Perkalian Vektor dengan Skalar
Materi Matematika — Vektor
1. Pengertian Perkalian Vektor dengan Skalar
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan ilustrasi berikut. Sebuah vektor a dikalikan dengan bilangan (skalar) tertentu. Amati apa yang terjadi pada panjang dan arah vektor tersebut.
Definisi:
• Panjang (besar) vektor baru = |k| × |a|
• Arah: searah a jika k > 0, berlawanan arah jika k < 0
• Jika k = 0 atau a = 0, maka hasilnya adalah vektor nol.
❓ Kegiatan: Menanya
Dari pengamatan di atas, coba jawab pertanyaan berikut:
- Apa yang terjadi pada panjang vektor jika dikalikan skalar 3?
- Apa yang terjadi pada arah vektor jika dikalikan skalar −2?
- Apa hasil perkalian vektor dengan skalar 0?
- Apakah perkalian skalar mengubah arah vektor jika skalar bernilai positif?
Notasi Vektor yang Digunakan
| Notasi | Penulisan | Keterangan |
|---|---|---|
| Huruf tebal | a | Digunakan di buku cetak |
| Huruf dengan panah | a | Penulisan tangan / digital |
| Kolom / komponen | (a₁ a₂) |
Vektor dalam bentuk komponen 2D |
| Besar / panjang | |a| | Magnitudo vektor |
2. Sifat-sifat Perkalian Vektor dengan Skalar
💡 Kegiatan: Menalar
Dengan menggunakan pemahaman tentang perkalian skalar, mari kita telaah sifat-sifat berikut secara logis.
Misalkan k dan m adalah skalar, serta a dan b adalah vektor. Berlaku sifat-sifat berikut:
k(a + b) = ka + kb
(k + m)a = ka + ma
k(ma) = (km)a
1 × a = a
0 × a = 0 dan k × 0 = 0
(−1)a = −a (vektor dengan arah berlawanan dan panjang sama)
| Sifat | Rumus | Contoh Sederhana |
|---|---|---|
| Distributif 1 | k(a+b) = ka+kb | 2((1,2)+(3,1)) = 2(1,2)+2(3,1) = (2,4)+(6,2) = (8,6) |
| Distributif 2 | (k+m)a = ka+ma | (2+3)(1,4) = 2(1,4)+3(1,4) = (2,8)+(3,12) = (5,20) |
| Asosiatif | k(ma) = (km)a | 2(3(1,2)) = 2(3,6) = (6,12) = 6(1,2) |
3. Interpretasi Geometri
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan diagram berikut yang menunjukkan efek perkalian skalar terhadap vektor secara visual.
| Nilai k | Panjang Hasil | Arah Hasil |
|---|---|---|
| k > 1 | Lebih panjang (diperbesar) | Searah a |
| 0 < k < 1 | Lebih pendek (diperkecil) | Searah a |
| k = 1 | Sama | Searah a |
| k = 0 | Nol (titik) | Tidak ada arah |
| −1 < k < 0 | Lebih pendek | Berlawanan a |
| k < −1 | Lebih panjang | Berlawanan a |
4. Perkalian Skalar dalam Bentuk Komponen (2D)
✏️ Kegiatan: Mencoba
Mari kita coba menghitung perkalian skalar dengan vektor yang dinyatakan dalam bentuk komponen.
k a = k(a₁, a₂) = (ka₁, ka₂)
Artinya: setiap komponen vektor dikalikan dengan skalar tersebut.
Contoh langsung:
• 4a = 4(3, −2) = (4×3, 4×(−2)) = (12, −8)
• −2a = −2(3, −2) = (−2×3, −2×(−2)) = (−6, 4)
• ½a = ½(3, −2) = (½×3, ½×(−2)) = (1.5, −1)
Panjang (Magnitudo) Hasil Perkalian Skalar
dimana |a| = √(a₁² + a₂²)
Contoh: a = (3, 4), maka |a| = √(9+16) = √25 = 5
|3a| = |3| × 5 = 15
|−2a| = |−2| × 5 = 10
5. Perkalian Skalar pada Vektor 3 Dimensi
ka = k(a₁, a₂, a₃) = (ka₁, ka₂, ka₃)
Panjang: |ka| = |k| × √(a₁² + a₂² + a₃²)
Contoh:
3a = 3(1, −2, 3) = (3, −6, 9)
|a| = √(1+4+9) = √14
|3a| = 3√14
📣 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada teman sebangkumu: Mengapa perkalian vektor dengan skalar negatif menghasilkan vektor yang berlawanan arah? Gunakan contoh vektor (2, 5) dikalikan −3 untuk menjelaskan.
Petunjuk: Gambar vektor asli dan hasilnya pada kertas berpetak, lalu bandingkan arahnya.
6. Contoh Soal dan Pembahasan
MUDAH Contoh Soal 1–5
Contoh Soal 1: Diketahui a = (2, 5). Tentukan 3a.
3a = 3(2, 5) = (3×2, 3×5) = (6, 15)
Contoh Soal 2: Diketahui b = (−4, 6). Tentukan −2b.
−2b = −2(−4, 6) = (−2×(−4), −2×6) = (8, −12)
Contoh Soal 3: Diketahui c = (10, −8). Tentukan ½c.
½c = ½(10, −8) = (½×10, ½×(−8)) = (5, −4)
Contoh Soal 4: Diketahui a = (3, 4). Tentukan panjang 2a.
|a| = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5
|2a| = |2| × |a| = 2 × 5 = 10
Verifikasi: 2a = (6, 8), |2a| = √(36+64) = √100 = 10 ✓
Contoh Soal 5: Tentukan 0 × a jika a = (7, −3).
0 × a = 0 × (7, −3) = (0×7, 0×(−3)) = (0, 0) = 0 (vektor nol)
Sesuai sifat: perkalian vektor apapun dengan skalar 0 menghasilkan vektor nol.
SEDANG Contoh Soal 6–10
Contoh Soal 6: Diketahui a = (2, −1) dan b = (3, 4). Tentukan 2a + 3b.
2a = 2(2, −1) = (4, −2)
3b = 3(3, 4) = (9, 12)
2a + 3b = (4+9, −2+12) = (13, 10)
Contoh Soal 7: Diketahui p = (1, −3, 2). Tentukan −4p dan panjangnya.
−4p = −4(1, −3, 2) = (−4, 12, −8)
|p| = √(1+9+4) = √14
|−4p| = |−4| × √14 = 4√14 ≈ 14,97
Verifikasi: |−4p| = √(16+144+64) = √224 = √(16×14) = 4√14 ✓
Contoh Soal 8: Buktikan sifat distributif: 3(a + b) = 3a + 3b untuk a = (1, 4) dan b = (2, −1).
Ruas kiri:
a + b = (1+2, 4+(−1)) = (3, 3)
3(3, 3) = (9, 9)
Ruas kanan:
3a = 3(1, 4) = (3, 12)
3b = 3(2, −1) = (6, −3)
3a + 3b = (3+6, 12+(−3)) = (9, 9)
Ruas kiri = Ruas kanan = (9, 9) ✓ Terbukti.
Contoh Soal 9: Jika 2a − 3b = (1, 7) dan a = (5, 2), tentukan b.
2a − 3b = (1, 7)
2(5, 2) − 3b = (1, 7)
(10, 4) − 3b = (1, 7)
3b = (10, 4) − (1, 7) = (9, −3)
b = ⅓(9, −3) = (3, −1)
Verifikasi: 2(5,2) − 3(3,−1) = (10,4) − (9,−3) = (1,7) ✓
Contoh Soal 10: Diketahui v = (6, −8). Tentukan vektor satuan dari v.
Vektor satuan: v̂ = (1/|v|) × v
|v| = √(36+64) = √100 = 10
v̂ = (1/10)(6, −8) = (0.6, −0.8)
Verifikasi: |v̂| = √(0.36+0.64) = √1 = 1 ✓ (panjang = 1, benar vektor satuan)
SULIT Contoh Soal 11–15
Contoh Soal 11: Diketahui a = (2, −1, 3) dan b = (−1, 4, 2). Tentukan nilai skalar k agar |ka + b| = √89.
ka + b = k(2,−1,3) + (−1,4,2) = (2k−1, −k+4, 3k+2)
|ka + b|² = (2k−1)² + (−k+4)² + (3k+2)² = 89
(4k²−4k+1) + (k²−8k+16) + (9k²+12k+4) = 89
14k² + 0k + 21 = 89
14k² = 68
k² = 68/14 = 34/7
k = ±√(34/7) = ±√238 / 7 ≈ ±2,20
Contoh Soal 12: Titik A(1, 2) dan B(4, 6). Titik P membagi AB dengan perbandingan AP:PB = 2:1. Tentukan koordinat P menggunakan perkalian vektor dengan skalar.
Vektor posisi: OA = (1, 2), OB = (4, 6)
Rumus titik bagi dalam perbandingan m:n:
OP = (n × OA + m × OB) / (m + n)
Dengan m = 2, n = 1:
OP = (1(1,2) + 2(4,6)) / (2+1)
= ((1,2) + (8,12)) / 3
= (9, 14) / 3
= ⅓(9, 14)
= (3, 14/3) atau (3, 4⅔)
Contoh Soal 13: Tentukan semua nilai m agar vektor ma − 2b sejajar dengan a + b, jika a = (1, 3) dan b = (2, −1).
ma − 2b = m(1,3) − 2(2,−1) = (m−4, 3m+2)
a + b = (1+2, 3+(−1)) = (3, 2)
Dua vektor sejajar ⟺ hasil kali silang = 0
(m−4)(2) − (3m+2)(3) = 0
2m − 8 − 9m − 6 = 0
−7m − 14 = 0
−7m = 14
m = −2
Verifikasi: ma−2b = (−2−4, −6+2) = (−6, −4) = −2(3, 2) ✓ sejajar
Contoh Soal 14: Diketahui a = (2, 1, −2). Tentukan semua skalar k agar vektor ka memiliki panjang 12.
|ka| = |k| × |a| = 12
|a| = √(4+1+4) = √9 = 3
|k| × 3 = 12
|k| = 4
k = 4 atau k = −4
Verifikasi:
4(2,1,−2) = (8,4,−8), |(8,4,−8)| = √(64+16+64) = √144 = 12 ✓
−4(2,1,−2) = (−8,−4,8), |(−8,−4,8)| = √(64+16+64) = √144 = 12 ✓
Contoh Soal 15: Diketahui 3a + kb = c, dengan a = (1, −2, 4), b = (−2, 1, 3), dan c = (−1, −4, 18). Tentukan nilai k.
3(1,−2,4) + k(−2,1,3) = (−1,−4,18)
(3,−6,12) + (−2k, k, 3k) = (−1,−4,18)
Dari komponen 1: 3 − 2k = −1 → −2k = −4 → k = 2
Dari komponen 2: −6 + k = −4 → k = 2 ✓
Dari komponen 3: 12 + 3k = 18 → 3k = 6 → k = 2 ✓
k = 2 (konsisten di semua komponen)
7. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan rumus dan sifat yang telah dipelajari!
MUDAH
1. Diketahui a = (4, −3). Tentukan 5a.
2. Diketahui b = (−6, 2). Tentukan −3b.
3. Diketahui c = (8, −10). Tentukan ¼c.
4. Diketahui d = (5, 12). Tentukan panjang 3d.
5. Tentukan hasil dari 0 × (−7, 9, 2).
SEDANG
6. Diketahui a = (3, −2) dan b = (−1, 5). Tentukan 4a − 2b.
7. Diketahui p = (2, −3, 1). Tentukan −3p dan panjangnya.
8. Buktikan bahwa (2+3)a = 2a + 3a untuk a = (−1, 7).
9. Diketahui v = (−3, 4). Tentukan vektor satuan dari v.
10. Jika 3a + b = (7, 11) dan b = (1, 2), tentukan a.
SULIT
11. Tentukan nilai k agar |k(1, −2, 2)| = 18.
12. Titik A(2, 1) dan B(8, 7). Tentukan koordinat titik P yang membagi AB dengan perbandingan 1:2 menggunakan perkalian vektor dengan skalar.
13. Tentukan nilai m agar m(2, −1) + 3(1, 4) sejajar dengan (1, 1).
14. Diketahui 2a − kb = c dengan a = (3, 1, −2), b = (1, −1, 2), dan c = (4, 5, −10). Tentukan k.
15. Diberikan a = (1, 2, −1) dan b = (3, −1, 2). Tentukan semua nilai skalar t agar panjang vektor ta − b sama dengan √35.