Menyatakan Vektor dalam Ruang
Matematika Peminatan — Vektor di Ruang Tiga Dimensi (R³)
📘 Materi
Mengamati 1. Pengertian Vektor dalam Ruang
Vektor dalam ruang (R³) adalah besaran yang memiliki besar (panjang) dan arah dalam ruang tiga dimensi. Berbeda dengan vektor di bidang (R²) yang hanya memiliki dua komponen (x, y), vektor dalam ruang memiliki tiga komponen: komponen x, komponen y, dan komponen z.
Dalam kehidupan sehari-hari, contoh vektor dalam ruang antara lain:
- Gaya yang bekerja pada benda di ruang 3D
- Kecepatan pesawat terbang (memiliki arah horizontal, vertikal, dan kesamping)
- Perpindahan posisi drone dari satu titik ke titik lain
Gambar 1: Sistem koordinat Cartesius 3D dan vektor posisi titik A
Mengamati 2. Notasi Vektor dalam Ruang
Ada beberapa cara menyatakan (menotasikan) vektor dalam ruang:
a) Notasi Vektor Kolom
Vektor ditulis dalam bentuk kolom dengan tiga komponen:
b) Notasi Vektor Baris
c) Notasi Vektor Satuan (i, j, k)
Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1 yang searah sumbu koordinat:
ĵ = (0, 1, 0) → searah sumbu-y
k̂ = (0, 0, 1) → searah sumbu-z
Sehingga vektor a = (a₁, a₂, a₃) dapat ditulis:
Gambar 2: Vektor satuan î, ĵ, k̂
d) Notasi Vektor Posisi
Jika titik A(x₁, y₁, z₁), maka vektor posisi titik A terhadap titik asal O(0,0,0) adalah:
e) Vektor Antara Dua Titik
Jika A(x₁, y₁, z₁) dan B(x₂, y₂, z₂), maka vektor dari A ke B:
| Notasi | Contoh | Keterangan |
|---|---|---|
| Kolom | 3−25 | 3 komponen vertikal |
| Baris | (3, −2, 5) | 3 komponen horizontal |
| Vektor satuan | 3î − 2ĵ + 5k̂ | Kombinasi î, ĵ, k̂ |
Menanya 3. Pertanyaan Kunci
Setelah mengamati materi di atas, coba pikirkan pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bagaimana cara menyatakan perpindahan sebuah benda di ruang 3D menggunakan vektor?
- Apa perbedaan vektor posisi dan vektor antara dua titik?
- Mengapa kita memerlukan tiga vektor satuan (î, ĵ, k̂) di ruang 3D?
- Bagaimana menentukan komponen vektor jika diketahui titik awal dan titik ujung?
- Kapan kita menggunakan notasi kolom vs notasi vektor satuan?
Menalar 4. Panjang (Besar) Vektor dalam Ruang
Panjang vektor a = (a₁, a₂, a₃) dinotasikan |a| dan dihitung dengan:
Rumus ini merupakan perluasan dari teorema Pythagoras ke tiga dimensi.
Gambar 3: Panjang vektor sebagai diagonal ruang (Pythagoras 3D)
Contoh: Jika a = (3, −4, 12), maka:
Menalar 5. Vektor Satuan
Vektor satuan dari vektor a adalah vektor yang searah dengan a tetapi memiliki panjang 1. Dinotasikan â (dibaca: a-topi).
Contoh: Vektor satuan dari a = (3, −4, 12):
Mencoba 6. Kegiatan: Menentukan Vektor dari Koordinat
Coba kerjakan langkah-langkah berikut secara mandiri:
- Tentukan titik A(2, 3, 1) dan B(5, −1, 4) pada kertas berpetak 3D.
- Tuliskan vektor OA→ dalam notasi kolom dan vektor satuan.
- Tuliskan vektor OB→ dalam notasi kolom dan vektor satuan.
- Hitung vektor AB→ = OB→ − OA→.
- Hitung panjang |AB→|.
- Tentukan vektor satuan dari AB→.
AB→ = (3, −4, 3), |AB→| = √34 ≈ 5,83
Mengkomunikasikan 7. Rangkuman
| Konsep | Rumus / Notasi |
|---|---|
| Vektor kolom | a₁a₂a₃ |
| Vektor baris | (a₁, a₂, a₃) |
| Vektor satuan | a₁î + a₂ĵ + a₃k̂ |
| Vektor antara dua titik | AB→ = (x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁) |
| Panjang vektor | |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) |
| Vektor satuan (unit) | â = a / |a| |
📝 Contoh Soal & Pembahasan
Mudah Contoh Soal 1–5
1. Nyatakan vektor a = (2, 3, 5) dalam notasi vektor satuan.
Pembahasan2. Diketahui titik A(1, 0, −3). Tentukan vektor posisi OA→.
Pembahasan3. Hitung panjang vektor b = (1, 2, 2).
Pembahasan4. Nyatakan vektor 4î − ĵ + 7k̂ dalam notasi baris.
Pembahasan5. Diketahui A(3, 1, 2) dan B(5, 3, 4). Tentukan vektor AB→.
PembahasanSedang Contoh Soal 6–10
6. Tentukan vektor satuan dari c = (2, −1, 2).
Pembahasan7. Diketahui P(−1, 2, 5) dan Q(3, −2, 1). Hitung panjang vektor PQ→.
Pembahasan8. Vektor d = (a, 3, −6) memiliki panjang 7. Tentukan nilai a (a > 0).
Pembahasan9. Titik A(1, 2, 3), B(4, 6, 3). Nyatakan vektor AB→ dalam notasi vektor satuan dan hitung panjangnya.
Pembahasan10. Diketahui vektor e = (−3, 0, 4). Tentukan vektor yang searah e dengan panjang 10.
PembahasanSulit Contoh Soal 11–15
11. Tentukan semua nilai p sehingga vektor f = (p, p+1, 2p−3) memiliki panjang √14.
Pembahasan12. Diketahui A(2, −1, 3), B(0, 3, 1), C(−2, 1, 5). Tunjukkan bahwa |AB→| = |BC→| dan tentukan vektor satuan AB→.
Pembahasan13. Vektor u = (2, −1, 2) dan v = (1, 2, −2). Tentukan vektor satuan dari u + v.
Pembahasan14. Titik M adalah titik tengah ruas garis AB dengan A(1, −3, 5) dan B(7, 1, −1). Tentukan vektor posisi M dan panjangnya.
Pembahasan15. Titik A(1, 2, 3), B(4, 6, 3), dan C(x, y, z) sedemikian sehingga AC→ = 2AB→. Tentukan koordinat C dan jarak OC.
Pembahasan✏️ Latihan Soal
Kerjakan soal-soal berikut tanpa melihat pembahasan contoh soal terlebih dahulu.