Panjang Vektor pada Bidang
Materi Matematika — Vektor di R²
1. Pengertian Panjang Vektor pada Bidang
Panjang vektor (disebut juga modulus atau besar vektor) adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujung vektor tersebut. Pada bidang (R²), vektor memiliki dua komponen yaitu komponen arah sumbu-x dan komponen arah sumbu-y.
Notasi Vektor pada Bidang
Jika vektor a memiliki komponen:
a = (a₁, a₂) atau a = a₁i + a₂j
atau ditulis dalam bentuk kolom: a = ⎛
⎝ a₁
a₂ ⎞
⎠
Maka panjang vektor a dinotasikan sebagai:
|a| = √(a₁² + a₂²)
Gambar: Vektor a pada bidang dengan komponen a₁ dan a₂
Panjang Vektor dari Dua Titik
Jika vektor AB berawal dari titik A(x₁, y₁) ke titik B(x₂, y₂), maka:
AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁)
|AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
Sifat-sifat Panjang Vektor
| No | Sifat | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | |a| ≥ 0 | Panjang vektor selalu non-negatif |
| 2 | |a| = 0 ⟺ a = 0 | Hanya vektor nol yang panjangnya 0 |
| 3 | |ka| = |k| · |a| | Skalar mengubah panjang sebesar |k| |
| 4 | |a + b| ≤ |a| + |b| | Ketidaksamaan segitiga |
Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1. Vektor satuan dari a dinyatakan:
â = a / |a|
2. Kegiatan Pembelajaran (Pendekatan Saintifik 5M)
🔍 Mengamati
Perhatikan gambar berikut. Seorang anak berjalan dari titik O(0,0) ke titik P(3,4) pada bidang koordinat.
Amati: Berapa jarak sebenarnya dari O ke P? Apakah jaraknya sama dengan 3 + 4 = 7? Mengapa berbeda?
❓ Menanya
Dari pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Bagaimana cara menghitung panjang (jarak) vektor OP pada bidang?
- Rumus apa yang digunakan untuk menentukan panjang vektor?
- Apa hubungan rumus panjang vektor dengan teorema Pythagoras?
💡 Menalar
Perhatikan bahwa vektor OP dari O(0,0) ke P(3,4) membentuk segitiga siku-siku dengan:
- Sisi mendatar (komponen x) = 3
- Sisi tegak (komponen y) = 4
- Sisi miring = panjang vektor = hipotenusa
Dengan Teorema Pythagoras:
|OP|² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
|OP| = √25 = 5
Kesimpulan: Rumus panjang vektor a = (a₁, a₂) adalah |a| = √(a₁² + a₂²), yang merupakan penerapan langsung Teorema Pythagoras.
✏️ Mencoba
Cobalah hitung panjang vektor-vektor berikut:
| Vektor | Komponen | Hitunganmu | Panjang |
|---|---|---|---|
| a | (6, 8) | √(36+64) | 10 |
| b | (5, 12) | √(25+144) | 13 |
| c | (−3, 4) | √(9+16) | 5 |
| d | (1, 1) | √(1+1) | √2 |
📢 Mengkomunikasikan
Tuliskan kesimpulanmu dengan bahasa sendiri:
Kesimpulan:
- Panjang vektor a = (a₁, a₂) dihitung dengan rumus |a| = √(a₁² + a₂²)
- Rumus ini berasal dari Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh komponen vektor
- Panjang vektor selalu bernilai positif atau nol
- Komponen negatif tidak mempengaruhi panjang karena dikuadratkan
- Panjang vektor dari titik A ke B: |AB| = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²)
3. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah (1–5)
Soal 1:
Tentukan panjang vektor a = (3, 4).
Lihat Pembahasan
|a| = √(a₁² + a₂²)
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5
Soal 2:
Tentukan panjang vektor b = (6, 8).
Lihat Pembahasan
|b| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100
= 10
Soal 3:
Tentukan panjang vektor c = (0, 7).
Lihat Pembahasan
|c| = √(0² + 7²) = √(0 + 49) = √49
= 7
Soal 4:
Tentukan panjang vektor d = (−5, 12).
Lihat Pembahasan
|d| = √((−5)² + 12²) = √(25 + 144) = √169
= 13
Soal 5:
Tentukan panjang vektor e = (1, 1).
Lihat Pembahasan
|e| = √(1² + 1²) = √(1 + 1) = √2
≈ 1,414
📙 Contoh Soal Sedang (6–10)
Soal 6:
Diketahui titik A(2, 3) dan B(6, 6). Tentukan panjang vektor AB.
Lihat Pembahasan
AB = (6−2, 6−3) = (4, 3)
|AB| = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25
= 5
Soal 7:
Jika a = (2, −3), tentukan panjang vektor 2a.
Lihat Pembahasan
2a = 2(2, −3) = (4, −6)
|2a| = √(4² + (−6)²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13
≈ 7,21
Cara cepat: |2a| = 2|a| = 2√(4+9) = 2√13 ✓
Soal 8:
Tentukan vektor satuan dari a = (3, 4).
Lihat Pembahasan
|a| = √(9+16) = 5
â = a/|a| = (3/5, 4/5)
â = (0,6 ; 0,8)
Verifikasi: |â| = √(0,36 + 0,64) = √1 = 1 ✓
Soal 9:
Diketahui p = (a, 2) dan |p| = 5. Tentukan nilai a (a > 0).
Lihat Pembahasan
|p| = √(a² + 4) = 5
a² + 4 = 25
a² = 21
a = √21 ≈ 4,58
Soal 10:
Jika a = (1, 3) dan b = (4, −1), tentukan |a + b|.
Lihat Pembahasan
a + b = (1+4, 3+(−1)) = (5, 2)
|a + b| = √(25 + 4) = √29
≈ 5,39
📕 Contoh Soal Sulit (11–15)
Soal 11:
Diketahui a = (2t, t−1). Jika |a| = √(5t² − 2t + 1), tentukan apakah pernyataan ini benar untuk semua t.
Lihat Pembahasan
|a| = √((2t)² + (t−1)²)
= √(4t² + t² − 2t + 1)
= √(5t² − 2t + 1)
Pernyataan BENAR untuk semua nilai t.
Soal 12:
Diketahui a = (k, k+2) dan |a| = √(2k² + 4k + 4). Tentukan nilai k sehingga |a| = 4.
Lihat Pembahasan
|a| = √(k² + (k+2)²) = √(k² + k² + 4k + 4) = √(2k² + 4k + 4)
Syarat: √(2k² + 4k + 4) = 4
2k² + 4k + 4 = 16
2k² + 4k − 12 = 0
k² + 2k − 6 = 0
k = (−2 ± √(4+24))/2 = (−2 ± √28)/2 = (−2 ± 2√7)/2
k = −1 + √7 atau k = −1 − √7
Soal 13:
Diketahui titik A(1, 2), B(4, 6), C(−2, 5). Tentukan panjang vektor AB + AC.
Lihat Pembahasan
AB = (4−1, 6−2) = (3, 4)
AC = (−2−1, 5−2) = (−3, 3)
AB + AC = (3+(−3), 4+3) = (0, 7)
|AB + AC| = √(0 + 49)
= 7
Soal 14:
Diketahui a = (3, −1) dan b = (1, 2). Tentukan nilai skalar m agar |a + mb| = 5.
Lihat Pembahasan
a + mb = (3+m, −1+2m)
|a + mb| = √((3+m)² + (−1+2m)²) = 5
(3+m)² + (−1+2m)² = 25
9 + 6m + m² + 1 − 4m + 4m² = 25
5m² + 2m + 10 = 25
5m² + 2m − 15 = 0
m = (−2 ± √(4+300))/10 = (−2 ± √304)/10 = (−2 ± 4√19)/10
m = (−1 + 2√19)/5 atau m = (−1 − 2√19)/5
Soal 15:
Vektor u memiliki panjang 10 dan membentuk sudut 60° terhadap sumbu-x positif. Tentukan komponen vektor u dan verifikasi panjangnya.
Lihat Pembahasan
Komponen vektor dari panjang dan sudut:
u₁ = |u| cos θ = 10 cos 60° = 10 × ½ = 5
u₂ = |u| sin θ = 10 sin 60° = 10 × (½√3) = 5√3
u = (5, 5√3)
Verifikasi:
|u| = √(25 + 75) = √100 = 10 ✓
Jadi u = (5, 5√3) dengan |u| = 10
4. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan contoh soal terlebih dahulu.
📗 Latihan Mudah (1–5)
1. Tentukan panjang vektor a = (5, 12).
2. Tentukan panjang vektor b = (8, 6).
3. Tentukan panjang vektor c = (−4, 3).
4. Tentukan panjang vektor d = (7, 0).
5. Tentukan panjang vektor e = (2, 2).
📙 Latihan Sedang (6–10)
6. Diketahui A(1, 3) dan B(5, 6). Tentukan |AB|.
7. Jika p = (−2, 5), tentukan panjang vektor 3p.
8. Tentukan vektor satuan dari v = (5, 12).
9. Diketahui a = (m, 3) dan |a| = 5. Tentukan nilai m (m > 0).
10. Jika a = (2, 5) dan b = (−1, 3), tentukan |a − b|.
📕 Latihan Sulit (11–15)
11. Diketahui a = (2k, k−3). Tentukan nilai k agar |a| = √(5k² − 6k + 9) = 10.
12. Titik A(−1, 2), B(3, 5), C(1, −4). Tentukan |2AB − AC|.
13. Diketahui a = (1, 3) dan b = (2, −1). Tentukan nilai t agar |a + tb| minimum.
14. Vektor v memiliki panjang 8 dan membentuk sudut 135° dengan sumbu-x positif. Tentukan komponen vektor v.
15. Diketahui |a| = 3, |b| = 4, dan |a + b| = 5. Buktikan bahwa vektor a dan b saling tegak lurus.