Matematika SMA/MA/SMK/MAK
Pengertian Lawan Suatu Matriks dalam Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Memahami konsep lawan (negatif) suatu matriks serta penerapannya dalam operasi penjumlahan dan pengurangan matriks.
Materi: Lawan Suatu Matriks
Kegiatan: Mengamati
Perhatikan matriks berikut:
Sekarang, perhatikan matriks berikut:
Amati hubungan antara elemen-elemen matriks A dan matriks B. Setiap elemen matriks B merupakan negatif dari elemen yang bersesuaian pada matriks A. Matriks B disebut lawan dari matriks A.
Kegiatan: Menanya
- Apa yang dimaksud dengan lawan suatu matriks?
- Bagaimana cara menentukan lawan suatu matriks?
- Apa hubungan antara suatu matriks dengan lawannya dalam operasi penjumlahan?
- Bagaimana peran lawan matriks dalam operasi pengurangan matriks?
Kegiatan: Menalar
Definisi Lawan Suatu Matriks
Jika A adalah suatu matriks, maka lawan dari matriks A (ditulis −A) adalah matriks yang setiap elemennya merupakan negatif dari elemen yang bersesuaian pada matriks A.
Secara matematis, jika:
maka lawan dari matriks A adalah:
Sifat Utama Lawan Matriks
Jika matriks A dijumlahkan dengan lawannya (−A), maka hasilnya adalah matriks nol (O):
Matriks nol (O) adalah matriks yang semua elemennya bernilai 0.
Hubungan Lawan Matriks dengan Pengurangan Matriks
Pengurangan matriks A − B pada hakikatnya sama dengan penjumlahan matriks A dengan lawan matriks B:
Artinya, mengurangkan suatu matriks sama dengan menjumlahkan dengan lawan matriks tersebut.
Sifat-Sifat Lawan Matriks
- −(−A) = A → Lawan dari lawan suatu matriks adalah matriks itu sendiri.
- −(A + B) = (−A) + (−B) → Lawan dari jumlah dua matriks sama dengan jumlah lawan masing-masing matriks.
- −(kA) = k(−A) = (−k)A → Lawan dari skalar kali matriks.
- A + (−A) = O → Suatu matriks dijumlahkan dengan lawannya menghasilkan matriks nol.
Kegiatan: Mencoba
Tentukan lawan dari matriks-matriks berikut, kemudian buktikan bahwa A + (−A) = O:
1. A =
2. B =
Kegiatan: Mengkomunikasikan
Diskusikan dan jelaskan kepada teman:
- Mengapa A − B = A + (−B)? Jelaskan dengan kata-katamu sendiri.
- Berikan contoh dalam kehidupan sehari-hari yang menggambarkan konsep lawan (misalnya: untung dan rugi, naik dan turun).
- Apakah lawan dari matriks nol? Jelaskan alasanmu.
Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh 1:
Tentukan lawan dari matriks A berikut:
Pembahasan:
Lawan matriks A diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan −1.
Penjelasan: elemen 2 menjadi −2, elemen 5 menjadi −5, elemen −3 menjadi 3, dan elemen 1 menjadi −1.
Contoh 2:
Tentukan lawan dari matriks B berikut:
Pembahasan:
Kalikan setiap elemen dengan −1:
Catatan: −(0) = 0, −(−4) = 4, −(7) = −7, −(−6) = 6.
Contoh 3:
Buktikan bahwa A + (−A) = O untuk matriks:
Pembahasan:
Langkah 1: Tentukan −A
Langkah 2: Jumlahkan A + (−A)
Terbukti bahwa A + (−A) = O (matriks nol).
Contoh 4:
Tentukan lawan dari matriks C berikut:
Pembahasan:
Setiap elemen dikalikan −1: −(1)=−1, −(0)=0, −(−2)=2.
Contoh 5:
Jika diketahui:
Tentukan −P.
Pembahasan:
Semua elemen bernilai 5 menjadi −5.
Tingkat Sedang
Contoh 6:
Hitunglah A − B menggunakan konsep lawan matriks, jika:
Pembahasan:
Langkah 1: Tentukan −B
Langkah 2: Hitung A + (−B)
Contoh 7:
Tentukan −(−A) jika:
Pembahasan:
Langkah 1: Tentukan −A
Langkah 2: Tentukan −(−A) = kalikan setiap elemen −A dengan −1
Terbukti bahwa −(−A) = A.
Contoh 8:
Buktikan bahwa −(A + B) = (−A) + (−B) untuk:
Pembahasan:
Ruas kiri: −(A + B)
Ruas kanan: (−A) + (−B)
Karena ruas kiri = ruas kanan, maka terbukti −(A + B) = (−A) + (−B). ✓
Contoh 9:
Jika A − B = C, tentukan matriks B jika diketahui:
Pembahasan:
A − B = C, maka B = A − C = A + (−C)
Contoh 10:
Hitunglah 2A − 3B menggunakan konsep lawan matriks, jika:
Pembahasan:
Langkah 1: Hitung 2A
Langkah 2: Hitung 3B
Langkah 3: Tentukan −(3B)
Langkah 4: Hitung 2A + (−3B)
Tingkat Sulit
Contoh 11:
Tentukan matriks X jika diketahui:
Pembahasan:
X + A = B, maka X = B − A = B + (−A)
Langkah 1: Tentukan −A (lawan matriks yang ditambahkan)
Langkah 2: X = B + (−A)
Contoh 12:
Tentukan matriks X jika:
Pembahasan:
3X − A = B → 3X = B + A (tambahkan A di kedua ruas, artinya tambahkan lawan dari −A yaitu A itu sendiri)
Bagi kedua ruas dengan 3:
Contoh 13:
Tentukan matriks X dan Y jika diketahui:
Pembahasan:
Jumlahkan kedua persamaan: (X+Y) + (X−Y) = (X+Y) + (X+(−Y))
Kurangkan persamaan: (X+Y) − (X−Y) = (X+Y) + (−X+Y) = 2Y
Contoh 14:
Tentukan lawan dari matriks (2A − 3B) jika:
Pembahasan:
Langkah 1: Hitung 2A
Langkah 2: Hitung 3B
Langkah 3: 2A − 3B = 2A + (−3B)
Langkah 4: Lawan dari (2A − 3B) = −(2A − 3B)
Contoh 15:
Jika A + B − C = D, tentukan matriks C jika:
Pembahasan:
A + B − C = D → C = A + B − D = A + B + (−D)
Langkah 1: Hitung A + B
Langkah 2: Tentukan −D
Langkah 3: C = (A + B) + (−D)
Latihan Soal
Tingkat Mudah
1.
Tentukan lawan dari matriks:
2.
Tentukan lawan dari matriks:
3.
Tentukan lawan dari matriks:
4.
Buktikan bahwa B + (−B) = O untuk:
5.
Tentukan lawan dari matriks:
Tingkat Sedang
6.
Hitunglah A − B menggunakan konsep lawan matriks:
7.
Buktikan bahwa −(A + B) = (−A) + (−B) untuk:
8.
Hitunglah 3A − 2B:
9.
Jika A − B = C, tentukan B jika:
10.
Tentukan −(−(−A)) jika:
Tingkat Sulit
11.
Tentukan matriks X jika:
12.
Tentukan matriks X dan Y jika:
13.
Tentukan lawan dari matriks (3A − 2B + C) jika:
14.
Tentukan matriks X jika:
15.
Jika A − B + C − D = O (matriks nol), tentukan D jika: