Hasil Kali Silang (Cross Product) Vektor
Materi Lengkap · Contoh Soal · Latihan
1. Pengertian Cross Product (Hasil Kali Silang)
🔍 Mengamati
Perhatikan dua vektor a dan b dalam ruang tiga dimensi. Jika kedua vektor tersebut tidak sejajar, maka terdapat tepat satu vektor yang tegak lurus terhadap keduanya (dengan panjang tertentu). Vektor inilah yang dihasilkan oleh operasi cross product.
Hasil kali silang (cross product) dari dua vektor a dan b menghasilkan vektor baru c = a × b, dengan sifat:
- c tegak lurus terhadap a dan b
- Panjang c sama dengan luas jajargenjang yang dibentuk oleh a dan b
- Arah c ditentukan oleh aturan tangan kanan
❓ Menanya
Mengapa hasil cross product adalah vektor, bukan skalar? Apa bedanya dengan dot product?
Jawab: Dot product menghasilkan skalar (bilangan), sedangkan cross product menghasilkan vektor baru yang tegak lurus bidang yang dibentuk oleh kedua vektor asal. Inilah mengapa cross product hanya berlaku di ruang 3 dimensi (ℝ³).
Notasi:
Jika a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃), maka:
a × b dibaca “a cross b”
🧠 Menalar
Cross product hanya didefinisikan di ruang 3 dimensi. Di ruang 2 dimensi, kita hanya bisa menghitung “pseudo cross product” yang menghasilkan skalar. Mengapa demikian? Karena di ℝ², tidak ada arah “ketiga” yang tegak lurus bidang.
2. Rumus & Cara Menghitung Cross Product
2.1 Rumus dengan Komponen
Jika a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃), maka:
a × b = (a₂b₃ − a₃b₂ , a₃b₁ − a₁b₃ , a₁b₂ − a₂b₁)
2.2 Rumus dengan Determinan Matriks 3×3
Cross product dapat dihitung menggunakan determinan:
| î | ĵ | k̂ |
| a₁ | a₂ | a₃ |
| b₁ | b₂ | b₃ |
a × b = î(a₂b₃ − a₃b₂) − ĵ(a₁b₃ − a₃b₁) + k̂(a₁b₂ − a₂b₁)
🔧 Mencoba
Cobalah hitung: Jika a = (1, 2, 3) dan b = (4, 5, 6), tentukan a × b.
Langkah:
- Komponen-x: (2)(6) − (3)(5) = 12 − 15 = −3
- Komponen-y: (3)(4) − (1)(6) = 12 − 6 = 6
- Komponen-z: (1)(5) − (2)(4) = 5 − 8 = −3
Jadi a × b = (−3, 6, −3)
2.3 Rumus dengan Besar dan Sudut
|a × b| = |a| · |b| · sin θ
di mana θ adalah sudut antara vektor a dan b (0 ≤ θ ≤ π)
2.4 Aturan Tangan Kanan
Arah vektor hasil cross product ditentukan dengan aturan tangan kanan:
2.5 Cross Product Vektor-Vektor Satuan
| î × ĵ = k̂ | ĵ × î = −k̂ |
| ĵ × k̂ = î | k̂ × ĵ = −î |
| k̂ × î = ĵ | î × k̂ = −ĵ |
| î × î = ĵ × ĵ = k̂ × k̂ = 0 | |
📢 Mengkomunikasikan
Jelaskan kepada temanmu dengan bahasa sendiri: bagaimana cara menghitung cross product menggunakan metode determinan matriks 3×3. Gunakan contoh a = (2, 1, −1) dan b = (3, 4, 1).
3. Sifat-Sifat Cross Product
🔍 Mengamati
Perhatikan sifat-sifat berikut dan bandingkan dengan sifat dot product yang sudah kamu pelajari.
- Anti-komutatif: a × b = −(b × a)
- Distributif terhadap penjumlahan: a × (b + c) = a × b + a × c
- Skalar dapat dikeluarkan: (ka) × b = k(a × b) = a × (kb)
- Cross product dengan diri sendiri: a × a = 0
- Cross product dengan vektor nol: a × 0 = 0
- Tidak asosiatif: a × (b × c) ≠ (a × b) × c (pada umumnya)
- Identitas Jacobi: a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0
- Identitas Lagrange: |a × b|² = |a|²|b|² − (a · b)²
🧠 Menalar
Mengapa a × a = 0? Karena sudut antara vektor dengan dirinya sendiri adalah 0°, dan sin 0° = 0, sehingga |a × a| = |a|²·sin 0° = 0.
❓ Menanya
Mengapa cross product bersifat anti-komutatif (tidak komutatif)?
Jawab: Jika kita membalik urutan dari a × b menjadi b × a, aturan tangan kanan memberikan arah yang berlawanan. Besarnya sama tetapi arahnya berbalik 180°, sehingga hasilnya negatif dari yang pertama.
4. Interpretasi Geometris
4.1 Luas Jajargenjang
Luas jajargenjang = |a × b|
4.2 Luas Segitiga
Luas segitiga = ½ |a × b|
4.3 Vektor Tegak Lurus
Vektor a × b selalu tegak lurus terhadap bidang yang mengandung a dan b. Ini berguna untuk menentukan vektor normal suatu bidang.
🔧 Mencoba
Hitung luas segitiga dengan titik-titik sudut A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1).
Langkah:
- AB = B − A = (−1, 1, 0)
- AC = C − A = (−1, 0, 1)
- AB × AC = (1·1 − 0·0, 0·(−1) − (−1)·1, (−1)·0 − 1·(−1)) = (1, 1, 1)
- |AB × AC| = √(1² + 1² + 1²) = √3
- Luas = ½√3 ≈ 0,866
5. Aplikasi Cross Product
🔍 Mengamati
Cross product memiliki banyak aplikasi dalam fisika dan geometri. Perhatikan beberapa penerapan berikut.
5.1 Menentukan Vektor Normal Bidang
Jika diketahui dua vektor pada suatu bidang, cross product keduanya menghasilkan vektor normal (vektor yang tegak lurus bidang tersebut).
5.2 Torsi (Momen Gaya)
τ = r × F
r = vektor posisi, F = vektor gaya
5.3 Gaya Lorentz (Gaya Magnetik)
F = q(v × B)
q = muatan, v = kecepatan, B = medan magnet
5.4 Volume Parallelepiped (Triple Scalar Product)
Volume = |a · (b × c)|
5.5 Uji Kesejajaran Vektor
Dua vektor a dan b sejajar jika dan hanya jika a × b = 0.
📢 Mengkomunikasikan
Diskusikan bersama teman: Berikan contoh penerapan cross product dalam kehidupan sehari-hari (misalnya saat membuka pintu, mengencangkan baut, dsb). Jelaskan bagaimana konsep torsi berkaitan dengan cross product.
6. Contoh Soal & Pembahasan
MUDAH Contoh Soal 1–5
Contoh 1. Tentukan a × b jika a = (1, 0, 0) dan b = (0, 1, 0).
Gunakan rumus komponen:
- x: (0)(0) − (0)(1) = 0
- y: (0)(0) − (1)(0) = 0
- z: (1)(1) − (0)(0) = 1
Jawaban: a × b = (0, 0, 1) = k̂
Ini sesuai dengan î × ĵ = k̂
Contoh 2. Tentukan a × b jika a = (2, 3, 0) dan b = (1, −1, 0).
- x: (3)(0) − (0)(−1) = 0
- y: (0)(1) − (2)(0) = 0
- z: (2)(−1) − (3)(1) = −2 − 3 = −5
Jawaban: (0, 0, −5)
Contoh 3. Tentukan b × a jika a × b = (3, −1, 2).
Gunakan sifat anti-komutatif: b × a = −(a × b)
Jawaban: (−3, 1, −2)
Contoh 4. Hitung |a × b| jika a × b = (2, −2, 1).
|a × b| = √(2² + (−2)² + 1²) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3
Jawaban: 3
Contoh 5. Apakah a = (2, 4, 6) dan b = (1, 2, 3) sejajar? Buktikan dengan cross product.
- x: (4)(3) − (6)(2) = 12 − 12 = 0
- y: (6)(1) − (2)(3) = 6 − 6 = 0
- z: (2)(2) − (4)(1) = 4 − 4 = 0
a × b = (0, 0, 0) = 0
Jawaban: Ya, sejajar karena a = 2b.
SEDANG Contoh Soal 6–10
Contoh 6. Hitung a × b jika a = (2, 1, −1) dan b = (3, 4, 1).
Determinan:
| î | ĵ | k̂ |
| 2 | 1 | −1 |
| 3 | 4 | 1 |
- î: (1)(1) − (−1)(4) = 1 + 4 = 5
- −ĵ: (2)(1) − (−1)(3) = 2 + 3 = 5 → komponen y = −5
- k̂: (2)(4) − (1)(3) = 8 − 3 = 5
Jawaban: (5, −5, 5)
Contoh 7. Hitung luas jajargenjang yang dibentuk oleh a = (1, 2, 3) dan b = (4, 5, 6).
Dari perhitungan sebelumnya: a × b = (−3, 6, −3)
Luas = |a × b| = √(9 + 36 + 9) = √54 = 3√6
Jawaban: 3√6 ≈ 7,35 satuan luas
Contoh 8. Tentukan luas segitiga dengan titik sudut A(1, 2, 3), B(4, 0, 1), C(2, 1, 5).
AB = (3, −2, −2), AC = (1, −1, 2)
AB × AC:
- x: (−2)(2) − (−2)(−1) = −4 − 2 = −6
- y: (−2)(1) − (3)(2) = −2 − 6 = −8
- z: (3)(−1) − (−2)(1) = −3 + 2 = −1
|AB × AC| = √(36 + 64 + 1) = √101
Jawaban: Luas = ½√101 ≈ 5,025
Contoh 9. Tentukan vektor normal bidang yang melalui titik P(1,0,0), Q(0,1,0), R(0,0,1).
PQ = (−1, 1, 0), PR = (−1, 0, 1)
PQ × PR:
- x: (1)(1) − (0)(0) = 1
- y: (0)(−1) − (−1)(1) = 1
- z: (−1)(0) − (1)(−1) = 1
Jawaban: Vektor normal = (1, 1, 1)
Persamaan bidang: x + y + z = 1
Contoh 10. Hitung |a × b| jika |a| = 5, |b| = 3, dan sudut antara keduanya 30°.
|a × b| = |a| · |b| · sin θ = 5 · 3 · sin 30° = 15 · ½ = 7,5
Jawaban: 7,5
SULIT Contoh Soal 11–15
Contoh 11. Buktikan bahwa |a × b|² + (a · b)² = |a|²|b|² (Identitas Lagrange) untuk a = (1, 2, 3) dan b = (2, −1, 1).
Ruas kanan:
|a|² = 1 + 4 + 9 = 14
|b|² = 4 + 1 + 1 = 6
|a|²|b|² = 84
Ruas kiri:
a · b = 2 − 2 + 3 = 3 → (a · b)² = 9
a × b:
- x: (2)(1) − (3)(−1) = 2 + 3 = 5
- y: (3)(2) − (1)(1) = 6 − 1 = 5
- z: (1)(−1) − (2)(2) = −1 − 4 = −5
|a × b|² = 25 + 25 + 25 = 75
75 + 9 = 84 ✓
Terbukti.
Contoh 12. Hitung volume parallelepiped yang dibentuk oleh a = (1, 0, 2), b = (3, 1, 0), c = (0, 2, 1).
Volume = |a · (b × c)|
b × c:
- x: (1)(1) − (0)(2) = 1
- y: (0)(0) − (3)(1) = −3
- z: (3)(2) − (1)(0) = 6
b × c = (1, −3, 6)
a · (1, −3, 6) = (1)(1) + (0)(−3) + (2)(6) = 1 + 0 + 12 = 13
Jawaban: Volume = 13 satuan volume
Contoh 13. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus terhadap a = (1, −2, 1) dan b = (2, 1, −1).
a × b:
- x: (−2)(−1) − (1)(1) = 2 − 1 = 1
- y: (1)(2) − (1)(−1) = 2 + 1 = 3
- z: (1)(1) − (−2)(2) = 1 + 4 = 5
a × b = (1, 3, 5)
|a × b| = √(1 + 9 + 25) = √35
Jawaban: n̂ = (1/√35, 3/√35, 5/√35)
atau n̂ = (1/√35)(1, 3, 5)
Contoh 14. Hitung (a + b) × (a − b) jika a = (1, 2, 0) dan b = (0, 1, 3).
Cara 1 (sifat distributif):
(a + b) × (a − b) = a × a − a × b + b × a − b × b
= 0 − a × b − a × b − 0 = −2(a × b)
Hitung a × b:
- x: (2)(3) − (0)(1) = 6
- y: (0)(0) − (1)(3) = −3
- z: (1)(1) − (2)(0) = 1
a × b = (6, −3, 1)
Jawaban: −2(6, −3, 1) = (−12, 6, −2)
Contoh 15. Tentukan jarak titik P(1, 1, 1) ke garis yang melalui A(0, 0, 0) dengan vektor arah d = (1, 2, 2).
Rumus jarak titik ke garis: d = |AP × d| / |d|
AP = P − A = (1, 1, 1)
AP × d:
- x: (1)(2) − (1)(2) = 0
- y: (1)(1) − (1)(2) = −1
- z: (1)(2) − (1)(1) = 1
|AP × d| = √(0 + 1 + 1) = √2
|d| = √(1 + 4 + 4) = 3
Jawaban: d = √2/3 ≈ 0,471
7. Latihan Soal
Kerjakan soal berikut secara mandiri. Tanpa pembahasan.
MUDAH
1. Hitung a × b jika a = (0, 1, 0) dan b = (0, 0, 1).
2. Hitung a × b jika a = (3, 0, 0) dan b = (0, 2, 0).
3. Jika a × b = (4, −1, 3), tentukan b × a.
4. Hitung |a × b| jika a × b = (1, 2, 2).
5. Tunjukkan bahwa a = (4, 6, 2) dan b = (2, 3, 1) sejajar menggunakan cross product.
SEDANG
6. Hitung a × b jika a = (1, −3, 2) dan b = (4, 2, −1).
7. Hitung luas segitiga dengan titik sudut P(2, 0, 0), Q(0, 3, 0), R(0, 0, 4).
8. Tentukan vektor normal bidang yang melalui titik A(1, 1, 0), B(2, 0, 1), C(0, 2, 1).
9. Hitung |a × b| jika |a| = 4, |b| = 6, dan sudut antara keduanya 60°.
10. Tentukan luas jajargenjang yang dibentuk oleh u = (2, −1, 3) dan v = (−1, 4, 2).
SULIT
11. Hitung volume parallelepiped yang dibentuk oleh a = (2, 1, 0), b = (0, 3, 1), c = (1, 0, 2).
12. Tentukan vektor satuan yang tegak lurus terhadap p = (3, −1, 2) dan q = (1, 4, −3).
13. Buktikan Identitas Lagrange untuk a = (2, 0, 1) dan b = (1, 3, −2).
14. Hitung (a − 2b) × (a + 3b) jika a = (1, 0, 1) dan b = (0, 1, 0).
15. Tentukan jarak titik T(2, 3, 1) ke garis yang melalui A(1, 0, 0) dengan vektor arah d = (2, 1, −1).