Panjang Vektor dalam Ruang
Matematika Peminatan — Kelas XII SMA
A. Pengertian Panjang Vektor dalam Ruang
🔍 Mengamati
Perhatikan vektor a dalam ruang tiga dimensi (R³). Vektor ini memiliki komponen pada sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z. Panjang vektor menyatakan jarak dari titik pangkal ke titik ujung vektor tersebut.
Jika vektor a memiliki komponen:
Maka panjang (modulus/magnitudo) vektor a dinotasikan |a| dan didefinisikan sebagai:
❓ Menanya
Mengapa rumus panjang vektor dalam ruang menggunakan tiga komponen? Bagaimana hubungannya dengan teorema Pythagoras yang diperluas ke tiga dimensi?
Penurunan Rumus
Panjang vektor dalam ruang diturunkan dari teorema Pythagoras yang diterapkan dua kali:
- Pada bidang xy: jarak proyeksi = √(a₁² + a₂²)
- Dari proyeksi ke titik ujung (tambah komponen z): |a⃗| = √((√(a₁² + a₂²))² + a₃²) = √(a₁² + a₂² + a₃²)
💡 Menalar
Perhatikan bahwa panjang vektor selalu bernilai ≥ 0. Panjang vektor = 0 hanya jika semua komponen bernilai nol (vektor nol). Panjang vektor bersifat skalar (bukan vektor).
B. Panjang Vektor dari Dua Titik dalam Ruang
Jika diketahui titik A(x₁, y₁, z₁) dan B(x₂, y₂, z₂), maka vektor AB = (x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁) dan panjangnya:
🧪 Mencoba
Coba tentukan panjang vektor dari titik A(1, 2, 3) ke titik B(4, 6, 3). Gunakan rumus di atas dan hitung langkah demi langkah.
Jawaban: |AB| = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5
C. Sifat-Sifat Panjang Vektor
| No | Sifat | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | |a| ≥ 0 | Panjang vektor selalu non-negatif |
| 2 | |a| = 0 ⟺ a = 0 | Panjang nol hanya untuk vektor nol |
| 3 | |ka| = |k| · |a| | Panjang vektor dikali skalar |
| 4 | |a + b| ≤ |a| + |b| | Ketidaksamaan segitiga |
| 5 | |−a| = |a| | Panjang vektor negatif sama |
📢 Mengkomunikasikan
Jelaskan dengan kata-katamu sendiri mengapa |ka⃗| = |k| · |a⃗|. Berikan contoh numerik untuk membuktikannya.
D. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya = 1. Vektor satuan dari a diperoleh dengan membagi setiap komponen dengan panjangnya:
Vektor satuan menunjukkan arah dari vektor tersebut tanpa memperhitungkan besar/panjangnya.
🧪 Mencoba
Tentukan vektor satuan dari a = (3, 4, 0).
|a| = √(9+16+0) = 5, maka ã = (3/5, 4/5, 0) = (0.6, 0.8, 0)
E. Contoh Soal dan Pembahasan
Tingkat Mudah
Soal 1:
Tentukan panjang vektor a = (3, 4, 0).
Pembahasan
|a| = √(3² + 4² + 0²) = √(9 + 16 + 0) = √25 = 5
Soal 2:
Tentukan panjang vektor b = (1, 2, 2).
Pembahasan
|b| = √(1² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
Soal 3:
Tentukan panjang vektor c = (0, 0, 5).
Pembahasan
|c| = √(0² + 0² + 5²) = √25 = 5
Soal 4:
Tentukan panjang vektor d = (2, −1, 2).
Pembahasan
|d| = √(2² + (−1)² + 2²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3
Soal 5:
Tentukan panjang vektor dari titik A(0,0,0) ke B(1,1,1).
Pembahasan
AB = (1−0, 1−0, 1−0) = (1, 1, 1)
|AB| = √(1 + 1 + 1) = √3 ≈ 1,73
Tingkat Sedang
Soal 1:
Tentukan panjang vektor AB jika A(2, −1, 3) dan B(5, 3, −1).
Pembahasan
AB = (5−2, 3−(−1), −1−3) = (3, 4, −4)
|AB| = √(9 + 16 + 16) = √41 ≈ 6,40
Soal 2:
Jika a = (2, −3, 6), tentukan vektor satuan dari a.
Pembahasan
|a| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7
ã = (2/7, −3/7, 6/7) ≈ (0,286; −0,429; 0,857)
Soal 3:
Tentukan nilai k agar vektor v = (k, 2k, −k) memiliki panjang 6.
Pembahasan
|v| = √(k² + 4k² + k²) = √(6k²) = |k|√6 = 6
|k| = 6/√6 = √6
k = √6 atau k = −√6
Soal 4:
Diketahui a = (1, −2, 2) dan b = (3, 0, −4). Tentukan |a + b|.
Pembahasan
a + b = (1+3, −2+0, 2+(−4)) = (4, −2, −2)
|a + b| = √(16 + 4 + 4) = √24 = 2√6 ≈ 4,90
Soal 5:
Tentukan panjang vektor 3a − 2b jika a = (1, 0, 2) dan b = (−1, 1, 1).
Pembahasan
3a = (3, 0, 6), 2b = (−2, 2, 2)
3a − 2b = (3−(−2), 0−2, 6−2) = (5, −2, 4)
|3a − 2b| = √(25 + 4 + 16) = √45 = 3√5 ≈ 6,71
Tingkat Sulit
Soal 1:
Diketahui |a| = 5 dan a = (t, t+1, t−1). Tentukan semua nilai t yang memenuhi.
Pembahasan
|a|² = t² + (t+1)² + (t−1)² = 25
t² + t² + 2t + 1 + t² − 2t + 1 = 25
3t² + 2 = 25 → 3t² = 23 → t² = 23/3
t = ±√(23/3) = ±√69/3 ≈ ±2,77
Soal 2:
Titik P(a, 2, −1) berjarak 7 dari titik Q(1, −2, 2). Tentukan semua nilai a.
Pembahasan
|PQ|² = (1−a)² + (−2−2)² + (2−(−1))² = 49
(1−a)² + 16 + 9 = 49
(1−a)² = 24 → 1−a = ±2√6
a = 1 − 2√6 atau a = 1 + 2√6
Soal 3:
Diketahui a = (2, 1, −2) dan b = (1, −1, 2). Tentukan |2a − 3b| dan vektor satuannya.
Pembahasan
2a = (4, 2, −4), 3b = (3, −3, 6)
2a − 3b = (1, 5, −10)
|2a − 3b| = √(1 + 25 + 100) = √126 = 3√14
Vektor satuan = (1/(3√14), 5/(3√14), −10/(3√14))
Soal 4:
Tentukan titik C pada sumbu-z yang berjarak sama dari A(3, 1, 2) dan B(−1, 2, 0).
Pembahasan
C = (0, 0, c). |CA| = |CB|
|CA|² = 9 + 1 + (2−c)² = 10 + (2−c)²
|CB|² = 1 + 4 + (0−c)² = 5 + c²
10 + 4 − 4c + c² = 5 + c²
14 − 4c = 5 → 4c = 9 → c = 9/4
Jadi C = (0, 0, 9/4)
Soal 5:
Diketahui |a + b| = 7 dan |a − b| = 5. Jika |a| = 5, tentukan |b|.
Pembahasan
|a + b|² = |a|² + 2a·b + |b|² = 49 … (1)
|a − b|² = |a|² − 2a·b + |b|² = 25 … (2)
Jumlahkan (1) dan (2): 2|a|² + 2|b|² = 74
2(25) + 2|b|² = 74 → 2|b|² = 24 → |b|² = 12
|b| = 2√3 ≈ 3,46
F. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
Tingkat Mudah
1. Tentukan panjang vektor p = (6, 2, −3).
2. Tentukan panjang vektor q = (−4, 0, 3).
3. Tentukan |AB| jika A(1, 1, 1) dan B(4, 5, 1).
4. Tentukan panjang vektor r = (0, −5, 12).
5. Tentukan panjang vektor 2i + 3j − 6k.
Tingkat Sedang
1. Tentukan vektor satuan dari a = (4, −4, 2).
2. Jika a = (2, 1, −1) dan b = (−1, 3, 2), tentukan |a − b|.
3. Tentukan nilai m agar vektor (m, 2m, m) memiliki panjang 12.
4. Tentukan panjang vektor 2a + b jika a = (1, −1, 3) dan b = (2, 4, −2).
5. Titik A(2, 1, −3) dan B(−1, 5, 1). Tentukan titik tengah M dan panjang AM.
Tingkat Sulit
1. Diketahui |a⃗| = 3, |b⃗| = 4, dan |a⃗ + b⃗| = 6. Tentukan |a⃗ − b⃗|.
2. Titik P(a, a+1, 2a) berjarak 9 dari titik O(0,0,0). Tentukan semua nilai a.
3. Tentukan semua vektor yang searah dengan (1, 2, −2) dan memiliki panjang 12.
4. Diketahui A(1,2,3), B(4,6,3), C(x, y, z) dengan |AC⃗| = |BC⃗| = |AB⃗|. Jika C pada bidang z=0, tentukan koordinat C.
5. Vektor a⃗ = (p, p+2, 1) dan b⃗ = (2, −1, p). Jika |a⃗| = |b⃗|, tentukan semua nilai p dan hitung panjangnya.
G. Rangkuman
- • Panjang vektor a⃗ = (a₁, a₂, a₃): |a⃗| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
- • Jarak dua titik A dan B: |AB⃗| = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²)
- • Vektor satuan: â = a⃗ / |a⃗|
- • Sifat: |ka⃗| = |k|·|a⃗| dan |a⃗+b⃗| ≤ |a⃗| + |b⃗|