Eksponen (Bilangan Berpangkat) – Pengertian, Bentuk Umum dan Sifat-sifat Eksponen

1. Pengertian Bilangan Berpangkat

🔍 Mengamati

Perhatikan perkalian berulang berikut ini:

2 × 2 × 2 = 8
3 × 3 × 3 × 3 = 81
5 × 5 = 25

Perkalian berulang seperti di atas dapat ditulis dalam bentuk yang lebih singkat menggunakan bilangan berpangkat (eksponen).

❓ Menanya

Apa itu bilangan berpangkat?
Bagaimana cara menulis perkalian berulang dalam bentuk pangkat?
Apa perbedaan antara basis dan eksponen?

📖 Materi

Bilangan berpangkat (eksponen) adalah suatu penulisan singkat dari perkalian berulang bilangan yang sama.

an = a × a × a × … × a (sebanyak n kali)

Keterangan:

a disebut basis (bilangan pokok)
n disebut eksponen (pangkat)
an dibaca “a pangkat n”

Contoh Penulisan:

Perkalian Berulang	Bentuk Pangkat	Dibaca	Nilai
2 × 2 × 2	23	2 pangkat 3	8
3 × 3 × 3 × 3	34	3 pangkat 4	81
5 × 5	52	5 pangkat 2	25
10 × 10 × 10	103	10 pangkat 3	1000
4 × 4 × 4 × 4 × 4	45	4 pangkat 5	1024

Catatan Penting:

a1 = a (bilangan apapun dipangkatkan 1 hasilnya bilangan itu sendiri)
a0 = 1 (bilangan apapun kecuali 0 dipangkatkan 0 hasilnya 1)
1n = 1 (1 dipangkatkan berapapun hasilnya tetap 1)

💡 Menalar

Dari penjelasan di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa bilangan berpangkat merupakan cara singkat menuliskan perkalian berulang. Basis adalah bilangan yang dikalikan berulang, sedangkan eksponen menunjukkan berapa kali bilangan tersebut dikalikan dengan dirinya sendiri.

✏️ Mencoba

Cobalah ubah perkalian berikut ke bentuk pangkat:

7 × 7 × 7 × 7 = …
6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = …
9 × 9 = …

🗣️ Mengkomunikasikan

Jelaskan kepada teman sebangkumu dengan bahasa sendiri:

Apa itu bilangan berpangkat?
Bagaimana cara menentukan basis dan eksponen?
Berikan contoh bilangan berpangkat dalam kehidupan sehari-hari (misalnya: kapasitas memori komputer 210 = 1024 byte)

📝 Contoh Soal – Pengertian Bilangan Berpangkat

MUDAH

1. Tuliskan 4 × 4 × 4 dalam bentuk pangkat!

Pembahasan: 4 dikalikan sebanyak 3 kali, maka ditulis 43. Nilainya = 64.

2. Hitung nilai dari 24!

Pembahasan: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16.

3. Hitung nilai dari 53!

Pembahasan: 53 = 5 × 5 × 5 = 125.

4. Tuliskan 7 × 7 × 7 × 7 × 7 dalam bentuk pangkat!

Pembahasan: 7 dikalikan 5 kali → 75. Nilainya = 16.807.

5. Tentukan nilai dari 102!

Pembahasan: 102 = 10 × 10 = 100.

6. Hitung nilai dari 33!

Pembahasan: 33 = 3 × 3 × 3 = 27.

7. Tentukan basis dan eksponen dari 64!

Pembahasan: Basis = 6, Eksponen = 4. Artinya 6 × 6 × 6 × 6 = 1.296.

8. Hitung nilai dari 1100!

Pembahasan: 1 dipangkatkan berapapun tetap = 1.

9. Tentukan nilai dari 92!

Pembahasan: 92 = 9 × 9 = 81.

10. Hitung nilai dari 25!

Pembahasan: 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.

SEDANG

1. Sederhanakan 23 × 32 dan hitung nilainya!

Pembahasan: 23 × 32 = 8 × 9 = 72.

2. Nyatakan 64 sebagai bilangan berpangkat dengan basis 2!

Pembahasan: 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 26.

3. Nyatakan 243 sebagai bilangan berpangkat!

Pembahasan: 243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35.

4. Hitung nilai dari (-3)4!

Pembahasan: (-3)4 = (-3)×(-3)×(-3)×(-3) = 9 × 9 = 81. Pangkat genap pada bilangan negatif menghasilkan bilangan positif.

5. Hitung nilai dari (-2)5!

Pembahasan: (-2)5 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2) = -32. Pangkat ganjil pada bilangan negatif menghasilkan bilangan negatif.

SULIT

1. Tentukan nilai n jika 2n = 128!

Pembahasan: 128 = 2 × 64 = 2 × 26 = 27. Jadi n = 7.

2. Jika 3x = 729, tentukan nilai x!

Pembahasan: 729 = 36 (karena 3×3×3×3×3×3 = 729). Jadi x = 6.

3. Bandingkan 210 dan 103. Mana yang lebih besar?

Pembahasan: 210 = 1.024 dan 103 = 1.000. Jadi 210 > 103.

4. Nyatakan 1.000.000 sebagai bilangan berpangkat dengan basis 10 dan basis 100!

Pembahasan: 1.000.000 = 106 = 1003 (karena 100 = 102, maka 1003 = 106).

5. Tentukan digit satuan dari 72023!

Pembahasan: Pola digit satuan dari pangkat 7: 71=7, 72=9, 73=3, 74=1, 75=7,… Polanya berulang tiap 4: {7, 9, 3, 1}. 2023 ÷ 4 = 505 sisa 3. Digit satuan = angka ke-3 pola = 3.

📋 Latihan Soal – Pengertian Bilangan Berpangkat

MUDAH

1. Tuliskan 8 × 8 × 8 × 8 dalam bentuk pangkat!

2. Hitung nilai dari 62!

3. Hitung nilai dari 43!

4. Tentukan basis dan eksponen dari 123!

5. Hitung nilai dari 104!

6. Tuliskan 9 × 9 × 9 dalam bentuk pangkat!

7. Hitung nilai dari 72!

8. Tentukan nilai dari 50!

9. Hitung 112!

10. Hitung 26!

SEDANG

1. Nyatakan 256 sebagai bilangan berpangkat dengan basis 2!

2. Hitung nilai dari (-4)3!

3. Nyatakan 10.000 sebagai bilangan berpangkat basis 10!

4. Hitung 52 + 33!

5. Nyatakan 625 sebagai bilangan berpangkat!

SULIT

1. Tentukan nilai n jika 5n = 3.125!

2. Tentukan digit satuan dari 3100!

3. Bandingkan 37 dan 73, mana yang lebih besar?

4. Jika 4x = 210, tentukan nilai x!

5. Nyatakan 212 sebagai pangkat dari 8!

2. Bentuk Umum Eksponen

🔍 Mengamati

Perhatikan notasi berikut:

dimana: a = basis (bilangan pokok), n = eksponen (pangkat)

Bentuk umum ini dapat memiliki eksponen berupa bilangan bulat positif, nol, negatif, maupun pecahan (rasional).

❓ Menanya

Apa yang terjadi jika eksponennya 0?
Apa arti dari eksponen negatif?
Apa arti dari eksponen pecahan?

📖 Materi

A. Eksponen Bulat Positif

an = a × a × a × … × a (sebanyak n faktor), dengan n ∈ bilangan bulat positif

Contoh: 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

B. Eksponen Nol

a0 = 1, untuk a ≠ 0

Penjelasan: Dari sifat pembagian pangkat: an ÷ an = an-n = a0. Karena bilangan apapun dibagi dirinya sendiri = 1, maka a0 = 1.

Contoh: 50 = 1, (-7)0 = 1, 1000 = 1

C. Eksponen Bulat Negatif

a-n = 1an, untuk a ≠ 0

Penjelasan: Eksponen negatif berarti kebalikan (invers) dari eksponen positif.

Contoh:

2-3 = 123 = 18
10-2 = 1102 = 1100 = 0,01

D. Eksponen Pecahan (Rasional)

a1/n = ⁿ√a (akar ke-n dari a)

am/n = ⁿ√(am) = (ⁿ√a)m

Contoh:

91/2 = √9 = 3
81/3 = ³√8 = 2
272/3 = (³√27)2 = 32 = 9

Ringkasan Bentuk Umum Eksponen:

Bentuk	Definisi	Contoh	Hasil
an (n > 0)	Perkalian a sebanyak n kali	24	16
a0	Selalu = 1 (a ≠ 0)	70	1
a-n	1 / an	3-2	1/9
a1/n	Akar ke-n dari a	161/4	2
am/n	(ⁿ√a)m	82/3	4

💡 Menalar

Eksponen bukan hanya bilangan bulat positif. Eksponen nol menghasilkan 1, eksponen negatif menghasilkan pecahan (kebalikan), dan eksponen pecahan berkaitan dengan akar. Semua bentuk ini memiliki pola yang konsisten dan saling berhubungan.

✏️ Mencoba

Hitunglah:

4-2 = …
251/2 = …
322/5 = …

🗣️ Mengkomunikasikan

Diskusikan dengan kelompokmu: Mengapa a0 = 1? Berikan penjelasan logis dengan menggunakan pola pembagian pangkat.

📝 Contoh Soal – Bentuk Umum Eksponen

MUDAH

1. Hitung nilai dari 40!

Pembahasan: Setiap bilangan (≠0) dipangkatkan 0 = 1. Jadi 40 = 1.

2. Hitung nilai dari 2-1!

Pembahasan: 2-1 = 1/21 = 1/2 = 0,5.

3. Hitung nilai dari 3-2!

Pembahasan: 3-2 = 1/32 = 1/9.

4. Hitung √49 menggunakan eksponen!

Pembahasan: √49 = 491/2 = 7.

5. Hitung 10-3!

Pembahasan: 10-3 = 1/103 = 1/1000 = 0,001.

6. Hitung 641/3!

Pembahasan: 641/3 = ³√64 = 4 (karena 4×4×4 = 64).

7. Hitung nilai (-5)0!

Pembahasan: (-5)0 = 1.

8. Hitung 5-1!

Pembahasan: 5-1 = 1/5 = 0,2.

9. Hitung 1001/2!

Pembahasan: 1001/2 = √100 = 10.

10. Hitung 161/4!

Pembahasan: 161/4 = ⁴√16 = 2 (karena 24 = 16).

SEDANG

1. Hitung 272/3!

Pembahasan: 272/3 = (³√27)2 = 32 = 9.

2. Sederhanakan (12)-3!

Pembahasan: (1/2)-3 = 23 = 8. (Pangkat negatif membalik pecahan).

3. Hitung 323/5!

Pembahasan: 323/5 = (⁵√32)3 = 23 = 8.

4. Hitung 4-3/2!

Pembahasan: 4-3/2 = 1/(43/2) = 1/(√4)3 = 1/23 = 1/8.

5. Nyatakan 1125 dalam bentuk pangkat basis 5!

Pembahasan: 125 = 53, maka 1/125 = 5-3.

SULIT

1. Sederhanakan: (827)-2/3

Pembahasan: (8/27)-2/3 = (27/8)2/3 = [(³√27)/(³√8)]2 = (3/2)2 = 9/4.

2. Jika 2x = 8 dan 3y = 27, hitung 6x+y ÷ 6x!

Pembahasan: 2x=8 → x=3. 3y=27 → y=3. 6x+y ÷ 6x = 6y = 63 = 216.

3. Sederhanakan: 163/4 × 8-2/3

Pembahasan: 163/4 = (24)3/4 = 23 = 8. Dan 8-2/3 = (23)-2/3 = 2-2 = 1/4. Maka 8 × 1/4 = 2.

4. Tentukan nilai dari: (49)-3/2

Pembahasan: (4/9)-3/2 = (9/4)3/2 = (√(9/4))3 = (3/2)3 = 27/8.

5. Jika 9x × 27x = 310, tentukan nilai x!

Pembahasan: 9x = (32)x = 32x. 27x = (33)x = 33x. Maka 32x × 33x = 35x = 310. Jadi 5x = 10, x = 2.

📋 Latihan Soal – Bentuk Umum Eksponen

MUDAH

1. Hitung 80!

2. Hitung 4-1!

3. Hitung 361/2!

4. Hitung 2-4!

5. Hitung 1251/3!

6. Hitung (-3)0!

7. Hitung 7-1!

8. Hitung 811/4!

9. Hitung 10-1!

10. Hitung 1441/2!

SEDANG

1. Hitung 82/3!

2. Hitung (1/3)-2!

3. Hitung 16-1/2!

4. Hitung 2432/5!

5. Nyatakan 1/64 dalam bentuk pangkat basis 4!

SULIT

1. Sederhanakan (27/64)-2/3!

2. Hitung 253/2 × 4-1/2!

3. Jika 4x × 8x = 214, tentukan x!

4. Sederhanakan (16/81)-3/4!

5. Tentukan nilai x jika 25x × 125x = 516!

3. Sifat-Sifat Eksponen

🔍 Mengamati

Perhatikan pola berikut:

23 × 22 = (2×2×2) × (2×2) = 25
34 ÷ 32 = (3×3×3×3) ÷ (3×3) = 32
(23)2 = 23 × 23 = 26

Dari pola-pola ini kita dapat menemukan sifat-sifat eksponen.

❓ Menanya

Apa saja sifat-sifat eksponen?
Bagaimana menerapkan sifat eksponen untuk menyederhanakan bentuk?
Apakah sifat ini berlaku untuk semua jenis eksponen?

📖 Materi

Berikut adalah sifat-sifat eksponen yang sangat penting untuk dikuasai:

No	Sifat	Rumus	Contoh
1	Perkalian basis sama	am × an = am+n	23 × 24 = 27
2	Pembagian basis sama	am ÷ an = am-n	56 ÷ 52 = 54
3	Pangkat dari pangkat	(am)n = am×n	(32)4 = 38
4	Pangkat dari perkalian	(a × b)n = an × bn	(2×3)4 = 24 × 34
5	Pangkat dari pembagian	(a/b)n = an / bn	(2/3)3 = 8/27
6	Pangkat nol	a0 = 1	990 = 1
7	Pangkat negatif	a-n = 1/an	2-3 = 1/8

Sifat 1: Perkalian Pangkat dengan Basis Sama

am × an = am+n

Jika dua bilangan berpangkat dengan basis sama dikalikan, maka pangkatnya dijumlahkan.

Bukti: am × an = (a×a×…×a) × (a×a×…×a) = a dikalikan sebanyak (m+n) kali = am+n

Contoh: 32 × 35 = 32+5 = 37 = 2.187

Sifat 2: Pembagian Pangkat dengan Basis Sama

am ÷ an = am-n

Jika dua bilangan berpangkat dengan basis sama dibagi, maka pangkatnya dikurangkan.

Contoh: 57 ÷ 53 = 57-3 = 54 = 625

Sifat 3: Pangkat dari Pangkat

(am)n = am×n

Jika bilangan berpangkat dipangkatkan lagi, maka pangkatnya dikalikan.

Contoh: (23)4 = 23×4 = 212 = 4.096

Sifat 4: Pangkat dari Perkalian

(a × b)n = an × bn

Pangkat berlaku untuk setiap faktor dalam perkalian.

Contoh: (2 × 5)3 = 23 × 53 = 8 × 125 = 1.000

Sifat 5: Pangkat dari Pembagian

(a/b)n = an / bn, dengan b ≠ 0

Contoh: (3/4)2 = 32 / 42 = 9/16

Sifat 6 & 7: Pangkat Nol dan Negatif

a0 = 1 (a ≠ 0) a-n = 1/an (a ≠ 0)

💡 Menalar

Sifat-sifat eksponen saling berkaitan. Misalnya, sifat pangkat negatif dapat diturunkan dari sifat pembagian: am ÷ am+n = a-n = 1/an. Memahami hubungan antar sifat akan memudahkan dalam penyederhanaan soal.

✏️ Mencoba

Sederhanakan menggunakan sifat eksponen:

25 × 23 = …
78 ÷ 75 = …
(52)3 = …

🗣️ Mengkomunikasikan

Buatlah poster/mind map yang merangkum ke-7 sifat eksponen beserta contohnya. Presentasikan di depan kelas dengan bahasa yang mudah dipahami.

📝 Contoh Soal – Sifat-Sifat Eksponen

MUDAH

1. Sederhanakan 53 × 54!

Pembahasan: Sifat 1: 53+4 = 57 = 78.125.

2. Sederhanakan 28 ÷ 23!

Pembahasan: Sifat 2: 28-3 = 25 = 32.

3. Sederhanakan (42)3!

Pembahasan: Sifat 3: 42×3 = 46 = 4.096.

4. Sederhanakan (3 × 2)4!

Pembahasan: Sifat 4: 34 × 24 = 81 × 16 = 1.296. Atau: 64 = 1.296.

5. Sederhanakan 75 × 72!

Pembahasan: 75+2 = 77.

6. Sederhanakan 106 ÷ 104!

Pembahasan: 106-4 = 102 = 100.

7. Hitung (2/5)2!

Pembahasan: Sifat 5: 22/52 = 4/25.

8. Sederhanakan 34 × 30!

Pembahasan: 34 × 1 = 34 = 81.

9. Sederhanakan (53)2!

Pembahasan: 53×2 = 56 = 15.625.

10. Sederhanakan 63 ÷ 63!

Pembahasan: 63-3 = 60 = 1.

SEDANG

1. Sederhanakan: 23 × 42 × 8 (nyatakan dalam pangkat 2)!

Pembahasan: 4 = 22, 8 = 23. Maka: 23 × (22)2 × 23 = 23 × 24 × 23 = 23+4+3 = 210 = 1.024.

2. Sederhanakan: 35 × 3-232

Pembahasan: Pembilang: 35+(-2) = 33. Maka: 33 ÷ 32 = 33-2 = 31 = 3.

3. Sederhanakan: (23 × 32)2

Pembahasan: Sifat 4 terbalik: (23)2 × (32)2 = 26 × 34 = 64 × 81 = 5.184.

4. Sederhanakan: 54 × 5355

Pembahasan: 54+3 ÷ 55 = 57-5 = 52 = 25.

5. Sederhanakan: (2-2)3 × 28

Pembahasan: (2-2)3 = 2-6. Maka: 2-6 × 28 = 2-6+8 = 22 = 4.

SULIT

1. Sederhanakan: 2n+2 × 3n6n

Pembahasan: 6n = (2×3)n = 2n × 3n. Maka: 2n+2 × 3n2n × 3n = 2(n+2)-n × 3n-n = 22 × 1 = 4.

2. Sederhanakan: 9n+1 × 3n-127n

Pembahasan: 9 = 32, 27 = 33. Maka: 32(n+1) × 3n-133n = 32n+2+n-133n = 33n+133n = 31 = 3.

3. Jika 2x + 2x + 2x + 2x = 210, tentukan x!

Pembahasan: 4 × 2x = 210. Karena 4 = 22: 22 × 2x = 210 → 2x+2 = 210 → x + 2 = 10 → x = 8.

4. Sederhanakan: 12n × 3-n2n × 6n

Pembahasan: 12 = 22×3, 6 = 2×3. Pembilang: (22×3)n × 3-n = 22n × 3n × 3-n = 22n. Penyebut: 2n × (2×3)n = 2n × 2n × 3n = 22n × 3n. Maka: 22n ÷ (22n × 3n) = 3-n = 1/3n.

5. Buktikan bahwa 5n+2 – 5n5n+1 + 5n = 4

Pembahasan: Faktorkan 5n dari pembilang dan penyebut. Pembilang: 5n(52 – 1) = 5n × 24. Penyebut: 5n(5 + 1) = 5n × 6. Maka: 24/6 = 4. Terbukti.

📋 Latihan Soal – Sifat-Sifat Eksponen

MUDAH

1. Sederhanakan 43 × 45!

2. Sederhanakan 97 ÷ 94!

3. Sederhanakan (24)3!

4. Hitung (3 × 4)2!

5. Hitung (5/2)3!

6. Sederhanakan 82 × 83!

7. Sederhanakan 115 ÷ 115!

8. Sederhanakan (62)2!

9. Hitung (2 × 7)2!

10. Sederhanakan 36 ÷ 32!

SEDANG

1. Sederhanakan: 43 × 25 (dalam pangkat 2)!

2. Sederhanakan: (3-1)4 × 36!

3. Sederhanakan: 27 × 2-322!

4. Sederhanakan: (52 × 23)2!

5. Sederhanakan: 6424 × 32!

SULIT

1. Sederhanakan: 4n+1 × 2n8n!

2. Jika 3x + 3x + 3x = 37, tentukan x!

3. Sederhanakan: 2n+3 – 2n+12n+2!

4. Buktikan bahwa 3n+2 + 3n3n+1 – 3n = 5!

5. Sederhanakan: 25n × 5n+2125n!

📚 Semoga materi ini bermanfaat dan mudah dipahami!

Selamat belajar! 💪

1. Pengertian Bilangan Berpangkat

🔍 Mengamati

❓ Menanya

📖 Materi

Contoh Penulisan:

Catatan Penting:

💡 Menalar

✏️ Mencoba

🗣️ Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal – Pengertian Bilangan Berpangkat

MUDAH

SEDANG

SULIT

📋 Latihan Soal – Pengertian Bilangan Berpangkat

MUDAH

SEDANG

SULIT

2. Bentuk Umum Eksponen

🔍 Mengamati

❓ Menanya

📖 Materi

A. Eksponen Bulat Positif

B. Eksponen Nol

C. Eksponen Bulat Negatif

D. Eksponen Pecahan (Rasional)

Ringkasan Bentuk Umum Eksponen:

💡 Menalar

✏️ Mencoba

🗣️ Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal – Bentuk Umum Eksponen

MUDAH

SEDANG

SULIT

📋 Latihan Soal – Bentuk Umum Eksponen

MUDAH

SEDANG

SULIT

3. Sifat-Sifat Eksponen

🔍 Mengamati

❓ Menanya

📖 Materi

Sifat 1: Perkalian Pangkat dengan Basis Sama

Sifat 2: Pembagian Pangkat dengan Basis Sama

Sifat 3: Pangkat dari Pangkat

Sifat 4: Pangkat dari Perkalian

Sifat 5: Pangkat dari Pembagian

Sifat 6 & 7: Pangkat Nol dan Negatif

💡 Menalar

✏️ Mencoba

🗣️ Mengkomunikasikan

📝 Contoh Soal – Sifat-Sifat Eksponen

MUDAH

SEDANG

SULIT

📋 Latihan Soal – Sifat-Sifat Eksponen

MUDAH

SEDANG

SULIT

By admin

Related Post

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan

You Missed