Teorema Ceva dalam Vektor
Materi Matematika Peminatan — Vektor
1. Pendahuluan & Prasyarat
Teorema Ceva adalah teorema penting dalam geometri segitiga yang menjelaskan syarat tiga cevian (garis dari titik sudut ke sisi di hadapannya) bertemu di satu titik (konkuren). Pada bagian ini, kita akan membahas Teorema Ceva secara khusus menggunakan pendekatan vektor.
Prasyarat yang perlu dikuasai:
- Konsep vektor posisi suatu titik
- Pembagian ruas garis oleh titik dalam perbandingan tertentu
- Operasi penjumlahan dan perkalian skalar vektor
2. Materi Teorema Ceva dalam Vektor
2.1 Definisi Cevian
Diberikan segitiga ABC. Cevian adalah ruas garis yang menghubungkan sebuah titik sudut segitiga dengan suatu titik pada sisi di hadapannya (atau perpanjangannya).
Misalkan:
- D adalah titik pada sisi BC
- E adalah titik pada sisi CA
- F adalah titik pada sisi AB
Maka AD, BE, dan CF disebut tiga cevian segitiga ABC.
Gambar: Segitiga ABC dengan tiga cevian AD, BE, CF bertemu di titik P
2.2 Pernyataan Teorema Ceva
Teorema Ceva:
Pada segitiga ABC, misalkan D ∈ BC, E ∈ CA, F ∈ AB. Cevian AD, BE, dan CF konkuren (bertemu di satu titik) jika dan hanya jika:
(BD/DC) × (CE/EA) × (AF/FB) = 1
2.3 Formulasi Teorema Ceva dengan Vektor
Kita nyatakan posisi titik-titik menggunakan vektor posisi. Misalkan vektor posisi titik A, B, C masing-masing adalah a, b, c.
Pembagian Ruas Garis dalam Vektor
Jika titik D membagi ruas garis BC dengan perbandingan BD : DC = m : n, maka vektor posisi D adalah:
d = (n·b + m·c) / (m + n)
Secara analog:
- Jika E membagi CA dengan CE : EA = p : q, maka:
e = (q·c + p·a) / (p + q) - Jika F membagi AB dengan AF : FB = r : s, maka:
f = (s·a + r·b) / (r + s)
Syarat Konkuren dalam Vektor
Tiga cevian AD, BE, CF bertemu di satu titik P jika dan hanya jika terdapat bilangan real positif α, β, γ sedemikian sehingga:
p = (α·a + β·b + γ·c) / (α + β + γ)
dengan α + β + γ ≠ 0
Dalam notasi koordinat barisenter, titik P = (α : β : γ). Syarat Teorema Ceva terpenuhi ekuivalen dengan:
(BD/DC) × (CE/EA) × (AF/FB) = (m/n) × (p/q) × (r/s) = 1
Hubungan Perbandingan dengan Koefisien Barisenter
Jika titik P memiliki koordinat barisenter (α : β : γ) terhadap segitiga ABC, maka:
| Cevian | Titik Bagi | Perbandingan |
|---|---|---|
| AD (A ke BC) | D pada BC | BD : DC = γ : β |
| BE (B ke CA) | E pada CA | CE : EA = α : γ |
| CF (C ke AB) | F pada AB | AF : FB = β : α |
Verifikasi Teorema Ceva:
(BD/DC) × (CE/EA) × (AF/FB) = (γ/β) × (α/γ) × (β/α) = 1 ✓
2.4 Menentukan Titik Potong Cevian dengan Vektor
Untuk mencari titik potong P dari dua cevian, kita gunakan parameterisasi garis.
Langkah-langkah:
- Parameterisasi cevian AD: Titik pada AD ditulis sebagai a + t(d − a) untuk t ∈ [0,1]
- Parameterisasi cevian BE: Titik pada BE ditulis sebagai b + s(e − b) untuk s ∈ [0,1]
- Samakan kedua ekspresi dan selesaikan sistem persamaan untuk t dan s
- Substitusi kembali untuk mendapatkan p
2.5 Bentuk Khusus: Titik-Titik Istimewa
Beberapa titik istimewa pada segitiga yang merupakan aplikasi Teorema Ceva:
| Titik | Koordinat Barisenter | Vektor Posisi |
|---|---|---|
| Titik Berat (G) | (1 : 1 : 1) | g = (a + b + c)/3 |
| Titik Pusat Dalam (I) | (a : b : c) | i = (a·a + b·b + c·c)/(a+b+c) |
| Titik Gergonne | ((s−a)⁻¹ : (s−b)⁻¹ : (s−c)⁻¹) | kombinasi linear sesuai bobot |
Keterangan: a, b, c = panjang sisi di hadapan sudut A, B, C; s = setengah keliling
3. Kegiatan Pembelajaran (5M)
🔍 Mengamati
Amatilah gambar segitiga ABC berikut dengan tiga cevian yang digambar dari masing-masing sudut.
Perhatikan bahwa ketiga garis tersebut bertemu di satu titik P. Apakah hal ini selalu terjadi? Syarat apa yang harus dipenuhi?
❓ Menanya
Setelah mengamati, ajukan pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bagaimana cara menentukan apakah tiga cevian konkuren menggunakan vektor?
- Bagaimana hubungan perbandingan pembagian titik pada sisi-sisi segitiga dengan kekonkurenan?
- Bagaimana menghitung vektor posisi titik potong ketiga cevian?
- Apa hubungan antara koordinat barisenter dengan Teorema Ceva?
🧠 Menalar
Dengan menggunakan konsep pembagian ruas garis dalam vektor, kita dapat membuktikan Teorema Ceva:
Bukti dengan Vektor:
Misalkan P adalah titik potong AD dan BE. Kita tulis:
- p = (1−t)a + t·d (titik pada AD)
- p = (1−s)b + s·e (titik pada BE)
Substitusi d = (nb + mc)/(m+n) ke persamaan pertama:
p = (1−t)a + t·[nb + mc]/(m+n)
p = (1−t)a + (tn/(m+n))b + (tm/(m+n))c
Karena koefisien a, b, c adalah koordinat barisenter, dan dengan cara serupa untuk cevian kedua, kita samakan koefisien-koefisiennya untuk mendapatkan nilai t dan s. Syarat agar ketiga cevian bertemu di satu titik menghasilkan syarat Ceva.
✏️ Mencoba
Kegiatan: Verifikasi Teorema Ceva pada segitiga dengan koordinat.
Diberikan segitiga dengan A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4).
- Tentukan titik D yang membagi BC dengan perbandingan 1:2
- Tentukan titik E yang membagi CA dengan perbandingan 2:1
- Tentukan titik F yang membagi AB dengan perbandingan 1:1
- Hitung (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB). Apakah hasilnya = 1?
- Jika ya, tentukan titik potong cevian menggunakan parameterisasi vektor.
📢 Mengkomunikasikan
Presentasikan hasil kerja kelompokmu:
- Tuliskan langkah-langkah penyelesaian secara sistematis
- Gambarkan segitiga beserta cevian-ceviannya
- Tunjukkan bahwa syarat Teorema Ceva terpenuhi
- Nyatakan vektor posisi titik potong dalam bentuk kombinasi linear a, b, c
- Diskusikan apa yang terjadi jika syarat Ceva tidak terpenuhi
4. Contoh Soal & Pembahasan
Tingkat Mudah
Contoh Soal 1
Pada segitiga ABC, D membagi BC dengan BD:DC = 2:3, E membagi CA dengan CE:EA = 3:2, dan F membagi AB dengan AF:FB = 1:1. Periksa apakah cevian AD, BE, CF konkuren.
Lihat Pembahasan
Kita periksa syarat Teorema Ceva:
(BD/DC) × (CE/EA) × (AF/FB) = (2/3) × (3/2) × (1/1) = 1
Karena hasilnya = 1, maka ketiga cevian AD, BE, CF konkuren.
Contoh Soal 2
Diketahui vektor posisi A = a, B = b, C = c. Titik D adalah titik tengah BC. Tentukan vektor posisi D.
Lihat Pembahasan
D adalah titik tengah BC artinya BD:DC = 1:1
Dengan rumus pembagian ruas garis:
d = (1·b + 1·c) / (1+1) = (b + c) / 2
Contoh Soal 3
Pada segitiga ABC, median dari ketiga sudut bertemu di titik berat G. Tunjukkan bahwa syarat Teorema Ceva terpenuhi untuk ketiga median.
Lihat Pembahasan
Median membagi sisi yang berhadapan menjadi dua sama panjang, sehingga:
- BD : DC = 1 : 1
- CE : EA = 1 : 1
- AF : FB = 1 : 1
(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB) = (1/1)×(1/1)×(1/1) = 1 ✓
Vektor posisi titik berat: g = (a + b + c)/3
Contoh Soal 4
Titik D membagi BC dengan perbandingan 3:1 dan E membagi CA dengan perbandingan 1:3. Jika cevian AD, BE, dan CF konkuren, tentukan perbandingan AF:FB.
Lihat Pembahasan
Dari Teorema Ceva:
(BD/DC) × (CE/EA) × (AF/FB) = 1
(3/1) × (1/3) × (AF/FB) = 1
1 × (AF/FB) = 1
AF/FB = 1, sehingga AF : FB = 1 : 1
Jadi F adalah titik tengah AB.
Contoh Soal 5
Diketahui segitiga ABC dengan A(0,0), B(4,0), C(0,3). D adalah titik tengah BC. Tentukan vektor posisi D menggunakan vektor.
Lihat Pembahasan
Vektor posisi: a = (0,0), b = (4,0), c = (0,3)
D titik tengah BC, BD:DC = 1:1
d = (b + c)/2 = ((4,0) + (0,3))/2 = (4,3)/2 = (2, 1.5)
Tingkat Sedang
Contoh Soal 6
Pada segitiga ABC, D membagi BC dengan BD:DC = 1:2, E membagi CA dengan CE:EA = 2:1. Jika AD dan BE berpotongan di P, nyatakan vektor posisi P dalam bentuk a, b, c.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Vektor posisi D dan E
d = (2b + 1·c)/3 = (2b + c)/3
e = (1·c + 2a)/3 = (2a + c)/3
Langkah 2: Parameterisasi AD
Titik pada AD: r = (1−t)a + t·d = (1−t)a + t(2b + c)/3
= (1−t)a + (2t/3)b + (t/3)c
Langkah 3: Parameterisasi BE
Titik pada BE: r = (1−s)b + s·e = (1−s)b + s(2a + c)/3
= (2s/3)a + (1−s)b + (s/3)c
Langkah 4: Samakan koefisien
Koef a: 1−t = 2s/3 … (i)
Koef b: 2t/3 = 1−s … (ii)
Koef c: t/3 = s/3 → t = s … (iii)
Dari (iii): t = s. Substitusi ke (i): 1−t = 2t/3 → 3−3t = 2t → t = 3/5
Langkah 5: Hitung p
p = (1−3/5)a + (2·(3/5)/3)b + ((3/5)/3)c
p = (2/5)a + (2/5)b + (1/5)c
Koordinat barisenter P = (2 : 2 : 1)
Contoh Soal 7
Pada segitiga ABC, cevian AD, BE, CF konkuren. Diketahui BD:DC = 2:5 dan CE:EA = 5:3. Tentukan AF:FB dan vektor posisi titik potong P.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Cari AF:FB dari syarat Ceva
(2/5) × (5/3) × (AF/FB) = 1
(10/15) × (AF/FB) = 1 → (2/3) × (AF/FB) = 1
AF/FB = 3/2, jadi AF:FB = 3:2
Langkah 2: Koordinat barisenter
Dari tabel hubungan: BD:DC = γ:β → γ:β = 2:5
CE:EA = α:γ → α:γ = 5:3, tapi γ = 2k, maka α = 5·(2k)/3…
Lebih mudah: ambil γ = 2, β = 5. Dari CE:EA = α:γ → α:2 = 5:3 → α = 10/3
Sehingga (α:β:γ) = (10/3 : 5 : 2) = (10 : 15 : 6)
p = (10a + 15b + 6c)/31
Contoh Soal 8
Segitiga ABC dengan A(1,2), B(5,0), C(3,6). Titik D membagi BC dengan BD:DC = 1:3. Tentukan persamaan cevian AD dalam bentuk vektor.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Hitung koordinat D
d = (3·b + 1·c)/(1+3) = (3(5,0) + 1(3,6))/4 = (15+3, 0+6)/4 = (18,6)/4 = (4.5, 1.5)
Langkah 2: Vektor arah AD
d − a = (4.5−1, 1.5−2) = (3.5, −0.5)
Langkah 3: Persamaan vektor garis AD
r = (1, 2) + t(3.5, −0.5), t ∈ ℝ
atau r = (1 + 3.5t, 2 − 0.5t)
Contoh Soal 9
Titik P terletak di dalam segitiga ABC sehingga p = (3a + 4b + 5c)/12. Tentukan perbandingan BD:DC jika D adalah perpotongan AP dengan BC.
Lihat Pembahasan
Koordinat barisenter P = (3 : 4 : 5), sehingga α = 3, β = 4, γ = 5.
Dari tabel: BD : DC = γ : β = 5 : 4
Jadi BD : DC = 5 : 4
Verifikasi: D pada BC dengan BD:DC = 5:4
d = (4b + 5c)/9
Contoh Soal 10
Pada segitiga ABC, garis bagi sudut A memotong BC di D. Diketahui AB = 6, AC = 4. Nyatakan vektor posisi D dalam bentuk b dan c.
Lihat Pembahasan
Menurut sifat garis bagi, D membagi BC dengan:
BD : DC = AB : AC = 6 : 4 = 3 : 2
Vektor posisi D:
d = (2b + 3c)/(3+2) = (2b + 3c)/5
(Catatan: Ini berkaitan dengan Teorema Ceva karena tiga garis bagi segitiga selalu konkuren di titik pusat lingkaran dalam.)
Tingkat Sulit
Contoh Soal 11
Pada segitiga ABC, titik P di dalam segitiga memenuhi p = αa + βb + γc dengan α + β + γ = 1. Garis AP memotong BC di D, garis BP memotong CA di E. Buktikan bahwa (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB) = 1 dengan F adalah perpotongan CP dan AB.
Lihat Pembahasan
Bukti:
Mencari D (AP ∩ BC):
Titik pada AP: r = (1−t)a + tp = (1−t)a + t(αa + βb + γc)
= (1−t+tα)a + tβb + tγc
Agar pada BC, koefisien a = 0: 1−t+tα = 0 → t = 1/(1−α) = 1/(β+γ)
Maka d = βb/(β+γ) + γc/(β+γ)
Jadi BD:DC = γ:β
Dengan cara analog:
CE:EA = α:γ dan AF:FB = β:α
Maka: (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB) = (γ/β)×(α/γ)×(β/α) = 1 ∎
Contoh Soal 12
Pada segitiga ABC, A(0,0), B(8,0), C(2,6). Cevian dari A melalui titik D pada BC dengan BD:DC = 2:1, dan cevian dari B melalui titik E pada CA dengan CE:EA = 1:2. Tentukan koordinat titik potong P kedua cevian tersebut dan verifikasi bahwa titik P juga terletak pada cevian CF yang sesuai Teorema Ceva.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Hitung D dan E
D membagi BC (BD:DC = 2:1): D = (1·B + 2·C)/3 = ((8,0)+2(2,6))/3 = (12,12)/3 = (4, 4)
E membagi CA (CE:EA = 1:2): E = (2·C + 1·A)/3 = (2(2,6)+(0,0))/3 = (4,12)/3 = (4/3, 4)
Langkah 2: Parameterisasi AD dan BE
AD: r = (0,0) + t(4,4) = (4t, 4t)
BE: r = (8,0) + s((4/3,4)−(8,0)) = (8,0) + s(−20/3, 4) = (8−20s/3, 4s)
Langkah 3: Titik potong
4t = 4s → t = s
4t = 8 − 20t/3 → 12t/3 + 20t/3 = 8 → 32t/3 = 8 → t = 3/4
P = (4·3/4, 4·3/4) = (3, 3)
Langkah 4: Verifikasi dengan Teorema Ceva
AF:FB harus memenuhi (2/1)×(1/2)×(AF/FB) = 1 → AF/FB = 1 → AF:FB = 1:1
F = titik tengah AB = (4, 0)
Cek P pada CF: C(2,6), F(4,0). Parameterisasi: (2,6)+u(2,−6) = (2+2u, 6−6u)
P=(3,3): 2+2u=3 → u=1/2; 6−6(1/2)=3 ✓
P(3,3) terletak pada CF. Teorema Ceva terverifikasi. ✓
Contoh Soal 13
Pada segitiga ABC, titik P memiliki koordinat barisenter (2:3:5). Tentukan perbandingan AP:PD, BP:PE, dan CP:PF dimana D, E, F adalah titik pada sisi-sisi segitiga yang bersesuaian.
Lihat Pembahasan
P = (2:3:5), sehingga α=2, β=3, γ=5, dan α+β+γ=10
Perbandingan AP:PD:
D pada BC, BD:DC = γ:β = 5:3
P membagi AD dengan perbandingan AP:PD = (β+γ):α = 8:2 = 4:1
Perbandingan BP:PE:
E pada CA, CE:EA = α:γ = 2:5
P membagi BE dengan perbandingan BP:PE = (α+γ):β = 7:3
Perbandingan CP:PF:
F pada AB, AF:FB = β:α = 3:2
P membagi CF dengan perbandingan CP:PF = (α+β):γ = 5:5 = 1:1
Jadi AP:PD = 4:1, BP:PE = 7:3, CP:PF = 1:1
Contoh Soal 14
Pada segitiga ABC, terdapat titik P di dalam segitiga sehingga luas △PBC : luas △PCA : luas △PAB = 3 : 4 : 5. Tentukan vektor posisi P dan perbandingan BD:DC (D = AP ∩ BC).
Lihat Pembahasan
Perbandingan luas bersesuaian langsung dengan koordinat barisenter:
[PBC]:[PCA]:[PAB] = α:β:γ = 3:4:5
Jadi P memiliki koordinat barisenter (3:4:5)
Vektor posisi P:
p = (3a + 4b + 5c)/(3+4+5) = (3a + 4b + 5c)/12
Perbandingan BD:DC:
BD:DC = γ:β = 5:4
Verifikasi Ceva:
(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB) = (5/4)×(3/5)×(4/3) = 60/60 = 1 ✓
Contoh Soal 15
Pada segitiga ABC, garis bagi dalam sudut A, B, dan C memotong sisi-sisi yang berhadapan di D, E, F. Diketahui a = BC = 5, b = CA = 7, c = AB = 8. Tentukan vektor posisi titik pusat lingkaran dalam (incenter) I menggunakan Teorema Ceva dan vektor.
Lihat Pembahasan
Langkah 1: Perbandingan pada garis bagi
Garis bagi A: BD:DC = AB:AC = c:b = 8:7
Garis bagi B: CE:EA = BC:BA = a:c = 5:8
Garis bagi C: AF:FB = CA:CB = b:a = 7:5
Langkah 2: Verifikasi Ceva
(8/7)×(5/8)×(7/5) = 280/280 = 1 ✓
Langkah 3: Koordinat barisenter incenter
Incenter memiliki koordinat barisenter (a : b : c) = (5 : 7 : 8)
Langkah 4: Vektor posisi
i = (5a + 7b + 8c)/(5+7+8) = (5a + 7b + 8c)/20
Langkah 5: Verifikasi perbandingan
BD:DC = γ:β = 8:7 ✓ (cocok dengan c:b)
CE:EA = α:γ = 5:8 ✓ (cocok dengan a:c)
AF:FB = β:α = 7:5 ✓ (cocok dengan b:a)
5. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri. Gunakan konsep Teorema Ceva dalam vektor yang telah dipelajari.
Tingkat Mudah
Latihan 1
Pada segitiga ABC, D membagi BC dengan BD:DC = 3:2, E membagi CA dengan CE:EA = 2:3. Jika AD, BE, CF konkuren, tentukan AF:FB.
Latihan 2
Tentukan vektor posisi titik D jika D membagi BC dengan perbandingan BD:DC = 4:1, dimana b = (3, 1) dan c = (−2, 6).
Latihan 3
Periksa apakah cevian AD, BE, CF konkuren jika BD:DC = 1:4, CE:EA = 4:1, dan AF:FB = 1:1.
Latihan 4
Pada segitiga ABC, ketiga cevian AD, BE, CF bertemu di titik berat G. Tuliskan vektor posisi G dan tunjukkan bahwa G membagi setiap median dengan perbandingan 2:1 dari sudut.
Latihan 5
Diketahui P memiliki koordinat barisenter (1:1:1) terhadap segitiga ABC. Tentukan BD:DC, CE:EA, dan AF:FB.
Tingkat Sedang
Latihan 6
Pada segitiga ABC dengan A(0,0), B(6,0), C(0,8). D membagi BC dengan BD:DC = 3:1. Tentukan persamaan vektor cevian AD dan tentukan koordinat titik pada AD yang membagi AD dengan perbandingan 2:1 dari A.
Latihan 7
Titik P di dalam segitiga ABC memenuhi p = (2a + 5b + 3c)/10. Tentukan perbandingan BD:DC, CE:EA, AF:FB, dan verifikasi Teorema Ceva.
Latihan 8
Pada segitiga ABC, BD:DC = 1:2 dan CE:EA = 3:1. Cevian AD dan BE berpotongan di P. Nyatakan p sebagai kombinasi linear a, b, c dengan menggunakan parameterisasi vektor.
Latihan 9
Pada segitiga ABC, garis bagi sudut B memotong AC di E. Diketahui BA = 10, BC = 6. Nyatakan e dalam bentuk a dan c, kemudian tentukan perbandingan yang relevan untuk Teorema Ceva.
Latihan 10
Diketahui segitiga ABC dengan A(1,1), B(7,1), C(3,9). Titik D pada BC sehingga BD:DC = 2:3. Tentukan koordinat D dan persamaan vektor garis AD. Jika E pada CA dengan CE:EA = 3:2, tentukan koordinat titik potong AD dan BE.
Tingkat Sulit
Latihan 11
Pada segitiga ABC, titik P di dalam segitiga sehingga luas △PBC : luas △PCA : luas △PAB = 2 : 3 : 7. Tentukan koordinat barisenter P, vektor posisi P, serta perbandingan AP:PD, BP:PE, CP:PF.
Latihan 12
Buktikan menggunakan vektor bahwa pada segitiga ABC, jika D, E, F masing-masing membagi BC, CA, AB dengan perbandingan λ:1, μ:1, ν:1, maka AD, BE, CF konkuren jika dan hanya jika λμν = 1.
Latihan 13
Pada segitiga ABC dengan a=BC=13, b=CA=14, c=AB=15. Garis bagi dalam ketiga sudut bertemu di incenter I. Tentukan vektor posisi I, vektor posisi titik D (garis bagi A ∩ BC), dan perbandingan AI:ID.
Latihan 14
Pada segitiga ABC, titik P memiliki koordinat barisenter (α:β:γ). Garis melalui P sejajar BC memotong AB di X dan AC di Y. Nyatakan vektor posisi X dan Y dalam a, b, c, dan tunjukkan bahwa XY sejajar BC menggunakan vektor.
Latihan 15
Pada segitiga ABC, cevian AD, BE, CF konkuren di P. Tunjukkan dengan vektor bahwa:
(AP/PD) + (BP/PE) + (CP/PF) = (AP/PD)·(BP/PE)·(CP/PF) + 2
(Petunjuk: Gunakan koordinat barisenter dan hubungan AP:PD = (β+γ)/α)