Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Penerapan Program Linear dalam Kehidupan Sehari-hari
📘 Materi: Penerapan Program Linear dalam Kehidupan Sehari-hari
Program linear merupakan metode matematika yang digunakan untuk mencari nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi tujuan (fungsi objektif) yang memenuhi sejumlah kendala (constraints) berupa pertidaksamaan linear. Dalam kehidupan sehari-hari, program linear banyak diterapkan pada masalah produksi, transportasi, alokasi sumber daya, perencanaan keuangan, dan optimalisasi keuntungan atau biaya.
A. Langkah-Langkah Penyelesaian Masalah Program Linear
- Menentukan variabel keputusan — Tentukan variabel yang akan dicari (misal x dan y).
- Menyusun fungsi tujuan — Tuliskan fungsi yang ingin dimaksimumkan atau diminimumkan, misal f(x, y) = ax + by.
- Menyusun sistem kendala (constraints) — Tuliskan pertidaksamaan linear yang menjadi batasan masalah.
- Menggambar daerah layak (feasible region) — Gambar grafik dari semua kendala dan tentukan irisan daerahnya.
- Menentukan titik-titik pojok (corner points) — Cari koordinat titik-titik sudut daerah layak.
- Mensubstitusi titik pojok ke fungsi tujuan — Hitung nilai fungsi tujuan di setiap titik pojok.
- Menentukan nilai optimum — Pilih nilai terbesar (maksimum) atau terkecil (minimum) sesuai soal.
B. Model Matematika dalam Penerapan
Dalam penerapan kehidupan sehari-hari, kita perlu mengubah soal cerita menjadi model matematika. Model matematika terdiri dari:
Fungsi Tujuan: f(x, y) = ax + by → dimaksimumkan atau diminimumkan
Kendala:
a₁x + b₁y ≤ c₁
a₂x + b₂y ≤ c₂
x ≥ 0, y ≥ 0 (syarat non-negatif)
C. Contoh Penerapan dalam Kehidupan Sehari-hari
| Bidang | Contoh Penerapan | Tujuan Optimasi |
|---|---|---|
| Produksi | Menentukan jumlah produk A dan B | Memaksimumkan keuntungan |
| Transportasi | Pengiriman barang dari gudang ke toko | Meminimumkan biaya kirim |
| Pertanian | Alokasi lahan untuk tanaman padi dan jagung | Memaksimumkan hasil panen |
| Keuangan | Investasi pada dua jenis saham | Memaksimumkan return |
| Gizi/Nutrisi | Campuran makanan untuk diet | Meminimumkan biaya pemenuhan gizi |
D. Metode Penyelesaian: Uji Titik Pojok
Metode uji titik pojok dilakukan dengan menghitung nilai fungsi tujuan pada setiap titik sudut daerah layak, kemudian membandingkan hasilnya.
Ilustrasi Daerah Layak (Feasible Region)
Gambar: Ilustrasi daerah layak (feasible region) dengan titik-titik pojok yang akan diuji pada fungsi tujuan.
E. Kegiatan Pembelajaran (Pendekatan Saintifik)
Perhatikan permasalahan berikut:
Sebuah pabrik roti memproduksi roti manis dan roti tawar. Setiap hari pabrik tersebut memiliki bahan baku terigu maksimal 120 kg dan gula maksimal 80 kg. Roti manis membutuhkan 2 kg terigu dan 2 kg gula per unit. Roti tawar membutuhkan 3 kg terigu dan 1 kg gula per unit. Keuntungan roti manis Rp50.000/unit dan roti tawar Rp40.000/unit.
Amati informasi di atas. Identifikasi data-data yang diberikan!
Berdasarkan pengamatan di atas, rumuskan pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Berapa jumlah roti manis dan roti tawar yang harus diproduksi agar keuntungan maksimum?
- Apa saja kendala (batasan) yang harus dipenuhi?
- Bagaimana cara menentukan daerah layak dari kendala yang ada?
- Bagaimana menentukan titik-titik pojok daerah layak?
Mari kita buat model matematikanya:
Misalkan: x = jumlah roti manis, y = jumlah roti tawar
Fungsi tujuan: f(x, y) = 50.000x + 40.000y → maksimumkan
Kendala:
2x + 3y ≤ 120 (terigu)
2x + y ≤ 80 (gula)
x ≥ 0, y ≥ 0
Dengan menalar, kita perlu mencari titik potong garis-garis kendala untuk mendapatkan titik pojok daerah layak.
Langkah 1: Tentukan titik potong kendala.
Dari 2x + 3y = 120 dan 2x + y = 80:
Eliminasi: (2x + 3y) − (2x + y) = 120 − 80
2y = 40 → y = 20
Substitusi: 2x + 20 = 80 → x = 30
Titik potong: (30, 20)
Langkah 2: Tentukan semua titik pojok daerah layak:
| Titik Pojok | f(x,y) = 50.000x + 40.000y |
|---|---|
| (0, 0) | Rp0 |
| (40, 0) | 50.000(40) + 40.000(0) = Rp2.000.000 |
| (30, 20) | 50.000(30) + 40.000(20) = Rp2.300.000 |
| (0, 40) | 50.000(0) + 40.000(40) = Rp1.600.000 |
Langkah 3: Nilai maksimum = Rp2.300.000 pada titik (30, 20).
Kesimpulan: Agar keuntungan maksimum sebesar Rp2.300.000, pabrik harus memproduksi 30 unit roti manis dan 20 unit roti tawar per hari.
Komunikasikan hasil temuan ini dalam bentuk laporan tertulis yang memuat: model matematika, grafik daerah layak, tabel uji titik pojok, dan kesimpulan.
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah Mudah
Contoh Soal 1 Mudah
Seorang petani mempunyai lahan seluas 10 hektar. Ia ingin menanam padi dan jagung. Biaya tanam padi Rp2.000.000/hektar dan jagung Rp1.000.000/hektar. Modal yang tersedia Rp16.000.000. Keuntungan padi Rp3.000.000/hektar dan jagung Rp2.000.000/hektar. Tentukan keuntungan maksimum!
Pembahasan:
Misalkan: x = luas padi (ha), y = luas jagung (ha)
Fungsi tujuan: f(x, y) = 3.000.000x + 2.000.000y → maks
Kendala:
x + y ≤ 10 (luas lahan)
2x + y ≤ 16 (modal, dalam jutaan: 2x + y ≤ 16)
x ≥ 0, y ≥ 0
Titik potong:
x + y = 10 dan 2x + y = 16
Eliminasi: x = 6, y = 4
Titik pojok dan nilai f:
(0, 0) → 0
(8, 0) → 24.000.000
(6, 4) → 18.000.000 + 8.000.000 = 26.000.000
(0, 10) → 20.000.000
Keuntungan maksimum = Rp26.000.000 dengan menanam 6 ha padi dan 4 ha jagung.
Contoh Soal 2 Mudah
Sebuah toko menjual kue A dan kue B. Kue A membutuhkan 1 jam pembuatan dan kue B membutuhkan 2 jam. Waktu tersedia 12 jam/hari. Kapasitas oven maksimal 8 kue/hari. Keuntungan kue A = Rp10.000, kue B = Rp15.000. Tentukan keuntungan maksimum!
Pembahasan:
Misalkan: x = jumlah kue A, y = jumlah kue B
Fungsi tujuan: f(x, y) = 10.000x + 15.000y → maks
Kendala:
x + 2y ≤ 12
x + y ≤ 8
x ≥ 0, y ≥ 0
Titik potong: x + 2y = 12 dan x + y = 8
Eliminasi: y = 4, x = 4
Titik pojok:
(0, 0) → 0
(8, 0) → 80.000
(4, 4) → 40.000 + 60.000 = 100.000
(0, 6) → 90.000
Keuntungan maksimum = Rp100.000 dengan membuat 4 kue A dan 4 kue B.
Contoh Soal 3 Mudah
Seorang penjahit membuat baju dan celana. Baju memerlukan 2 m kain dan celana 1,5 m kain. Kain tersedia 30 m. Waktu menjahit baju 3 jam dan celana 2 jam, waktu tersedia 36 jam. Keuntungan baju Rp40.000 dan celana Rp25.000. Tentukan keuntungan maksimum!
Pembahasan:
Misalkan: x = jumlah baju, y = jumlah celana
Fungsi tujuan: f(x, y) = 40.000x + 25.000y → maks
Kendala:
2x + 1,5y ≤ 30 → kali 2: 4x + 3y ≤ 60
3x + 2y ≤ 36
x ≥ 0, y ≥ 0
Titik potong: 4x + 3y = 60 dan 3x + 2y = 36
Dari persamaan kedua: kali 3 → 9x + 6y = 108
Dari persamaan pertama: kali 2 → 8x + 6y = 120
Eliminasi: −x = −12 → x = 12
Hmm, cek: 3(12) + 2y = 36 → y = 0. Titik (12, 0).
Coba lagi: 4x + 3y = 60 dan 3x + 2y = 36
Persamaan 1 × 2: 8x + 6y = 120
Persamaan 2 × 3: 9x + 6y = 108
Eliminasi: −x = 12 → x = −12 (tidak valid karena negatif)
Perbaikan: Persamaan 1 × 2: 8x + 6y = 120; Persamaan 2 × 3: 9x + 6y = 108
Selisih: 8x − 9x = 120 − 108 → −x = 12, ini salah. Mari gunakan metode substitusi.
Dari 3x + 2y = 36 → y = (36 − 3x)/2
Substitusi ke 4x + 3y = 60: 4x + 3(36 − 3x)/2 = 60
8x + 108 − 9x = 120 → −x = 12 → x = −12
Karena tidak ada titik potong valid di kuadran I, maka titik pojok hanya dari perpotongan garis dengan sumbu.
Titik pojok:
(0, 0) → 0
(12, 0) → 480.000
(0, 18) → Cek: 3(0)+2(18)=36 ≤ 36 ✓; 4(0)+3(18)=54 ≤ 60 ✓ → 25.000 × 18 = 450.000
(0, 20) → Cek: 4(0)+3(20)=60 ≤ 60 ✓; 3(0)+2(20)=40 > 36 ✗ (tidak memenuhi)
Keuntungan maksimum = Rp480.000 dengan membuat 12 baju dan 0 celana.
Contoh Soal 4 Mudah
Diketahui daerah layak dibatasi oleh: x + y ≤ 6, x + 2y ≤ 8, x ≥ 0, y ≥ 0. Tentukan nilai maksimum dari f(x, y) = 3x + 2y!
Pembahasan:
Titik potong: x + y = 6 dan x + 2y = 8
Eliminasi: y = 2, x = 4 → titik (4, 2)
Titik pojok:
(0, 0) → f = 0
(6, 0) → f = 18
(4, 2) → f = 12 + 4 = 16
(0, 4) → f = 8
Nilai maksimum f = 18 pada titik (6, 0).
Contoh Soal 5 Mudah
Suatu perusahaan memproduksi meja dan kursi. Setiap meja memerlukan 4 jam kerja dan setiap kursi 2 jam kerja. Jam kerja tersedia 40 jam/minggu. Kapasitas gudang maksimal 12 unit. Keuntungan meja Rp100.000, kursi Rp60.000. Berapa keuntungan maksimum?
Pembahasan:
Misalkan: x = meja, y = kursi
Fungsi tujuan: f = 100.000x + 60.000y → maks
Kendala:
4x + 2y ≤ 40 → 2x + y ≤ 20
x + y ≤ 12
x ≥ 0, y ≥ 0
Titik potong: 2x + y = 20 dan x + y = 12
Eliminasi: x = 8, y = 4
Titik pojok:
(0, 0) → 0
(10, 0) → 1.000.000
(8, 4) → 800.000 + 240.000 = 1.040.000
(0, 12) → 720.000
Keuntungan maksimum = Rp1.040.000 dengan memproduksi 8 meja dan 4 kursi.
Tingkat Sedang Sedang
Contoh Soal 6 Sedang
Sebuah perusahaan makanan memproduksi dua jenis snack: A dan B. Bahan baku X tersedia 240 kg, bahan baku Y tersedia 180 kg. Snack A memerlukan 4 kg X dan 2 kg Y per unit. Snack B memerlukan 3 kg X dan 3 kg Y per unit. Keuntungan A = Rp25.000/unit, B = Rp30.000/unit. Selain itu, pesanan minimum snack A adalah 10 unit. Tentukan keuntungan maksimum!
Pembahasan:
Misalkan: x = unit snack A, y = unit snack B
Fungsi tujuan: f = 25.000x + 30.000y → maks
Kendala:
4x + 3y ≤ 240
2x + 3y ≤ 180
x ≥ 10
y ≥ 0
Titik potong garis:
4x + 3y = 240 dan 2x + 3y = 180
Eliminasi: 2x = 60 → x = 30, y = 40
x = 10 dan 4x + 3y = 240: 40 + 3y = 240 → y = 200/3 ≈ 66,67
x = 10 dan 2x + 3y = 180: 20 + 3y = 180 → y = 160/3 ≈ 53,33
Titik pojok (bilangan bulat terdekat layak):
(10, 53) → cek: 4(10)+3(53)=199≤240 ✓; 2(10)+3(53)=179≤180 ✓ → f = 250.000 + 1.590.000 = 1.840.000
(30, 40) → cek: 4(30)+3(40)=240≤240 ✓; 2(30)+3(40)=180≤180 ✓ → f = 750.000 + 1.200.000 = 1.950.000
(60, 0) → cek: 4(60)=240≤240 ✓; 2(60)=120≤180 ✓ → f = 1.500.000
(10, 0) → f = 250.000
Keuntungan maksimum = Rp1.950.000 pada (30, 40).
Contoh Soal 7 Sedang
Sebuah apotek ingin membeli obat jenis P dan Q. Obat P harganya Rp5.000/unit dan obat Q Rp8.000/unit. Anggaran tersedia Rp400.000. Tempat penyimpanan maksimal 60 unit. Obat P minimal dibeli 10 unit dan obat Q minimal 20 unit. Keuntungan penjualan P = Rp2.000/unit, Q = Rp3.000/unit. Tentukan keuntungan maksimum!
Pembahasan:
Misalkan: x = obat P, y = obat Q
Fungsi tujuan: f = 2.000x + 3.000y → maks
Kendala:
5.000x + 8.000y ≤ 400.000 → 5x + 8y ≤ 400
x + y ≤ 60
x ≥ 10, y ≥ 20
Titik potong:
5x + 8y = 400 dan x + y = 60 → x = 60 − y
5(60 − y) + 8y = 400 → 300 − 5y + 8y = 400 → 3y = 100 → y = 100/3 ≈ 33,33
x = 60 − 33,33 = 26,67
Titik (26,67; 33,33) — gunakan sekitar (26, 33) atau (27, 33)
Titik lain: x = 10: 5(10)+8y ≤ 400 → y ≤ 43,75; 10+y ≤ 60 → y ≤ 50; maka y = 43
y = 20: 5x + 160 ≤ 400 → x ≤ 48; x + 20 ≤ 60 → x ≤ 40; maka x = 40
Titik pojok:
(10, 20) → f = 20.000 + 60.000 = 80.000
(40, 20) → f = 80.000 + 60.000 = 140.000
(10, 43) → cek: 5(10)+8(43)=394≤400 ✓; 10+43=53≤60 ✓ → f = 20.000 + 129.000 = 149.000
(27, 33) → cek: 5(27)+8(33)=135+264=399≤400 ✓; 27+33=60≤60 ✓ → f = 54.000 + 99.000 = 153.000
Keuntungan maksimum = Rp153.000 pada (27, 33).
Contoh Soal 8 Sedang
Seorang pengusaha katering menyediakan dua paket: paket hemat (H) dan paket premium (P). Bahan untuk paket H memerlukan 2 porsi nasi dan 1 porsi lauk. Paket P memerlukan 1 porsi nasi dan 2 porsi lauk. Stok nasi = 100 porsi, stok lauk = 80 porsi. Harga jual H = Rp15.000, P = Rp25.000. Biaya produksi H = Rp8.000, P = Rp12.000. Tentukan keuntungan maksimum!
Pembahasan:
Misalkan: x = paket H, y = paket P
Keuntungan H = 15.000 − 8.000 = 7.000; P = 25.000 − 12.000 = 13.000
Fungsi tujuan: f = 7.000x + 13.000y → maks
Kendala:
2x + y ≤ 100 (nasi)
x + 2y ≤ 80 (lauk)
x ≥ 0, y ≥ 0
Titik potong: 2x + y = 100 dan x + 2y = 80
Dari persamaan 1: y = 100 − 2x
Substitusi: x + 2(100 − 2x) = 80 → x + 200 − 4x = 80 → −3x = −120 → x = 40
y = 100 − 80 = 20
Titik pojok:
(0, 0) → 0
(50, 0) → 350.000
(40, 20) → 280.000 + 260.000 = 540.000
(0, 40) → 520.000
Keuntungan maksimum = Rp540.000 pada (40, 20).
Contoh Soal 9 Sedang
Sebuah perusahaan transportasi memiliki 2 jenis truk: truk kecil (kapasitas 4 ton, biaya Rp200.000/trip) dan truk besar (kapasitas 10 ton, biaya Rp450.000/trip). Perusahaan harus mengirim minimal 40 ton barang. Tersedia 5 truk kecil dan 4 truk besar. Tentukan biaya pengiriman minimum!
Pembahasan:
Misalkan: x = jumlah trip truk kecil, y = jumlah trip truk besar
Fungsi tujuan: f = 200.000x + 450.000y → minimum
Kendala:
4x + 10y ≥ 40 → 2x + 5y ≥ 20
x ≤ 5
y ≤ 4
x ≥ 0, y ≥ 0
Titik potong:
2x + 5y = 20 dan x = 5: 10 + 5y = 20 → y = 2 → titik (5, 2)
2x + 5y = 20 dan y = 4: 2x + 20 = 20 → x = 0 → titik (0, 4)
Titik pojok daerah layak (memenuhi semua kendala):
(5, 2) → f = 1.000.000 + 900.000 = 1.900.000
(5, 4) → f = 1.000.000 + 1.800.000 = 2.800.000
(0, 4) → f = 0 + 1.800.000 = 1.800.000
Biaya minimum = Rp1.800.000 dengan 0 trip truk kecil dan 4 trip truk besar.
Contoh Soal 10 Sedang
Seorang investor memiliki modal Rp100.000.000 untuk diinvestasikan pada saham A dan saham B. Saham A memberikan return 8%/tahun, saham B 12%/tahun. Untuk meminimalkan risiko, investasi di saham B tidak boleh lebih dari 60% total modal dan investasi di saham A minimal Rp20.000.000. Tentukan alokasi investasi agar return maksimum!
Pembahasan:
Misalkan: x = investasi saham A (juta), y = investasi saham B (juta)
Fungsi tujuan: f = 0,08x + 0,12y → maks (dalam juta rupiah)
Kendala:
x + y ≤ 100
y ≤ 60
x ≥ 20
y ≥ 0
Titik pojok:
(20, 0) → f = 1,6 juta
(100, 0) → f = 8 juta
(40, 60) → f = 3,2 + 7,2 = 10,4 juta
(20, 60) → f = 1,6 + 7,2 = 8,8 juta
Return maksimum = Rp10.400.000/tahun dengan investasi Rp40.000.000 di saham A dan Rp60.000.000 di saham B.
Tingkat Sulit Sulit
Contoh Soal 11 Sulit
Sebuah pabrik memproduksi 3 jenis produk, tetapi karena keterbatasan mesin, hanya 2 produk yang bisa diproduksi bersamaan: produk X dan Y. Mesin I tersedia 480 menit/hari, mesin II tersedia 400 menit/hari, mesin III tersedia 360 menit/hari. Produk X memerlukan mesin I = 6 menit, mesin II = 5 menit, mesin III = 4 menit. Produk Y memerlukan mesin I = 4 menit, mesin II = 5 menit, mesin III = 6 menit. Keuntungan X = Rp8.000, Y = Rp6.000. Tentukan keuntungan maksimum!
Pembahasan:
Misalkan: x = produk X, y = produk Y
Fungsi tujuan: f = 8.000x + 6.000y → maks
Kendala:
6x + 4y ≤ 480 → 3x + 2y ≤ 240 … (1)
5x + 5y ≤ 400 → x + y ≤ 80 … (2)
4x + 6y ≤ 360 → 2x + 3y ≤ 180 … (3)
x ≥ 0, y ≥ 0
Titik potong:
(1) dan (2): 3x + 2y = 240 dan x + y = 80 → y = 80 − x
3x + 2(80 − x) = 240 → 3x + 160 − 2x = 240 → x = 80, y = 0
Cek (3): 2(80) + 3(0) = 160 ≤ 180 ✓ → titik (80, 0)
(1) dan (3): 3x + 2y = 240 dan 2x + 3y = 180
Per. 1 × 3: 9x + 6y = 720; Per. 3 × 2: 4x + 6y = 360
Eliminasi: 5x = 360 → x = 72, y = (240 − 216)/2 = 12
Cek (2): 72 + 12 = 84 > 80 ✗ (tidak memenuhi)
(2) dan (3): x + y = 80 dan 2x + 3y = 180
2(80 − y) + 3y = 180 → 160 − 2y + 3y = 180 → y = 20, x = 60
Cek (1): 3(60) + 2(20) = 220 ≤ 240 ✓ → titik (60, 20)
Titik pojok:
(0, 0) → 0
(80, 0) → 640.000
(60, 20) → 480.000 + 120.000 = 600.000
(0, 60) → cek semua: (1) 120≤240 ✓; (2) 60≤80 ✓; (3) 180≤180 ✓ → 360.000
Keuntungan maksimum = Rp640.000 pada (80, 0).
Contoh Soal 12 Sulit
Sebuah peternakan memiliki 2 jenis pakan: pakan I dan pakan II. Setiap ekor sapi memerlukan minimal 12 unit protein, 10 unit karbohidrat, dan 8 unit lemak per hari. Pakan I mengandung 3 unit protein, 2 unit karbohidrat, dan 1 unit lemak per kg. Pakan II mengandung 2 unit protein, 2 unit karbohidrat, dan 4 unit lemak per kg. Harga pakan I = Rp5.000/kg, pakan II = Rp4.000/kg. Tentukan biaya pakan minimum per ekor sapi per hari!
Pembahasan:
Misalkan: x = kg pakan I, y = kg pakan II
Fungsi tujuan: f = 5.000x + 4.000y → minimum
Kendala:
3x + 2y ≥ 12 (protein)
2x + 2y ≥ 10 → x + y ≥ 5 (karbohidrat)
x + 4y ≥ 8 (lemak)
x ≥ 0, y ≥ 0
Titik potong:
(i) 3x + 2y = 12 dan x + y = 5: y = 5 − x → 3x + 2(5−x) = 12 → x = 2, y = 3
(ii) x + y = 5 dan x + 4y = 8: 3y = 3 → y = 1, x = 4
(iii) 3x + 2y = 12 dan x + 4y = 8: x = 8−4y → 3(8−4y)+2y = 12 → 24−12y+2y = 12 → y = 1,2; x = 3,2
Cek titik memenuhi SEMUA kendala:
(2, 3): protein: 12≥12 ✓; karbo: 5≥5 ✓; lemak: 2+12=14≥8 ✓ → f = 10.000 + 12.000 = 22.000
(4, 1): protein: 12+2=14≥12 ✓; karbo: 5≥5 ✓; lemak: 4+4=8≥8 ✓ → f = 20.000 + 4.000 = 24.000
(3,2; 1,2): protein: 9,6+2,4=12≥12 ✓; karbo: 4,4 < 5 ✗ (tidak memenuhi)
(0, 6): protein: 12≥12 ✓; karbo: 6≥5 ✓; lemak: 24≥8 ✓ → f = 24.000
(8, 0): protein: 24≥12 ✓; karbo: 8≥5 ✓; lemak: 8≥8 ✓ → f = 40.000
Biaya minimum = Rp22.000 pada (2, 3) — gunakan 2 kg pakan I dan 3 kg pakan II.
Contoh Soal 13 Sulit
Sebuah perusahaan furniture membuat lemari (L) dan meja rias (M). Proses produksi melalui 3 tahap: pemotongan, perakitan, dan pengecatan. Waktu yang dibutuhkan:
| Proses | Lemari (jam/unit) | Meja Rias (jam/unit) | Tersedia (jam/hari) |
|---|---|---|---|
| Pemotongan | 3 | 2 | 36 |
| Perakitan | 4 | 3 | 48 |
| Pengecatan | 2 | 4 | 40 |
Keuntungan lemari = Rp500.000, meja rias = Rp400.000. Tentukan keuntungan maksimum!
Pembahasan:
Misalkan: x = lemari, y = meja rias
Fungsi tujuan: f = 500.000x + 400.000y → maks
Kendala:
3x + 2y ≤ 36 … (1)
4x + 3y ≤ 48 … (2)
2x + 4y ≤ 40 → x + 2y ≤ 20 … (3)
x ≥ 0, y ≥ 0
Titik potong:
(1)&(2): 3x+2y=36 dan 4x+3y=48
Per.1×3: 9x+6y=108; Per.2×2: 8x+6y=96
x = 12, y = 0. Cek (3): 12+0=12≤20 ✓
(1)&(3): 3x+2y=36 dan x+2y=20
2x=16 → x=8, y=6. Cek (2): 4(8)+3(6)=50 > 48 ✗
(2)&(3): 4x+3y=48 dan x+2y=20 → x=20−2y
4(20−2y)+3y=48 → 80−8y+3y=48 → −5y=−32 → y=6,4; x=7,2
Cek (1): 3(7,2)+2(6,4)=21,6+12,8=34,4≤36 ✓ → titik (7,2; 6,4)
Titik pojok:
(0, 0) → 0
(12, 0) → 6.000.000
(7,2; 6,4) → 3.600.000 + 2.560.000 = 6.160.000
(0, 10) → cek: (1) 20≤36 ✓; (2) 30≤48 ✓; (3) 20≤20 ✓ → 4.000.000
Keuntungan maksimum = Rp6.160.000 pada titik (7,2; 6,4).
Catatan: Jika harus bilangan bulat, uji (7,6) dan (8,6): (7,6) → f=5.900.000 [cek semua ✓]; tetap Rp6.160.000 jika non-integer diizinkan.
Contoh Soal 14 Sulit
Sebuah rumah sakit memerlukan campuran dua jenis cairan infus: cairan A dan B. Setiap liter cairan A mengandung 5 unit glukosa, 3 unit natrium, dan 2 unit kalium. Setiap liter cairan B mengandung 2 unit glukosa, 4 unit natrium, dan 5 unit kalium. Pasien memerlukan minimal 20 unit glukosa, 24 unit natrium, dan 20 unit kalium per hari. Biaya cairan A = Rp50.000/liter, B = Rp40.000/liter. Tentukan biaya minimum!
Pembahasan:
Misalkan: x = liter cairan A, y = liter cairan B
Fungsi tujuan: f = 50.000x + 40.000y → minimum
Kendala:
5x + 2y ≥ 20 (glukosa)
3x + 4y ≥ 24 (natrium)
2x + 5y ≥ 20 (kalium)
x ≥ 0, y ≥ 0
Titik potong:
(i) 5x+2y=20 & 3x+4y=24: Per.1×2: 10x+4y=40; kurangi: 7x=16 → x=16/7≈2,29; y=(20−5(16/7))/2=(20−80/7)/2=60/14≈4,29
Cek kalium: 2(2,29)+5(4,29)=4,57+21,43=26≥20 ✓
(ii) 3x+4y=24 & 2x+5y=20: Per.1×5: 15x+20y=120; Per.2×4: 8x+20y=80
7x=40 → x=40/7≈5,71; y=(24−3(40/7))/4=(24−120/7)/4=48/28≈1,71
Cek glukosa: 5(5,71)+2(1,71)=28,57+3,43=32≥20 ✓
Titik pojok dan biaya:
(16/7, 30/7) ≈ (2,29; 4,29) → f = 50.000(16/7) + 40.000(30/7) = 800.000/7 + 1.200.000/7 = 2.000.000/7 ≈ 285.714
(40/7, 12/7) ≈ (5,71; 1,71) → f = 50.000(40/7) + 40.000(12/7) = 2.000.000/7 + 480.000/7 = 2.480.000/7 ≈ 354.286
(0, 10) → cek: glukosa 20≥20 ✓; natrium 40≥24 ✓; kalium 50≥20 ✓ → f = 400.000
(10, 0) → cek: glukosa 50≥20 ✓; natrium 30≥24 ✓; kalium 20≥20 ✓ → f = 500.000
Biaya minimum ≈ Rp285.714 pada titik (16/7, 30/7) liter.
Contoh Soal 15 Sulit
Sebuah perusahaan elektronik memproduksi TV dan radio. Setiap TV memerlukan 3 jam di bagian perakitan dan 1 jam di bagian finishing. Setiap radio memerlukan 1 jam di bagian perakitan dan 1 jam di bagian finishing. Bagian perakitan tersedia 120 jam/minggu, finishing 80 jam/minggu. Permintaan pasar: TV minimal 10 unit/minggu, radio minimal 20 unit/minggu. Total produksi tidak boleh lebih dari 60 unit/minggu. Keuntungan TV = Rp2.000.000, radio = Rp500.000. Tentukan keuntungan maksimum!
Pembahasan:
Misalkan: x = TV, y = radio
Fungsi tujuan: f = 2.000.000x + 500.000y → maks
Kendala:
3x + y ≤ 120 (perakitan)
x + y ≤ 80 (finishing)
x + y ≤ 60 (kapasitas total)
x ≥ 10, y ≥ 20
Karena x + y ≤ 60 lebih ketat dari x + y ≤ 80, kendala finishing tidak aktif.
Titik potong:
3x + y = 120 dan x + y = 60 → y = 60−x
3x + 60 − x = 120 → 2x = 60 → x = 30, y = 30
Cek: x≥10 ✓, y≥20 ✓
3x + y = 120 dan y = 20: 3x + 20 = 120 → x = 33,33
Cek: 33,33 + 20 = 53,33 ≤ 60 ✓
Titik pojok:
(10, 20) → f = 20.000.000 + 10.000.000 = 30.000.000
(10, 50) → cek: 3(10)+50=80≤120 ✓; 10+50=60≤60 ✓ → f = 20.000.000 + 25.000.000 = 45.000.000
(30, 30) → cek: 3(30)+30=120≤120 ✓; 30+30=60≤60 ✓ → f = 60.000.000 + 15.000.000 = 75.000.000
(33, 20) → cek: 3(33)+20=119≤120 ✓; 33+20=53≤60 ✓ → f = 66.000.000 + 10.000.000 = 76.000.000
Keuntungan maksimum = Rp76.000.000 pada (33, 20) — produksi 33 TV dan 20 radio per minggu.
🏋️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri!
Tingkat Mudah Mudah
1.
Seorang pedagang menjual nasi goreng dan mie goreng. Modal untuk nasi goreng Rp8.000/porsi dan mie goreng Rp6.000/porsi. Modal tersedia Rp480.000. Ia hanya bisa menyiapkan maksimal 70 porsi/hari. Keuntungan nasi goreng Rp4.000/porsi dan mie goreng Rp3.000/porsi. Tentukan keuntungan maksimum!
2.
Diketahui daerah layak dibatasi oleh: 2x + y ≤ 14, x + 2y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0. Tentukan nilai maksimum dari f(x, y) = 4x + 3y!
3.
Sebuah toko bunga membuat 2 jenis rangkaian: tipe A dan tipe B. Tipe A memerlukan 3 mawar dan 2 lily. Tipe B memerlukan 2 mawar dan 4 lily. Stok mawar = 24 tangkai, lily = 28 tangkai. Keuntungan tipe A = Rp30.000, tipe B = Rp40.000. Tentukan keuntungan maksimum!
4.
Seorang pembuat kue membuat brownies dan bolu. Brownies memerlukan 200g tepung dan 100g coklat. Bolu memerlukan 300g tepung dan 50g coklat. Tepung tersedia 3 kg, coklat 800g. Keuntungan brownies Rp15.000 dan bolu Rp12.000. Tentukan keuntungan maksimum!
5.
Diketahui kendala: x + y ≤ 8, 2x + y ≤ 12, x ≥ 0, y ≥ 0. Tentukan nilai minimum dari f(x, y) = x + 3y pada daerah layak (selain titik asal)!
Tingkat Sedang Sedang
6.
Sebuah perusahaan konveksi memproduksi kemeja dan kaos. Kemeja memerlukan 2 m kain katun dan 1 m kain polyester. Kaos memerlukan 1 m kain katun dan 1,5 m kain polyester. Kain katun tersedia 80 m, polyester 75 m. Waktu produksi kemeja 3 jam, kaos 2 jam, waktu tersedia 120 jam. Keuntungan kemeja Rp35.000, kaos Rp25.000. Tentukan keuntungan maksimum!
7.
Seorang peternak ingin membeli kambing dan sapi. Harga kambing Rp3.000.000/ekor, sapi Rp15.000.000/ekor. Modal Rp90.000.000. Lahan kandang cukup untuk 20 ekor (kambing dan sapi). Minimal harus ada 5 sapi. Keuntungan kambing Rp500.000/ekor, sapi Rp2.000.000/ekor. Tentukan keuntungan maksimum!
8.
Sebuah perusahaan minuman membuat jus jeruk dan jus apel. Jus jeruk memerlukan 3 kg jeruk dan 1 kg gula per galon. Jus apel memerlukan 2 kg apel dan 2 kg gula per galon. Stok jeruk 60 kg, apel 40 kg, gula 30 kg. Keuntungan jus jeruk Rp20.000/galon, jus apel Rp25.000/galon. Minimal harus diproduksi 5 galon jus jeruk. Tentukan keuntungan maksimum!
9.
Sebuah gudang harus mengirim barang ke 2 toko menggunakan truk A (kapasitas 6 ton, biaya Rp300.000/trip) dan truk B (kapasitas 8 ton, biaya Rp500.000/trip). Total barang 48 ton. Truk A bisa beroperasi maksimal 6 trip, truk B maksimal 5 trip. Tentukan biaya minimum pengiriman!
10.
Seorang ahli gizi menyusun menu diet menggunakan makanan P dan Q. Makanan P mengandung 3 unit vitamin A, 2 unit vitamin B, biaya Rp6.000/porsi. Makanan Q mengandung 1 unit vitamin A, 4 unit vitamin B, biaya Rp8.000/porsi. Kebutuhan minimal: vitamin A = 9 unit, vitamin B = 12 unit per hari. Tentukan biaya minimum per hari!
Tingkat Sulit Sulit
11.
Sebuah pabrik mainan memproduksi boneka dan mobil-mobilan melalui 3 proses: pembentukan (mesin A), pewarnaan (mesin B), dan pengemasan (mesin C). Boneka memerlukan: 2 menit di A, 3 menit di B, 1 menit di C. Mobil-mobilan memerlukan: 4 menit di A, 2 menit di B, 3 menit di C. Mesin A tersedia 240 menit, B tersedia 270 menit, C tersedia 180 menit per hari. Keuntungan boneka Rp5.000, mobil-mobilan Rp7.000. Tentukan keuntungan maksimum!
12.
Sebuah perusahaan farmasi mencampur 2 bahan (X dan Y) untuk membuat obat. Setiap gram bahan X mengandung 5 unit zat A, 1 unit zat B, 3 unit zat C. Setiap gram bahan Y mengandung 2 unit zat A, 3 unit zat B, 2 unit zat C. Kebutuhan minimal: zat A = 30 unit, zat B = 15 unit, zat C = 18 unit. Bahan X harganya Rp10.000/gram, bahan Y Rp8.000/gram. Selain itu, bahan X tidak boleh lebih dari 8 gram. Tentukan biaya produksi minimum!
13.
Seorang pengusaha memiliki 2 mesin cetak: mesin lama dan mesin baru. Mesin lama mampu mencetak 200 eksemplar/jam dengan biaya Rp50.000/jam. Mesin baru mampu mencetak 500 eksemplar/jam dengan biaya Rp120.000/jam. Pesanan yang harus diselesaikan: 4.000 eksemplar. Mesin lama tersedia maksimal 12 jam, mesin baru maksimal 6 jam. Minimal mesin lama harus digunakan 4 jam (kontrak perawatan). Tentukan biaya cetak minimum!
14.
Sebuah perusahaan pengiriman memiliki 2 jenis paket layanan: ekspres dan reguler. Paket ekspres memerlukan 5 menit pemrosesan dan 3 menit verifikasi. Paket reguler memerlukan 2 menit pemrosesan dan 4 menit verifikasi. Waktu pemrosesan tersedia 300 menit, verifikasi 240 menit. Target minimal: 20 paket ekspres dan 30 paket reguler. Total paket tidak lebih dari 80. Keuntungan ekspres Rp15.000, reguler Rp8.000. Tentukan keuntungan maksimum!
15.
Sebuah lembaga kursus menawarkan kelas privat dan kelas grup. Kelas privat memerlukan 2 jam pengajar dan 1 ruangan kecil. Kelas grup memerlukan 3 jam pengajar dan 1 ruangan besar. Tersedia 36 jam pengajar/minggu, 8 ruangan kecil, dan 6 ruangan besar. Pendapatan kelas privat Rp200.000/sesi, grup Rp350.000/sesi. Biaya operasional privat Rp50.000, grup Rp100.000. Kelas grup minimal 3 sesi/minggu. Tentukan keuntungan bersih maksimum per minggu!