Pengurangan Vektor
Materi Lengkap, Contoh Soal & Latihan
A. Pengertian Pengurangan Vektor
🔍 Kegiatan: Mengamati
Perhatikan ilustrasi berikut. Seorang anak berjalan 5 langkah ke timur (vektor a), kemudian ia ingin mengurangi perpindahannya sebanyak 3 langkah ke timur (vektor b). Hasil akhirnya adalah 2 langkah ke timur.
Pengurangan vektor adalah operasi mengurangkan satu vektor dari vektor lainnya. Secara matematis, pengurangan vektor a − b sama dengan penjumlahan vektor a dengan negatif vektor b.
Negatif vektor (−b) adalah vektor yang besarnya sama dengan b tetapi arahnya berlawanan.
B. Metode Pengurangan Vektor
1. Metode Segitiga
❓ Kegiatan: Menanya
Bagaimana cara menggambar pengurangan vektor a − b menggunakan metode segitiga?
Langkah-langkah metode segitiga untuk a − b:
- Gambar vektor a dari titik pangkal O.
- Gambar vektor −b (kebalikan arah b) dari ujung vektor a.
- Hubungkan titik pangkal O ke ujung vektor −b. Itulah vektor hasil a − b.
2. Metode Jajargenjang
Pada metode jajargenjang, vektor a − b digambar sebagai diagonal dari jajargenjang yang dibentuk oleh a dan −b dengan titik pangkal yang sama.
3. Metode Analitis (Komponen Vektor)
💡 Kegiatan: Menalar
Jika vektor dinyatakan dalam komponen, pengurangan dilakukan komponen demi komponen.
Jika a = (ax, ay) dan b = (bx, by), maka:
Dalam bentuk vektor satuan:
maka a − b = (ax − bx)î + (ay − by)ĵ
4. Besar Vektor Hasil Pengurangan
Jika diketahui |a|, |b|, dan sudut α antara keduanya, maka besar vektor hasil pengurangan:
Catatan: Perhatikan bahwa rumus ini menggunakan −2ab cos α (bukan +2ab cos α seperti pada penjumlahan).
C. Sifat-sifat Pengurangan Vektor
🧪 Kegiatan: Mencoba
Coba buktikan sifat-sifat berikut dengan contoh numerik!
| No | Sifat | Keterangan |
|---|---|---|
| 1 | a − b ≠ b − a | Tidak komutatif |
| 2 | a − b = −(b − a) | Hubungan antikomutatif |
| 3 | a − a = 0 | Vektor nol |
| 4 | a − 0 = a | Elemen identitas |
| 5 | k(a − b) = ka − kb | Distributif skalar |
📢 Kegiatan: Mengkomunikasikan
Rangkuman Konsep Kunci:
- Pengurangan vektor = penjumlahan dengan vektor negatif
- Vektor negatif = besar sama, arah berlawanan
- Metode: Segitiga, Jajargenjang, dan Analitis
- Pengurangan vektor TIDAK bersifat komutatif
D. Contoh Soal & Pembahasan
Mudah
1. Diketahui a = (4, 3) dan b = (1, 2). Tentukan a − b!
Pembahasan:
a − b = (4−1, 3−2) = (3, 1)
2. Diketahui p = (6, 5) dan q = (2, 3). Tentukan p − q!
Pembahasan:
p − q = (6−2, 5−3) = (4, 2)
3. Jika a = 3î + 4ĵ dan b = î + ĵ, tentukan a − b!
Pembahasan:
a − b = (3−1)î + (4−1)ĵ = 2î + 3ĵ
4. Diketahui a = (7, 0) dan b = (3, 0). Tentukan |a − b|!
Pembahasan:
a − b = (7−3, 0−0) = (4, 0)
|a − b| = √(4² + 0²) = √16 = 4
5. Diketahui u = (5, 2) dan v = (5, 2). Tentukan u − v!
Pembahasan:
u − v = (5−5, 2−2) = (0, 0) = vektor nol
Sedang
1. Diketahui a = (3, −2) dan b = (−1, 4). Tentukan besar |a − b|!
Pembahasan:
a − b = (3−(−1), −2−4) = (4, −6)
|a − b| = √(4² + (−6)²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13
2. Dua vektor |a| = 10, |b| = 6, sudut antara keduanya 60°. Tentukan |a − b|!
Pembahasan:
|a − b| = √(a² + b² − 2ab cos α)
= √(100 + 36 − 2(10)(6) cos 60°)
= √(136 − 120 × 0,5)
= √(136 − 60) = √76 = 2√19 ≈ 8,72
3. Diketahui a = 2î − 3ĵ + k̂ dan b = −î + 2ĵ − 3k̂. Tentukan a − b!
Pembahasan:
a − b = (2−(−1))î + (−3−2)ĵ + (1−(−3))k̂
= 3î − 5ĵ + 4k̂
4. Jika a − b = (2, 5) dan a = (7, 3), tentukan b!
Pembahasan:
a − b = (2, 5)
(7, 3) − b = (2, 5)
b = (7−2, 3−5) = (5, −2)
5. Tentukan vektor satuan dari a − b jika a = (4, 3) dan b = (1, −1)!
Pembahasan:
a − b = (4−1, 3−(−1)) = (3, 4)
|a − b| = √(9 + 16) = √25 = 5
Vektor satuan = (3/5, 4/5) = (0,6 ; 0,8)
Sulit
1. Dua vektor |a| = 5 dan |b| = 12 saling tegak lurus. Tentukan |a − b| dan arah vektor hasilnya terhadap a!
Pembahasan:
Sudut α = 90°, cos 90° = 0
|a − b| = √(25 + 144 − 2(5)(12)(0)) = √169 = 13
Arah: tan θ = b sin α / (a − b cos α) = 12(1) / (5 − 0) = 12/5
θ = arctan(12/5) ≈ 67,4° di bawah arah a
2. Diketahui a = (2, −1, 3), b = (−1, 2, 1), c = (3, 0, −2). Tentukan |2a − b + c|!
Pembahasan:
2a = (4, −2, 6)
2a − b = (4+1, −2−2, 6−1) = (5, −4, 5)
2a − b + c = (5+3, −4+0, 5−2) = (8, −4, 3)
|..| = √(64 + 16 + 9) = √89 ≈ 9,43
3. Vektor a dan b memenuhi |a| = 8, |b| = 5, dan |a − b| = 7. Tentukan sudut antara a dan b!
Pembahasan:
|a − b|² = a² + b² − 2ab cos α
49 = 64 + 25 − 2(8)(5) cos α
49 = 89 − 80 cos α
80 cos α = 40
cos α = 1/2
α = 60°
4. Tentukan nilai k agar vektor a − kb tegak lurus terhadap b, jika a = (6, 2) dan b = (3, 1)!
Pembahasan:
a − kb = (6−3k, 2−k)
Tegak lurus terhadap b artinya dot product = 0:
(a − kb) · b = 0
(6−3k)(3) + (2−k)(1) = 0
18 − 9k + 2 − k = 0
20 − 10k = 0
k = 2
5. Titik A(1,2,3), B(4,6,3), C(2,−1,1). Tentukan |AB − AC| dan interpretasikan hasilnya secara geometris!
Pembahasan:
AB = B − A = (3, 4, 0)
AC = C − A = (1, −3, −2)
AB − AC = (3−1, 4−(−3), 0−(−2)) = (2, 7, 2)
|AB − AC| = √(4 + 49 + 4) = √57 ≈ 7,55
Interpretasi: AB − AC = CB, yaitu vektor dari C ke B. Jadi hasilnya sama dengan |CB| = √57.
E. Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan!
Mudah
- Diketahui a = (8, 5) dan b = (3, 2). Tentukan a − b!
- Jika p = 5î + 2ĵ dan q = 2î + ĵ, tentukan p − q!
- Diketahui a = (−3, 4) dan b = (−3, 4). Tentukan a − b!
- Tentukan |a − b| jika a = (5, 0) dan b = (2, 0)!
- Jika a = (10, 7) dan b = (4, 3), tentukan b − a!
Sedang
- Diketahui a = (4, −3) dan b = (−2, 5). Tentukan besar |a − b|!
- Dua vektor |a| = 8, |b| = 6, sudut antara keduanya 120°. Tentukan |a − b|!
- Jika a − b = (−3, 7) dan b = (4, −2), tentukan a!
- Diketahui a = î − 2ĵ + 3k̂ dan b = 2î + ĵ − k̂. Tentukan vektor satuan dari a − b!
- Tentukan besar |3a − 2b| jika a = (2, 1) dan b = (1, 3)!
Sulit
- Vektor a dan b memenuhi |a| = 6, |b| = 4, dan |a − b| = 2√7. Tentukan sudut antara a dan b!
- Tentukan nilai m agar vektor a − mb sejajar dengan sumbu-x, jika a = (4, 6) dan b = (2, 3)!
- Diketahui titik A(2,1,−1), B(5,3,2), C(−1,4,0). Tentukan |AB − 2AC| dan arah vektor hasilnya!
- Jika |a + b| = 10 dan |a − b| = 6, serta |a| = 7, tentukan |b|!
- Tentukan nilai k agar |a − kb| minimum, jika a = (5, 3) dan b = (2, 1)!