Sifat-sifat Aljabar Vektor dalam Ruang (Dimensi Tiga)
Matematika Peminatan Kelas XII
📑 Daftar Isi
Pendahuluan
Dalam ruang dimensi tiga (ℝ³), vektor dinyatakan sebagai:
a = (a₁, a₂, a₃) = a₁i + a₂j + a₃k
Sifat-sifat aljabar vektor merupakan aturan-aturan dasar yang berlaku pada operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar dengan vektor di ruang dimensi tiga. Sifat-sifat ini sangat penting sebagai landasan pembuktian dan penyelesaian masalah vektor.
🔍 Mengamati: Perhatikan bahwa vektor dalam ruang dimensi tiga memiliki tiga komponen (x, y, z). Operasi aljabar pada vektor dilakukan per komponen.
1. Sifat Komutatif Penjumlahan
a + b = b + a
Penjelasan: Urutan penjumlahan dua vektor tidak mempengaruhi hasilnya.
🔍 Mengamati: Jika a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃), maka:
a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)
b + a = (b₁+a₁, b₂+a₂, b₃+a₃)
Karena penjumlahan bilangan real bersifat komutatif (a₁+b₁ = b₁+a₁), maka hasilnya sama.
a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)
b + a = (b₁+a₁, b₂+a₂, b₃+a₃)
Karena penjumlahan bilangan real bersifat komutatif (a₁+b₁ = b₁+a₁), maka hasilnya sama.
❓ Menanya: Mengapa sifat komutatif berlaku pada penjumlahan vektor tetapi tidak selalu berlaku pada operasi lain seperti perkalian silang?
💡 Menalar: Secara geometris, sifat komutatif penjumlahan vektor dapat dilihat dari aturan jajargenjang. Kedua diagonal jajargenjang menghasilkan vektor resultan yang sama.
Bukti:
Misalkan a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃)
a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)
b + a = (b₁+a₁, b₂+a₂, b₃+a₃)
Karena a₁+b₁ = b₁+a₁ (komutatif bilangan real), demikian juga komponen lainnya.
∴ a + b = b + a ∎
a + b = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃)
b + a = (b₁+a₁, b₂+a₂, b₃+a₃)
Karena a₁+b₁ = b₁+a₁ (komutatif bilangan real), demikian juga komponen lainnya.
∴ a + b = b + a ∎
🧪 Mencoba: Buktikan dengan angka! Ambil a = (2, -1, 3) dan b = (4, 5, -2).
• a + b = (2+4, -1+5, 3+(-2)) = (6, 4, 1)
• b + a = (4+2, 5+(-1), -2+3) = (6, 4, 1) ✓
• a + b = (2+4, -1+5, 3+(-2)) = (6, 4, 1)
• b + a = (4+2, 5+(-1), -2+3) = (6, 4, 1) ✓
📢 Mengkomunikasikan: Sifat komutatif penjumlahan vektor menyatakan bahwa hasil penjumlahan dua vektor tidak bergantung pada urutan penjumlahannya. Hal ini konsisten dengan aturan jajargenjang dalam representasi geometris.
2. Sifat Asosiatif Penjumlahan
(a + b) + c = a + (b + c)
Penjelasan: Pengelompokan (penggunaan tanda kurung) pada penjumlahan tiga vektor tidak mempengaruhi hasilnya.
🔍 Mengamati: Perhatikan bahwa baik menghitung (a+b) terlebih dahulu lalu ditambah c, maupun menghitung (b+c) terlebih dahulu lalu ditambah a, hasilnya selalu sama.
❓ Menanya: Apakah sifat asosiatif juga berlaku untuk pengurangan vektor?
💡 Menalar: Karena setiap komponen vektor merupakan bilangan real, dan penjumlahan bilangan real bersifat asosiatif, maka penjumlahan vektor juga bersifat asosiatif.
Bukti:
Misalkan a = (a₁,a₂,a₃), b = (b₁,b₂,b₃), c = (c₁,c₂,c₃)
(a+b)+c = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) + (c₁,c₂,c₃)
= ((a₁+b₁)+c₁, (a₂+b₂)+c₂, (a₃+b₃)+c₃)
= (a₁+(b₁+c₁), a₂+(b₂+c₂), a₃+(b₃+c₃)) [asosiatif bilangan real]
= (a₁,a₂,a₃) + (b₁+c₁, b₂+c₂, b₃+c₃)
= a + (b+c) ∎
(a+b)+c = (a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) + (c₁,c₂,c₃)
= ((a₁+b₁)+c₁, (a₂+b₂)+c₂, (a₃+b₃)+c₃)
= (a₁+(b₁+c₁), a₂+(b₂+c₂), a₃+(b₃+c₃)) [asosiatif bilangan real]
= (a₁,a₂,a₃) + (b₁+c₁, b₂+c₂, b₃+c₃)
= a + (b+c) ∎
🧪 Mencoba: Verifikasi dengan a=(1,2,3), b=(4,0,-1), c=(2,3,1):
• (a+b)+c = (5,2,2)+(2,3,1) = (7,5,3)
• a+(b+c) = (1,2,3)+(6,3,0) = (7,5,3) ✓
• (a+b)+c = (5,2,2)+(2,3,1) = (7,5,3)
• a+(b+c) = (1,2,3)+(6,3,0) = (7,5,3) ✓
📢 Mengkomunikasikan: Sifat asosiatif memungkinkan kita menjumlahkan beberapa vektor tanpa perlu khawatir tentang urutan pengelompokan operasi.
3. Elemen Identitas (Vektor Nol)
a + 0 = 0 + a = a
Penjelasan: Terdapat vektor nol 0 = (0, 0, 0) yang jika dijumlahkan dengan vektor apapun menghasilkan vektor itu sendiri.
🔍 Mengamati: Vektor nol 0 = (0,0,0) berperan sebagai elemen identitas pada operasi penjumlahan vektor, serupa dengan bilangan 0 pada penjumlahan bilangan real.
💡 Menalar: Secara geometris, vektor nol tidak memiliki panjang dan arah. Menambahkan vektor nol berarti tidak melakukan perpindahan apapun.
🧪 Mencoba: a = (3, -2, 7)
a + 0 = (3+0, -2+0, 7+0) = (3, -2, 7) = a ✓
a + 0 = (3+0, -2+0, 7+0) = (3, -2, 7) = a ✓
📢 Mengkomunikasikan: Vektor nol adalah elemen identitas penjumlahan. Ia tidak mengubah vektor manapun ketika dijumlahkan.
4. Invers Penjumlahan (Vektor Negatif)
a + (−a) = 0
Penjelasan: Untuk setiap vektor a, terdapat vektor negatifnya −a sehingga penjumlahannya menghasilkan vektor nol.
🔍 Mengamati: Jika a = (a₁, a₂, a₃), maka −a = (−a₁, −a₂, −a₃).
a + (−a) = (a₁−a₁, a₂−a₂, a₃−a₃) = (0, 0, 0) = 0
a + (−a) = (a₁−a₁, a₂−a₂, a₃−a₃) = (0, 0, 0) = 0
❓ Menanya: Apa hubungan vektor negatif dengan arah vektor? Jawab: Vektor −a memiliki besar yang sama dengan a tetapi arahnya berlawanan.
🧪 Mencoba: a = (5, -3, 2), maka −a = (-5, 3, -2)
a + (−a) = (5-5, -3+3, 2-2) = (0, 0, 0) = 0 ✓
a + (−a) = (5-5, -3+3, 2-2) = (0, 0, 0) = 0 ✓
📢 Mengkomunikasikan: Setiap vektor memiliki invers aditif yang membatalkan efeknya saat dijumlahkan, menghasilkan vektor nol.
5. Sifat Distributif Skalar terhadap Penjumlahan Vektor
k(a + b) = ka + kb
Penjelasan: Skalar k yang mengalikan jumlah dua vektor sama dengan menjumlahkan masing-masing vektor yang telah dikalikan skalar k.
🔍 Mengamati: Sifat ini mirip dengan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan pada bilangan real: k(a+b) = ka + kb.
💡 Menalar: Misalkan a=(a₁,a₂,a₃), b=(b₁,b₂,b₃):
k(a+b) = k(a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) = (k(a₁+b₁), k(a₂+b₂), k(a₃+b₃))
= (ka₁+kb₁, ka₂+kb₂, ka₃+kb₃) = (ka₁,ka₂,ka₃) + (kb₁,kb₂,kb₃)
= ka + kb ∎
k(a+b) = k(a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃) = (k(a₁+b₁), k(a₂+b₂), k(a₃+b₃))
= (ka₁+kb₁, ka₂+kb₂, ka₃+kb₃) = (ka₁,ka₂,ka₃) + (kb₁,kb₂,kb₃)
= ka + kb ∎
🧪 Mencoba: k=3, a=(1,2,-1), b=(2,0,4):
• k(a+b) = 3(3,2,3) = (9,6,9)
• ka+kb = (3,6,-3)+(6,0,12) = (9,6,9) ✓
• k(a+b) = 3(3,2,3) = (9,6,9)
• ka+kb = (3,6,-3)+(6,0,12) = (9,6,9) ✓
📢 Mengkomunikasikan: Sifat distributif ini memungkinkan kita untuk “membuka kurung” atau “memfaktorkan” pada ekspresi vektor, sama seperti aljabar biasa.
6. Sifat Distributif Skalar terhadap Penjumlahan Skalar
(k + m)a = ka + ma
Penjelasan: Jumlah dua skalar yang mengalikan suatu vektor sama dengan menjumlahkan vektor yang dikalikan masing-masing skalar.
🔍 Mengamati: Jika a=(a₁,a₂,a₃):
(k+m)a = ((k+m)a₁, (k+m)a₂, (k+m)a₃) = (ka₁+ma₁, ka₂+ma₂, ka₃+ma₃) = ka + ma
(k+m)a = ((k+m)a₁, (k+m)a₂, (k+m)a₃) = (ka₁+ma₁, ka₂+ma₂, ka₃+ma₃) = ka + ma
🧪 Mencoba: k=2, m=5, a=(3,-1,4):
• (2+5)(3,-1,4) = 7(3,-1,4) = (21,-7,28)
• 2(3,-1,4)+5(3,-1,4) = (6,-2,8)+(15,-5,20) = (21,-7,28) ✓
• (2+5)(3,-1,4) = 7(3,-1,4) = (21,-7,28)
• 2(3,-1,4)+5(3,-1,4) = (6,-2,8)+(15,-5,20) = (21,-7,28) ✓
📢 Mengkomunikasikan: Sifat ini berguna saat kita memiliki beberapa skalar yang mengalikan vektor yang sama, memungkinkan penyederhanaan ekspresi.
7. Sifat Asosiatif Perkalian Skalar
k(ma) = (km)a
Penjelasan: Mengalikan skalar m pada vektor a lalu hasilnya dikalikan skalar k, sama dengan mengalikan (k×m) langsung pada vektor a.
💡 Menalar: k(ma) = k(ma₁, ma₂, ma₃) = (kma₁, kma₂, kma₃) = (km)(a₁, a₂, a₃) = (km)a
🧪 Mencoba: k=3, m=2, a=(1,-2,4):
• 3(2(1,-2,4)) = 3(2,-4,8) = (6,-12,24)
• (3×2)(1,-2,4) = 6(1,-2,4) = (6,-12,24) ✓
• 3(2(1,-2,4)) = 3(2,-4,8) = (6,-12,24)
• (3×2)(1,-2,4) = 6(1,-2,4) = (6,-12,24) ✓
📢 Mengkomunikasikan: Perkalian skalar berulang dapat disederhanakan menjadi satu kali perkalian dengan hasil kali skalar-skalarnya.
8. Identitas Perkalian Skalar
1 · a = a
Penjelasan: Skalar 1 adalah elemen identitas perkalian skalar. Mengalikan vektor dengan 1 menghasilkan vektor itu sendiri.
🔍 Mengamati: 1·(a₁, a₂, a₃) = (1·a₁, 1·a₂, 1·a₃) = (a₁, a₂, a₃) = a
📢 Mengkomunikasikan: Angka 1 tidak mengubah vektor apapun ketika dikalikan, sehingga disebut identitas perkalian skalar.
📋 Ringkasan Sifat-sifat Aljabar Vektor
| No | Nama Sifat | Rumus |
|---|---|---|
| 1 | Komutatif Penjumlahan | a+b = b+a |
| 2 | Asosiatif Penjumlahan | (a+b)+c = a+(b+c) |
| 3 | Elemen Identitas | a+0 = a |
| 4 | Invers Penjumlahan | a+(−a) = 0 |
| 5 | Distributif Skalar-Vektor | k(a+b) = ka+kb |
| 6 | Distributif Skalar-Skalar | (k+m)a = ka+ma |
| 7 | Asosiatif Perkalian Skalar | k(ma) = (km)a |
| 8 | Identitas Perkalian Skalar | 1·a = a |
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh Soal Mudah Mudah
Soal 1. Diketahui a = (2, 3, 1) dan b = (4, -1, 5). Buktikan bahwa a+b = b+a.
Pembahasan:
a+b = (2+4, 3+(-1), 1+5) = (6, 2, 6)
b+a = (4+2, -1+3, 5+1) = (6, 2, 6)
Karena (6,2,6) = (6,2,6), maka terbukti a+b = b+a ✓
a+b = (2+4, 3+(-1), 1+5) = (6, 2, 6)
b+a = (4+2, -1+3, 5+1) = (6, 2, 6)
Karena (6,2,6) = (6,2,6), maka terbukti a+b = b+a ✓
Soal 2. Diketahui p = (1, -2, 4). Tentukan −p dan buktikan p+(−p) = 0.
Pembahasan:
−p = (−1, 2, −4)
p+(−p) = (1+(−1), −2+2, 4+(−4)) = (0, 0, 0) = 0 ✓
−p = (−1, 2, −4)
p+(−p) = (1+(−1), −2+2, 4+(−4)) = (0, 0, 0) = 0 ✓
Soal 3. Hitunglah 3a jika a = (2, -1, 5). Kemudian buktikan 1·a = a.
Pembahasan:
3a = 3(2,-1,5) = (6,-3,15)
1·a = 1(2,-1,5) = (2,-1,5) = a ✓
3a = 3(2,-1,5) = (6,-3,15)
1·a = 1(2,-1,5) = (2,-1,5) = a ✓
Soal 4. Diketahui a = (3, 0, -2). Buktikan a+0 = a.
Pembahasan:
a+0 = (3+0, 0+0, -2+0) = (3, 0, -2) = a ✓
a+0 = (3+0, 0+0, -2+0) = (3, 0, -2) = a ✓
Soal 5. Diketahui k=4 dan a = (1, 2, 3), b = (2, 1, 0). Buktikan k(a+b) = ka+kb.
Pembahasan:
a+b = (3, 3, 3)
k(a+b) = 4(3,3,3) = (12, 12, 12)
ka = 4(1,2,3) = (4,8,12)
kb = 4(2,1,0) = (8,4,0)
ka+kb = (4+8, 8+4, 12+0) = (12, 12, 12) ✓
a+b = (3, 3, 3)
k(a+b) = 4(3,3,3) = (12, 12, 12)
ka = 4(1,2,3) = (4,8,12)
kb = 4(2,1,0) = (8,4,0)
ka+kb = (4+8, 8+4, 12+0) = (12, 12, 12) ✓
Contoh Soal Sedang Sedang
Soal 6. Diketahui a=(2,-1,3), b=(1,4,-2), c=(-3,2,1). Buktikan sifat asosiatif: (a+b)+c = a+(b+c).
Pembahasan:
a+b = (2+1, -1+4, 3-2) = (3, 3, 1)
(a+b)+c = (3-3, 3+2, 1+1) = (0, 5, 2)
b+c = (1-3, 4+2, -2+1) = (-2, 6, -1)
a+(b+c) = (2-2, -1+6, 3-1) = (0, 5, 2) ✓
a+b = (2+1, -1+4, 3-2) = (3, 3, 1)
(a+b)+c = (3-3, 3+2, 1+1) = (0, 5, 2)
b+c = (1-3, 4+2, -2+1) = (-2, 6, -1)
a+(b+c) = (2-2, -1+6, 3-1) = (0, 5, 2) ✓
Soal 7. Diketahui k=2, m=3, a=(4,-1,2). Buktikan (k+m)a = ka+ma.
Pembahasan:
(k+m)a = (2+3)(4,-1,2) = 5(4,-1,2) = (20,-5,10)
ka = 2(4,-1,2) = (8,-2,4)
ma = 3(4,-1,2) = (12,-3,6)
ka+ma = (8+12, -2-3, 4+6) = (20,-5,10) ✓
(k+m)a = (2+3)(4,-1,2) = 5(4,-1,2) = (20,-5,10)
ka = 2(4,-1,2) = (8,-2,4)
ma = 3(4,-1,2) = (12,-3,6)
ka+ma = (8+12, -2-3, 4+6) = (20,-5,10) ✓
Soal 8. Diketahui k=2, m=-3, a=(1,5,-2). Buktikan k(ma) = (km)a.
Pembahasan:
ma = -3(1,5,-2) = (-3,-15,6)
k(ma) = 2(-3,-15,6) = (-6,-30,12)
km = 2×(-3) = -6
(km)a = -6(1,5,-2) = (-6,-30,12) ✓
ma = -3(1,5,-2) = (-3,-15,6)
k(ma) = 2(-3,-15,6) = (-6,-30,12)
km = 2×(-3) = -6
(km)a = -6(1,5,-2) = (-6,-30,12) ✓
Soal 9. Sederhanakan ekspresi: 3(a+2b) − 2(2a−b) dengan a=(1,0,3), b=(2,-1,1).
Pembahasan:
Gunakan sifat distributif:
3(a+2b) = 3a+6b
2(2a−b) = 4a−2b
3a+6b−(4a−2b) = 3a+6b−4a+2b = −a+8b
−a = (−1, 0, −3)
8b = (16, −8, 8)
−a+8b = (−1+16, 0−8, −3+8) = (15, −8, 5)
Gunakan sifat distributif:
3(a+2b) = 3a+6b
2(2a−b) = 4a−2b
3a+6b−(4a−2b) = 3a+6b−4a+2b = −a+8b
−a = (−1, 0, −3)
8b = (16, −8, 8)
−a+8b = (−1+16, 0−8, −3+8) = (15, −8, 5)
Soal 10. Jika 2a+3b = (10, 1, 8) dan a=(2, -1, 1), tentukan b.
Pembahasan:
2a = 2(2,-1,1) = (4,-2,2)
3b = (10,1,8)−(4,-2,2) = (6,3,6)
b = (6/3, 3/3, 6/3) = (2, 1, 2)
2a = 2(2,-1,1) = (4,-2,2)
3b = (10,1,8)−(4,-2,2) = (6,3,6)
b = (6/3, 3/3, 6/3) = (2, 1, 2)
Contoh Soal Sulit Sulit
Soal 11. Tentukan nilai k dan m jika ka+mb = c, dengan a=(1,2,-1), b=(3,-1,2), c=(11,0,5).
Pembahasan:
k(1,2,-1)+m(3,-1,2) = (11,0,5)
(k+3m, 2k−m, −k+2m) = (11, 0, 5)
Sistem persamaan:
① k + 3m = 11
② 2k − m = 0 → m = 2k
③ −k + 2m = 5
Substitusi ② ke ①: k + 3(2k) = 11 → 7k = 11 → k = 11/7
Cek dengan ③: −11/7 + 2(22/7) = −11/7 + 44/7 = 33/7 ≠ 5
Gunakan ② dan ③: m=2k, substitusi ke ③: −k+2(2k)=5 → 3k=5 → k=5/3
m = 2(5/3) = 10/3
Cek ①: 5/3 + 3(10/3) = 5/3 + 30/3 = 35/3 ≠ 11
Sistem ini overdetermined. Gunakan 2 persamaan saja:
Dari ② dan ③: k=5/3, m=10/3
Verifikasi: ka+mb = (5/3)(1,2,-1)+(10/3)(3,-1,2)
= (5/3, 10/3, -5/3)+(30/3, -10/3, 20/3)
= (35/3, 0, 15/3) = (35/3, 0, 5)
Agar konsisten dengan (11,0,5), gunakan ① dan ②:
m=2k → k+6k=11 → 7k=11 → k=11/7, m=22/7
Verifikasi ③: -11/7+44/7=33/7≠5. Sistem tidak konsisten → c tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linear a dan b yang memenuhi ketiga persamaan sekaligus.
Jika hanya menggunakan 2 persamaan (① dan ②): k=11/7, m=22/7
k(1,2,-1)+m(3,-1,2) = (11,0,5)
(k+3m, 2k−m, −k+2m) = (11, 0, 5)
Sistem persamaan:
① k + 3m = 11
② 2k − m = 0 → m = 2k
③ −k + 2m = 5
Substitusi ② ke ①: k + 3(2k) = 11 → 7k = 11 → k = 11/7
Cek dengan ③: −11/7 + 2(22/7) = −11/7 + 44/7 = 33/7 ≠ 5
Gunakan ② dan ③: m=2k, substitusi ke ③: −k+2(2k)=5 → 3k=5 → k=5/3
m = 2(5/3) = 10/3
Cek ①: 5/3 + 3(10/3) = 5/3 + 30/3 = 35/3 ≠ 11
Sistem ini overdetermined. Gunakan 2 persamaan saja:
Dari ② dan ③: k=5/3, m=10/3
Verifikasi: ka+mb = (5/3)(1,2,-1)+(10/3)(3,-1,2)
= (5/3, 10/3, -5/3)+(30/3, -10/3, 20/3)
= (35/3, 0, 15/3) = (35/3, 0, 5)
Agar konsisten dengan (11,0,5), gunakan ① dan ②:
m=2k → k+6k=11 → 7k=11 → k=11/7, m=22/7
Verifikasi ③: -11/7+44/7=33/7≠5. Sistem tidak konsisten → c tidak dapat ditulis sebagai kombinasi linear a dan b yang memenuhi ketiga persamaan sekaligus.
Jika hanya menggunakan 2 persamaan (① dan ②): k=11/7, m=22/7
Soal 12. Buktikan bahwa untuk vektor u, v, w dalam ℝ³ berlaku: u+v+w = w+u+v menggunakan sifat komutatif dan asosiatif.
Pembahasan:
u+v+w
= (u+v)+w [konvensi kiri ke kanan]
= w+(u+v) [komutatif]
= (w+u)+v [asosiatif]
= w+u+v ∎
u+v+w
= (u+v)+w [konvensi kiri ke kanan]
= w+(u+v) [komutatif]
= (w+u)+v [asosiatif]
= w+u+v ∎
Soal 13. Sederhanakan: 2(3a−b)+3(−a+4b)−(5a+2b) dan tentukan hasilnya jika a=(-1,2,3), b=(2,0,-1).
Pembahasan:
= 6a−2b−3a+12b−5a−2b
= (6−3−5)a+(−2+12−2)b
= −2a+8b
−2a = −2(−1,2,3) = (2,−4,−6)
8b = 8(2,0,−1) = (16,0,−8)
= (2+16, −4+0, −6−8) = (18, −4, −14)
= 6a−2b−3a+12b−5a−2b
= (6−3−5)a+(−2+12−2)b
= −2a+8b
−2a = −2(−1,2,3) = (2,−4,−6)
8b = 8(2,0,−1) = (16,0,−8)
= (2+16, −4+0, −6−8) = (18, −4, −14)
Soal 14. Jika a+b+c = 0 dan a=(1,2,-3), b=(-2,1,4), tentukan c. Kemudian buktikan bahwa a+b = −c.
Pembahasan:
c = −(a+b) = −((1,2,-3)+(-2,1,4)) = −(-1, 3, 1) = (1, −3, −1)
Buktikan a+b = −c:
a+b = (-1, 3, 1)
−c = −(1,−3,−1) = (−1, 3, 1) ✓
c = −(a+b) = −((1,2,-3)+(-2,1,4)) = −(-1, 3, 1) = (1, −3, −1)
Buktikan a+b = −c:
a+b = (-1, 3, 1)
−c = −(1,−3,−1) = (−1, 3, 1) ✓
Soal 15. Tentukan vektor x yang memenuhi: 2x−3a+b = 4x+a−2b, jika a=(1,-1,2) dan b=(3,2,-1).
Pembahasan:
2x−3a+b = 4x+a−2b
2x−4x = a−2b+3a−b
−2x = 4a−3b
x = −2a+³⁄₂b
x = −2(1,−1,2)+1.5(3,2,−1)
= (−2,2,−4)+(4.5, 3, −1.5)
= (2.5, 5, −5.5)
= (5/2, 5, −11/2)
2x−3a+b = 4x+a−2b
2x−4x = a−2b+3a−b
−2x = 4a−3b
x = −2a+³⁄₂b
x = −2(1,−1,2)+1.5(3,2,−1)
= (−2,2,−4)+(4.5, 3, −1.5)
= (2.5, 5, −5.5)
= (5/2, 5, −11/2)
✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
Soal Mudah Mudah
1. Diketahui a=(5,1,-3) dan b=(2,-4,6). Buktikan a+b = b+a.
2. Tentukan −v jika v=(7,-2,4). Verifikasi bahwa v+(−v)=0.
3. Hitunglah 5a jika a=(1,−3,2). Buktikan 1·a=a.
4. Buktikan a+0=a untuk a=(−4,6,1).
5. Diketahui k=2, a=(3,1,−2), b=(1,−1,4). Buktikan k(a+b)=ka+kb.
Soal Sedang Sedang
6. Buktikan sifat asosiatif dengan a=(3,−2,1), b=(−1,4,2), c=(2,0,−5).
7. Buktikan (k+m)a=ka+ma dengan k=−2, m=5, a=(3,1,−4).
8. Sederhanakan 4(2a−b)−3(a+2b) untuk a=(1,2,−1), b=(−2,3,1).
9. Jika 3a−2b=(7,8,−1), a=(1,2,1), tentukan b.
10. Buktikan k(ma)=(km)a dengan k=−3, m=4, a=(2,−1,3).
Soal Sulit Sulit
11. Tentukan vektor x jika: 3x+2a−b = x−a+4b, dengan a=(2,−1,3), b=(1,4,−2).
12. Sederhanakan dan hitung: 3(2a+b−c)−2(−a+3b+c)+(a−b+2c) untuk a=(1,0,−2), b=(−1,3,1), c=(2,−1,0).
13. Jika a+b+c=0, a=(2,−3,1), dan c=(−1,4,2), tentukan b dan buktikan 2a+2b+2c=0.
14. Tentukan k dan m jika ka+mb=c dengan a=(1,2), b=(3,1), c=(7,8). (Gunakan sistem 2 persamaan.)
15. Buktikan bahwa jika k(a+b)=ka+kb dan (k+m)a=ka+ma, maka (k+m)(a+b)=ka+kb+ma+mb.
🎯 Kesimpulan
Sifat-sifat aljabar vektor dalam ruang dimensi tiga merupakan fondasi penting yang memungkinkan kita melakukan manipulasi aljabar pada vektor. Kedelapan sifat ini (komutatif, asosiatif, identitas, invers, dua distributif, asosiatif skalar, dan identitas skalar) membentuk struktur ruang vektor yang memudahkan pembuktian dan penyelesaian masalah geometri maupun fisika dalam tiga dimensi.