Vektor Posisi
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
1. Pengertian Vektor Posisi
Mengamati
Perhatikan sistem koordinat Kartesius berikut. Titik A berada di koordinat (3, 4). Vektor yang menghubungkan titik asal O(0,0) ke titik A(3,4) disebut vektor posisi titik A.
Definisi: Vektor posisi suatu titik adalah vektor yang pangkalnya di titik asal O dan ujungnya di titik tersebut.
Notasi:
Jika titik A memiliki koordinat (a₁, a₂) di ℝ², maka vektor posisi titik A:
OA = a = a₁î + a₂ĵ = (a₁, a₂)
Jika titik A memiliki koordinat (a₁, a₂, a₃) di ℝ³, maka:
OA = a = a₁î + a₂ĵ + a₃k̂ = (a₁, a₂, a₃)
Menanya
- Apa perbedaan vektor posisi dengan vektor biasa?
- Mengapa vektor posisi selalu berpangkal di titik asal?
- Bagaimana cara menentukan vektor posisi jika diketahui koordinat suatu titik?
Menalar
Vektor posisi unik karena selalu berpangkal di titik asal O. Dengan demikian, setiap titik di bidang/ruang memiliki tepat satu vektor posisi. Koordinat ujung vektor sama dengan komponen vektornya.
Keterangan Notasi:
| Simbol | Arti |
|---|---|
| î | Vektor satuan arah sumbu-x (1, 0, 0) |
| ĵ | Vektor satuan arah sumbu-y (0, 1, 0) |
| k̂ | Vektor satuan arah sumbu-z (0, 0, 1) |
| OA | Vektor dari O ke A (vektor posisi A) |
| |a| | Panjang (modulus) vektor a |
2. Panjang (Modulus) Vektor Posisi
Panjang vektor posisi menunjukkan jarak titik tersebut dari titik asal.
Di ℝ² :
|a| = √(a₁² + a₂²)
Di ℝ³ :
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
Mencoba
Hitunglah panjang vektor posisi dari titik-titik berikut:
- A(3, 4) → |a| = √(9 + 16) = √25 = 5
- B(1, 2, 2) → |b| = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
3. Vektor dari Titik A ke Titik B
Jika diketahui dua titik A dan B dengan vektor posisi masing-masing a dan b, maka vektor dari A ke B adalah:
AB = b − a
Artinya: komponen vektor AB = (koordinat B) − (koordinat A)
Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada temanmu mengapa AB = b − a, bukan a − b. Gunakan gambar di atas sebagai bantuan.
4. Vektor Posisi Titik Tengah
Jika M adalah titik tengah ruas garis AB, maka vektor posisi M:
m = ½(a + b)
Artinya, komponen vektor posisi titik tengah = rata-rata komponen kedua titik ujung.
5. Vektor Posisi Titik yang Membagi Ruas Garis
Jika titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka:
p = (na + mb) / (m + n)
Menalar
Perhatikan bahwa rumus titik tengah adalah kasus khusus dari rumus ini ketika m = n = 1.
Contoh Soal & Pembahasan
A. Tingkat Mudah
Soal 1. Tentukan vektor posisi titik A(2, 5).
Pembahasan
Vektor posisi titik A = OA = 2î + 5ĵ = (2, 5).
Soal 2. Tentukan vektor posisi titik B(−3, 1).
Pembahasan
OB = −3î + 1ĵ = (−3, 1).
Soal 3. Tentukan panjang vektor posisi titik C(3, 4).
Pembahasan
|c| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Soal 4. Tentukan vektor posisi titik D(1, 2, 3) di ℝ³.
Pembahasan
OD = 1î + 2ĵ + 3k̂ = (1, 2, 3).
Soal 5. Diketahui titik P(6, 0). Tentukan vektor posisi dan panjangnya.
Pembahasan
Vektor posisi: p = (6, 0) = 6î + 0ĵ.
Panjang: |p| = √(36 + 0) = 6.
B. Tingkat Sedang
Soal 6. Diketahui A(1, 3) dan B(4, 7). Tentukan vektor AB.
Pembahasan
AB = b − a = (4−1, 7−3) = (3, 4).
Soal 7. Diketahui A(2, −1) dan B(−4, 5). Tentukan panjang AB.
Pembahasan
AB = (−4−2, 5−(−1)) = (−6, 6).
|AB| = √(36 + 36) = √72 = 6√2.
Soal 8. Tentukan vektor posisi titik tengah M dari A(2, 4) dan B(6, 8).
Pembahasan
m = ½(a + b) = ½(2+6, 4+8) = ½(8, 12) = (4, 6).
Soal 9. Diketahui A(1, 2, 3) dan B(3, 4, 5). Tentukan vektor AB dan panjangnya.
Pembahasan
AB = (3−1, 4−2, 5−3) = (2, 2, 2).
|AB| = √(4+4+4) = √12 = 2√3.
Soal 10. Titik P membagi AB dengan A(1, 1) dan B(7, 4) dengan perbandingan 1:2. Tentukan vektor posisi P.
Pembahasan
p = (na + mb)/(m+n) = (2(1,1) + 1(7,4))/(1+2) = (2+7, 2+4)/3 = (9, 6)/3 = (3, 2).
C. Tingkat Sulit
Soal 11. Diketahui A(2, −1, 3), B(4, 3, −1), dan C(−2, 5, 1). Tentukan vektor posisi titik berat segitiga ABC.
Pembahasan
Titik berat G = ⅓(a + b + c)
= ⅓(2+4+(−2), −1+3+5, 3+(−1)+1)
= ⅓(4, 7, 3)
= (4/3, 7/3, 1).
Soal 12. Titik P membagi AB dengan perbandingan 2:3 dari A. Jika A(−1, 4, 2) dan B(9, −1, 7), tentukan vektor posisi P dan panjangnya.
Pembahasan
p = (3(−1,4,2) + 2(9,−1,7))/5 = (−3+18, 12−2, 6+14)/5 = (15, 10, 20)/5 = (3, 2, 4).
|p| = √(9+4+16) = √29.
Soal 13. Diketahui |a| = 5 dan vektor posisi a = (k, k+1) di ℝ². Tentukan nilai k.
Pembahasan
√(k² + (k+1)²) = 5
k² + k² + 2k + 1 = 25
2k² + 2k − 24 = 0
k² + k − 12 = 0
(k+4)(k−3) = 0
k = −4 atau k = 3.
Soal 14. Diketahui A(1, 2), B(5, 4), dan C adalah titik pada perpanjangan AB sehingga AC:CB = 3:−1. Tentukan vektor posisi C.
Pembahasan
Untuk pembagian luar m:n = 3:(−1) → C membagi AB secara eksternal 3:1.
c = (−1·(1,2) + 3·(5,4))/(3−1) = (−1+15, −2+12)/2 = (14, 10)/2 = (7, 5).
Soal 15. Titik A(1,1,1), B(3,5,−1), C(−1,3,5). Tentukan vektor posisi titik D sehingga ABCD membentuk jajar genjang (AB ∥ DC).
Pembahasan
Pada jajar genjang ABCD: AB = DC.
AB = (2, 4, −2).
DC = c − d = (−1, 3, 5) − d = (2, 4, −2).
d = (−1−2, 3−4, 5+2) = (−3, −1, 7).
Latihan Soal
A. Tingkat Mudah
1. Tentukan vektor posisi titik A(−4, 7).
2. Tentukan vektor posisi titik B(0, −3, 5).
3. Hitung panjang vektor posisi titik C(5, 12).
4. Hitung panjang vektor posisi titik D(2, 2, 1).
5. Nyatakan vektor posisi titik E(−1, 6) dalam bentuk î dan ĵ.
B. Tingkat Sedang
6. Diketahui A(3, 1) dan B(−1, 5). Tentukan vektor AB dan panjangnya.
7. Tentukan vektor posisi titik tengah dari P(−2, 6) dan Q(8, −4).
8. Diketahui A(1, 0, 4) dan B(3, 2, −2). Tentukan AB dan |AB|.
9. Titik R membagi PQ dengan P(2, 3) dan Q(8, 9) dengan perbandingan 1:2. Tentukan vektor posisi R.
10. Jika a = (3, −2) dan b = (−1, 4), tentukan vektor posisi titik tengah AB.
C. Tingkat Sulit
11. Diketahui A(1, 2, −3), B(3, −1, 4), C(−2, 0, 1). Tentukan vektor posisi titik berat segitiga ABC.
12. Diketahui |a| = 13 dan a = (k, k+7). Tentukan semua nilai k yang memenuhi.
13. Titik P membagi AB secara eksternal dengan perbandingan 5:2. Jika A(1, 3) dan B(4, 6), tentukan vektor posisi P.
14. Diketahui A(2, 1, −1), B(4, 5, 3), C(0, 3, 5). Tentukan vektor posisi D agar ABCD adalah jajar genjang.
15. Tentukan vektor posisi titik yang membagi ruas garis dari A(−3, 2, 1) ke B(6, −1, 4) dengan perbandingan 2:1 dari dalam dan dari luar.