Sudut antara Dua Vektor pada Ruang (Dimensi Tiga)
Materi lengkap · Contoh Soal · Latihan
1. Materi Pembelajaran
1.1 Pengertian Sudut antara Dua Vektor
Jika terdapat dua vektor a dan b dalam ruang dimensi tiga (ℝ³), maka sudut antara kedua vektor tersebut adalah sudut terkecil yang dibentuk saat kedua vektor digambarkan dari titik pangkal yang sama.
Sudut ini dilambangkan dengan θ (theta), dan nilainya memenuhi:
Gambar: Sudut θ antara vektor a dan b
Pada ruang dimensi tiga, setiap vektor memiliki tiga komponen. Vektor a = (a₁, a₂, a₃) dan vektor b = (b₁, b₂, b₃).
1.2 Rumus Sudut antara Dua Vektor
Sudut antara dua vektor ditentukan menggunakan perkalian dot (dot product). Rumusnya:
cos θ = a · b|a| · |b|
Keterangan:
- a · b = perkalian dot (skalar) kedua vektor
- |a| = panjang (magnitudo) vektor a
- |b| = panjang (magnitudo) vektor b
Perkalian Dot (Dot Product)
a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
Panjang Vektor (Magnitudo)
|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
Sehingga rumus lengkapnya:
cos θ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃√(a₁² + a₂² + a₃²) · √(b₁² + b₂² + b₃²)
Untuk mendapatkan nilai θ:
1.3 Langkah-Langkah Menentukan Sudut antara Dua Vektor
| Langkah | Keterangan |
|---|---|
| 1 | Tentukan komponen vektor a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃) |
| 2 | Hitung perkalian dot: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ |
| 3 | Hitung panjang masing-masing vektor: |a| dan |b| |
| 4 | Substitusikan ke rumus: cos θ = (a · b) / (|a| · |b|) |
| 5 | Tentukan θ = cos⁻¹(cos θ) |
1.4 Kasus-Kasus Khusus
| Kondisi | cos θ | θ | Hubungan Vektor |
|---|---|---|---|
| a · b > 0 | positif | 0° < θ < 90° | Membentuk sudut lancip |
| a · b = 0 | 0 | 90° | Tegak lurus (⊥) |
| a · b < 0 | negatif | 90° < θ < 180° | Membentuk sudut tumpul |
| cos θ = 1 | 1 | 0° | Searah (paralel) |
| cos θ = −1 | −1 | 180° | Berlawanan arah |
1.5 Kegiatan Pembelajaran (Pendekatan Saintifik 5M)
🔍 Mengamati
Perhatikan dua buah pensil yang kamu pegang dari satu titik. Ubah-ubah posisi pensil tersebut. Amati bahwa sudut yang terbentuk di antara kedua pensil berubah-ubah.
Sekarang bayangkan kedua pensil itu sebagai vektor dalam ruang 3 dimensi. Setiap vektor memiliki komponen (x, y, z). Pertanyaannya: bagaimana menghitung sudut di antara keduanya secara matematis?
❓ Menanya
- Bagaimana cara menghitung sudut antara dua vektor jika diketahui komponennya?
- Apa hubungan antara perkalian dot dan sudut?
- Kapan dua vektor dikatakan tegak lurus?
- Mengapa rumus menggunakan cosinus, bukan sinus atau tangen?
💡 Menalar
Dari definisi perkalian dot: a · b = |a| |b| cos θ.
Jika kita bagi kedua ruas dengan |a| |b|, kita peroleh:
Karena −1 ≤ cos θ ≤ 1, maka θ selalu berada di antara 0° sampai 180°. Ini konsisten dengan definisi sudut antara dua vektor.
🧪 Mencoba
Cobalah hitung sudut antara vektor a = (1, 0, 0) dan b = (0, 1, 0):
- a · b = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0
- |a| = √(1) = 1, |b| = √(1) = 1
- cos θ = 0 / (1·1) = 0
- θ = cos⁻¹(0) = 90°
Kesimpulan: vektor satuan sepanjang sumbu-x dan sumbu-y saling tegak lurus. ✓
📢 Mengkomunikasikan
Tuliskan langkah-langkah menentukan sudut antara dua vektor dalam ruang dimensi tiga dengan kalimatmu sendiri. Presentasikan hasilmu di depan kelas dan diskusikan mengapa dua vektor yang perkalian dot-nya nol pasti tegak lurus.
2. Contoh Soal & Pembahasan
Tingkat Mudah MUDAH
Contoh Soal 1 Mudah
Tentukan sudut antara vektor a = (1, 0, 0) dan b = (1, 1, 0).
▶ Lihat PembahasanLangkah 1: Hitung perkalian dot.
a · b = (1)(1) + (0)(1) + (0)(0) = 1
Langkah 2: Hitung panjang vektor.
|a| = √(1²+0²+0²) = 1
|b| = √(1²+1²+0²) = √2
Langkah 3: Hitung cos θ.
cos θ = 1 / (1 · √2) = 1/√2 = √2/2
Langkah 4: Tentukan θ.
θ = cos⁻¹(√2/2) = 45°
Contoh Soal 2 Mudah
Tentukan sudut antara a = (1, 1, 1) dan b = (1, 1, 1).
▶ Lihat Pembahasana · b = 1+1+1 = 3
|a| = √3, |b| = √3
cos θ = 3 / (√3 · √3) = 3/3 = 1
θ = cos⁻¹(1) = 0°
Kedua vektor searah (identik).
Contoh Soal 3 Mudah
Tentukan sudut antara a = (1, 0, 0) dan b = (0, 0, 1).
▶ Lihat Pembahasana · b = (1)(0)+(0)(0)+(0)(1) = 0
|a| = 1, |b| = 1
cos θ = 0/1 = 0
θ = cos⁻¹(0) = 90°
Kedua vektor tegak lurus.
Contoh Soal 4 Mudah
Tentukan sudut antara a = (2, 0, 0) dan b = (−2, 0, 0).
▶ Lihat Pembahasana · b = (2)(−2)+0+0 = −4
|a| = 2, |b| = 2
cos θ = −4/4 = −1
θ = cos⁻¹(−1) = 180°
Kedua vektor berlawanan arah.
Contoh Soal 5 Mudah
Tentukan sudut antara a = (3, 0, 0) dan b = (0, 4, 0).
▶ Lihat Pembahasana · b = 0+0+0 = 0
|a| = 3, |b| = 4
cos θ = 0/12 = 0
θ = cos⁻¹(0) = 90°
Tingkat Sedang SEDANG
Contoh Soal 6 Sedang
Tentukan sudut antara a = (1, 2, 3) dan b = (4, −5, 6).
▶ Lihat PembahasanLangkah 1: a · b = (1)(4)+(2)(−5)+(3)(6) = 4−10+18 = 12
Langkah 2: |a| = √(1+4+9) = √14
|b| = √(16+25+36) = √77
Langkah 3: cos θ = 12 / (√14 · √77) = 12 / √1078 = 12 / (7√22)
cos θ ≈ 12 / 32,83 ≈ 0,3655
Langkah 4: θ = cos⁻¹(0,3655) ≈ 68,56°
Contoh Soal 7 Sedang
Tentukan sudut antara a = (2, −1, 3) dan b = (−1, 2, 1).
▶ Lihat Pembahasana · b = (2)(−1)+(−1)(2)+(3)(1) = −2−2+3 = −1
|a| = √(4+1+9) = √14
|b| = √(1+4+1) = √6
cos θ = −1 / (√14 · √6) = −1/√84 = −1/(2√21)
cos θ ≈ −1/9,165 ≈ −0,1091
θ = cos⁻¹(−0,1091) ≈ 96,26° (sudut tumpul)
Contoh Soal 8 Sedang
Diketahui a = (1, 2, −2) dan b = (3, −6, k). Tentukan nilai k agar kedua vektor tegak lurus.
▶ Lihat PembahasanSyarat tegak lurus: a · b = 0
(1)(3)+(2)(−6)+(−2)(k) = 0
3 − 12 − 2k = 0
−9 − 2k = 0
k = −9/2 = −4,5
Contoh Soal 9 Sedang
Tentukan sudut antara vektor posisi titik A(1, 2, 3) ke B(3, 4, 5) dan vektor posisi titik A(1, 2, 3) ke C(2, 0, 4).
▶ Lihat PembahasanLangkah 1: Tentukan vektor.
AB = B − A = (2, 2, 2)
AC = C − A = (1, −2, 1)
Langkah 2: AB · AC = (2)(1)+(2)(−2)+(2)(1) = 2−4+2 = 0
Langkah 3: cos θ = 0 → θ = 90°
Vektor AB dan AC tegak lurus.
Contoh Soal 10 Sedang
Tentukan sudut antara a = (1, 1, 0) dan b = (0, 1, 1).
▶ Lihat Pembahasana · b = 0+1+0 = 1
|a| = √2, |b| = √2
cos θ = 1/(√2·√2) = 1/2
θ = cos⁻¹(1/2) = 60°
Tingkat Sulit SULIT
Contoh Soal 11 Sulit
Diketahui a = (2, 1, −1), b = (1, −1, 2), dan c = a + 2b. Tentukan sudut antara a dan c.
▶ Lihat PembahasanLangkah 1: Hitung c = a + 2b.
c = (2,1,−1) + 2(1,−1,2) = (2+2, 1−2, −1+4) = (4, −1, 3)
Langkah 2: a · c = (2)(4)+(1)(−1)+(−1)(3) = 8−1−3 = 4
Langkah 3: |a| = √(4+1+1) = √6
|c| = √(16+1+9) = √26
Langkah 4: cos θ = 4/√(6·26) = 4/√156 = 4/(2√39)
cos θ ≈ 4/12,49 ≈ 0,3203
θ ≈ cos⁻¹(0,3203) ≈ 71,33°
Contoh Soal 12 Sulit
Tentukan nilai m agar sudut antara a = (m, 1, 2) dan b = (1, m, 1) adalah 60°.
▶ Lihat Pembahasana · b = m + m + 2 = 2m + 2
|a| = √(m²+1+4) = √(m²+5)
|b| = √(1+m²+1) = √(m²+2)
cos 60° = 1/2
1/2 = (2m+2) / (√(m²+5) · √(m²+2))
Kuadratkan kedua ruas:
1/4 = (2m+2)² / ((m²+5)(m²+2))
(m²+5)(m²+2) = 4(2m+2)²
m⁴+7m²+10 = 4(4m²+8m+4)
m⁴+7m²+10 = 16m²+32m+16
m⁴−9m²−32m−6 = 0
Dengan substitusi m = −⅓: (1/81)−(9/9)−32(−1/3)−6 … cek numerik.
Secara numerik, m ≈ 3,56 atau m ≈ −0,19 (perlu cek kedua solusi agar 2m+2 > 0 untuk θ = 60°).
Contoh Soal 13 Sulit
Diketahui segitiga dengan titik sudut P(1, 0, 2), Q(3, 1, 0), R(−1, 2, 1). Tentukan besar sudut ∠QPR.
▶ Lihat PembahasanLangkah 1: Tentukan vektor dari P.
PQ = Q − P = (2, 1, −2)
PR = R − P = (−2, 2, −1)
Langkah 2: PQ · PR = (2)(−2)+(1)(2)+(−2)(−1) = −4+2+2 = 0
Langkah 3: cos ∠QPR = 0
∠QPR = 90°
Segitiga PQR siku-siku di P.
Contoh Soal 14 Sulit
Diketahui |a| = 3, |b| = 4, dan |a − b| = √37. Tentukan sudut antara a dan b.
▶ Lihat PembahasanGunakan: |a−b|² = |a|² − 2a·b + |b|²
37 = 9 − 2(a·b) + 16
37 = 25 − 2(a·b)
2(a·b) = −12
a·b = −6
cos θ = −6/(3·4) = −6/12 = −1/2
θ = cos⁻¹(−1/2) = 120°
Contoh Soal 15 Sulit
Diketahui a = (1, 2, 2) dan b = (2, −1, 2). Tentukan vektor c yang tegak lurus terhadap a dan b, lalu hitung sudut antara c dan a + b.
▶ Lihat PembahasanLangkah 1: c = a × b (cross product).
c = |i j k; 1 2 2; 2 −1 2|
c₁ = (2)(2)−(2)(−1) = 4+2 = 6
c₂ = (2)(2)−(1)(2) = 4−2 = 2 → tanda minus → −2
c₃ = (1)(−1)−(2)(2) = −1−4 = −5
c = (6, −2, −5)
Langkah 2: a+b = (3, 1, 4)
Langkah 3: c · (a+b) = (6)(3)+(−2)(1)+(−5)(4) = 18−2−20 = −4
|c| = √(36+4+25) = √65
|a+b| = √(9+1+16) = √26
cos θ = −4/√(65·26) = −4/√1690
cos θ ≈ −4/41,11 ≈ −0,0973
θ ≈ cos⁻¹(−0,0973) ≈ 95,58°
3. Latihan Soal (Tanpa Pembahasan)
Kerjakan soal-soal berikut secara mandiri untuk mengasah pemahamanmu.
Tingkat Mudah MUDAH
1. Tentukan sudut antara a = (1, 0, 0) dan b = (0, 1, 0).
2. Tentukan sudut antara a = (2, 2, 0) dan b = (2, 0, 0).
3. Tentukan sudut antara a = (0, 3, 0) dan b = (0, 0, 5).
4. Tentukan sudut antara a = (1, 1, 1) dan b = (−1, −1, −1).
5. Tentukan sudut antara a = (4, 0, 0) dan b = (4, 0, 0).
Tingkat Sedang SEDANG
6. Tentukan sudut antara a = (2, −1, 3) dan b = (1, 4, −2).
7. Diketahui A(1, 0, 3), B(2, 1, 1), C(0, 3, 2). Tentukan sudut ∠BAC.
8. Tentukan nilai p agar a = (p, 2, 1) tegak lurus terhadap b = (3, −1, p).
9. Tentukan sudut antara a = (1, −2, 2) dan b = (−2, 1, 2).
10. Tentukan sudut antara a = (3, 1, −2) dan b = (1, 3, 2).
Tingkat Sulit SULIT
11. Diketahui |a| = 5, |b| = 3, dan a · b = −15/2. Tentukan sudut antara kedua vektor.
12. Diketahui a = (1, 1, 0), b = (0, 1, 1), dan c = 3a − 2b. Tentukan sudut antara b dan c.
13. Segitiga PQR memiliki titik P(2, 1, −1), Q(0, 3, 2), R(4, −1, 0). Tentukan besar ketiga sudut segitiga tersebut.
14. Tentukan nilai t agar sudut antara a = (t, 1, 1) dan b = (1, t, 1) sama dengan 90°.
15. Diketahui |a| = 2, |b| = 3, dan |a + b| = √7. Tentukan sudut antara a dan b.