Contoh 15
Tentukan bayangan kurva y = x² − 4x + 3 oleh dilatasi D[P(2, 0), −2] !
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Gunakan rumus D[P(2, 0), −2]:
x’ = −2(x − 2) + 2 = −2x + 4 + 2 = −2x + 6
y’ = −2(y − 0) + 0 = −2y
Langkah 2: Nyatakan x, y dalam x’, y’:
x’ = −2x + 6 → x = (6 − x’)/2 = 3 − x’/2
y’ = −2y → y = −y’/2
Langkah 3: Substitusi ke y = x² − 4x + 3:
−y’/2 = (3 − x’/2)² − 4(3 − x’/2) + 3
−y’/2 = 9 − 3x’ + x’²/4 − 12 + 2x’ + 3
−y’/2 = x’²/4 − x’
y’ = −x’²/2 + 2x’
Jawaban: y = −½x² + 2x
Kegiatan: Mencoba
Cobalah kerjakan secara mandiri:
- Ambil sebuah titik sembarang, misalnya (5, −2). Lakukan dilatasi D[O, 3] menggunakan matriks. Gambarkan titik asal dan bayangannya pada bidang koordinat.
- Buat segitiga dengan koordinat yang kamu tentukan sendiri. Lakukan dilatasi D[O, ½] pada ketiga titik sudutnya menggunakan matriks. Hitung luas segitiga asli dan bayangan, lalu buktikan bahwa luas bayangan = k² × luas asli.
- Tentukan bayangan garis y = −x + 4 oleh D[P(1, 1), 3] dengan dua cara: (a) substitusi dua titik pada garis, dilatasikan, lalu buat persamaan garis baru; (b) menggunakan rumus substitusi langsung. Bandingkan hasilnya!
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dengan teman atau presentasikan di depan kelas:
- Jelaskan dengan bahasamu sendiri mengapa matriks dilatasi selalu berupa matriks diagonal (elemen selain diagonal utama = 0).
- Bandingkan hasil dilatasi D[O, 2] dengan D[O, −2] pada titik yang sama. Apa perbedaan dan persamaannya? Jelaskan secara geometris.
- Buatlah rangkuman hubungan antara faktor skala, ukuran bayangan, dan luas bayangan dalam bentuk tabel.
D. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri tanpa melihat pembahasan!
MUDAH Latihan Tingkat Mudah
Soal 1
Tentukan bayangan titik (5, −3) oleh dilatasi D[O, 4] menggunakan matriks!
Soal 2
Tentukan bayangan titik (−2, 6) oleh dilatasi D[O, −3] menggunakan matriks!
Soal 3
Tentukan bayangan titik (8, −4) oleh dilatasi D[O, ¼] menggunakan matriks!
Soal 4
Tuliskan matriks dilatasi untuk D[O, −5] dan tentukan bayangan titik (2, 1)!
Soal 5
Tentukan bayangan titik (0, −7) oleh dilatasi D[O, ⅓] menggunakan matriks!
SEDANG Latihan Tingkat Sedang
Soal 6
Tentukan bayangan titik (3, −2) oleh dilatasi D[P(1, 1), 3] menggunakan matriks!
Soal 7
Tentukan bayangan garis y = 3x − 2 oleh dilatasi D[O, 5]!
Soal 8
Segitiga ABC dengan A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3) didilatasi oleh D[O, 3]. Tentukan koordinat bayangan dan luas bayangan!
Soal 9
Tentukan bayangan titik (−1, 4) oleh komposisi D[O, 2] dilanjutkan D[O, −3] menggunakan matriks!
Soal 10
Tentukan bayangan titik (5, −1) oleh dilatasi D[P(−2, 3), −1] menggunakan matriks!
SULIT Latihan Tingkat Sulit
Soal 11
Tentukan bayangan kurva y = 2x² − 3x + 1 oleh dilatasi D[O, 3]!
Soal 12
Bayangan titik A(a, b) oleh D[P(2, −1), 3] adalah A'(11, 8). Tentukan nilai a dan b!
Soal 13
Tentukan bayangan lingkaran x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 oleh dilatasi D[O, 2]!
Soal 14
Tentukan bayangan garis 3x + 4y − 12 = 0 oleh dilatasi D[P(2, 1), −2]!
Soal 15
Titik P didilatasi oleh D[O, 2] menghasilkan P'(8, −6). Kemudian P’ didilatasi oleh D[P'(8, −6), −½]. Tentukan bayangan akhir!
E. Rangkuman
| Dilatasi | Matriks | Rumus Bayangan |
|---|---|---|
| D[O, k] | k0 0k | x’ = kx, y’ = ky |
| D[P(a,b), k] | k0 0k | x’ = k(x−a)+a, y’ = k(y−b)+b |
| Luas bayangan | L’ = k² × L (luas asli) | |
| Komposisi D[O,k₁] ∘ D[O,k₂] | = D[O, k₁·k₂] | |