Vektor Satuan pada Bidang
Materi Matematika — Vektor di Bidang (ℝ²)
1. Pengertian Vektor Satuan
👁 MengamatiPerhatikan ilustrasi berikut. Bayangkan sebuah vektor sebagai anak panah yang memiliki panjang (besar) dan arah. Vektor satuan adalah vektor istimewa yang panjangnya tepat 1 satuan.
Pertanyaan kunci:
- Apa yang dimaksud dengan vektor satuan?
- Bagaimana cara mengetahui apakah suatu vektor merupakan vektor satuan?
Definisi:
Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang (magnitudo) = 1.
Jika vektor 𝐚 memiliki panjang |𝐚| = 1, maka 𝐚 disebut vektor satuan.
Notasi vektor satuan: â (dibaca: “a-topi” atau “a-hat”).
Untuk vektor 𝐚 = (a₁, a₂) di bidang ℝ², panjangnya:
Vektor 𝐚 adalah vektor satuan jika dan hanya jika:
Coba periksa: Apakah vektor berikut merupakan vektor satuan?
| Vektor | |𝐯| | Vektor Satuan? |
|---|---|---|
| (1, 0) | √(1+0) = 1 | ✅ Ya |
| (0, 1) | √(0+1) = 1 | ✅ Ya |
| (3, 4) | √(9+16) = 5 | ❌ Tidak |
| (³⁄₅, ⁴⁄₅) | √(⁹⁄₂₅+¹⁶⁄₂₅) = 1 | ✅ Ya |
| (½√2, ½√2) | √(½+½) = 1 | ✅ Ya |
Kesimpulan: Vektor satuan adalah vektor dengan panjang tepat 1 satuan. Untuk memeriksa apakah suatu vektor adalah vektor satuan, hitung panjangnya menggunakan rumus |𝐚| = √(a₁² + a₂²). Jika hasilnya 1, maka vektor tersebut adalah vektor satuan.
2. Vektor Satuan Standar (𝐢̂ dan 𝐣̂)
👁 MengamatiPada bidang ℝ², terdapat dua vektor satuan yang sangat penting dan menjadi dasar bagi semua vektor lainnya. Kedua vektor ini disebut vektor satuan standar.
Vektor Satuan Standar pada Bidang ℝ²:
| Simbol | Komponen | Arah | Panjang |
|---|---|---|---|
| 𝐢̂ | (1, 0) | Sumbu-x positif → | 1 |
| 𝐣̂ | (0, 1) | Sumbu-y positif ↑ | 1 |
Sifat-sifat penting:
- 𝐢̂ tegak lurus terhadap 𝐣̂
- |𝐢̂| = |𝐣̂| = 1
- Setiap vektor pada bidang dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari 𝐢̂ dan 𝐣̂
Penulisan vektor menggunakan vektor satuan standar:
Latihan konversi:
| Bentuk Komponen | Bentuk Vektor Satuan |
|---|---|
| (3, 4) | 3𝐢̂ + 4𝐣̂ |
| (−2, 5) | −2𝐢̂ + 5𝐣̂ |
| (0, −7) | −7𝐣̂ |
| (6, 0) | 6𝐢̂ |
Kesimpulan: Vektor satuan standar 𝐢̂ = (1,0) dan 𝐣̂ = (0,1) adalah dasar untuk menyatakan setiap vektor di bidang. Vektor 𝐚 = (a₁, a₂) dapat ditulis sebagai a₁𝐢̂ + a₂𝐣̂.
3. Menentukan Vektor Satuan dari Suatu Vektor
👁 MengamatiSetiap vektor yang bukan vektor nol dapat “dinormalisasi” menjadi vektor satuan. Proses ini menghasilkan vektor baru yang searah dengan vektor asli tetapi panjangnya tepat 1.
Pertanyaan kunci: Bagaimana cara mengubah vektor sembarang menjadi vektor satuan yang searah?
Rumus Vektor Satuan:
â = 𝐚|𝐚| = 1|𝐚| · 𝐚
Jika 𝐚 = (a₁, a₂), maka:
Langkah-langkah menentukan vektor satuan:
- Hitung panjang vektor: |𝐚| = √(a₁² + a₂²)
- Bagi setiap komponen dengan panjang: â = (a₁/|𝐚|, a₂/|𝐚|)
- Verifikasi: Pastikan |â| = 1
⚠ Catatan Penting:
- Vektor nol 𝟎 = (0,0) tidak memiliki vektor satuan karena panjangnya 0 (tidak bisa membagi dengan 0).
- Vektor satuan â memiliki arah yang sama dengan vektor asli 𝐚.
Contoh langkah demi langkah:
Tentukan vektor satuan dari 𝐚 = (3, 4)
Langkah 1: |𝐚| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Langkah 2: â = (3/5, 4/5) = (0,6 ; 0,8)
Langkah 3 (Verifikasi): |â| = √(0,6² + 0,8²) = √(0,36 + 0,64) = √1 = 1 ✅
Dalam vektor satuan standar: â = ³⁄₅ 𝐢̂ + ⁴⁄₅ 𝐣̂
Kesimpulan: Untuk menentukan vektor satuan dari vektor 𝐚, bagi vektor tersebut dengan panjangnya: â = 𝐚/|𝐚|. Vektor satuan searah dengan vektor asli dan memiliki panjang 1.
4. Representasi Vektor dalam Vektor Satuan
👁 MengamatiSetiap vektor pada bidang dapat dinyatakan secara unik sebagai kombinasi linear dari vektor satuan standar.
Representasi Vektor:
dimana:
- a₁ = komponen-x (proyeksi pada sumbu-x)
- a₂ = komponen-y (proyeksi pada sumbu-y)
- a₁𝐢̂ = komponen vektor arah-x
- a₂𝐣̂ = komponen vektor arah-y
Operasi vektor dalam bentuk vektor satuan:
Penjumlahan:
(a₁𝐢̂ + a₂𝐣̂) + (b₁𝐢̂ + b₂𝐣̂) = (a₁+b₁)𝐢̂ + (a₂+b₂)𝐣̂
Perkalian Skalar:
k(a₁𝐢̂ + a₂𝐣̂) = ka₁𝐢̂ + ka₂𝐣̂
Panjang:
|a₁𝐢̂ + a₂𝐣̂| = √(a₁² + a₂²)
Kesimpulan: Setiap vektor di bidang adalah jumlah dari komponen-x (kelipatan 𝐢̂) dan komponen-y (kelipatan 𝐣̂). Bentuk ini memudahkan operasi vektor karena kita cukup mengoperasikan komponen yang bersesuaian.
5. Aplikasi Vektor Satuan pada Bidang
👁 MengamatiVektor satuan sangat berguna dalam berbagai konteks, terutama saat kita perlu mengetahui arah tanpa mempedulikan besar. Berikut beberapa aplikasinya:
a) Vektor Satuan dengan Sudut Arah
Vektor satuan yang membuat sudut θ terhadap sumbu-x positif:
Verifikasi: |ê| = √(cos²θ + sin²θ) = √1 = 1 ✅
b) Menentukan Arah Vektor
Vektor satuan menunjukkan arah murni dari suatu vektor. Setiap vektor dapat ditulis sebagai:
artinya: vektor = panjang × arah
| Sudut θ | cos θ | sin θ | Vektor Satuan ê |
|---|---|---|---|
| 0° | 1 | 0 | (1, 0) = 𝐢̂ |
| 30° | ½√3 | ½ | (½√3, ½) |
| 45° | ½√2 | ½√2 | (½√2, ½√2) |
| 60° | ½ | ½√3 | (½, ½√3) |
| 90° | 0 | 1 | (0, 1) = 𝐣̂ |
Kesimpulan: Vektor satuan dengan sudut θ ditulis ê = (cos θ, sin θ). Setiap vektor dapat didekomposisi menjadi 𝐚 = |𝐚| · â, yaitu perkalian antara panjang dan arahnya.
📝 Contoh Soal & Pembahasan
Mudah Contoh Soal Tingkat Mudah
1. Tentukan vektor satuan dari vektor 𝐚 = (3, 4)!
Pembahasan:
|𝐚| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
â = 𝐚/|𝐚| = (3/5, 4/5) = (0,6 ; 0,8)
Dalam vektor satuan standar: â = ³⁄₅ 𝐢̂ + ⁴⁄₅ 𝐣̂
Verifikasi: |â| = √(0,36 + 0,64) = √1 = 1 ✅
2. Nyatakan vektor 𝐛 = (−2, 5) dalam bentuk vektor satuan standar!
Pembahasan:
𝐛 = (−2, 5) = −2𝐢̂ + 5𝐣̂
Jadi 𝐛 = −2𝐢̂ + 5𝐣̂
3. Apakah vektor 𝐜 = (⁴⁄₅, ³⁄₅) merupakan vektor satuan?
Pembahasan:
|𝐜| = √((⁴⁄₅)² + (³⁄₅)²) = √(¹⁶⁄₂₅ + ⁹⁄₂₅) = √(²⁵⁄₂₅) = √1 = 1
Karena |𝐜| = 1, maka 𝐜 adalah vektor satuan. ✅
4. Tentukan panjang vektor 𝐝 = 5𝐢̂ − 12𝐣̂!
Pembahasan:
𝐝 = (5, −12)
|𝐝| = √(5² + (−12)²) = √(25 + 144) = √169 = 13
Jadi |𝐝| = 13
5. Tentukan vektor satuan yang searah dengan sumbu-y negatif!
Pembahasan:
Arah sumbu-y negatif = (0, −1)
|𝐯| = √(0² + (−1)²) = √1 = 1
Vektor ini sudah merupakan vektor satuan: ê = −𝐣̂ = (0, −1)
Sedang Contoh Soal Tingkat Sedang
1. Tentukan vektor satuan dari 𝐚 = (1, −√3), lalu nyatakan dalam bentuk 𝐢̂ dan 𝐣̂!
Pembahasan:
|𝐚| = √(1² + (−√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2
â = (1/2, −√3/2) = ½𝐢̂ − (√3/2)𝐣̂
Verifikasi: |â| = √((½)² + (√3/2)²) = √(¼ + ¾) = √1 = 1 ✅
2. Tentukan vektor satuan yang membuat sudut 120° terhadap sumbu-x positif!
Pembahasan:
ê = (cos 120°, sin 120°)
cos 120° = −½, sin 120° = ½√3
ê = (−½, ½√3) = −½𝐢̂ + (½√3)𝐣̂
Verifikasi: |ê| = √(¼ + ¾) = 1 ✅
3. Diketahui 𝐩 = 2𝐢̂ + t𝐣̂ adalah vektor satuan. Tentukan nilai t (t > 0)!
Pembahasan:
Karena 𝐩 vektor satuan, maka |𝐩| = 1
Tunggu, 𝐩 = 2𝐢̂ + t𝐣̂ → |𝐩| = √(4 + t²)
Tapi √(4 + t²) ≥ √4 = 2 > 1 untuk sembarang t.
Jadi tidak ada nilai t yang membuat 𝐩 = 2𝐢̂ + t𝐣̂ menjadi vektor satuan.
Koreksi soal: Jika 𝐩 = (²⁄₅)𝐢̂ + t𝐣̂ adalah vektor satuan, maka:
Hmm, mari kita gunakan soal yang benar:
Soal yang tepat: 𝐩 = a𝐢̂ + t𝐣̂ dimana a² + t² = 1, misal a = ³⁄₅:
(³⁄₅)² + t² = 1 → ⁹⁄₂₅ + t² = 1 → t² = ¹⁶⁄₂₅ → t = ⁴⁄₅
Jadi t = ⁴⁄₅
4. Vektor 𝐚 = 6𝐢̂ − 8𝐣̂. Tentukan vektor satuan yang berlawanan arah dengan 𝐚!
Pembahasan:
|𝐚| = √(36 + 64) = √100 = 10
â (searah) = (6/10, −8/10) = (³⁄₅, −⁴⁄₅)
Vektor satuan berlawanan arah = −â = (−³⁄₅, ⁴⁄₅) = −³⁄₅ 𝐢̂ + ⁴⁄₅ 𝐣̂
Verifikasi: |−â| = √(⁹⁄₂₅ + ¹⁶⁄₂₅) = 1 ✅
5. Jika 𝐩 = 2𝐢̂ + 3𝐣̂ dan 𝐪 = 4𝐢̂ − 𝐣̂, tentukan vektor satuan dari 𝐩 + 𝐪!
Pembahasan:
𝐩 + 𝐪 = (2+4)𝐢̂ + (3+(−1))𝐣̂ = 6𝐢̂ + 2𝐣̂
|𝐩 + 𝐪| = √(36 + 4) = √40 = 2√10
Vektor satuan = (6/(2√10), 2/(2√10)) = (3/√10, 1/√10)
= (3√10/10, √10/10)
= (3√10/10)𝐢̂ + (√10/10)𝐣̂
Sulit Contoh Soal Tingkat Sulit
1. Tentukan dua vektor satuan yang tegak lurus terhadap vektor 𝐚 = 3𝐢̂ + 4𝐣̂!
Pembahasan:
Vektor yang tegak lurus terhadap (3, 4) adalah (−4, 3) dan (4, −3).
(Diperoleh dengan menukar komponen dan mengubah salah satu tanda)
|(−4, 3)| = √(16 + 9) = √25 = 5
Vektor satuan pertama: ê₁ = (−4/5, 3/5) = −⁴⁄₅ 𝐢̂ + ³⁄₅ 𝐣̂
Vektor satuan kedua: ê₂ = (4/5, −3/5) = ⁴⁄₅ 𝐢̂ − ³⁄₅ 𝐣̂
Verifikasi tegak lurus (dot product = 0):
𝐚 · ê₁ = 3(−4/5) + 4(3/5) = −12/5 + 12/5 = 0 ✅
2. Vektor 𝐯 memiliki panjang 10 dan membuat sudut 150° terhadap sumbu-x positif. Nyatakan 𝐯 dalam bentuk vektor satuan standar!
Pembahasan:
𝐯 = |𝐯| · ê = 10(cos 150°, sin 150°)
cos 150° = −½√3, sin 150° = ½
𝐯 = 10(−½√3, ½) = (−5√3, 5)
𝐯 = −5√3 𝐢̂ + 5𝐣̂
Verifikasi: |𝐯| = √(75 + 25) = √100 = 10 ✅
3. Diketahui 𝐚 = 𝐢̂ + 2𝐣̂ dan 𝐛 = 3𝐢̂ − 𝐣̂. Tentukan vektor satuan dari 2𝐚 − 𝐛!
Pembahasan:
2𝐚 = 2(1, 2) = (2, 4)
2𝐚 − 𝐛 = (2, 4) − (3, −1) = (2−3, 4−(−1)) = (−1, 5)
|2𝐚 − 𝐛| = √(1 + 25) = √26
Vektor satuan = (−1/√26, 5/√26) = (−√26/26, 5√26/26)
= (−√26/26)𝐢̂ + (5√26/26)𝐣̂
4. Tentukan nilai m agar vektor 𝐮 = (m, m+1) menjadi vektor satuan (m > 0)!
Pembahasan:
Syarat vektor satuan: |𝐮| = 1
m² + (m+1)² = 1
m² + m² + 2m + 1 = 1
2m² + 2m = 0
2m(m + 1) = 0
m = 0 atau m = −1
Karena m > 0, tidak ada nilai m > 0 yang memenuhi.
Jika syarat diubah m ≥ 0: m = 0, sehingga 𝐮 = (0, 1) = 𝐣̂.
Jika tanpa batasan: m = −1, 𝐮 = (−1, 0) = −𝐢̂.
5. Titik A(1, 3) dan B(4, 7). Tentukan vektor satuan dari AB dan sudut yang dibentuk terhadap sumbu-x positif!
Pembahasan:
AB = B − A = (4−1, 7−3) = (3, 4)
|AB| = √(9 + 16) = 5
Vektor satuan: ê = (3/5, 4/5) = ³⁄₅ 𝐢̂ + ⁴⁄₅ 𝐣̂
Sudut:
cos θ = 3/5 = 0,6 → θ = arccos(0,6) ≈ 53,13°
sin θ = 4/5 = 0,8 → θ = arcsin(0,8) ≈ 53,13°
Atau: tan θ = 4/3 → θ = arctan(4/3) ≈ 53,13°
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Gunakan rumus-rumus yang telah dipelajari!
Mudah
1. Tentukan vektor satuan dari vektor 𝐚 = (5, 12)!
2. Nyatakan vektor 𝐛 = (−3, 7) dalam bentuk vektor satuan standar (𝐢̂ dan 𝐣̂)!
3. Apakah vektor 𝐜 = (½, ½√3) merupakan vektor satuan? Buktikan!
4. Tentukan panjang vektor 𝐝 = −8𝐢̂ + 15𝐣̂!
5. Tentukan vektor satuan yang searah dengan sumbu-x negatif!
Sedang
1. Tentukan vektor satuan dari 𝐚 = (−2, 2√3) dan nyatakan dalam bentuk 𝐢̂ dan 𝐣̂!
2. Tentukan vektor satuan yang membuat sudut 225° terhadap sumbu-x positif!
3. Jika 𝐩 = (³⁄₅)𝐢̂ + t𝐣̂ adalah vektor satuan dan t > 0, tentukan nilai t!
4. Diketahui 𝐮 = 𝐢̂ + 3𝐣̂ dan 𝐯 = −2𝐢̂ + 𝐣̂. Tentukan vektor satuan dari 𝐮 + 𝐯!
5. Vektor satuan yang berlawanan arah dengan 𝐚 = 8𝐢̂ + 6𝐣̂ adalah…
Sulit
1. Tentukan dua vektor satuan yang tegak lurus terhadap vektor 𝐯 = 5𝐢̂ + 12𝐣̂!
2. Vektor 𝐰 memiliki panjang 8 dan membuat sudut 210° terhadap sumbu-x positif. Nyatakan 𝐰 dalam bentuk vektor satuan standar!
3. Diketahui 𝐚 = 2𝐢̂ − 𝐣̂ dan 𝐛 = 𝐢̂ + 3𝐣̂. Tentukan vektor satuan dari 3𝐚 + 2𝐛!
4. Tentukan semua nilai k agar vektor 𝐮 = (k, 1−k²) menjadi vektor satuan!
5. Titik P(−2, 1) dan Q(6, 7). Tentukan vektor satuan dari PQ dan sudut yang dibentuk terhadap sumbu-x positif!