Perkalian Skalar Dua Vektor
(Dot Product / Inner Product)
1. Pengertian Perkalian Skalar Dua Vektor
Perkalian skalar (dot product) dua vektor adalah operasi antara dua vektor yang menghasilkan bilangan skalar (bukan vektor). Operasi ini sangat penting dalam fisika dan matematika, misalnya untuk menghitung usaha (W = F · s).
Notasi:
Jika terdapat vektor a dan vektor b, maka perkalian skalarnya ditulis:
a · b (dibaca: “a dot b”)
Perbedaan penting:
| Aspek | Perkalian Skalar (·) | Perkalian Silang (×) |
|---|---|---|
| Hasil | Bilangan (skalar) | Vektor |
| Simbol | a · b | a × b |
| Dimensi | 2D & 3D | Hanya 3D |
Gambar: Dua vektor a⃗ dan b⃗ dengan sudut θ di antaranya
2. Rumus Perkalian Skalar Dua Vektor
A. Rumus Menggunakan Sudut
a · b = |a| · |b| · cos θ
θ = sudut antara kedua vektor (0° ≤ θ ≤ 180°)
Keterangan:
- |a| = panjang (magnitudo) vektor a
- |b| = panjang (magnitudo) vektor b
- cos θ = kosinus sudut antara kedua vektor
B. Rumus Menggunakan Komponen (2D)
Jika a = (a₁, a₂) dan b = (b₁, b₂), maka:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂
C. Rumus Menggunakan Komponen (3D)
Jika a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃), maka:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
D. Panjang Vektor (Magnitudo)
Untuk 2D: |a| = √(a₁² + a₂²)
Untuk 3D: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
E. Hubungan Dot Product dengan Vektor Satuan
Vektor satuan: î = (1,0,0), ĵ = (0,1,0), k̂ = (0,0,1)
| î | ĵ | k̂ | |
|---|---|---|---|
| î | 1 | 0 | 0 |
| ĵ | 0 | 1 | 0 |
| k̂ | 0 | 0 | 1 |
î · î = 1, î · ĵ = 0, dst. (vektor satuan yang sama = 1, berbeda = 0)
3. Sifat-Sifat Perkalian Skalar
- Komutatif: a · b = b · a
- Distributif: a · (b + c) = a · b + a · c
- Skalar: (ka) · b = k(a · b)
- Kuadrat: a · a = |a|²
- Tegak lurus: Jika a ⊥ b, maka a · b = 0
- Sejajar searah: Jika θ = 0°, maka a · b = |a||b|
- Sejajar berlawanan: Jika θ = 180°, maka a · b = −|a||b|
Tabel Nilai Dot Product Berdasarkan Sudut
| Sudut θ | cos θ | a · b | Keterangan |
|---|---|---|---|
| 0° | 1 | |a||b| | Searah |
| 60° | 0,5 | 0,5|a||b| | Lancip |
| 90° | 0 | 0 | Tegak lurus |
| 120° | −0,5 | −0,5|a||b| | Tumpul |
| 180° | −1 | −|a||b| | Berlawanan |
4. Menentukan Sudut Antara Dua Vektor
cos θ = (a · b) / (|a| · |b|)
θ = arccos [(a · b) / (|a| · |b|)]
Langkah-langkah:
- Hitung a · b menggunakan komponen
- Hitung |a| dan |b|
- Substitusikan ke rumus cos θ
- Cari θ menggunakan arccos
5. Proyeksi Vektor
A. Proyeksi Skalar
Proyeksi skalar a pada b:
proj = (a · b) / |b|
B. Proyeksi Vektor (Proyeksi Ortogonal)
Proyeksi vektor a pada b:
projb a = [(a · b) / |b|²] b
Gambar: Proyeksi vektor a⃗ pada vektor b⃗
6. Kegiatan Pembelajaran (Pendekatan Saintifik 5M)
🔍 Mengamati
Amati ilustrasi berikut:
Seorang anak menarik gerobak dengan gaya F = 50 N yang membentuk sudut 30° terhadap arah horizontal, sejauh 10 m.
Pertanyaan pengamatan: Apakah seluruh gaya F bekerja untuk memindahkan gerobak secara horizontal? Komponen gaya mana yang benar-benar melakukan usaha?
❓ Menanya
Berdasarkan pengamatan di atas, muncul pertanyaan:
- Bagaimana cara menghitung usaha jika gaya dan perpindahan tidak searah?
- Apa hubungan antara sudut dengan hasil perkalian skalar?
- Kapan hasil perkalian skalar bernilai nol? Kapan negatif?
- Bagaimana menentukan sudut antara dua vektor jika diketahui komponennya?
💡 Menalar
Mari kita nalar bersama:
- Usaha = gaya × perpindahan × cos θ → ini adalah perkalian skalar!
- W = F · s = |F| · |s| · cos 30° = 50 × 10 × cos 30° = 50 × 10 × (½√3) = 250√3 ≈ 433 J
- Jika θ = 90°, cos 90° = 0, maka W = 0 → gaya tegak lurus perpindahan tidak melakukan usaha
- Jika θ > 90°, cos θ negatif → usaha negatif (gaya melawan arah gerak)
🧪 Mencoba
Kegiatan: Hitunglah perkalian skalar dari pasangan vektor berikut:
| No | a | b | a · b = ? |
|---|---|---|---|
| 1 | (2, 3) | (4, 1) | |
| 2 | (1, −2) | (−2, 1) | |
| 3 | (3, 0) | (0, 5) | |
| 4 | (1, 1, 1) | (2, −1, 3) |
Petunjuk: Gunakan rumus a₁b₁ + a₂b₂ (+ a₃b₃ untuk 3D)
Jawaban: 1) 11 2) −4 3) 0 (tegak lurus!) 4) 4
📢 Mengkomunikasikan
Setelah memahami konsep dan mencoba perhitungan, tuliskan kesimpulanmu:
- Perkalian skalar dua vektor menghasilkan bilangan skalar.
- Ada dua cara menghitung: menggunakan sudut atau komponen.
- Jika hasilnya positif → sudut lancip (θ < 90°).
- Jika hasilnya nol → vektor saling tegak lurus (θ = 90°).
- Jika hasilnya negatif → sudut tumpul (θ > 90°).
- Perkalian skalar bersifat komutatif dan distributif.
7. Contoh Soal & Pembahasan
Mudah Contoh Soal Mudah (1–5)
Soal 1:
Diketahui a = (3, 4) dan b = (2, 1). Hitunglah a · b.
Penyelesaian:
a · b = a₁b₁ + a₂b₂
= (3)(2) + (4)(1)
= 6 + 4
= 10
Soal 2:
Diketahui p = (5, −2) dan q = (1, 3). Hitunglah p · q.
Penyelesaian:
= (5)(1) + (−2)(3)
= 5 + (−6) = −1
Soal 3:
Diketahui |a| = 6, |b| = 4, dan sudut antara keduanya θ = 60°. Hitunglah a · b.
Penyelesaian:
a · b = |a| · |b| · cos θ
= 6 × 4 × cos 60°
= 24 × 0,5
= 12
Soal 4:
Diketahui u = (1, 0) dan v = (0, 1). Hitunglah u · v dan tentukan hubungan kedua vektor.
Penyelesaian:
= (1)(0) + (0)(1) = 0 + 0 = 0
Karena u · v = 0, maka kedua vektor saling tegak lurus (ortogonal).
Soal 5:
Hitunglah a · a jika a = (3, 4).
Penyelesaian:
a · a = (3)(3) + (4)(4) = 9 + 16 = 25
Perhatikan: |a| = √25 = 5, sehingga a · a = |a|² = 25 ✓
Sedang Contoh Soal Sedang (6–10)
Soal 6:
Diketahui a = (2, −1, 3) dan b = (1, 4, −2). Hitunglah a · b.
Penyelesaian:
= (2)(1) + (−1)(4) + (3)(−2)
= 2 + (−4) + (−6)
= 2 − 4 − 6 = −8
Soal 7:
Tentukan sudut antara vektor a = (1, 1) dan b = (1, 0).
Penyelesaian:
1) a · b = (1)(1) + (1)(0) = 1
2) |a| = √(1² + 1²) = √2
3) |b| = √(1² + 0²) = 1
4) cos θ = 1 / (√2 × 1) = 1/√2 = √2/2
5) θ = arccos(√2/2) = 45°
Soal 8:
Diketahui a = (2, k) dan b = (3, −6). Jika kedua vektor saling tegak lurus, tentukan nilai k.
Penyelesaian:
Syarat tegak lurus: a · b = 0
(2)(3) + (k)(−6) = 0
6 − 6k = 0
6k = 6
k = 1
Soal 9:
Hitunglah proyeksi skalar vektor a = (4, 3) pada b = (1, 0).
Penyelesaian:
Proyeksi skalar = (a · b) / |b|
a · b = (4)(1) + (3)(0) = 4
|b| = √(1² + 0²) = 1
Proyeksi = 4/1 = 4
Soal 10:
Diketahui a = 2î + 3ĵ − k̂ dan b = î − ĵ + 2k̂. Hitunglah a · b.
Penyelesaian:
a = (2, 3, −1), b = (1, −1, 2)
= (2)(1) + (3)(−1) + (−1)(2)
= 2 − 3 − 2 = −3
Sulit Contoh Soal Sulit (11–15)
Soal 11:
Tentukan sudut antara vektor a = (1, 2, 2) dan b = (2, −1, 2).
Penyelesaian:
1) a · b = (1)(2) + (2)(−1) + (2)(2) = 2 − 2 + 4 = 4
2) |a| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
3) |b| = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3
4) cos θ = 4 / (3 × 3) = 4/9
5) θ = arccos(4/9) ≈ 63,6°
Soal 12:
Diketahui a = (1, 2, −1) dan b = (3, −1, 2). Tentukan vektor proyeksi a pada b.
Penyelesaian:
1) a · b = (1)(3) + (2)(−1) + (−1)(2) = 3 − 2 − 2 = −1
2) |b|² = 9 + 1 + 4 = 14
3) proj = (a · b) / |b|² × b
= (−1/14)(3, −1, 2)
= (−3/14, 1/14, −2/14)
= (−3/14, 1/14, −1/7)
Soal 13:
Jika |a| = 3, |b| = 5, dan |a − b| = 7, tentukan a · b.
Penyelesaian:
|a − b|² = (a − b) · (a − b)
= a·a − 2(a·b) + b·b
49 = 9 − 2(a·b) + 25
49 = 34 − 2(a·b)
2(a·b) = 34 − 49 = −15
a·b = −15/2 = −7,5
Soal 14:
Diketahui a = (m, 1, 2) dan b = (2, m, −1). Jika sudut antara keduanya 90°, tentukan nilai m.
Penyelesaian:
Syarat tegak lurus: a · b = 0
(m)(2) + (1)(m) + (2)(−1) = 0
2m + m − 2 = 0
3m = 2
m = 2/3
Soal 15:
Diketahui a = (1, 2) dan b = (3, 1). Tentukan vektor proyeksi a pada b, kemudian hitung komponen a yang tegak lurus terhadap b.
Penyelesaian:
1) a · b = (1)(3) + (2)(1) = 5
2) |b|² = 9 + 1 = 10
3) Proyeksi vektor: projb a = (5/10)(3, 1) = (3/2, 1/2)
4) Komponen tegak lurus: a − proj = (1, 2) − (3/2, 1/2)
= (−1/2, 3/2)
5) Verifikasi: (−1/2, 3/2) · (3, 1) = −3/2 + 3/2 = 0 ✓ (tegak lurus)
8. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
Mudah Latihan Mudah (1–5)
1. Hitunglah a · b jika a = (4, 2) dan b = (1, 3).
2. Hitunglah p · q jika p = (−1, 5) dan q = (2, −3).
3. Diketahui |a| = 8, |b| = 3, dan θ = 0°. Hitunglah a · b.
4. Hitunglah a · a jika a = (5, 12).
5. Diketahui |a| = 10, |b| = 6, dan θ = 90°. Hitunglah a · b.
Sedang Latihan Sedang (6–10)
6. Tentukan sudut antara vektor a = (1, √3) dan b = (√3, 1).
7. Diketahui a = (3, −1, 2) dan b = (−2, 4, 1). Hitunglah a · b.
8. Tentukan nilai k agar vektor a = (k, 4) tegak lurus dengan b = (2, −3).
9. Hitunglah proyeksi skalar vektor a = (6, 8) pada b = (3, 4).
10. Diketahui a = 3î − 2ĵ + k̂ dan b = −î + 4ĵ − 2k̂. Hitunglah a · b.
Sulit Latihan Sulit (11–15)
11. Jika |a| = 4, |b| = 6, dan |a + b| = 8, tentukan a · b dan sudut antara keduanya.
12. Tentukan vektor proyeksi a = (2, 3, −1) pada b = (1, 1, 1).
13. Diketahui a = (t, 2, 1) dan b = (1, t, −3). Jika a · b = 5, tentukan semua nilai t yang mungkin.
14. Buktikan bahwa jika a + b tegak lurus dengan a − b, maka |a| = |b|.
15. Diketahui a = (2, −1, 3) dan b = (1, 2, −1). Tentukan vektor c yang merupakan komponen a tegak lurus terhadap b, lalu verifikasi bahwa c · b = 0.