Perkalian Skalar Dua Vektor pada Bidang
Materi Matematika Peminatan Kelas X / XI
1. Pengertian Perkalian Skalar (Dot Product)
🔍 Mengamati: Perhatikan dua buah vektor pada bidang datar. Ketika kedua vektor ini “dikalikan” secara skalar, hasilnya bukan vektor melainkan bilangan real (skalar).
Perkalian skalar (dot product / inner product) dua vektor adalah operasi yang menghasilkan suatu bilangan real (skalar) dari dua buah vektor.
Jika a = (a₁, a₂) dan b = (b₁, b₂) adalah dua vektor pada bidang ℝ², maka perkalian skalar didefinisikan sebagai:
Definisi Aljabar:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂
a · b = a₁b₁ + a₂b₂
Definisi Geometris:
a · b = |a| · |b| · cos θ
dengan θ adalah sudut antara vektor a dan b (0° ≤ θ ≤ 180°)
a · b = |a| · |b| · cos θ
dengan θ adalah sudut antara vektor a dan b (0° ≤ θ ≤ 180°)
Gambar: Sudut θ antara vektor a dan b
❓ Menanya: Mengapa hasil perkalian skalar berupa bilangan (skalar), bukan vektor? Bagaimana hubungan antara definisi aljabar dan geometris?
💡 Menalar: Kedua definisi menghasilkan nilai yang sama. Definisi aljabar lebih mudah dihitung ketika komponen vektor diketahui, sedangkan definisi geometris berguna untuk mencari sudut antara dua vektor.
2. Rumus Perkalian Skalar
A. Rumus Komponen (Aljabar)
Jika a = (a₁, a₂) dan b = (b₁, b₂), maka:
a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂
B. Rumus dengan Sudut (Geometris)
a · b = |a| · |b| · cos θ
Keterangan:
- |a| = √(a₁² + a₂²) → panjang vektor a
- |b| = √(b₁² + b₂²) → panjang vektor b
- θ = sudut antara kedua vektor
C. Tabel Hubungan Nilai cos θ dan Hasil Perkalian Skalar
| Sudut θ | cos θ | a · b | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 0° | 1 | |a||b| | Searah |
| 0° < θ < 90° | positif | positif | Sudut lancip |
| 90° | 0 | 0 | Tegak lurus (ortogonal) |
| 90° < θ < 180° | negatif | negatif | Sudut tumpul |
| 180° | −1 | −|a||b| | Berlawanan arah |
🧪 Mencoba: Hitunglah perkalian skalar a = (3, 4) dan b = (2, −1) menggunakan rumus komponen. Kemudian verifikasi dengan rumus geometris!
3. Sifat-sifat Perkalian Skalar
- Komutatif: a · b = b · a
- Distributif: a · (b + c) = a · b + a · c
- Skalar: (ka) · b = k(a · b) = a · (kb)
- Kuadrat vektor: a · a = |a|² = a₁² + a₂²
- Nol: a · 0 = 0
💡 Menalar: Sifat komutatif berlaku karena a₁b₁ + a₂b₂ = b₁a₁ + b₂a₂ (perkalian bilangan real bersifat komutatif). Sifat a · a = |a|² sangat berguna untuk menghitung panjang vektor.
4. Menentukan Sudut antara Dua Vektor
Dari rumus perkalian skalar geometris, kita dapat menentukan sudut antara dua vektor:
Rumus Sudut:
cos θ = (a · b) / (|a| · |b|)
cos θ = (a₁b₁ + a₂b₂) / (√(a₁² + a₂²) · √(b₁² + b₂²))
cos θ = (a · b) / (|a| · |b|)
cos θ = (a₁b₁ + a₂b₂) / (√(a₁² + a₂²) · √(b₁² + b₂²))
📢 Mengkomunikasikan: Langkah menentukan sudut antara dua vektor:
- Hitung perkalian skalar a · b
- Hitung |a| dan |b|
- Substitusi ke rumus cos θ
- Tentukan θ menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator
5. Vektor Ortogonal (Tegak Lurus)
Dua vektor dikatakan ortogonal (tegak lurus) jika dan hanya jika perkalian skalar keduanya sama dengan nol.
a ⊥ b ⇔ a · b = 0 ⇔ a₁b₁ + a₂b₂ = 0
Gambar: Dua vektor ortogonal (tegak lurus)
6. Proyeksi Vektor
A. Proyeksi Skalar (Panjang Proyeksi)
Proyeksi skalar vektor a pada b:
projskalar = (a · b) / |b|
B. Proyeksi Vektor (Vektor Proyeksi)
Proyeksi vektor a pada b:
projb a = [(a · b) / |b|²] · b
Gambar: Proyeksi vektor a pada vektor b
🧪 Mencoba: Jika a = (6, 8) dan b = (1, 0), hitunglah proyeksi skalar dan vektor proyeksi a pada b. Apa yang kamu simpulkan?
7. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Tingkat Mudah
Contoh 1. Tentukan a · b jika a = (2, 3) dan b = (4, 1).
Pembahasan:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂
= (2)(4) + (3)(1)
= 8 + 3 = 11
a · b = a₁b₁ + a₂b₂
= (2)(4) + (3)(1)
= 8 + 3 = 11
Contoh 2. Tentukan p · q jika p = (5, −2) dan q = (1, 3).
Pembahasan:
p · q = (5)(1) + (−2)(3)
= 5 − 6 = −1
p · q = (5)(1) + (−2)(3)
= 5 − 6 = −1
Contoh 3. Hitung |a|² jika a = (3, 4).
Pembahasan:
|a|² = a · a = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Maka |a| = 5
|a|² = a · a = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
Maka |a| = 5
Contoh 4. Apakah u = (4, 2) dan v = (1, −2) tegak lurus?
Pembahasan:
u · v = (4)(1) + (2)(−2) = 4 − 4 = 0
Karena hasilnya = 0, maka u ⊥ v (tegak lurus). ✓
u · v = (4)(1) + (2)(−2) = 4 − 4 = 0
Karena hasilnya = 0, maka u ⊥ v (tegak lurus). ✓
Contoh 5. Hitung a · b jika |a| = 6, |b| = 4, dan θ = 60°.
Pembahasan:
a · b = |a| · |b| · cos θ
= 6 · 4 · cos 60°
= 24 · ½ = 12
a · b = |a| · |b| · cos θ
= 6 · 4 · cos 60°
= 24 · ½ = 12
📙 Tingkat Sedang
Contoh 6. Tentukan sudut antara a = (1, √3) dan b = (√3, 1).
Pembahasan:
a · b = (1)(√3) + (√3)(1) = √3 + √3 = 2√3
|a| = √(1 + 3) = 2
|b| = √(3 + 1) = 2
cos θ = 2√3 / (2 · 2) = 2√3/4 = √3/2
θ = 30°
a · b = (1)(√3) + (√3)(1) = √3 + √3 = 2√3
|a| = √(1 + 3) = 2
|b| = √(3 + 1) = 2
cos θ = 2√3 / (2 · 2) = 2√3/4 = √3/2
θ = 30°
Contoh 7. Jika a = (2, −1) dan b = (3, 6), tentukan proyeksi skalar a pada b.
Pembahasan:
a · b = (2)(3) + (−1)(6) = 6 − 6 = 0
|b| = √(9 + 36) = √45 = 3√5
Proyeksi skalar = (a · b) / |b| = 0 / 3√5 = 0
(Artinya kedua vektor saling tegak lurus)
a · b = (2)(3) + (−1)(6) = 6 − 6 = 0
|b| = √(9 + 36) = √45 = 3√5
Proyeksi skalar = (a · b) / |b| = 0 / 3√5 = 0
(Artinya kedua vektor saling tegak lurus)
Contoh 8. Tentukan nilai k agar a = (k, 3) tegak lurus dengan b = (2, −4).
Pembahasan:
Syarat tegak lurus: a · b = 0
(k)(2) + (3)(−4) = 0
2k − 12 = 0
2k = 12
k = 6
Syarat tegak lurus: a · b = 0
(k)(2) + (3)(−4) = 0
2k − 12 = 0
2k = 12
k = 6
Contoh 9. Tentukan vektor proyeksi a = (4, 3) pada b = (1, 0).
Pembahasan:
a · b = (4)(1) + (3)(0) = 4
|b|² = 1² + 0² = 1
Vektor proyeksi = [(a · b) / |b|²] · b
= (4/1) · (1, 0) = (4, 0)
a · b = (4)(1) + (3)(0) = 4
|b|² = 1² + 0² = 1
Vektor proyeksi = [(a · b) / |b|²] · b
= (4/1) · (1, 0) = (4, 0)
Contoh 10. Diketahui a = (2, 5) dan b = (−3, 1). Hitung (a + b) · (a − b).
Pembahasan:
a + b = (2+(−3), 5+1) = (−1, 6)
a − b = (2−(−3), 5−1) = (5, 4)
(a + b) · (a − b) = (−1)(5) + (6)(4) = −5 + 24 = 19
Alternatif: |a|² − |b|² = (4+25) − (9+1) = 29 − 10 = 19 ✓
a + b = (2+(−3), 5+1) = (−1, 6)
a − b = (2−(−3), 5−1) = (5, 4)
(a + b) · (a − b) = (−1)(5) + (6)(4) = −5 + 24 = 19
Alternatif: |a|² − |b|² = (4+25) − (9+1) = 29 − 10 = 19 ✓
📕 Tingkat Sulit
Contoh 11. Diketahui |a| = 5, |b| = 3, dan |a − b| = 7. Tentukan a · b.
Pembahasan:
|a − b|² = (a − b) · (a − b)
= a · a − 2(a · b) + b · b
= |a|² − 2(a · b) + |b|²
49 = 25 − 2(a · b) + 9
49 = 34 − 2(a · b)
2(a · b) = 34 − 49 = −15
a · b = −15/2 = −7,5
|a − b|² = (a − b) · (a − b)
= a · a − 2(a · b) + b · b
= |a|² − 2(a · b) + |b|²
49 = 25 − 2(a · b) + 9
49 = 34 − 2(a · b)
2(a · b) = 34 − 49 = −15
a · b = −15/2 = −7,5
Contoh 12. Tentukan sudut antara a = (2, −1) dan b = (−1, −2). Kemudian tentukan vektor proyeksi b pada a.
Pembahasan:
a · b = (2)(−1) + (−1)(−2) = −2 + 2 = 0
Karena a · b = 0, maka θ = 90°
Vektor proyeksi b pada a:
= [(b · a) / |a|²] · a
= (0 / 5) · (2, −1) = (0, 0) = vektor nol
a · b = (2)(−1) + (−1)(−2) = −2 + 2 = 0
Karena a · b = 0, maka θ = 90°
Vektor proyeksi b pada a:
= [(b · a) / |a|²] · a
= (0 / 5) · (2, −1) = (0, 0) = vektor nol
Contoh 13. Diketahui a = (1, 2) dan b = (3, −1). Tentukan vektor c yang merupakan proyeksi a pada b, dan vektor d = a − c. Buktikan d ⊥ b.
Pembahasan:
a · b = (1)(3) + (2)(−1) = 3 − 2 = 1
|b|² = 9 + 1 = 10
c = (1/10) · (3, −1) = (3/10, −1/10)
d = a − c = (1 − 3/10, 2 − (−1/10)) = (7/10, 21/10)
Bukti: d · b = (7/10)(3) + (21/10)(−1) = 21/10 − 21/10 = 0 ✓
Terbukti d ⊥ b.
a · b = (1)(3) + (2)(−1) = 3 − 2 = 1
|b|² = 9 + 1 = 10
c = (1/10) · (3, −1) = (3/10, −1/10)
d = a − c = (1 − 3/10, 2 − (−1/10)) = (7/10, 21/10)
Bukti: d · b = (7/10)(3) + (21/10)(−1) = 21/10 − 21/10 = 0 ✓
Terbukti d ⊥ b.
Contoh 14. Jika a = (t, 1) dan b = (2, t−1), tentukan semua nilai t sehingga sudut antara a dan b adalah 60°.
Pembahasan:
cos 60° = 1/2
a · b = 2t + (t−1) = 3t − 1
|a| = √(t² + 1)
|b| = √(4 + (t−1)²) = √(t² − 2t + 5)
1/2 = (3t−1) / [√(t²+1) · √(t²−2t+5)]
Kuadratkan kedua ruas:
1/4 = (3t−1)² / [(t²+1)(t²−2t+5)]
(t²+1)(t²−2t+5) = 4(3t−1)²
t⁴ − 2t³ + 6t² − 2t + 5 = 4(9t² − 6t + 1)
t⁴ − 2t³ + 6t² − 2t + 5 = 36t² − 24t + 4
t⁴ − 2t³ − 30t² + 22t + 1 = 0
Dengan substitusi/numerik: t ≈ 5,56 atau t ≈ −0,04 (dan verifikasi cos θ > 0 yaitu 3t−1 > 0).
Nilai t yang memenuhi: t ≈ 5,56 (nilai eksak diperoleh dari persamaan polinom derajat 4).
cos 60° = 1/2
a · b = 2t + (t−1) = 3t − 1
|a| = √(t² + 1)
|b| = √(4 + (t−1)²) = √(t² − 2t + 5)
1/2 = (3t−1) / [√(t²+1) · √(t²−2t+5)]
Kuadratkan kedua ruas:
1/4 = (3t−1)² / [(t²+1)(t²−2t+5)]
(t²+1)(t²−2t+5) = 4(3t−1)²
t⁴ − 2t³ + 6t² − 2t + 5 = 4(9t² − 6t + 1)
t⁴ − 2t³ + 6t² − 2t + 5 = 36t² − 24t + 4
t⁴ − 2t³ − 30t² + 22t + 1 = 0
Dengan substitusi/numerik: t ≈ 5,56 atau t ≈ −0,04 (dan verifikasi cos θ > 0 yaitu 3t−1 > 0).
Nilai t yang memenuhi: t ≈ 5,56 (nilai eksak diperoleh dari persamaan polinom derajat 4).
Contoh 15. Titik A(1, 2), B(4, 6), C(8, 3). Tentukan besar sudut ∠BAC menggunakan perkalian skalar.
Pembahasan:
Vektor AB = B − A = (4−1, 6−2) = (3, 4)
Vektor AC = C − A = (8−1, 3−2) = (7, 1)
AB · AC = (3)(7) + (4)(1) = 21 + 4 = 25
|AB| = √(9 + 16) = 5
|AC| = √(49 + 1) = √50 = 5√2
cos ∠BAC = 25 / (5 · 5√2) = 25 / (25√2) = 1/√2
∠BAC = 45°
Vektor AB = B − A = (4−1, 6−2) = (3, 4)
Vektor AC = C − A = (8−1, 3−2) = (7, 1)
AB · AC = (3)(7) + (4)(1) = 21 + 4 = 25
|AB| = √(9 + 16) = 5
|AC| = √(49 + 1) = √50 = 5√2
cos ∠BAC = 25 / (5 · 5√2) = 25 / (25√2) = 1/√2
∠BAC = 45°
8. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Selamat mengerjakan!
📗 Tingkat Mudah
1. Hitung a · b jika a = (1, 5) dan b = (3, 2).
2. Tentukan u · v jika u = (−2, 4) dan v = (6, 1).
3. Hitung a · b jika |a| = 3, |b| = 8, dan θ = 90°.
4. Tentukan |a| jika a · a = 49.
5. Apakah a = (3, 6) dan b = (2, −1) tegak lurus? Jelaskan.
📙 Tingkat Sedang
6. Tentukan sudut antara a = (1, 1) dan b = (1, −1).
7. Tentukan nilai m agar p = (m, 4) dan q = (2, m) saling tegak lurus.
8. Hitung proyeksi skalar a = (5, 12) pada b = (3, 4).
9. Tentukan vektor proyeksi u = (2, 6) pada v = (4, 3).
10. Jika a = (3, −1) dan b = (2, 5), hitung (a + b) · (2a − b).
📕 Tingkat Sulit
11. Diketahui |a| = 4, |b| = 6, dan |a + b| = 8. Tentukan a · b dan sudut antara kedua vektor.
12. Titik P(2, 1), Q(5, 5), R(9, 2). Tentukan besar sudut ∠PQR.
13. Tentukan semua nilai t agar sudut antara a = (t, 2) dan b = (1, t) sama dengan 90°.
14. Diketahui a = (2, 3) dan b = (−1, 4). Uraikan a menjadi a = c + d dengan c sejajar b dan d tegak lurus b.
15. Buktikan bahwa untuk sembarang vektor a dan b pada bidang berlaku: |a + b|² + |a − b|² = 2(|a|² + |b|²). (Identitas Jajaran Genjang)