Sifat-sifat Aljabar Vektor pada Bidang
Matematika Peminatan — Kelas X / XI SMA
Pendahuluan
Vektor pada bidang (ℝ²) memiliki sifat-sifat aljabar yang mirip dengan sifat-sifat bilangan real. Sifat-sifat ini sangat penting untuk memahami operasi vektor secara mendalam.
Misalkan a, b, dan c adalah vektor-vektor pada bidang, serta k dan m adalah skalar (bilangan real). Maka berlaku sifat-sifat berikut:
| No | Sifat | Pernyataan |
|---|---|---|
| 1 | Komutatif | a + b = b + a |
| 2 | Asosiatif | (a + b) + c = a + (b + c) |
| 3 | Identitas | a + 0 = a |
| 4 | Invers | a + (−a) = 0 |
| 5 | Distributif skalar-vektor | k(a + b) = ka + kb |
| 6 | Distributif skalar-skalar | (k + m)a = ka + ma |
| 7 | Asosiatif skalar | k(ma) = (km)a |
| 8 | Identitas skalar | 1 · a = a |
Notasi Vektor yang Digunakan:
- a = vektor a (dicetak tebal dengan garis atas)
- Vektor kolom: a = (a₁, a₂) atau ditulis vertikal
- 0 = vektor nol = (0, 0)
- k, m = skalar (bilangan real)
1. Sifat Komutatif Penjumlahan
a + b = b + a
Artinya, urutan penjumlahan dua vektor tidak memengaruhi hasilnya.
Mengamati
Perhatikan gambar di atas. Vektor hasil a + b dan b + a memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Kedua vektor hasil identik.
Menanya
Mengapa urutan penjumlahan vektor tidak mengubah hasilnya? Apakah ini juga berlaku untuk pengurangan vektor?
Menalar
Jika a = (a₁, a₂) dan b = (b₁, b₂), maka:
a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
b + a = (b₁ + a₁, b₂ + a₂)
Karena penjumlahan bilangan real bersifat komutatif (a₁ + b₁ = b₁ + a₁), maka kedua hasil sama.
Mencoba
Ambil a = (3, 1) dan b = (1, 4). Hitung a + b dan b + a. Apakah hasilnya sama?
a + b = (3+1, 1+4) = (4, 5)
b + a = (1+3, 4+1) = (4, 5) ✓
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Penjumlahan vektor bersifat komutatif. Ini karena komponen-komponen vektor dijumlahkan secara terpisah, dan penjumlahan bilangan real bersifat komutatif.
2. Sifat Asosiatif Penjumlahan
(a + b) + c = a + (b + c)
Pengelompokan vektor dalam penjumlahan tidak memengaruhi hasil akhir.
Mengamati
Jika kita menjumlahkan tiga vektor, kita bisa mulai dari pasangan mana saja — hasilnya tetap sama.
Menanya
Apakah jika ada empat vektor, sifat ini masih berlaku? Bagaimana pembuktiannya?
Menalar
Misal a = (a₁,a₂), b = (b₁,b₂), c = (c₁,c₂):
(a+b)+c = ((a₁+b₁)+c₁, (a₂+b₂)+c₂)
a+(b+c) = (a₁+(b₁+c₁), a₂+(b₂+c₂))
Karena penjumlahan bilangan real bersifat asosiatif, keduanya sama.
Mencoba
a=(1,2), b=(3,−1), c=(−2,5)
(a+b)+c = (4,1)+(−2,5) = (2,6)
a+(b+c) = (1,2)+(1,4) = (2,6) ✓
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Sifat asosiatif memungkinkan kita menjumlahkan beberapa vektor tanpa khawatir tentang urutan pengelompokan.
3. Elemen Identitas (Vektor Nol)
a + 0 = 0 + a = a
Vektor nol 0 = (0, 0) adalah elemen identitas penjumlahan vektor. Menambahkan vektor nol tidak mengubah vektor tersebut.
Mengamati
Vektor nol tidak memiliki panjang dan tidak memiliki arah. Ia seperti angka 0 pada penjumlahan bilangan.
Menalar
a + 0 = (a₁+0, a₂+0) = (a₁, a₂) = a
Mencoba
a = (7, −3). Maka a + 0 = (7+0, −3+0) = (7, −3) = a ✓
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Vektor nol adalah elemen netral dalam penjumlahan vektor.
4. Invers Penjumlahan (Vektor Negatif)
a + (−a) = 0
Setiap vektor a memiliki invers −a yang jika dijumlahkan menghasilkan vektor nol. Vektor −a memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.
Menalar
Jika a = (a₁, a₂), maka −a = (−a₁, −a₂)
a + (−a) = (a₁+(−a₁), a₂+(−a₂)) = (0, 0) = 0
Mencoba
a = (5, −2). Maka −a = (−5, 2).
a + (−a) = (5+(−5), −2+2) = (0, 0) = 0 ✓
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Vektor negatif adalah kebalikan arah dari vektor aslinya. Pengurangan vektor didefinisikan sebagai penjumlahan dengan invers: a − b = a + (−b).
5. Sifat Distributif Skalar terhadap Penjumlahan Vektor
k(a + b) = ka + kb
Mengalikan skalar dengan jumlah dua vektor sama dengan menjumlahkan masing-masing vektor yang telah dikalikan skalar tersebut.
Mengamati
Secara geometris, mengalikan vektor dengan skalar k berarti memperbesar (|k|>1) atau memperkecil (|k|<1) panjang vektor, dan membalik arah jika k negatif.
Menalar
k(a+b) = k(a₁+b₁, a₂+b₂) = (k(a₁+b₁), k(a₂+b₂))
= (ka₁+kb₁, ka₂+kb₂) = (ka₁,ka₂)+(kb₁,kb₂) = ka+kb
Mencoba
k=3, a=(2,1), b=(−1,4)
Ruas kiri: 3((2,1)+(−1,4)) = 3(1,5) = (3,15)
Ruas kanan: 3(2,1)+3(−1,4) = (6,3)+(−3,12) = (3,15) ✓
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Perkalian skalar “berdistribusi” merata ke setiap vektor yang dijumlahkan.
6. Sifat Distributif Skalar terhadap Penjumlahan Skalar
(k + m)a = ka + ma
Jumlah dua skalar yang mengalikan vektor sama dengan menjumlahkan vektor yang telah dikalikan masing-masing skalar.
Menalar
(k+m)a = ((k+m)a₁, (k+m)a₂) = (ka₁+ma₁, ka₂+ma₂)
= (ka₁,ka₂)+(ma₁,ma₂) = ka+ma
Mencoba
k=2, m=5, a=(4,−3)
Ruas kiri: (2+5)(4,−3) = 7(4,−3) = (28,−21)
Ruas kanan: 2(4,−3)+5(4,−3) = (8,−6)+(20,−15) = (28,−21) ✓
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Penjumlahan skalar dapat didistribusikan terhadap perkalian dengan vektor.
7. Sifat Asosiatif Perkalian Skalar
k(ma) = (km)a
Mengalikan vektor dengan dua skalar secara berturut-turut sama dengan mengalikan vektor dengan hasil kali kedua skalar.
Menalar
k(ma) = k(ma₁, ma₂) = (k·ma₁, k·ma₂) = ((km)a₁, (km)a₂) = (km)a
Mencoba
k=3, m=−2, a=(1,5)
Ruas kiri: 3(−2(1,5)) = 3(−2,−10) = (−6,−30)
Ruas kanan: (3·(−2))(1,5) = (−6)(1,5) = (−6,−30) ✓
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Perkalian skalar bersifat asosiatif — kita bisa mengalikan skalar-skalar terlebih dahulu baru kemudian mengalikan hasilnya dengan vektor.
8. Identitas Perkalian Skalar
1 · a = a
Mengalikan vektor dengan skalar 1 tidak mengubah vektor tersebut. Angka 1 adalah elemen identitas perkalian skalar.
Menalar
1 · a = 1·(a₁, a₂) = (1·a₁, 1·a₂) = (a₁, a₂) = a
Mengkomunikasikan
Kesimpulan: Skalar 1 berfungsi seperti elemen identitas — tidak mengubah vektor apa pun yang dikalikannya.
Contoh Soal dan Pembahasan
🟢 Tingkat Mudah
Soal 1.
Diketahui a = (2, 3) dan b = (4, 1). Buktikan bahwa a + b = b + a.
Lihat Pembahasan
a + b = (2+4, 3+1) = (6, 4)
b + a = (4+2, 1+3) = (6, 4)
Kedua ruas sama → Terbukti (sifat komutatif).
Soal 2.
Diketahui p = (−1, 5). Tentukan p + 0.
Lihat Pembahasan
p + 0 = (−1+0, 5+0) = (−1, 5) = p
Ini membuktikan sifat elemen identitas.
Soal 3.
Tentukan vektor negatif dari q = (6, −2).
Lihat Pembahasan
−q = (−6, 2)
Verifikasi: q + (−q) = (6+(−6), −2+2) = (0, 0) = 0 ✓
Soal 4.
Hitung 1 · v jika v = (−3, 7).
Lihat Pembahasan
1 · v = (1·(−3), 1·7) = (−3, 7) = v
Sifat identitas perkalian skalar.
Soal 5.
Hitung 3a jika a = (2, −1).
Lihat Pembahasan
3a = 3(2, −1) = (6, −3)
🟡 Tingkat Sedang
Soal 6.
Diketahui a=(1,3), b=(2,−1), c=(−4,2). Buktikan sifat asosiatif.
Lihat Pembahasan
(a+b)+c = (3,2)+(−4,2) = (−1, 4)
a+(b+c) = (1,3)+(−2,1) = (−1, 4)
Kedua ruas sama → Terbukti.
Soal 7.
Buktikan 2(a+b) = 2a+2b untuk a=(3,−2) dan b=(−1,4).
Lihat Pembahasan
Ruas kiri: 2((3,−2)+(−1,4)) = 2(2,2) = (4,4)
Ruas kanan: 2(3,−2)+2(−1,4) = (6,−4)+(−2,8) = (4,4)
Terbukti (sifat distributif skalar-vektor).
Soal 8.
Buktikan (3+4)a = 3a+4a untuk a=(2,5).
Lihat Pembahasan
Ruas kiri: 7(2,5) = (14,35)
Ruas kanan: 3(2,5)+4(2,5) = (6,15)+(8,20) = (14,35)
Terbukti (sifat distributif skalar-skalar).
Soal 9.
Buktikan 2(3a) = (2·3)a untuk a=(−1,4).
Lihat Pembahasan
Ruas kiri: 2(3(−1,4)) = 2(−3,12) = (−6,24)
Ruas kanan: 6(−1,4) = (−6,24)
Terbukti (sifat asosiatif perkalian skalar).
Soal 10.
Diketahui u=(2,−3) dan v=(−4,1). Tentukan 2u − 3v menggunakan sifat-sifat aljabar vektor.
Lihat Pembahasan
2u − 3v = 2u + (−3)v
= 2(2,−3) + (−3)(−4,1)
= (4,−6) + (12,−3)
= (16, −9)
🔴 Tingkat Sulit
Soal 11.
Jika a=(2,−1), b=(−3,4), dan c=(1,2), buktikan bahwa 3(a+b)−2c = 3a+3b−2c.
Lihat Pembahasan
Ruas kiri: 3((2,−1)+(−3,4))−2(1,2) = 3(−1,3)−(2,4) = (−3,9)+(−2,−4) = (−5,5)
Ruas kanan: 3(2,−1)+3(−3,4)−2(1,2) = (6,−3)+(−9,12)+(−2,−4)
= (6−9−2, −3+12−4) = (−5, 5)
Kedua ruas sama → Terbukti. Ini menggunakan sifat distributif skalar-vektor.
Soal 12.
Tentukan nilai k dan m jika ka + mb = c, dengan a=(1,2), b=(3,1), c=(7,8).
Lihat Pembahasan
k(1,2)+m(3,1) = (7,8)
(k+3m, 2k+m) = (7, 8)
Sistem persamaan:
k + 3m = 7 … (1)
2k + m = 8 … (2)
Dari (1): k = 7−3m. Substitusi ke (2):
2(7−3m)+m = 8 → 14−6m+m = 8 → −5m = −6 → m = 6/5
k = 7−3(6/5) = 7−18/5 = 17/5
Jadi k = 17/5, m = 6/5.
Verifikasi: (17/5)(1,2)+(6/5)(3,1) = (17/5+18/5, 34/5+6/5) = (35/5, 40/5) = (7,8) ✓
Soal 13.
Diketahui p=(a,3) dan q=(2,b). Jika 2p+3q = (14, 21), tentukan nilai a dan b.
Lihat Pembahasan
2(a,3)+3(2,b) = (14,21)
(2a,6)+(6,3b) = (14,21)
(2a+6, 6+3b) = (14, 21)
2a+6 = 14 → 2a = 8 → a = 4
6+3b = 21 → 3b = 15 → b = 5
Soal 14.
Buktikan: Untuk sembarang vektor a dan skalar k, berlaku ka − ka = 0 menggunakan sifat-sifat aljabar vektor.
Lihat Pembahasan
ka − ka
= ka + (−1)(ka) (definisi pengurangan)
= ka + ((−1)·k)a (sifat asosiatif skalar)
= ka + (−k)a
= (k + (−k))a (sifat distributif skalar-skalar)
= 0 · a = 0
Soal 15.
Diketahui titik A(1,2), B(4,6), C(7,2). Titik M adalah titik tengah AB dan N titik tengah BC. Gunakan sifat-sifat aljabar vektor untuk menunjukkan bahwa vektor MN = ½ vektor AC.
Lihat Pembahasan
Posisi: A=(1,2), B=(4,6), C=(7,2)
M = ½(A+B) = ½((1,2)+(4,6)) = ½(5,8) = (5/2, 4)
N = ½(B+C) = ½((4,6)+(7,2)) = ½(11,8) = (11/2, 4)
Vektor MN = N − M = (11/2−5/2, 4−4) = (3, 0)
Vektor AC = C − A = (7−1, 2−2) = (6, 0)
½ · AC = ½(6,0) = (3, 0)
MN = ½AC ✓ (Terbukti menggunakan sifat distributif dan identitas)
Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan. Gunakan sifat-sifat aljabar vektor yang telah dipelajari.
🟢 Tingkat Mudah
- Diketahui a=(5,2) dan b=(−3,7). Buktikan a+b = b+a.
- Tentukan vektor negatif dari r=(−4, 9).
- Hitung m+0 jika m=(8, −6).
- Hitung 4a jika a=(−2, 3).
- Buktikan 1·w = w untuk w=(10,−5).
🟡 Tingkat Sedang
- Buktikan sifat asosiatif untuk a=(2,1), b=(−3,5), c=(4,−2).
- Buktikan 4(a+b) = 4a+4b untuk a=(1,−2), b=(3,5).
- Buktikan (2+5)a = 2a+5a untuk a=(−3,1).
- Hitung 3u−2v jika u=(4,−1) dan v=(−2,3).
- Buktikan 4(2a) = 8a untuk a=(−1,3).
🔴 Tingkat Sulit
- Tentukan nilai k dan m jika k(1,3)+m(2,−1) = (8,5).
- Diketahui a=(p,2) dan b=(3,q). Jika 3a−2b=(6,10), tentukan p dan q.
- Buktikan bahwa untuk sembarang vektor a: 0·a = 0 menggunakan sifat-sifat aljabar vektor.
- Diketahui titik P(2,1), Q(6,3), R(8,−1). Tunjukkan bahwa vektor PQ + vektor QR = vektor PR menggunakan sifat-sifat aljabar vektor.
- Jika a+b=(5,7) dan a−b=(1,3), tentukan a dan b menggunakan sifat-sifat aljabar vektor.
Ringkasan
- a + b = b + a (Komutatif)
- (a+b)+c = a+(b+c) (Asosiatif)
- a+0 = a (Identitas)
- a+(−a) = 0 (Invers)
- k(a+b) = ka+kb (Distributif skalar-vektor)
- (k+m)a = ka+ma (Distributif skalar-skalar)
- k(ma) = (km)a (Asosiatif skalar)
- 1·a = a (Identitas skalar)