Vektor Satuan dalam Ruang (Dimensi Tiga)
Matematika Peminatan Kelas XII
1. Pengertian Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang (besar/magnitudo) tepat sama dengan 1 satuan. Vektor satuan digunakan untuk menunjukkan arah suatu vektor tanpa memperhatikan besarnya.
Definisi:
Jika a adalah suatu vektor tak-nol dalam ruang dimensi tiga, maka vektor satuan dari a (dilambangkan â atau êa) adalah:
â = 1|a| × a
dengan |a| ≠ 0
Dengan kata lain, vektor satuan diperoleh dengan membagi setiap komponen vektor dengan panjangnya. Hasilnya adalah vektor yang searah dengan vektor asli tetapi panjangnya 1.
💡 Poin Penting:
- Vektor satuan memiliki panjang = 1
- Vektor satuan memiliki arah yang sama dengan vektor aslinya
- Setiap vektor tak-nol memiliki tepat satu vektor satuan
- Vektor nol tidak memiliki vektor satuan
2. Rumus Vektor Satuan
Misalkan vektor a dalam ruang dimensi tiga dinyatakan sebagai:
a = (a₁, a₂, a₃) = a₁î + a₂ĵ + a₃k̂
Langkah 1: Hitung panjang (magnitudo) vektor:
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
Langkah 2: Bagi setiap komponen dengan panjang vektor:
â = a|a| = (a₁, a₂, a₃)√(a₁² + a₂² + a₃²)
= (a₁|a|, a₂|a|, a₃|a|)
✅ Verifikasi:
Setelah menentukan vektor satuan, pastikan panjangnya = 1 dengan menghitung:
|â| = √(â₁² + â₂² + â₃²) = 1
3. Vektor Satuan Koordinat (î, ĵ, k̂)
Dalam ruang dimensi tiga, terdapat tiga vektor satuan standar yang sangat penting:
| Vektor Satuan | Komponen | Arah |
|---|---|---|
| î (i-topi) | (1, 0, 0) | Searah sumbu-X positif |
| ĵ (j-topi) | (0, 1, 0) | Searah sumbu-Y positif |
| k̂ (k-topi) | (0, 0, 1) | Searah sumbu-Z positif |
Representasi vektor menggunakan vektor satuan koordinat:
a = (a₁, a₂, a₃) = a₁î + a₂ĵ + a₃k̂
Contoh: vektor (3, -2, 5) = 3î − 2ĵ + 5k̂
📝 Sifat Vektor Satuan Koordinat:
- |î| = |ĵ| = |k̂| = 1
- î ⊥ ĵ, ĵ ⊥ k̂, k̂ ⊥ î (saling tegak lurus)
- î · ĵ = ĵ · k̂ = k̂ · î = 0
- î · î = ĵ · ĵ = k̂ · k̂ = 1
4. Langkah-Langkah Menentukan Vektor Satuan
Tuliskan vektor dalam bentuk komponen
a = (a₁, a₂, a₃)
Hitung panjang (magnitudo) vektor
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
Bagi setiap komponen dengan panjang vektor
â = (a₁/|a|, a₂/|a|, a₃/|a|)
Verifikasi: pastikan panjang hasilnya = 1
|â| = √(â₁² + â₂² + â₃²) = 1 ✓
5. Kegiatan Pembelajaran
🔍 Mengamati
Perhatikan vektor-vektor berikut dalam ruang dimensi tiga:
- a = (3, 4, 0) → |a| = √(9+16+0) = √25 = 5
- b = (1, 2, 2) → |b| = √(1+4+4) = √9 = 3
- c = (2, −1, 2) → |c| = √(4+1+4) = √9 = 3
Amati:
- Vektor satuan dari a: â = (3/5, 4/5, 0) → |â| = √(9/25 + 16/25 + 0) = √(25/25) = 1 ✓
- Vektor satuan dari b: b̂ = (1/3, 2/3, 2/3) → |b̂| = √(1/9 + 4/9 + 4/9) = √(9/9) = 1 ✓
- Vektor satuan dari c: ĉ = (2/3, −1/3, 2/3) → |ĉ| = √(4/9 + 1/9 + 4/9) = √(9/9) = 1 ✓
Perhatikan bahwa semua vektor satuan memiliki panjang tepat 1, meskipun vektor aslinya memiliki panjang berbeda-beda.
❓ Menanya
Dari kegiatan mengamati di atas, ajukan pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Mengapa setiap vektor satuan selalu memiliki panjang 1?
- Apakah arah vektor satuan selalu sama dengan vektor aslinya?
- Bagaimana jika vektor asli memiliki panjang 1? Apakah vektor satuannya sama dengan dirinya sendiri?
- Bisakah vektor nol memiliki vektor satuan? Mengapa?
- Apa kegunaan vektor satuan dalam kehidupan nyata?
🧠 Menalar
Mari kita analisis mengapa rumus vektor satuan bekerja:
Penalaran 1: Mengapa hasilnya selalu panjang 1?
Jika a = (a₁, a₂, a₃) dan |a| = k, maka:
|â| = |(a₁/k, a₂/k, a₃/k)|
= √((a₁/k)² + (a₂/k)² + (a₃/k)²)
= √((a₁² + a₂² + a₃²)/k²)
= √(k²/k²) = √1 = 1 ✓
Penalaran 2: Mengapa arahnya sama?
Membagi vektor dengan bilangan positif (panjangnya selalu positif karena akar kuadrat) hanya mengubah besarnya, bukan arahnya. Ini seperti “menyusutkan” vektor tanpa memutarnya.
Penalaran 3: Mengapa vektor nol tidak punya vektor satuan?
Vektor nol 0 = (0, 0, 0) memiliki |0| = 0. Pembagian dengan 0 tidak terdefinisi, dan vektor nol tidak memiliki arah tertentu.
✋ Mencoba
Tentukan vektor satuan dari vektor-vektor berikut:
Soal Percobaan:
- p = (1, 0, 0) → Apakah vektor ini sudah merupakan vektor satuan?
Jawab: |p| = √(1+0+0) = 1. Ya! Vektor ini sudah vektor satuan (yaitu î)
- q = (0, 3, 4) → Tentukan vektor satuannya!
Jawab: |q| = √(0+9+16) = 5. q̂ = (0, 3/5, 4/5)
- r = (2, 2, 1) → Tentukan vektor satuannya!
Jawab: |r| = √(4+4+1) = 3. r̂ = (2/3, 2/3, 1/3)
📢 Mengkomunikasikan
Diskusikan dan presentasikan hasil pembelajaran tentang vektor satuan:
Ringkasan yang perlu dikomunikasikan:
- Definisi: Vektor satuan adalah vektor berpanjang 1 yang menunjukkan arah.
- Cara menentukan: Bagi setiap komponen vektor dengan panjang vektor tersebut.
- Vektor satuan koordinat: î = (1,0,0), ĵ = (0,1,0), k̂ = (0,0,1) adalah basis standar ruang 3D.
- Penerapan: Menentukan arah gaya dalam fisika, arah gerak dalam navigasi 3D, normalisasi dalam grafika komputer.
- Syarat: Hanya vektor tak-nol yang memiliki vektor satuan.
🌍 Penerapan dalam Kehidupan Nyata:
- Navigasi pesawat: Vektor satuan menunjukkan arah terbang tanpa informasi kecepatan
- Grafika komputer/game: Normalisasi vektor untuk pencahayaan dan pergerakan karakter
- Fisika: Menentukan arah gaya, kecepatan, dan percepatan
- GPS: Menentukan arah perjalanan terlepas dari kecepatan
6. Contoh Soal dan Pembahasan
📗 Contoh Soal Tingkat Mudah
Soal 1:
Tentukan vektor satuan dari a = (3, 4, 0).
Langkah 1: Hitung |a|
|a| = √(3² + 4² + 0²) = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5
Langkah 2: Bagi setiap komponen dengan 5
â = (3/5, 4/5, 0/5) = (3/5, 4/5, 0)
Verifikasi: |â| = √(9/25 + 16/25 + 0) = √(25/25) = 1 ✓
Jadi, vektor satuan dari a = (3/5, 4/5, 0) atau 0,6î + 0,8ĵ
Soal 2:
Tentukan vektor satuan dari b = (0, 0, 5).
Langkah 1: |b| = √(0 + 0 + 25) = √25 = 5
Langkah 2: b̂ = (0/5, 0/5, 5/5) = (0, 0, 1)
Verifikasi: |b̂| = √(0 + 0 + 1) = 1 ✓
Jadi, b̂ = (0, 0, 1) = k̂
Catatan: Karena b searah sumbu-Z, vektor satuannya adalah k̂.
Soal 3:
Tentukan vektor satuan dari c = (1, 2, 2).
Langkah 1: |c| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
Langkah 2: ĉ = (1/3, 2/3, 2/3)
Verifikasi: |ĉ| = √(1/9 + 4/9 + 4/9) = √(9/9) = 1 ✓
Jadi, ĉ = (1/3, 2/3, 2/3)
Soal 4:
Tentukan vektor satuan dari d = (6, 0, −8).
Langkah 1: |d| = √(36 + 0 + 64) = √100 = 10
Langkah 2: d̂ = (6/10, 0/10, −8/10) = (3/5, 0, −4/5)
Verifikasi: |d̂| = √(9/25 + 0 + 16/25) = √(25/25) = 1 ✓
Jadi, d̂ = (3/5, 0, −4/5)
Soal 5:
Diketahui e = 2î + 2ĵ + k̂. Tentukan vektor satuannya.
Langkah 1: e = (2, 2, 1)
|e| = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3
Langkah 2: ê = (2/3, 2/3, 1/3)
= (2/3)î + (2/3)ĵ + (1/3)k̂
Verifikasi: √(4/9 + 4/9 + 1/9) = √(9/9) = 1 ✓
Jadi, ê = (2/3)î + (2/3)ĵ + (1/3)k̂
📙 Contoh Soal Tingkat Sedang
Soal 1:
Tentukan vektor satuan dari a = (1, −2, 2) dan nyatakan dalam bentuk desimal (3 angka di belakang koma).
Langkah 1: |a| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
Langkah 2: â = (1/3, −2/3, 2/3)
Dalam desimal: â ≈ (0,333; −0,667; 0,667)
Verifikasi: 0,333² + 0,667² + 0,667² ≈ 0,111 + 0,445 + 0,445 = 1,001 ≈ 1 ✓
Soal 2:
Diketahui titik A(1, 2, 3) dan B(4, 6, 3). Tentukan vektor satuan dari vektor AB.
Langkah 1: Tentukan vektor AB
AB = B − A = (4−1, 6−2, 3−3) = (3, 4, 0)
Langkah 2: |AB| = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5
Langkah 3: Vektor satuan = (3/5, 4/5, 0)
Jadi, vektor satuan arah AB = (3/5, 4/5, 0)
Soal 3:
Tentukan vektor satuan dari v = (2, −3, 6). Kemudian tentukan vektor yang searah dengan v tetapi panjangnya 14.
Langkah 1: |v| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
Langkah 2: v̂ = (2/7, −3/7, 6/7)
Langkah 3: Vektor searah v panjang 14:
w = 14 × v̂ = 14 × (2/7, −3/7, 6/7) = (4, −6, 12)
Verifikasi: |w| = √(16 + 36 + 144) = √196 = 14 ✓
Soal 4:
Diketahui a = (2, 1, −2). Tentukan vektor satuan yang berlawanan arah dengan a.
Langkah 1: |a| = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3
Langkah 2: Vektor satuan searah: â = (2/3, 1/3, −2/3)
Langkah 3: Vektor satuan berlawanan arah = −â = (−2/3, −1/3, 2/3)
Verifikasi: √(4/9 + 1/9 + 4/9) = √(9/9) = 1 ✓
Jadi, vektor satuan berlawanan arah a = (−2/3, −1/3, 2/3)
Soal 5:
Tentukan vektor satuan dari u = (1, 1, 1). Apakah semua komponen vektor satuannya sama?
Langkah 1: |u| = √(1 + 1 + 1) = √3
Langkah 2: û = (1/√3, 1/√3, 1/√3)
= (√3/3, √3/3, √3/3) [setelah merasionalkan]
≈ (0,577; 0,577; 0,577)
Verifikasi: 3 × (1/√3)² = 3 × (1/3) = 1 ✓
Ya, semua komponen sama karena vektor aslinya memiliki komponen yang sama besar. Vektor ini membuat sudut yang sama dengan ketiga sumbu koordinat.
📕 Contoh Soal Tingkat Sulit
Soal 1:
Diketahui a = (2, −1, 2) dan b = (3, 4, 0). Tentukan vektor satuan dari a + b.
Langkah 1: Tentukan a + b
= (2+3, −1+4, 2+0) = (5, 3, 2)
Langkah 2: |a + b| = √(25 + 9 + 4) = √38
Langkah 3: Vektor satuan = (5/√38, 3/√38, 2/√38)
= (5√38/38, 3√38/38, 2√38/38)
≈ (0,811; 0,487; 0,324)
Verifikasi: (25 + 9 + 4)/38 = 38/38 = 1 ✓
Soal 2:
Tentukan nilai k agar vektor v = (k, 2k, k) merupakan vektor satuan.
Syarat vektor satuan: |v| = 1
√(k² + 4k² + k²) = 1
√(6k²) = 1
√6 · |k| = 1
|k| = 1/√6
k = ±1/√6 = ±√6/6
Verifikasi untuk k = √6/6:
|v| = √(6 × (√6/6)²) = √(6 × 6/36) = √(6/6) = 1 ✓
Jadi, k = √6/6 atau k = −√6/6 (≈ ±0,408)
Soal 3:
Diketahui titik A(1, 0, 2), B(3, 1, 4), dan C(−1, 2, 0). Tentukan vektor satuan dari vektor AB + AC.
Langkah 1: Tentukan AB dan AC
AB = B − A = (3−1, 1−0, 4−2) = (2, 1, 2)
AC = C − A = (−1−1, 2−0, 0−2) = (−2, 2, −2)
Langkah 2: AB + AC = (2+(−2), 1+2, 2+(−2)) = (0, 3, 0)
Langkah 3: |(0, 3, 0)| = √(0 + 9 + 0) = 3
Langkah 4: Vektor satuan = (0/3, 3/3, 0/3) = (0, 1, 0) = ĵ
Jadi, vektor satuannya = ĵ = (0, 1, 0), searah sumbu-Y positif.
Soal 4:
Diketahui a = (1, 2, −2) dan b = (4, −4, 2). Tentukan vektor satuan dari 2a − b.
Langkah 1: 2a = (2, 4, −4)
Langkah 2: 2a − b = (2−4, 4−(−4), −4−2) = (−2, 8, −6)
Langkah 3: |(−2, 8, −6)| = √(4 + 64 + 36) = √104 = 2√26
Langkah 4: Vektor satuan = (−2/(2√26), 8/(2√26), −6/(2√26))
= (−1/√26, 4/√26, −3/√26)
≈ (−0,196; 0,784; −0,588)
Verifikasi: (1 + 16 + 9)/26 = 26/26 = 1 ✓
Soal 5:
Diketahui vektor satuan û = (a, 1/3, b) dengan a > 0 dan komponen pertama dua kali komponen ketiga (a = 2b). Tentukan nilai a dan b.
Syarat: |û| = 1 dan a = 2b
a² + (1/3)² + b² = 1
Substitusi a = 2b:
(2b)² + 1/9 + b² = 1
4b² + 1/9 + b² = 1
5b² = 1 − 1/9 = 8/9
b² = 8/45
b = √(8/45) = 2√2/(3√5) = 2√10/15
a = 2b = 4√10/15
Verifikasi:
(4√10/15)² + (1/3)² + (2√10/15)² = 160/225 + 1/9 + 40/225
= 160/225 + 25/225 + 40/225 = 225/225 = 1 ✓
Jadi, a = 4√10/15 ≈ 0,843 dan b = 2√10/15 ≈ 0,422
7. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan langkah-langkah yang telah dipelajari.
📗 Latihan Tingkat Mudah
- Tentukan vektor satuan dari a = (4, 0, 3).
- Tentukan vektor satuan dari b = (0, 12, −5).
- Tentukan vektor satuan dari c = (2, −2, 1).
- Tentukan vektor satuan dari d = (−6, 2, 3).
- Diketahui e = 4î + 4ĵ − 2k̂. Tentukan vektor satuannya.
📙 Latihan Tingkat Sedang
- Diketahui A(2, 1, −1) dan B(4, 5, −3). Tentukan vektor satuan dari AB.
- Tentukan vektor satuan dari a + b jika a = (3, 0, 4) dan b = (0, 5, −4).
- Tentukan vektor satuan yang berlawanan arah dengan v = (1, −4, 8).
- Diketahui vektor satuan dari suatu vektor w adalah (2/7, 3/7, 6/7). Jika panjang w = 21, tentukan w.
- Tentukan vektor satuan dari 3a jika a = (1, 2, 2). Apakah hasilnya sama dengan vektor satuan dari a?
📕 Latihan Tingkat Sulit
- Tentukan nilai p agar v = (p, 2p, −p) merupakan vektor satuan.
- Diketahui a = (1, −1, 2) dan b = (2, 0, −1). Tentukan vektor satuan dari 2a + 3b.
- Diketahui vektor satuan û = (x, x, z) dengan z = 2x dan x > 0. Tentukan x dan z.
- Diketahui A(1, 1, 1), B(3, 2, 4), dan C(0, 5, 2). Tentukan vektor satuan dari AB − AC.
- Tentukan semua vektor satuan dalam ruang dimensi tiga yang memiliki komponen x dan y sama serta komponen z = 0. Berapa banyak vektor satuan yang memenuhi?