Titik-titik Segmen (Kolinear) dalam Vektor
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
1. Pendahuluan
📘 Definisi Kolinear
Tiga titik atau lebih dikatakan kolinear (segaris) jika titik-titik tersebut terletak pada satu garis lurus yang sama.
Dalam konteks vektor, titik-titik A, B, dan C dikatakan kolinear jika vektor AB dan vektor AC merupakan kelipatan skalar satu sama lain, yaitu:
AC = k · AB , untuk suatu skalar k ∈ ℝ
Artinya vektor AC searah (atau berlawanan arah) dengan vektor AB. Jika k > 0, maka C terletak pada arah yang sama dengan B dari A. Jika k < 0, maka C terletak pada arah berlawanan.
Gambar 1: Titik A, B, C kolinear pada satu garis
2. Syarat Kolinear dengan Vektor
Ada beberapa cara menentukan apakah titik-titik kolinear menggunakan vektor:
📐 Metode 1: Kelipatan Skalar
Titik A, B, C kolinear jika dan hanya jika:
AB = k · AC
untuk suatu skalar k ∈ ℝ, k ≠ 0.
📐 Metode 2: Hasil Kali Silang (Cross Product) = 0 (untuk 3D)
Titik A, B, C kolinear jika:
AB × AC = 0
Artinya hasil kali silang (cross product) kedua vektor adalah vektor nol.
📐 Metode 3: Perbandingan Komponen (untuk 2D)
Jika AB = (a₁, a₂) dan AC = (b₁, b₂), maka A, B, C kolinear jika:
a₁ · b₂ − a₂ · b₁ = 0
Ini setara dengan determinan matriks 2×2 dari kedua vektor = 0.
🔑 Ringkasan Rumus
| Metode | Syarat Kolinear | Dimensi |
|---|---|---|
| Kelipatan Skalar | AB = k · AC | 2D & 3D |
| Cross Product | AB × AC = 0 | 3D |
| Determinan 2×2 | a₁b₂ − a₂b₁ = 0 | 2D |
3. Kegiatan Pembelajaran (5M)
👁️ Mengamati
Perhatikan gambar berikut. Tiga titik P(1, 2), Q(3, 6), dan R(5, 10) digambarkan pada bidang koordinat.
Amati bahwa ketiga titik terletak pada satu garis lurus. Apakah hal ini bisa dibuktikan dengan vektor?
❓ Menanya
- Bagaimana cara membuktikan bahwa tiga titik kolinear menggunakan vektor?
- Apa syarat vektor PQ dan PR agar P, Q, R segaris?
- Apakah metode ini berlaku untuk titik di ruang 3 dimensi?
🧠 Menalar
Langkah pembuktian:
- Hitung PQ = Q − P = (3−1, 6−2) = (2, 4)
- Hitung PR = R − P = (5−1, 10−2) = (4, 8)
- Periksa: apakah PR = k · PQ?
(4, 8) = k · (2, 4) → k = 4/2 = 2 dan k = 8/4 = 2 ✅ - Karena k = 2 (konsisten), maka PR = 2 · PQ
- Kesimpulan: P, Q, R kolinear.
🔧 Mencoba
Cobalah tentukan apakah titik-titik berikut kolinear:
- A(0, 0), B(2, 3), C(4, 6)
- D(1, 1), E(2, 3), F(3, 4)
- G(1, 0, 2), H(3, 1, 6), I(5, 2, 10)
Gunakan metode kelipatan skalar atau determinan untuk menyelesaikannya.
📣 Mengkomunikasikan
Tuliskan jawabanmu pada buku catatan dengan langkah-langkah:
- Tentukan vektor-vektor yang menghubungkan titik-titik tersebut.
- Periksa apakah salah satu vektor merupakan kelipatan skalar dari vektor lain.
- Tuliskan kesimpulan (kolinear atau tidak kolinear) beserta alasannya.
4. Titik yang Membagi Ruas Garis (Kolinear)
Jika titik P terletak pada ruas garis AB dan membagi AB dengan perbandingan m : n, maka:
Rumus Titik Bagi
OP = (n · OA + m · OB) / (m + n)
atau dalam koordinat:
P = ( (n·xA + m·xB)/(m+n) , (n·yA + m·yB)/(m+n) )
Gambar 2: P membagi AB dengan perbandingan m : n
📘 Catatan Penting
- Jika P adalah titik tengah AB, maka m = n = 1, sehingga P = (A + B) / 2
- Jika P membagi AB di luar ruas garis (pembagian eksternal), maka salah satu m atau n bernilai negatif.
- Titik P, A, B selalu kolinear karena P terletak pada garis AB.
5. Contoh Soal & Pembahasan
📗 Contoh Soal Mudah (1–5)
Soal 1:
Diketahui A(1, 2) dan B(3, 6). Tentukan vektor AB.
AB = B − A = (3−1, 6−2) = (2, 4)
Soal 2:
Diketahui AB = (4, 6) dan AC = (8, 12). Apakah A, B, C kolinear?
Periksa: AC = k · AB
(8, 12) = k · (4, 6) → k = 8/4 = 2, k = 12/6 = 2 ✅
Karena k = 2 konsisten, A, B, C kolinear.
Soal 3:
Tentukan titik tengah ruas garis AB jika A(2, 4) dan B(6, 10).
Titik tengah M = ((2+6)/2, (4+10)/2) = (4, 7)
M terletak pada garis AB, sehingga A, M, B kolinear.
Soal 4:
Diketahui P(0, 0), Q(1, 2), R(3, 6). Buktikan P, Q, R kolinear menggunakan determinan.
PQ = (1, 2), PR = (3, 6)
Determinan = (1)(6) − (2)(3) = 6 − 6 = 0 ✅
Karena determinan = 0, maka P, Q, R kolinear.
Soal 5:
Diketahui AB = (2, 3) dan AC = (4, 7). Apakah A, B, C kolinear?
Determinan = (2)(7) − (3)(4) = 14 − 12 = 2 ≠ 0
Karena determinan ≠ 0, maka A, B, C TIDAK kolinear.
📙 Contoh Soal Sedang (6–10)
Soal 6:
Diketahui A(1, 3), B(4, 9), C(t, 15). Tentukan nilai t agar A, B, C kolinear.
AB = (3, 6), AC = (t−1, 12)
Syarat kolinear: determinan = 0
(3)(12) − (6)(t−1) = 0
36 − 6t + 6 = 0
42 − 6t = 0 → t = 7
Soal 7:
Titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan 2 : 3. Jika A(1, 5) dan B(6, 15), tentukan koordinat P.
m = 2, n = 3
xP = (3·1 + 2·6) / (2+3) = (3+12)/5 = 15/5 = 3
yP = (3·5 + 2·15) / (2+3) = (15+30)/5 = 45/5 = 9
P = (3, 9)
Verifikasi: AP = (2, 4), AB = (5, 10) → AP = (2/5) · AB ✅ Kolinear.
Soal 8:
Diketahui A(2, 1, 3), B(4, 3, 7), C(6, 5, 11). Buktikan A, B, C kolinear di R³.
AB = (2, 2, 4), AC = (4, 4, 8)
Periksa: AC = k · AB
4/2 = 2, 4/2 = 2, 8/4 = 2 → k = 2 ✅
A, B, C kolinear.
Cross product: AB × AC = (2·8−4·4, 4·4−2·8, 2·4−2·4) = (0, 0, 0) = 0 ✅
Soal 9:
Titik A(−2, 1), B(1, 4), C(m, 9). Tentukan nilai m agar A, B, C kolinear.
AB = (3, 3), AC = (m+2, 8)
Determinan = (3)(8) − (3)(m+2) = 0
24 − 3m − 6 = 0
18 = 3m → m = 6
Soal 10:
Diketahui vektor posisi OA = 2i + 3j dan OB = 8i + 12j. Titik C terletak pada garis AB sehingga AC : CB = 1 : 2. Tentukan vektor posisi C.
m = 1, n = 2, A = (2, 3), B = (8, 12)
OC = (n·OA + m·OB) / (m+n)
= (2(2,3) + 1(8,12)) / 3 = ((4,6)+(8,12)) / 3 = (12, 18)/3 = (4, 6)
OC = 4i + 6j
📕 Contoh Soal Sulit (11–15)
Soal 11:
Diketahui A(1, 2, −1), B(3, 0, 5), C(k, −2, 11). Tentukan k agar A, B, C kolinear.
AB = (2, −2, 6), AC = (k−1, −4, 12)
Syarat kolinear: AC = t · AB
Dari komponen y: −4 = t(−2) → t = 2
Dari komponen z: 12 = t(6) = 12 ✅
Dari komponen x: k−1 = t(2) = 4 → k = 5
Soal 12:
Titik P membagi ruas garis AB secara eksternal dengan perbandingan 5 : 2. Jika A(3, 1) dan B(10, 15), tentukan koordinat P.
Pembagian eksternal: gunakan m = 5, n = −2
xP = (−2·3 + 5·10) / (5−2) = (−6+50)/3 = 44/3
yP = (−2·1 + 5·15) / (5−2) = (−2+75)/3 = 73/3
P = (44/3, 73/3)
P, A, B kolinear karena P terletak pada perpanjangan garis AB.
Soal 13:
Diketahui A(a, 2a), B(2, 3), C(4, 5) kolinear. Tentukan nilai a.
AB = (2−a, 3−2a), AC = (4−a, 5−2a)
Determinan = (2−a)(5−2a) − (3−2a)(4−a) = 0
= 10 − 4a − 5a + 2a² − (12 − 3a − 8a + 2a²) = 0
= 10 − 9a + 2a² − 12 + 11a − 2a² = 0
= 2a − 2 = 0
a = 1
Verifikasi: A(1,2), B(2,3), C(4,5). AB=(1,1), AC=(3,3)=3·(1,1) ✅
Soal 14:
Dalam segitiga dengan titik sudut D(1, 0, 2), E(3, 2, 6), F(7, 6, 14). Tunjukkan bahwa D, E, F kolinear dan bukan membentuk segitiga.
DE = (2, 2, 4), DF = (6, 6, 12)
Periksa: DF = k · DE
6/2 = 3, 6/2 = 3, 12/4 = 3 → k = 3 ✅
Cross product: DE × DF
= (2·12 − 4·6, 4·6 − 2·12, 2·6 − 2·6)
= (24−24, 24−24, 12−12) = (0, 0, 0)
Karena cross product = vektor nol, D, E, F kolinear.
Ketiga titik tidak membentuk segitiga karena terletak pada satu garis.
Soal 15:
Diketahui A(2, −1, 3), B(4, 1, 7). Titik C terletak pada garis AB sehingga AC = 3 · AB. Tentukan koordinat C dan buktikan bahwa A, B, C kolinear.
AB = (2, 2, 4)
AC = 3 · (2, 2, 4) = (6, 6, 12)
C = A + AC = (2+6, −1+6, 3+12) = (8, 5, 15)
Bukti kolinear:
AB = (2, 2, 4), AC = (6, 6, 12) = 3·(2, 2, 4) = 3·AB
Karena AC merupakan kelipatan skalar dari AB, maka A, B, C kolinear. ✅
6. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Tuliskan langkah pengerjaan secara lengkap.
📗 Latihan Mudah (1–5)
1.
Tentukan vektor AB jika A(2, 5) dan B(6, 13).
2.
Diketahui PQ = (3, 9) dan PR = (6, 18). Apakah P, Q, R kolinear?
3.
Tentukan titik tengah ruas garis AB jika A(−4, 2) dan B(8, 10).
4.
Diketahui A(0, 0), B(5, 5), C(10, 10). Buktikan kolinear menggunakan determinan.
5.
Diketahui AB = (1, 4) dan AC = (3, 11). Apakah A, B, C kolinear?
📙 Latihan Sedang (6–10)
6.
Diketahui A(−1, 2), B(3, 8), C(t, 14). Tentukan nilai t agar A, B, C kolinear.
7.
Titik P membagi ruas garis AB dengan perbandingan 3 : 2. Jika A(2, 1) dan B(7, 16), tentukan koordinat P.
8.
Diketahui A(1, 0, 2), B(3, 2, 6), C(7, 6, 14). Buktikan A, B, C kolinear di R³ menggunakan cross product.
9.
Vektor posisi OA = 3i − j + 2k dan OB = 9i − 3j + 6k. Tunjukkan O, A, B kolinear.
10.
Titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan 4 : 1. Jika A(0, 0, 0) dan B(5, 10, 15), tentukan koordinat C.
📕 Latihan Sulit (11–15)
11.
Diketahui A(a, 3), B(4, 7), C(6, 11) kolinear. Tentukan nilai a.
12.
Titik P membagi ruas garis AB secara eksternal dengan perbandingan 4 : 1. Jika A(2, 3, 5) dan B(7, 8, 10), tentukan koordinat P.
13.
Diketahui A(1, k, 3), B(2, 4, 6), C(4, 10, 12) kolinear. Tentukan nilai k.
14.
Buktikan bahwa titik-titik A(2, −1, 4), B(5, 2, 10), C(11, 8, 22) kolinear menggunakan dua metode berbeda (kelipatan skalar dan cross product).
15.
Diketahui titik A(p, 2p−1) dan B(3, 5) terletak pada garis yang juga melalui C(7, 9). Jika A, B, C kolinear, tentukan nilai p.