Perbandingan pada Segmen Garis dalam Vektor
Memahami cara menentukan posisi titik yang membagi segmen garis (ruas garis) dalam perbandingan tertentu menggunakan konsep vektor.
1. Pengertian Perbandingan pada Segmen Garis
Perhatikan gambar berikut. Titik P terletak pada segmen garis (ruas garis) AB dan membagi AB dalam perbandingan tertentu.
Pada gambar di atas, titik P membagi segmen garis AB dalam perbandingan AP : PB = m : n.
- Bagaimana cara menentukan vektor posisi titik P jika diketahui vektor posisi A dan B?
- Apa perbedaan perbandingan internal dan eksternal?
- Bagaimana jika P tepat berada di tengah AB?
Misalkan titik A memiliki vektor posisi a dan titik B memiliki vektor posisi b. Titik P membagi segmen garis AB dalam perbandingan m : n, artinya:
AP : PB = m : n
Maka vektor AP = mm + n AB
Pembagian Internal: Titik P terletak di antara A dan B.
Pembagian Eksternal: Titik P terletak di luar segmen AB (pada perpanjangan garis AB).
2. Rumus Titik Bagi (Pembagian Internal & Eksternal)
A. Pembagian Internal (Dalam)
Jika titik P membagi segmen garis AB secara internal dengan perbandingan m : n, maka:
p = n · a + m · bm + n
dengan a = vektor posisi A, b = vektor posisi B
Penurunan Rumus:
Karena AP : PB = m : n, maka:
AP = mm + n AB
p − a = mm + n (b − a)
p = a + mm + n (b − a)
p = (m + n)a + mb − mam + n
p = na + mbm + n ✓
B. Pembagian Eksternal (Luar)
Jika titik P membagi segmen garis AB secara eksternal dengan perbandingan m : n (m ≠ n), maka:
p = −n · a + m · bm − n
(untuk m > n, titik P di luar segmen melewati B)
Coba gunakan rumus pembagian internal untuk kasus sederhana berikut:
Jika a = (2, 4) dan b = (8, 10), tentukan vektor posisi titik P yang membagi AB dalam perbandingan 1 : 2.
Jawab: p = 2(2,4) + 1(8,10)1 + 2 = (4,8) + (8,10)3 = (12,18)3 = (4, 6)
3. Kasus Khusus: Titik Tengah (m : n = 1 : 1)
Jika P tepat di tengah AB, maka m = n = 1, sehingga:
p = a + b2
Ringkasan Rumus Penting:
| Jenis | Rumus | Keterangan |
|---|---|---|
| Internal (m:n) | p = (na + mb) / (m+n) | P di antara A dan B |
| Eksternal (m:n) | p = (−na + mb) / (m−n) | P di luar segmen AB |
| Titik Tengah | p = (a + b) / 2 | m = n = 1 |