Matematika Peminatan • Kelas X
Menyatakan Vektor pada Bidang
Materi lengkap — Contoh Soal — Latihan Soal
1. Pengertian Vektor pada Bidang
🔍 MengamatiPerhatikan gambar di bawah ini. Seorang anak berjalan 5 meter ke arah timur. Perpindahan tersebut memiliki besar (5 m) dan arah (timur). Besaran yang memiliki besar sekaligus arah disebut vektor.
Apa perbedaan vektor dan skalar?
- Skalar: besaran yang hanya memiliki besar (contoh: suhu, massa).
- Vektor: besaran yang memiliki besar dan arah (contoh: perpindahan, gaya, kecepatan).
Vektor pada bidang adalah vektor yang terletak pada bidang datar (dua dimensi, ℝ²). Vektor ini digambarkan sebagai anak panah yang menghubungkan titik awal (pangkal) ke titik akhir (ujung).
- Pangkal: titik awal vektor.
- Ujung: titik akhir vektor (ditandai anak panah ➤).
- Panjang anak panah menyatakan besar vektor.
- Arah anak panah menyatakan arah vektor.
2. Notasi Vektor pada Bidang
🔍 MengamatiAda beberapa cara menuliskan (menyatakan) vektor. Perhatikan tabel berikut.
| Cara | Penulisan | Keterangan |
|---|---|---|
| Huruf kecil tebal | a | Dicetak tebal (bold) |
| Huruf dengan anak panah | → a | Anak panah di atas huruf |
| Dua huruf kapital dengan anak panah | → AB | Dari titik A ke titik B |
| Huruf bergaris bawah | a | Ditulis tangan (digarisbawahi) |
Dalam artikel ini, vektor ditulis dengan huruf tebal: a, b, u, v, dst. Vektor dari titik A ke titik B ditulis AB dengan anak panah di atasnya (→ AB ).
Besar (panjang) vektor a ditulis |a| atau a (huruf biasa tanpa tebal).
3. Vektor Posisi
🔍 MengamatiPada sistem koordinat Kartesius, kita menetapkan titik asal O(0, 0). Jika terdapat titik P(x, y), maka vektor dari O ke P disebut vektor posisi dari P.
Vektor posisi titik P(x, y) terhadap titik asal O ditulis:
Contoh: Titik A(3, 4) memiliki vektor posisi a = (3, 4).
Tentukan vektor posisi dari titik-titik berikut: B(−2, 5), C(0, −3), D(7, 1).
📢 Mengkomunikasikanb = (−2, 5), c = (0, −3), d = (7, 1).
4. Vektor Kolom (Komponen Vektor)
🔍 MengamatiVektor pada bidang dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kolom (komponen). Jika a memiliki komponen mendatar (sumbu-x) sebesar a1 dan komponen tegak (sumbu-y) sebesar a2, maka:
Bagaimana menentukan komponen vektor jika diketahui titik awal dan titik akhir?
💡 MenalarJika vektor → AB memiliki titik awal A(x1, y1) dan titik akhir B(x2, y2), maka:
Diketahui A(1, 2) dan B(5, 6). Tentukan vektor → AB dalam bentuk vektor kolom.
📢 Mengkomunikasikan→ AB = 5 − 1 6 − 2 = 4 4
5. Besar (Panjang) Vektor pada Bidang
🔍 MengamatiPanjang vektor berkaitan erat dengan teorema Pythagoras. Perhatikan diagram berikut:
Jika a = (a1, a2), maka besar vektor a adalah:
Jika vektor dinyatakan dari A(x1, y1) ke B(x2, y2):
Tentukan panjang vektor a = (3, 4).
📢 Mengkomunikasikan|a| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
6. Vektor Satuan pada Bidang
🔍 MengamatiVektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1. Dua vektor satuan istimewa pada bidang:
| Simbol | Arah | Komponen |
|---|---|---|
| î (atau e1) | Sumbu-x positif | (1, 0) |
| ĵ (atau e2) | Sumbu-y positif | (0, 1) |
Setiap vektor a = (a1, a2) dapat ditulis sebagai kombinasi vektor satuan:
Contoh: a = (3, −2) = 3î − 2ĵ
Vektor satuan searah vektor a (dilambangkan â) dihitung dengan:
Artinya setiap komponen vektor a dibagi dengan panjang vektor a.
Tentukan vektor satuan searah a = (3, 4).
📢 Mengkomunikasikan|a| = 5 (sudah dihitung sebelumnya)
â = (3/5, 4/5) = (0,6 ; 0,8)
📝 Contoh Soal dan Pembahasan
Klik soal untuk membuka/menutup pembahasan.
Tingkat Mudah
Pembahasan:
Vektor posisi titik P(4, 3) terhadap O(0,0) adalah:
p = (4, 3)
Dalam bentuk vektor satuan: p = 4î + 3ĵ
Pembahasan:
a = −2î + 5ĵ
Pembahasan:
|a| = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10
Pembahasan:
→ AB = (4−1, 7−3) = (3, 4)
Pembahasan:
v = (3, −7) atau dalam bentuk kolom: 3 −7
Tingkat Sedang
Pembahasan:
|a| = √(25 + 144) = √169 = 13
â = (5/13, 12/13)
Verifikasi: √((5/13)² + (12/13)²) = √(25/169 + 144/169) = √(169/169) = 1 ✓
Pembahasan:
→ AB = (5−(−3), −4−2) = (8, −6)
|→ AB | = √(64 + 36) = √100 = 10
Pembahasan:
|u| = √(k² + 9) = 5
k² + 9 = 25 → k² = 16 → k = ±4
Jadi k = 4 atau k = −4.
Pembahasan:
a = (2, 1) → |a| = √(4+1) = √5
b = (−1, 3) → |b| = √(1+9) = √10
Pembahasan:
→ AB = (7−2, 1−5) = (5, −4)
→ BA = (2−7, 5−1) = (−5, 4)
−→ AB = −(5, −4) = (−5, 4) = → BA
Ya, → BA = −→ AB (selalu berlaku).
Tingkat Sulit
Pembahasan:
Vektor satuan → |a| = 1
√(m² + 4) = 1 → m² + 4 = 1 → m² = −3
Karena m² tidak bisa negatif, tidak ada nilai m yang memenuhi.
Kesimpulan: Vektor (m, 2) tidak mungkin menjadi vektor satuan karena komponen y = 2 sudah menghasilkan panjang ≥ 2 > 1.
Pembahasan:
→ AB = (3, 4)
2→ AB = (6, 8)
→ AC = (x−1, y−2) = (6, 8)
x − 1 = 6 → x = 7
y − 2 = 8 → y = 10
C(7, 10)
Pembahasan:
a² + (a+1)² = 13
a² + a² + 2a + 1 = 13
2a² + 2a − 12 = 0
a² + a − 6 = 0
(a + 3)(a − 2) = 0
a = −3 atau a = 2
Verifikasi: (−3, −2) → √(9+4) = √13 ✓; (2, 3) → √(4+9) = √13 ✓
Pembahasan:
|w| = √(16+9) = √25 = 5
Vektor satuan searah w: ŵ = (−4/5, 3/5)
Vektor satuan berlawanan arah: −ŵ = (4/5, −3/5)
Verifikasi: √((4/5)²+(−3/5)²) = √(16/25+9/25) = 1 ✓
Pembahasan:
M = ((−2+6)/2, (3+(−1))/2) = (2, 1)
Vektor posisi m = (2, 1)
|→ OM | = √(4+1) = √5
✏️ Latihan Soal
Kerjakan tanpa melihat pembahasan. Selamat berlatih!